线性代数1.行列式定义与性质

ai1
ai 2
ain
a1 j A1s a2 j A2s anj Ans 0, j s.
ak1 ak 2
akn
证 把行列式 D按第 j 行展开，有 an1 an2
例如
2 3 5 1 2 2 624
A23 1 23 M23
2
6
3 2
14
8
于是：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11M11 a12M12 a13M13 a11A11 a12 A12 a13 A13
0___k___1____1___0
0
00k2 0 0 k2 0
k 2 (k 1)(k2 4)
2k
002k 0 0 2k
所以，D=0的充要条件是 k 1 或 k 2
27
定理
n 阶行列式的任一行（列）各元素与另一行（列）对应
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a11
a12
a1 n
ai1Ak1 ai2 Ak2 ain Akn 0, i k.
a11
证明： D
as1
at 1
an1
a12
as2
at 2
an2
a1n
a11
a12
asn
rs krt
as1 kat1
as2 kat2
atn
at1
at 2
ann
an1
an 2
a1n asn katn
atn ann
a11
as1
at 1
an1
a12
as2
at 2
a11 a12 a13 等于行列式 a21 a22 a23 的绝对值．
a31 a32 a33
例 证明向量 (1 2 3)、 (1 3 2)、 (0 1 -1)共面
12 3
证明： 1 3 2 13(1) 113 0 2 2
0 1 -1
330 211 (1)1 2 0 向量 (1 2 3)、 (1 3 2)、 (0 1 -1)共面
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
b1
b2 bn ＋ c1
c2 cn
an1 an2 ann
an1 an2 ann
23
按列类似，如
a11 a12 b1 c1 a1n
a21 a22 b2 c2 a2n
＝
an1 an2 bn cn ann
ai1
aij ... ain
... ... ... ... ...
an1 ... anj ... ann
根据定理可知： 含零行（行中元素全为零）的行列式，其值必为零。
含零列（列中元素全为零）的行列式，其值必为零。 11
显然 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij 与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
5 3 1 2 0
1 7 2 52 例 计算行列式 D 0 2 3 1 0
0 4 1 4 0
0 2 3 50
解
5 3 1 2 0 1 7 2 52 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
5 3 1 2
2 3 1
2 1 25 0 2 3 1 2 5 4 1 4 1080.
an1
a1n
a2,n1
n ( n 1)
(1) 2 a1na2,n1 an1
16
1.2 行列式的性质
a11 a12 a1n
若行列式
D
a21
a22
a2n ，则称
an1 an2 ann
a11 a21 an1
DT
a12
a22
an2
为D的转置行列式
a1n a2n ann
性质1： 行列式与它的转置行列式相等。
可见：3阶行列式是 2阶行列式的线性组合！
9
定义1 n 阶行列式定义为：
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
a11, a11 A11
a12
A12
a1n A1n ,
an1 an2
ann
其中A1 j为元素a1 j的代数余子式（j 1, 2, , n)．
当n 1时， 当n 2时，
3 5 3
5
小结
至此，我们已经定义了2阶、3阶行列式:
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
0
0
a11a22...ann
0 0 ... ann
例如：
200 0 1 0 8 004
20 0 0 01 0 0
12 0 0 2 0 00 0 3
15
例 计算行列式
0001
001
0 D
0
0 3
2 0
0 0
(1)41 4 0
2
0
4 (1)31 3
0 2
1 0
24
4000
300
一般地有公式：
1 1 1 abcdef 1 1 1
df cf ef
d c e
1 1 1
4abcdef
19
0 ab
例 计算行列式 D a 0 c
b c 0
解： 0 a b
0 a b
D a 0 c (1)3 a 0 c DT D
b c 0
bc 0
2D 0, D 0 反对称行列式：主对角线上元素全为零，而以主对角线
a11 a12 b1 a1n
a11 a12 c1 a1n
a21
a22
b2
a2n
a21
a22
c2
a2n
an1 an2 bn ann
an1 an2 cn ann
24
例 计算行列式 D a1 a2 b1 b2 c1 c2 d1 d2
解 反复按行拆开得
D a1
证明：其中一行提出比例系数即得证
1 2 5 例 计算行列式 2 5 6
2 4 10
（第一行和第三行成比例）
解： 1 2 5
1 2 5
2 5 6 (2) 2 5 6 0
2 4 10
1 2 5
22
性质5：行列式可以按行 （列）拆开，即
a11
a12
a1n
b1 c1 b2 c2 bn cn
an1
as1 即 D
as2
asn
rs rt
at1
at 2
atn
at1 at 2 atn
as1 as 2
asn
an1 an2 ann
an1 an2
ann
推论 如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。 证明：互换相同的两行即得证
21
性质4 若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0 。
0 4 1 4
2 35
02 35
12
例 证明：上三角行列式（主对角线下侧元素都为0）
a1
Dn
a2
a1a2
an
n
an ai. i 1
其中，空白处表示该处元素为0，*表示元素可以取任意值。
证 行列式反复按第一列展开可得：
a1 *
Dn
a2
*
a2 *
* a1(1)11
a3
an
*
a3 *
*
* a1a2 (1)11
向量、 张成的平行四边形的面积为3（平方单位）．
3
二、3阶行列式
a11 a12 a13 定义 记： a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 a21a32a13 a31a23a12 a13a22a31 a23a32a11 a33a21a12 ,
a11 a12 a13 称 a21 a22 a23 为3阶行列式.
