16第七章机械结构可靠性设计02

11
根据题意拉力 P的均值和标准差为
即
P ~ N ( P , P ) N (29400,441) N P 29400N , p 441N
P P P XL 拉杆截面积 A r 2
d =？
图7-7 圆棒拉杆受力分析图
制造的半径r r 0.015r , 并服从正态分布。 其离散范围取 Δ 3 r , 见图7 - 8所示。
2 2

2 A 2 P
441
2 2
2
168.71/ r 2
已知：P ~ N (29400 ， 441 )N
(3) 由 可靠性R 求可靠性系数 Z 根据 R = 0.999 → 表 7-2 → Z =
13 Z=3.091
（4）利用式（ 7 -11 ）求 r L 因为 Z S 将上述有关数据代分别入 2 2 S L
第三节 机械结构可靠性设计
一、随机变量的基本数学运算规则 机械结构可靠性设计又称为概率设计。在设计中需要运算 的参数均为随机变量，所以必须掌握常用随机变量数学运算 规则。
2 2 设随机变量 X ~ N (x, x ) , Y ~ N ( y , y )
2
则
பைடு நூலகம்
x 其中 Z y Z
(a) 工字梁
因为该粱为等截面梁，由图7-9（b）
弯矩图可知，Ι-Ι截面为发生破坏的危险 截面，因为它受弯矩最大。在该危险截 面的最外纤维处为该面的危险点，因为 其所受弯曲应力最大。先求参数H。
图 7-9
(b)
设截面中性轴X-X的惯性矩为I，设e为中性轴到该截面 最外纤维的距离，即e = H/2。从手册中查出I 可有
圆棒拉杆直径为（见图 ） d 6.39 0.096 6.4 0.1 （mm）。
（摘 录） W
图7-7 圆棒拉杆受力分析图
(7) 可靠性设计与传统的设计比较： 传统的设计方法，一般以强度极限为基准的，安全系
15
数 C = 2~3.5。若 C = 3。
C
S S L P / r 2
S 1054.48N/mm
2
b
2 S 41.36N/mm
b
已知：P ~ N (29400 ， 441 )N
1054.4 N / mm2
b
41.3N / mm2
b
图7-7 圆棒拉杆受力分析图
r r 0.15r ，Rq 0.999
（2）求圆棒拉杆的应力 X L的均值L和标准差 L。
1
第七章
机械结构的可靠性设计（2）
第三节 机械结构可靠性设计------------------------------（2） 一、随机变量的基本数学运算规则---------（2） 二、机械零件的可靠性设计计算------------（9） 第四节 疲劳强度可靠性-----------------------------------（33） 一、 概 述--------------------------------------（33） 二、材料疲劳强度的概率分布曲线--------（35） 三、疲劳强度与工作应力相结合的 可靠性分析方法---------------------------（47） 习 题 七 答 案---------------------------------------（52）
3
(2)


(3)
其余公式见表7-3。表中的公式已被概率论所推导， 当然工程还要用到更多公式，可直接查有失手册，本处 不多举。
4
W
注：表中计算式一般适用于X、Y 变差系数<0.1。
例7-2 作用在某零件上呈正态分布的两个力，它们作用 的方向相同且在同一直线上。其参数：
,2452 )(N) X1 ~ N (1, 12 ) N (4900 ,2942 )(N) X 2 ~ N (2 , 2 ) N (2940
求在杆件一端与M平衡的作用力P 均值和标准差。 解：∵ M = P L ∴ P = M／ L 。 由表7-3可得P的均值和标标准差分别为： P M 117600 / 100 1176 ( N) L
P
1
6
故作用力 P ~ N (P , P ) N (1176 , 97.6)(N)
3.091
S L
2 S 2 L

1054.48 - 9358.31 / r2 41.36 168.71/ r
2

2

2
整理后得
1095584 r 4 19736301 r 2 87306022 0
解得 r 3.195 (mm)
表7-2 （摘 录）
（5） 求拉杆直径d的均值及其上、下偏差
由表7-3得合力的均值和标准差分别为
故合力 F ~ N (F , F ) N (7480 ,382.7)(N)
（摘 录）
W
例 7-3 有一力矩M作用在臂长为L的杆件上，L与M均为 正态分布。已知其参数为： M ~ N (M , M ) N (117600 ,9604 ) N - cm L ~ N (L , L ) N (100, 1.5)cm。
3 r 0.015 r r 0.005r
已知：P ~ N (29400 ， 441 ) N， b 1054.4 N / mm
b
2
图7-8 离散范围与标准差
41.3N / mm2， r r 0.15r ， Rq 0.999
故制造的半径 r的均值和标准差分别为 r r， r 0.005r。 根据表7-3得截面积A的均值和标准差分别为
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根据表7-3得D=2r 的均值和标准差分别为
d 2r 2r 2 3.195 6.39(mm),
d 2 r 2 0.005r 2 0.005 3.195 0.032 （mm）。
（6） 结论
d =Φ 6.4±0.1
直径d的上、下偏差为 3 d 3 0.032 0.096 （mm）。
(a)
(b)
图 7-9 简支工字梁受力图
解： (1) 求工字梁强度的均值和标准差[见图7-9（a）]
18
由题意得 S 117119 .8N/cm2 , S 3283 N/cm2
(2) 求工字梁应力的均值和标准差 查机械零件手册得工字梁参数比为
bf tf
bf H 8.88; 15.7; 0.92 tW H
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A 2 r 2 , A 2r r 2 r r。
r
应力X L P / A的均值和标准差分别为
L P / A
L
1
2 A 2 P
29400
r2
2 A
9358 .31/ r 2
1 ( r 2 ) 2 29400 (2 r r ) r
将巳知的 数代入上式得：
r
PC
s

