计算机软件及应用算法及其描述

时间复杂度符号O的两个定理:
在估算算法的时间复杂度时，为简单计，以后 只考虑内循环语句的执行频数，而不细致计算 各循环设计语句及其它语句的执行次数，这样 简化处理不影响算法的时间复杂度。
验对比方法、数学方法来分析算法。
实验对比分析很简单，两个算法相互比较求解时 间。 数学方法能在严密的逻辑推理基础上判断算法的 优劣。 在算法分析中，我们往往采用能近似表达性能的 方法来展示某个算法的性能指标。
一个算法的时间复杂度是指算法运行所需的时 间。 一个算法的运行时间取决于算法所需执行的语 句（运算）的多少。 算法的时间复杂度通常用该算法执行的总语句 （运算）的数量级决定。
(1) 确定性 (2) 可行性 (3) 有穷性 (4) 算法有零个或多个输入 (5) 算法有一个或多个输出
1.1.2 算法描述
（1）一个问题可以设计不同的算法来求解； 同一个算法可以采用不同的形式来表述。
（2）描述算法可以有：自然语言方式、流程 图方式、伪代码方式、计算机语言表示方
式与表格方式等。
算法的复杂性越高，所需的计算机资源 越多。
最重要的计算机资源是时间资源与空间 资源。
需要计算机时间资源的量称为时间复杂 度，需要计算机空间资源的量称为空间 复杂度。
时间复杂度与空间复杂度集中反映算法 的效率。
1.2.1 时间复杂度
要想充分理解算法并有效地应用算法求解实际案 例，关键是对算法的分析。通常我们可以利用实
设整数竖式除法每次试商的被除数为a, 除数为 2011，每次试商的余数为c。
循环以余数c≠0作为循环条件。循环外赋初值： c=1111，n=4或c=111，n=3等等。
设置竖式除法模拟循环，循环中被除数 a=c*10+1，试商余数c=a%2011。
若余数c=0，结束循环，输出结果； 否则，计算a=c*10+1为下一轮运算的被除数，
2个语句各执行1次，共执行2次。时间复杂度为O(1)
(2) for(k=1;k<=n;k++) { x=x+y; y=x+y; s=x+y; }
“k=1”执行1次；“k<=n”与“k++”各执行n次；3个赋值语句，每个 赋值语句各执行n次；共执行5n+1次. 时间复杂度为O(n).
例1-3 试计算下面三个程序段的执行频数
• 上机环境：VC++6.0 • 上机通过每章指定的案例求解程序与习题 • 按要求填写实验报告
学习建议：
• 培养案例求解兴趣
• 自觉完成布置的作业 学会归纳、总结和提炼； • 加深对算法应用的理解
自觉调整学习状态： • 善于变通、拓展与改进
注重算法设计，提高解决实际案例的能力。
第 1 章 算法与程序设计概述
继续试商。每商一位，统计被除数中“1”的个 数的变量n增1。
(2) 竖式除法模拟描述
c=1111;n=4; // 变量c与n赋初值
while(c!=0) // 模拟竖式除法
{ a=c*10+1;
c=a%2011;
n=n+1;
// 每试商一位n增1
}
print(n);
// 输出的简略表示
1.2 算法的复杂性分析
➢教学要求
➢ 了解算法概念、算法特征及算法的描述 ➢ 建立算法的复杂性概念 ➢ 掌握结构化程序设计的基本方法
➢本章重点
➢ 应用 c 语言描述算法 ➢ 掌握算法时间复杂度分析
1.1 算法及其描述
算法是程序设计的基础，是计算机科学的核心。
1.1.1 算法定义 算法是计算机解决问题的过程，是解决某一 问题的运算序列。或者说算法是问题求解过 程的运算描述。 当面临某一问题时，需要找到用计算机解决 这个问题的方法与步骤，算法就是解决这个 问题的方法与步骤的描述。
1. 算法的三要素
算法由操作、控制结构与数据结构 三者组成。
(1) 操作：算术运算，关系运算，逻辑运算； 输入、输出、赋值等操作。
(2) 控制结构：顺序结构，选择结构，循环 结构，模块调用。
(3) 数据结构：数据之间的逻辑关系。
2. 算法的基本特征
一个算法由有限条可完全机械地执 行的、有确定结果的指令组成，具 有以下特性：
input(a,b)； // 输入的简略表示
r=a%b;
while(r!=0) // 实施辗转相除
{ a=b; b=r; r=a%b; }
print(b);
// 输出的简略表示
例1-2 由n个1组成的整数能被2011整 除，求n至少为多大？
(1) 试模拟整数竖式除法：
可以证明，n是存在的，且不大于2011，因而以 上竖式运算总会停止。当除源自文库算的余数为“0” 时，数一数被除数中有多少个“1”即可。
学时安排：36（讲授）＋18（上机）
( 可根据实际教学计划进行调整)
课堂讲授 ：
各常用算法的概念与设计要点。 重点讲授应用算法设计求解基本的典型案例，并
通过相关程序，引导设计变通。 在基本案例引导下自学相关联案例求解。 小组讨论与基本案例相关的拓展与引申案例求解，
为“课程设计”作准备。
上机实践：
(3) for(t=1,k=1;k<=n;k++)
{ t=t*2;
for(j=1;j<=t;j++)
s=s+j; }
“t=1”与“k=1”各执行1次；“k<=n”与“k++”各 执行n次；“t=t*2”执行n次；“j=1”执行n次； “j<=t”、“j++”与内循环的赋值语句“s=s+j”各 执行频数为: 总的执行频数为：
（3）当一个算法使用计算机程序设计语言描 述时，就是程序。 本书采用C语言与自然语言相结合来描述算 法。
例1-1 求两个整数a,b的最大公约 数的欧几里德算法
(1) 数 a 除以 b 得余数 r；若r=0，则b为 所求的最大公约数。
(2) 若 r≠0，以b为a，r为b，继续(1).
欧几里德算法具体描述如下：
一条语句的数量级即执行它的频数，一个算 法的数量级是指它所有语句执行频数之和。
在分析算法时，隐藏细节的数学表示方法为 大写字母“O”记法，它可以帮助我们简化算 法复杂度计算的许多细节，提取主要成分。
算法的执行频数的数量级直接决定算 法的时间复杂度。
例1-3 试计算下面三个程序段的时间复杂度
(1) x=x+1; s=s+x;