线性代数行列式完整
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1.排列及其逆序数 (1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
称为一个n级排列（. 总数为 n!个） 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
123 132 213 231 312 321
注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相 反)——构成逆序.
(42)
(43)
34211423 1243 1234
N 5 N 2 N 1 N 0
定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。
证明：
19
对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成
…kj… (2)
此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未
发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：
为标准次序。设i1i2 in为一个n级排列。
考虑元素 i j (i 1,2 n),
如果比
i
大，且排在
j
i
前面的元素有
j
t
j
个，那么ji的逆序是
ห้องสมุดไป่ตู้
t
j
个，全
体
元
素
逆序之和就是 i1i2 in的逆序数，即
n
N (i1i2 in ) tn tn1 t1 t j j 1
例2 N(n(n-1)…321) =0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
a10
1 a 0 0 a 1 或 a 1
411
练习： 计算下列行列式
x1 1 x2 x2 x 1
1 0 1 35 0
04 1
解 x 1 1 ( x 1) ( x2 x 1) 1 x2 x2 x2 x 1 x3 1 x2
1 0 1
3 5 0 1511 34 7
04 1
§1.2 n阶行列式
32
例２
2
3
设 D
,
31
(1)当 为何值时， D 0,
(2)当 为何值时 D 0.
解 2 3 0 0，或 3
2
D
2
31
例3 求二阶行列式
a 1 b2
(2)三阶行列式
记号
a11 a12 a13 a21 a22 a23 称为三阶行列式. a31 a32 a33
它表示数
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a, b 满足什么条件时有
解 a b0
b a 0 a2 b2
由题可得，即使
1 01
a2 b2 0, a, b R, a b 0.
即 a b 0 时，给定的行列式为零．
例7 a 1 0 1 a 0 0 的充分必要条件是什么？ 411
解a10
1 a 0 a21
411
a2 1 0 a 1 或 a 1
a11a22 a12a21
数a（ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横排称为行，竖 排 称 为 列,
aij中i称 为 行 标, j称 为 列 标, aij 表示第i行第j列元素,
左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线，
例１ 5 1
5 2 (1) 3 13
若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)
10
例5
1 23
4 0 5 1 0 6 2 5 (1) 3 4 0
1 0 6 3 0 (1) 246 150
10 48 58
1 0 1
0 2 1 1 2 3 01 (1) 1 0 0
1 0 3 1 2 (1) 00 3 1 01 628
例6 a, b R,
a b0 b a 00 1 01
后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in). 例1 N (2413)=3 N(312) =2 奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.
17
逆序数的计算方法
不 妨 设 元 素 为1至n的 自 然 数 ，并 规 定 从 小 到 大
即
7
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
a11 a12 a13
主对角线法
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、
特征多项式的重要工具.本章介绍了n
阶行列式的定义、性质及计算方法， 最后给出了它的一个简单应用——克
莱姆法则.
第1章 行列式
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式的一个简单应用 数学实验
15
(2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前
后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in). 例1 N (2413)=3 N(312) =2
16
(2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
9
例4 计算三阶行列式
1 2 4 D 2 2 1
3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2(2) 21(3) (4)(2) 4 (4) 2(3) 2(2)(2) 11 4
4 6 32 24 8 4 14
N(135…(2n-1)(2n)(2n-2) …42) =2+4…+(2n-2)=n(n-1)
对换：对换在一个排列i1…is…it …in中，若其中某 两排数 列iis1和…iitt互…换is …位i置n,这, 其种余变各换数称位为置一不个变对得换到, 记另为一 ( is it).
例3
( 31)
2
返 回
第1.1节 n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
3
记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
称为一个n级排列（. 总数为 n!个） 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
123 132 213 231 312 321
注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相 反)——构成逆序.
(42)
(43)
34211423 1243 1234
N 5 N 2 N 1 N 0
定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。
证明：
19
对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成
…kj… (2)
此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未
发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：
为标准次序。设i1i2 in为一个n级排列。
考虑元素 i j (i 1,2 n),
如果比
i
大，且排在
j
i
前面的元素有
j
t
j
个，那么ji的逆序是
ห้องสมุดไป่ตู้
t
j
个，全
体
元
素
逆序之和就是 i1i2 in的逆序数，即
n
N (i1i2 in ) tn tn1 t1 t j j 1
例2 N(n(n-1)…321) =0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
a10
1 a 0 0 a 1 或 a 1
411
练习： 计算下列行列式
x1 1 x2 x2 x 1
1 0 1 35 0
04 1
解 x 1 1 ( x 1) ( x2 x 1) 1 x2 x2 x2 x 1 x3 1 x2
1 0 1
3 5 0 1511 34 7
04 1
§1.2 n阶行列式
32
例２
2
3
设 D
,
31
(1)当 为何值时， D 0,
(2)当 为何值时 D 0.
解 2 3 0 0，或 3
2
D
2
31
例3 求二阶行列式
a 1 b2
(2)三阶行列式
记号
a11 a12 a13 a21 a22 a23 称为三阶行列式. a31 a32 a33
它表示数
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a, b 满足什么条件时有
解 a b0
b a 0 a2 b2
由题可得，即使
1 01
a2 b2 0, a, b R, a b 0.
即 a b 0 时，给定的行列式为零．
例7 a 1 0 1 a 0 0 的充分必要条件是什么？ 411
解a10
1 a 0 a21
411
a2 1 0 a 1 或 a 1
a11a22 a12a21
数a（ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横排称为行，竖 排 称 为 列,
aij中i称 为 行 标, j称 为 列 标, aij 表示第i行第j列元素,
左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线，
例１ 5 1
5 2 (1) 3 13
若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)
10
例5
1 23
4 0 5 1 0 6 2 5 (1) 3 4 0
1 0 6 3 0 (1) 246 150
10 48 58
1 0 1
0 2 1 1 2 3 01 (1) 1 0 0
1 0 3 1 2 (1) 00 3 1 01 628
例6 a, b R,
a b0 b a 00 1 01
后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in). 例1 N (2413)=3 N(312) =2 奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.
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逆序数的计算方法
不 妨 设 元 素 为1至n的 自 然 数 ，并 规 定 从 小 到 大
即
7
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
a11 a12 a13
主对角线法
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、
特征多项式的重要工具.本章介绍了n
阶行列式的定义、性质及计算方法， 最后给出了它的一个简单应用——克
莱姆法则.
第1章 行列式
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式的一个简单应用 数学实验
15
(2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前
后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in). 例1 N (2413)=3 N(312) =2
16
(2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
9
例4 计算三阶行列式
1 2 4 D 2 2 1
3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2(2) 21(3) (4)(2) 4 (4) 2(3) 2(2)(2) 11 4
4 6 32 24 8 4 14
N(135…(2n-1)(2n)(2n-2) …42) =2+4…+(2n-2)=n(n-1)
对换：对换在一个排列i1…is…it …in中，若其中某 两排数 列iis1和…iitt互…换is …位i置n,这, 其种余变各换数称位为置一不个变对得换到, 记另为一 ( is it).
例3
( 31)
2
返 回
第1.1节 n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
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记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22