线性代数期末复习-吕 线代 ch2-4

k 1
CH2 矩阵及其运算
例 按指定分块的方法，用分块矩阵乘法求矩阵的乘积AB，
其中 A=
1 -2 0 -1 1 1 ， B =
032
01 10。
0 -1
解：A=
A1 A2 A3 A4
，B=
B1 B2 O B3
。
AB=
A1 A3
A2 A4
B1 B2 O B3
=
A1B1 A3B1
A1B2+A2B3 A3B2+A4B3
②
AA1 A2A 注s意：两 者序号的 差别！
③ 当A1,A2,…,As都是方阵,且 Ai 0 (i1,2,,s)时,A可逆
A1
A1
A2
1
A11
A21
As
As1
A2
As
A11
A11
A1 s1
As1
例
0
A0
3
0 1
0 0
0 0
2) 将矩阵A每一列视为子块的分块矩阵,记为:
A1, 2, L, n
a1i
αi
a2i
ami
,
i 1,2, ,n
二、分块矩阵的运算
CH2 矩阵及其运算
1.分块矩阵的加法与数乘:
设矩阵A与B是同型矩阵,且分块如下:
注:矩阵A与B有 相同的分块法
A11 A1t A ,
As1 Ast
B022
1A2 3 0 0 0
求A-1.
CH2 矩阵及其运算
0 0 0 3 8 1 8
解：
A1
O A11
O
AO21
B11
O
O O B21
A21 O
0 1
00 10
O
3 2 1 0 0 0 1 2
18 0 0 0
3
8
0
0
0
作业： P56
3, 4, 5, 6, 7, 9(1), 10, 14
§4 矩阵分块法
一、矩阵分块的概念
CH2 矩阵及其运算
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小
矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩
阵称为分块矩阵.
例如矩阵: a11 A a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24
记为
a34
A1
A
3
A2
A
4
A , B
As1 Ast
Bt1 Btr
对A的列的分法与 对B的行的分法完全 一致
矩阵A与B的乘积AB :
A11
A1t B11
B1r
C 11
C1r
As1 AstBt1 Btr C s1 C sr
t
C ij A ik B k,ji1 ,2 , ,s;j1 ,2 , ,r.
CH2 矩阵及其运算
其中：A1 aa1211
a12 a22
aa1233;
A2
a14
a
2
4
;
A3a31 a32 a33; A4 a34
CH2 矩阵及其运算
注: 任一矩阵A有多种分块方法,常用的分块方法有:
1) 将矩阵A每一行视为子块的分块矩阵,记为:
A
1 2
M
m
β i (a i1,a i2,L,a in),i 1 ,2 ,L,m
B11 B1t B
Bs1 Bst
A11B11 A1tB1t
分块矩阵的加法 AB
As1Bs1 AstBst
数乘分块矩阵
kA11
kA
kAs1
kA1t
kAst
CH2 矩阵及其运算
2.分块矩阵的乘法
设矩阵A是m×p型矩阵,B是p×n型矩阵,它们分
别分块如下:
A11 A1t
B11 B1r
A1Tt
A
T st
➢ 即分块矩阵转置分两次进行:
(1)按一般元素矩阵转置;
(2)然后每个子块矩阵再转置.
CH2 矩阵及其运算
4 准对角矩阵
CH2 矩阵及其运算
A1
定义：称矩阵 A
A2
为准对角矩阵
O
A
s
注：当Ai(i=1,2, …，s）都是方阵时，
A1m
①
Am
A2m
Asm
-2 =1
1 -1
+
0 -1
3 (0) +(-2)
2 1
1
2
3 2
例 设矩阵
1 0 0 0
A01
1 2
0 1
0 0
1
1 0 1
1 0 1 0
B11
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
CH2 矩阵及其运算
若矩阵A分块为:
1 0 0 0
A
0
1
0
0
1 2 1 0
1 1 0 1
问矩阵B如何分块,才能与A右乘?
解: 矩阵B的行分法只要与A的列分法相同即可:
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
满足条件的B的分法共有八种.
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下: A
A11
As1
A12 As2
A1t
Ast
分块矩阵A的转置: AT
A1T1 A1T2
A A
T s1
T s2