统筹学

Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法
单纯形法
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用

线性规划问题的数学模型
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题：
经济学核心课程
运筹学
( Operations Research )
任课教师：邱虹教授 课件下载：
联系方式：sky158@

绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求
（5）本课程授课方式与考核
（6）运筹学在工商管理中的应用

运筹学简述
运筹学（Operations Research）
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系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹 学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话：
运筹学在工商管理中的应用
运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面：
1. 2. 3. 4.
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生产计划
运输问题
人事管理 库存管理
5.
6.
市场营销
财务和会计
另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择 与评价，工程优化设计等。

运筹学在工商管理中的应用
约束条件：






a m 1 x1 a m 2 x 2 a m n x n ( ) bm x1 0 x n 0
简写为： max(min) Z
c x
j 1 j
n
j
a
j 1
n
ij
x j ( ) bi
(i 1 2 m ) (j 1 2 n)
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线性规划问题的数学模型
4. 线性规划问题的解 线性规划问题
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max Z c j x j (1)
a1 j Pj a mj
b1 B bm

线性规划问题的数学模型
矩阵形式：
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max(min) Z CX AX ( ) B X 0
变量的变换
若存在取值无约束的变量 x j ，可令 x j xj xj 其中：xj , xj 0

线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
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a x
ij
j
bi
a
ij
x j x n i bi
参考教材



《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社
《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社

本课程的特点和要求
先修课：高等数学，基础概率、线性代数 特点：系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用 运筹学的研究的主要步骤：
真实系统
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数据准备
系统分析 问题描述
模型建立 与修改
模型求解 与检验
结果分析与 实施

本课程授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业
学科总成绩
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平时成绩 （40％）
期末成绩 （60％）
课堂考勤 （50％）
平时作业 （50％）

每年节约成本1亿美元

“管理运筹学”软件介绍
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“管理运筹学”2.0版包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-1整数 规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径、 最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、 决策分析、预测问题和层次分析法，共15个子模块。
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（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）

线性规划问题的数学模型
线性规划问题的数学模型
3. 线性规划问题的标准形式
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max Z c j x j
j 1
n
n a ij x j bi s.t j 1 i 1,2, , m x j 0, j 1,2, , n
特点： (1) 目标函数求最大值（有时求最小值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
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每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万 每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元 每年节约成本1500万美元， 年收入大幅增加。
Taco Bell
Delta航空公司
优化员工安排，以最低成本服务客户
优化配臵上千个国内航线航班来实现利润 最大化
每年节约成本1300万美元

线性规划问题的数学模型
（2）如何化标准形式 目标函数的转换
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如果是求极小值即 minz c j x j ，则可将目标函数乘以(-1)， 可化为求极大值问题。 即
也就是：令 z z ，可得到上式。
maxz z c j x j
设 备 产 品 甲 乙 有效台时 A 2 2 12 B 1 2 8 C 4 0 16 D 0 4 12 利润（元） 2 3
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线性规划问题的数学模型
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解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为： max Z = 2x1 + 3x2 2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 s.t. 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？ x
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v a 2 x x
2
a
dv 0 dx
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
ห้องสมุดไป่ตู้

线性规划问题的数学模型
例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分 别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台 时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使 企业总的利润最大？

线性规划问题的数学模型
3. 线性规划数学模型的一般形式
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目标函数： max (min) z c1 x1 c 2 x 2 c n x n
a1 1 x1 a1 2 x 2 a1 n x n ( ) b1

线性规划问题的数学模型
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 目标函数 Decision variables Objective function
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约束条件
Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
Interface上发表的部分获奖项目
组织 联合航空公司 Citgo石油公司 AT&T 标准品牌公司 法国国家铁路公司 应用 在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排 优化炼油程序及产品供应、配送和营销 优化商业用户的电话销售中心选址 控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量 效果
“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”
故有人称之为最优化技术。

运筹学简述
运筹学的历史 “运作研究(Operational Research)小组”:解决复 杂的战略和战术问题。例如： 1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭 2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜 艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深 度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
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运筹学的主要内容
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论
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对策论
排序与统筹方法 决策分析

本课程的教材及参考书
选用教材

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《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社
min Z 2 x 1 x 2 3 x 3 5 x1 x 2 x 3 7 x1 x 2 4 x 3 2 3 x 1 x 2 2 x 3 5 x 1 , x 2 0, x 3 无 约 束
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解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以
其中： C (c1 c 2 c n )
a11 a1 n A a m 1 a mn
x1 X xn
b1 B bm

0 x3 ，且 x , x x 用 x 3 3 3 3 替换

线性规划问题的数学模型
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(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式； (3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
称为松弛变量
x n i 0
a
ij
x j bi
a
ij
x j x n i bi
称为剩余变量
x n i 0
变量x j 0的变换 可令 xj x j ，显然 x j 0

线性规划问题的数学模型
例1.3 将下列线性规划问题化为标准形式
xj 0

线性规划问题的数学模型
向量形式： m ax (min) z CX
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p j x j ( ) B X 0
其中： C (c1 c 2 c n )
x1 X xn
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;

线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
max Z 2 x1 x 2 3( x 3 x 3 ) 0 x4 0 x5 7 5 x1 x 2 ( x 3 x3 ) x4 ) x x5 2 x1 x 2 ( x 3 3 ) x 5 3 3 5 x1 x 2 2( x 3 , x 3 , x4 , x5 0 x1 , x 2 , x