29400 3 5.16(mm) 3.141054.48
直径
d 10.32(mm)
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讨论：可见用传统的设计求得的直径 d=10.32(mm)，要比用可靠性设计求得的直 径d = 6.4(mm)大的多。如果我们没有进行可 靠性设计只进行了传统设计，那么我们无论 如何不敢取 d=6.4mm，进行了可靠性设计我 们就敢取 d=6.4mm，因为取其，可靠度 R 可 达 99.9% ，破坏的概率只有 0.1% ，是完全可 用的，因而保证了结构不会过重。
1
2 y
X 2 Z ~ N Z , Z Y
(1) 2 2 2 2 x y y x


则
Z X 2 ~ N z , z2 2 其中 z x z 2 x x
则 Z 2 X ~ N z , z2 其中 z x z 2 x
i 1
Y f ( X1, X 2 ,...X n )
1 n n 2Y 2! i 1 j 1 X i X j
则其泰勒级数展开式为：
n
Y Xi
( X 1 i )
X i
( X i i )( X j j )
X
设X 1, X 2 , , X n为相互独立的随机变量 ，则Y的均值 和标准差分别为
（摘 录）
2 L
2 2 2 2 L M M L
1 2 2 2 2 100 9604 117600 1 . 5 97.6( N) 1002
例 7-4 有一受拉杆件，载荷为F、截面积为A。其参数为：
7
载荷：F ~ N (F , F ) N (9.8 104 ,9.8 103 )(N), 截面积: A ~ N ( A , A ) N (5.0,0.4)(cm2 )。
求 该拉杆应力L的均值和标准差。 解： ∵ 应力 L = F/A（F、A为正态分布） ， 由表7-3可得L的均值和标标准差分别为： F 9.8 104 L 1.96104 ( N/cm2 ) A 5
L
1
2 A 2 2 2 2 A F F A
L也为正态分布，即 L ~ N (L , L )。
Y f (1, 2 ,...,n )
Y Y [ i 1 X i
n 2 ] i X i i
（7 -14 ）
(7 - 15)
返回1
式中 1 , 2 ,...,n 为X 1 , X 2 ,..., X n的均值。
i 为第i个随机变量X i的标准差。
二、机械零件的可靠性设计计算 这里通过典型零件的可靠性设计来说明可靠性设计的 一般方法。 例 7-5 有一圆棒拉杆的受力情况如图7-7所示，已知作用 于杆上的拉力为：载荷 P~N（29400, 441）N，拉杆的材料为 低合金钢 , 回火温度为 538℃，，（查材料手册得：其强度极 2 b 1054.48N/ mm2 限 均值 标准差 b 41.36N/mm 并服从正态分布)，制造的半径 r r 0.15r 也服从正态分布， 要求加工后圆棒拉杆的可靠度R=0.999，求该圆棒拉杆的直径 等于多小？
1 2 3 2 4 2 2 2 5 ( 9 . 8 10 ) ( 9 . 8 10 ) 0 . 4 2510 . 02 ( N/cm ) 2 5
（摘 录）
有时也可用泰勒级数展开方法求随机变量均值和标准差
8
的近似值。设随机变量的函数为
Y f ( X 1 , X 2 ,..., X n ) f ( 1 , 2 ..., n )
d =？
9
图7-7 圆棒拉杆受力分析图
例7-5 解： 解题思路：使用应力—强度干涉理论的公式解之，关 键确定应力的数学期望和标准离差，及强度的数学期望和 标准离差。只要其中只含一个反映半径数学特征量，即可 用式(7-10)解之。
10
（ 1 ）求圆棒拉杆的强度 X S的均值S和标准差 S。
据题意可以得出：
返回1
例7-6 有一个承受集中载荷的简支工字梁，如图7-9所 示。已知以下各参数都服从正态分布：
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要求该梁的可靠度R=0.999,求该梁的截面尺寸(设尺寸 H C H的变差系数 VH 0.01 )。
H
N / cm2 , 材料强度 X S ~ N S , S N 117119.8 ,3283 集中载荷P ~ N (P , P ) N (26989 .2,891.8) N， 梁的长度L (304.8 0.32)cm， 集中力P与梁C端的距离A ~ N ( A , A ) N (183 ,0.106)cm。
2
5
求X1、X 2合力F ( X1 X 2 )的均值和标准差。
解：∵ X 1, X2 为正态分布， ∴ F = X1+ X2也为正态分布。
合力均值： F 1 2 4900 2940 7840 ( N)
2 合力标准差： F 12 2 2942 2452 382.7( N)