第4章拉丁方试验设计与分析

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需安排“单因素三水平”试验
ABC (a)
ACA CBB BAC
(b)
ABC BCA CAB
(c)
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 在同样精度下可减少试验次数；在同样试 验次数下可提高结论的准确性
例2：生产某种染料需三种原料：A-硫磺，B烧碱，C-二硝基，每种原料均取四个水平， 要找一个最好的配方，使质量又好，成本 又低，应怎样安排试验？ 全面试验：43=64次 先考虑A，B两因素的全面试验，共16次
六、几点说明
• 由前知，4X4正交拉丁方只有3个，对具4水 平的因素，用正交拉丁格安排试验最多只 能安排2+3=5个因素。
• 用正交拉丁格安排试验的前提：各因素间 无交互作用。
• 优点：使用简单，搭配均衡。
思考
• 三水平能安排几个因素的试验？ • A，B两因素的全面试验能用4X4的两个正
交方格组成吗？
五、拉丁方格在安排试验中的应用
再安排C：在4X4中取一个正交拉丁方格，如取第I个。 拉丁方格中的1234分别表示因素C的4个水平C1，C2， C3，C4，按相应位置插到全面试验的相应位置如下表
B1
B2
B3
B4
A1 A1B1C1 A1B2C2 A1B3C3 A1B4C4
A2 A2B1C2 A2B2C1 A2B3C4 A2B4C3
3X3，4X4正交拉丁方格系
3X3
4X4
I
II
123 123
231 312
312 231
I 1234 2143 3412 4321
II 1234 3412 4321 2143
III 1234 4321 2143 3412
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 消除与试验目的无关因素的影响 • 例1：考察ABC三种不同水稻品种对亩产量的影响，
A3 A3B1C3 A3B2C4 A3B3C1 A3B4C2
A4 A4B1C4 A4B2C3 A4B3C2 A4B4C1
问：A1B1C4没出现，那这个试验安排会最优吗？
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 例3：生产某种染料用四种原料：A-硫磺，B-烧碱，C二硝基，D-硫化碱，每种原料均取四个水平，要找最好 配方，试验又该怎样安排？
拉丁方试验设计
一、拉丁方格 二、标准拉丁方格 三、n阶拉丁方格的个数 四、正交拉丁方格 五、拉丁方格在安排试验中的应用 六、几点说明 七、拉丁方试验的直观分析 八、拉丁方试验的方差分析
一、拉丁方格
1.定义：用 r 个拉丁字母排成 r 行 r 列的方阵， 使每行每列中每个字母都只能出现一次， 这样的方阵叫r阶拉丁方或r×r拉丁方。
B (分)
C (公斤)
水平
成型水分 碾压时间 一次碾压料重
1
8
7
340
2
10
10
370
3
12
13
400
用拉丁方安排试验
B1 A1 A1B1C1 A2 A2B1C2 A3 A3B1C3
B2 A1B2C2 A2B2C3 A3B2C1
B3 A1B3C3 A2B3C1 A3B3C2
B1 B2 B3 KAi A1 16.8 18.9 16.5 52.2
答案
• 4个 1。A和B的全面试验 2。C与D的3X3正交方格的组合 3。1和2的组合
• 可以。只要各因素的4个水平与另一个因素 的4个水平各相遇一次，搭配均匀即可。
七、拉丁方试验的直观分析
例：烟灰砖折断力试验 试验目的：寻找最佳工艺条件,折断力是指标 因素水平：生产经验知应选如下：
因素 A (％)
三、3阶拉丁方格的个数:12
1 2 3 231
1 A B C 1 BCA
2 B C A 2 CAB …
3 C A B 3 ABC
(i)
(2)
…
(6)
1 2 3 231
1 A B C 1 BCA
3 C A B 3 ABC
2 B C A 2 CAB
(7)
(8)
…
(12)
四、正交拉丁方格
• 组合方格（I）和（7）：先编号再组合
A1B1C1 A7B7C7
A1A7 B1B7 C1C7
B1C1A1 C7A7 B7 B1C7 C1 A7 A1B7
C1A1B1 B7C7A7
C1B7 A1C7 B1 A7
• 合成方格具有以下性质
1. A1，B1，C1在各行各列中各出现一次 2. A7，B7，C7在各行各列中各出现一次 3. A1，B1，C1和A7，B7，C7各组合一次（如对A7 ：
5.实际上这是一个极差分析法。
八、拉丁方试验的方差分析
在研究对虾的配合饲料试验时，需要比较5种配 方的效果，现有5台饲料机和5个操作人员，这些机器 的性能和操作人员的技术有所差异，在试验中必须消 除由这两个外来变源造成的影响。对于这个问题可以 按下面的方法进行试验。用每台机器做所有的5种配 方，5个操作人员每人也做所有的5种配方，用这个设 计进行试验，得到的结果（增重）如表。表中拉丁字 母A、B、C、D、E表示5种配方。拉丁方设计可以在 不增加试验次数的条件下，同时克服两个外来的变源 的影响，但它要求试验总次数为该因素所设水平数的 平方，且要求该因素与这两个方向上的划区作为因素 来看，彼此间没有交互作用。
对虾饲料配方问题的拉丁方试验结果
机
操 作 者 （k列）
器1
2
3
4
5
Ti..
