空间向量及其加减运算,空间向量的数乘运算

空间向量及其加减运算，空间向量的数乘运算

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 是AC 与BD 的交点，若AB a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B

M 相等的向量是 （ ）

A ．1122a b c -

++ B ．11

22

a b c ++ C ．

1122a b c -+ D ．11

22

a b c --+ 2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，若11BD xAD yAB zAA =++，则x y z ++的值为（ ）

A ．3

B ．1

C ．1-

D ．3-

3．在直三棱柱11ABC A B C -中，若CA a =，CB b =，1CC c =，则1A B =（ ） A ．a b c +- B ．a b c -+ C ．a b c -++ D ．a b c -+-

4．已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为正六边形ABCDEF 的中心，则

PA PB PC PD PE PF +++++等于（ ）

A.PO B ．3PO C ．6PO D ．0

5．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA a =，

PB b =，PC c =，则BE =（ ）

A.

111222a b c -+ B.111222a b c -- C.

131222a b c -+ D.113222

a b c -+ 6．已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC 表示向量OG 是（ ）

A ．111633OG OA O

B O

C =

++ B ．112

633

OG OA OB OC =++ C ．2233OG OA OB OC =+

+ D ．122

233

OG OA OB OC =++ 7．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311

488

OP OA OB OC =

++，

则P ，A ，B ，C 四点（ ）

A ．不共面

B ．共面

C ．共线

D ．不共线

8．设12342,32,23,325a m j k a m j k a m j k a m j k =-+=+-=-+-=++（其中

,,m j k 是两两垂直的单位向量），若4123a a a a λμν=++，则实数,,λμν的值分别是

（ ）

A ．1,2,3--

B ．2,1,3--

C ．2,1,3-

D ．1,2,3-

二、填空题

9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ，则

1A B =________.（用a ，b ，c 表示）

10．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，

n ，使OA mOB nOC λ++=0，那么m n λ++的值为________．

11．在正方体1111ABCD A B C D -中，给出以下向量表达式：

①()111A D A A AB --；②()

111BC BB D C +-；

③()1

2AD AB DD --；④()1

1

1

1

B D A A DD ++.

其中能够化简为向量1BD 的是________．

三、解答题

12．如图所示，在长、宽、高分别为3AB =，2AD =，11AA =的长方体

1111ABCD A B C D -的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：

（1）单位向量共有多少个？

（2的所有向量； （3）试写出与AB 相等的所有向量； （4）试写出1AA 的相反向量．

13．在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为CD 和AD 的中点，试化简11

AG BE AC +

-，并在图中标出化简结果的向量．

14．如图，已知、、、、、、、、为空间的个点，且，

，，，，，.

求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面；

（2）；

（3）.

参考答案

1．A

【解析】()

111111

2222

B M B B BM c BD c AD AB a b c =+=+

=+-=-++. 考点：空间向量的加减运算，数乘运算.

2．B

【解析】由题意可得111BD BD DD AB AD AA =+=-++，

∵11BD xAD yAB zAA =++，∴1x =，1y =-，1z =．故1x y z ++=，故选B ． 考点：向量的加减运算及其几何意义． 3．D

【解析】1111111111A B A A A B CC C B C A CC CB CA c b a =+=-+-=-+-=-+-， 故选D.

考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 4．C 【解

析】

(

)6P A P B

+

+

+

+

6PO =. 考点：空间向量的加减运算. 5．C

【解析】()()

111

222

BE BP BD PB BA BC =

+=-++ ()()

11111

2222212PB BA BC PB PA PB PC PB ++=-+=--+-

11223131

2222

PB PA PC a b c ++==--+．故选C ．

考点：向量在几何中的应用． 6．A

【解析】()

222333

OG OM MG OM MN OM MO ON OM =+=+

=++=+⋅ 111

11226

33MO OB OC OA OB OC ⎛⎫++=++ ⎪

⎝⎭，故选A. 考点：空间向量的加减运算，数乘运算.

7．B 【

解

析

】

由

已

知

可

得

1

11

4

88O P

O A O A O B

O C

-=-++，即1

111

8888

O P

O A O A O B O C O

A -=-++-，可

得