为轴，两边处于对称位置的元素异号。
注1 D aij n 是反对称行列式 aij a ji (i, j 1, 2, , n) 注2. 根据例3的方法，
可知任意一个奇数阶反对称行列式都等于零。
20
性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值变号。
a11 a12 a1n
a11 a12
a1n
an1
an2 ann
推论：行列式中某一行（列）的公因子可以逐个提到行列式符号外面
18
例 计算行列式
25 5 6 4 10 3 6 15
解： 2 5 5
255
2 51
6 4 10 2 3 3 2 5 2 3 5 3 2 1 180
3 6 15
125
1 21
例
ab ac ae
b c e
bd cd de a d f b c e
即 D DT
由此知：行 列式中行与 列地位相同， 对行成立的 性质对列也 成立，反之 亦然。
17
性质2
用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素， 等于用数 k 乘此行列式。
例如
a11 a12 a1n
a11
a12 a1n
k as1 as2 asn kas1 kas2 kasn
an1 an2 ann
规定：1阶行列式就是这个数本身，即 a11 a11 .
6
三、余子式与代数余子式
例如：
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a21a32a13 a31a23a12 a13a22a31 a23a32a11 a33a21a12 ,
a11 a22a33 a23a32 a12 a21a33 a23a31 a13 a21a32 a22a31
a31 a32 a33
记忆方法：对角线法则
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a21a32a13 a31a23a12
a13a22a31 a23a32a11 a33a21a12.
4
3阶行列式的几何意义
定理：设有向量
(a11 a12 a13 )、 (a21 a22 a23 )、 (a31 a32 a33 ), 则向量 、 、 张成的平行六面体的体积
an2
a1n
a11
a12 a1n
asn
kat1 kat 2 katn
D0D
atn
at 1
at 2 atn
ann
an1
an2 ann
26
例 证明：
1100
1k 10
D
0
00k 2
002k
的充要条件是 k 1 或 k 2
证 因为
1100 1 1 00
k 1 1 0
_1___k____1___0_ D
第一章 行列式
1
1.1 行列式的定义
一、2阶行列式
定义： 记
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21,
称 a11 a12 为2阶行列式. a21 a22
(其中a11, a12, a21, a22的下标代表了元素所在的位置.)
2阶行列式的计算 对角线法则
主对角线
a11
a12
a11a22 a12a21.
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
7
一般地，在一个行列式中， 把元素 aij 所在的第i行和第 j 列划去后， 剩下的低一阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 aij 的代数余子式．
b1 a2
b2
c1 c2 d1 d2 c1 c2 d1 d2
a1 b1 a1 b1 a2 b2 a2 b2 c1 d1 c2 d2 c1 d1 c2 d2
本题也可按列拆开，可得同样结果。
25
性质6：
行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加
到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
副对角式的几何意义
定理：设有向量 a11 a12 、 a21 a22
则向量 、 张成的平行四边形的面积等于 a11
a21
a12 的绝对值． a22
例：求向量 5 2 ， 2 1 张成的平行四边形的面积．
解： -5
2
= -51- 2 (- 2) = -3
2 1
例 计算行列式 D 0 1 0
7 72
解 按第一行展开，得
1 0 0 0 0 1
D 3
5 3
27.
7 2 72 7 7
10
定理1
a11 a12 行列式D a21 a22
a1n a2n ，
an1 an2
ann
可按任意一行展开:D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain， i 1, 2, , n
也可按任意一列展开: D a1j A1j a2 j A2 j anj Anj j 1, 2, , n．
a11 ... a1 j ... a1n ... ... ... ... ...
ai1
aij ... ain
... ... ... ... ...
an1 ... anj ... ann
a11 ... a1 j ... a1n ... ... ... ... ...
a4
*
an
an
a1a2 an1 an a1a2 an1an
13
把行列式反复按第一行展开可得：
下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
a11 0 ...
a21 a22 ...
0
0 a11a22...ann
an1 an2 ... ann
14
a11 0 ...
从而对角行列式
0
a22 ...