平面上两点间的距离

证明分两步完成：
第一步 证明点M在直线P1P2上 第二步 证明P1M＝ MP2． 练习：一直线被两坐标轴所截线段中点坐标为(－2，1)，则该直线的方程为
x－2y＋4＝0 _______________．
数学应用
例2．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)， C(4，7)，求BC 边上的中线AM的长和AM所在直线的方程． y C N
平面上两点间的距离
问题情境
已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，四边形ABCD是否 为平行四边形？ y 一组对边平行且相等 D 两组对边分别平行． A 通过对边相等来判别．
通过对角线互相平分来判别．
O
C B
x
数学建构
坐标轴上两点间的距离． x轴上两点P1(x1，0)， P2(x2，0)的距离． | P1P2|＝|x2－x1|．
分析 设直线l与直线2x-y-2=0交于点A(x1,y1),则A关于点P的对称点
B坐标为(6-x1,-y1),则B在直线x+y+3=0上，
2 x1 y1 2 0 (6 x1 ) y1 3 0
11 x1 , 3 解得 y 16 . 1 3
( x1－x2 ) 2＋( y1－y2 ) 2
B
O A C
x
数学应用
例1．(1)求(－1，3)，(2，5)两点间的距离； (2)若(0，10)，(a，－5)两点间的距离是30，求实数a的值．
练习 已知(a，0)到(5，12)的距离为13，则a＝________．
数学应用
例2．已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，证明：四边形 ABCD为平行四边形？ y D A M
A
M O 变式： 求BC边上的中垂线所在的直线方程 思考： 如何求△ABC的重心坐标呢？
B
x
数学应用
已知平行四边形ABCD的三个顶点分别是A(1，2)，B(－1，3)， C(－3，－1)，求第四个顶点D 的坐标． y B A
O C D
x
练习 过点P(3，0)作直线l，使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的 线段AB恰好被P点平分，求直线l的方程。
O
C 通过对角线互相平分如何判别？ B
x
数学建构
中点坐标公式． 一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)， x1＋x 2 x0＝ 2 则： y ＋y 2 y0＝ 1 2 P1(x1，y1) O P2(x2，y2)
y
P0(x0，y0) x
则B (
11 16 , ) ,由两点式得直线l的方程为8x-y-24=0. 3 3
数学应用
例4．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的坐标
1 系，证明：AM＝ BC． 2
（即坐标法） 分析 用解析法解决平面解析几何问题 第一步 建立直角坐标系，用坐标表示有关的量 第二步 根据距离公式进行有关代数运算 第三步 把代数结果翻译成几何关系
y
Q1
N1
y轴上两点Q1(0，y1)， Q2(0，y2)的距离．
| Q1Q2|＝|y2－y1|． 推广：
M1 P1 O
M2
P2
x
M1(x1，a)，M2(x2，a)的距离| M1M2|＝|x2－x1|． N1(b，y1)， N2(b，y2)的距离| N1N2|＝|y2－y1|．
Q2
百度文库N2
数学建构
平面内任意两点间的距离． 平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ y
解析法 就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点，用方程代替曲线，
用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法。
建立坐标系时，适当的建立坐标系能使运算更加简便，遵循“避繁就简” 的原则，一般建系的方法：
（1）若条件中只出现一个定点，常以定点为坐标原点，建立直角坐标系； （2）若已知两个定点，常以两点的中点（或一个定点）为原点，两定点 所在直线建系。 （3）若已知两直线互相垂直，则以它们为坐标轴建系；
小结
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面上任意两点． 1．平面内两点间距离公式． AB＝
( x1－x2 ) 2＋( y1－y2 ) 2
2．中点坐标公式． 设线段AB的中点是P(x0，y0)， x0＝ 则： y0＝
x1＋x 2 2 y1＋y 2 2