T.j.
1 A=12 B=10 C=11 D=12 E=12 57 68
2 B=10 C=12 D=15 E=13 A=17 67 52
3 C=11 D=15 E=13 A=13 B=11 63 60
4 D=13 E=14 A=13 B=11 C=11 62 70
二、操作： 1.选中一个标准拉丁方格，编上行号或列号 2.固定行号，列号用不同排列得到。有n!种 3.固定第二步得到的n!个方格的列号及第一 行行号其它行用不同排列生成(n-1)!方格
三、n阶拉丁方格的个数
4.计算总数S S=k·n! ·(n-1)!
K为标准拉丁方格个数
三、实例： n=2时，k=1, s=1 ·2! ·1!=2 n=3时，k=1, s=1 ·3! ·2!=12 n=4时，k=4, s=4 ·4! ·3!=576
3 ×3 标准拉丁方只有一个 A B C BCA I CAB
4×4标准拉丁方有4个
ABCD BADC CDBA DCAB
ABCD BADC CDAB DCBA
ABCD BCDA CDAB DABC
ABCD BDAC CABFra bibliotek DCBA（I） （II） （III） （IV）
三、n阶拉丁方格的个数
一、方法：每个拉丁方格可用标准拉丁方格 对行号或列号随机化排列方法得到其它符 合要求的拉丁方格
kAi
KCk
kCk
17.4 58.9 19.6
A2 18.8 23.4 20.2 62.4 20.8 61.8 20.6
A3 26.2 21.9 24.1 72.2 24.0 66.1 22.0
KBj 61.8 64.2 60.8
RA=6.6
RC=2.4
kBj 20.6 21.4 20.3 RB=1.1 RA > RC> RB
A1A7 ，B1 A7和C1 A7 各出现一次）
四、正交拉丁方格
• 定义:凡满足3的两个拉丁方格是相互正交的 • 定理：在nxn方格中，当n(>2)为素数或素
数的幂时就有n-1个正交拉丁方格 • 特例：n=2时，无 n=3时，有n-1=2个 N=4时，有n-1=3个：22 N=5时，有n-1=4个 N=6时，没有：不为素数或素数的幂 N=7时，有n-1=6个 N=8时，有n-1=7个：23
• CD用II，III正交拉丁方格
B1
B2
B3
B4
A1 A1B1C1D1 A1B2C2D2 A1B3C3D3 A1B4C4D4
A2 A2B1C3D4 A2B2C4D3 A2B3C1D2 A2B4C2D1
A3 A3B1C4D2 A3B2C3D1 A3B3C2D4 A3B4C1D3
A4 A4B1C2D3 A4B2C1D4 A4B3C4D1 A4B4C3D2
2.N阶拉丁方格
• 2阶或2 ×2 拉丁方
AB
ba
BC
ab
（I）
（2）
ABC BCA CAB
3 阶或3 ×3 拉丁方
ABCD BCDA CDAB DABC
4 ×4拉丁方
二、标准拉丁方格
1。定义：方格的第一行和第一列按拉丁字母 顺序排列。
2. N阶标准拉丁方格的个数 2 ×2 标准拉丁方只有一个 A B BA I
和误差四部分，行和列分别代表了两个外来变 源。
自由度S是ST SS行 SS列 SS处理 SSe
其中
fT f行 f列 f处理 fe
fT p2 1 fe ( p 2)( p 1) f列 p 1
在H0:b1=…=bp下 F=S处2/Se2
服从自由度为((p-1),(p-2)(p-1))的分布。 以下是 饲料配方试验的方差分析
5 E=11 A=13 B=10 C=15 D=15 64 63
T..k 57 64 62 64 66 T=313 T..k2 3249 4096 3844 4096 4356 19641
解：1.拉丁方设计的统计模型是
Xijk=u+ai+bj+ck+eijk i,j,k=1,2,…,p,
u处是理试X的ij验k效是的应第总，i行均c、k值是第，第ka列ki是列、第效第i应行j个，效处e应i理jk，~的Nb(观j0是,察d第2值)j.个， 2.方差分析是把总离差平方和分成行、列、处理
七、拉丁方试验的直观分析
1.由RB<RC<RA由知对折断力影响从主到次的 因素排序为A，C，B
2.由kA3> kA2>kA1由知A的水平3好；同理…. 最佳工艺条件为A3B2C3 3.当最佳点在试验范围的边界时，要扩大试
验范围。 如A3，C3工还可取水分14，碾压 重取340kg. 4. A3B2C3在试验中没有安排，但拉丁方却具 备找出的此类结果的能力。