定积分的计算方法研究毕业论文

编号2013110110研究类型理论研究分类号O17
学士学位论文
Bachelor’s Thesis
论文题目定积分的计算方法研究
作者姓名施莉
学号2009111010110
所在院系数学与统计学院
学科专业名称数学与应用数学
导师及职称许绍元教授
论文答辩时间2013年5月25日
湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书
目录
1.定积分的产生背景及定义 (3)
1.1曲边梯形面积 (3)
1.2定义1 (3)
1.3定义2 (3)
2.定积分的几种计算方法 (4)
2.1定义法 (4)
2.2换元法求定积分 (4)
2.3牛顿莱布尼兹公式 (8)
2.4利用对称原理求定积分 (10)
2.5利用奇偶性求函数积分 (13)
2.6利用分部积分法计算定积分 (15)
2.7欧拉积分在求解定积分中的应用 (16)
3.结论 (20)
4.参考文献 (20)
定积分的计算技巧研究
施莉（指导老师：许绍元）
（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）
内容摘要：定积分在微积分中占有极为重要的位置，它与微分相比，难度大、方法灵活﹒
如果单纯的按照积分的定义来计算定积分，那将是十分困难的﹒因此，我们
要研究定积分的计算方法﹒常用的方法有定义法、莱布尼兹公式法、分步积
分法、换元法以及其他的特殊方法﹒下面我们将探讨一下定积分的计算技巧﹒
本文主要根据定积分的定义、性质、被积函数的奇偶性和对称性、以及某些
具有特征的函数总结了牛顿莱布尼兹公式、换元法、分部积分、凑微分﹒目
前，对于定积分的求法和应用的研究是比较全面和完善的﹒我们要学会总结
归纳定积分的一般性求法以及具有特殊特征的函数的求法﹒同时，将定积分
应用于数学问题的求解中以及物理学和经济学的实际问题中是非常必要的﹒关键词：定积分；求法；应用
定积分的计算技巧研究
1.定积分的产生背景及定义
1.1曲边梯形面积
设f 为闭区间上的连续函数，且由曲线直线以及轴所围成的平面图形，成为曲边梯形
11()()i i i n
i x x i i i S f x x ξ=-=≈∆∆=-∑
变力做功：
11()()i i i n
i x x i i i W f x x ξ=-==∆∆=-∑
定积分的意义：
定义1：设闭区间上有1n -个点，依次为：0121n n a x x x x x b -=<<<
<<=,它们把
[],a b 分成n 个小区间i ∆=[]1,i i x x -，1,2,3,,i n =﹒这些分点或者这些闭子区间构成
[],a b 的一个分割，记为：{}011,,
,,n n T x x x x -=或者{}12,,,n ∆∆∆，小区间i ∆的长度记
为i x ∆=i x -1i x -，并记：T =max {}i x ∆,称为T 的模﹒
注：由于i x ∆≤T ，1,2,3,
,i n =，因此T 可用来反映[],a b 被分割的细密程度﹒
另外，分割一旦给出，T 就随之而确定；但是，具有同一细度的分割却有无限多﹒ 1.2定义1
设f 是定义在[],a b 上的一个函数，对于[],a b 的一个分割{}12,,
,n T =∆∆∆，任取
i i ξ∈∆，1,2,3,
,i n =，并作和式1
()i i n
i x i f ξ==∆∑，称此和式为f 在上的积分和，也是黎曼
和﹒显然积分既和分割T 有关，又与所选的点集{}i ξ有关﹒ 1.3定义2
设f 是定义在上的一个函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一正
数，使得对的任一分割T ，以及在其上任选的点集，只要T δ≤就有
1
()i
i n
i
x i f J ξε==∆
-<∑，
则称f 在[,]a b 上可积或者黎曼可积﹒记作J =()b
a
f x dx ⎰﹒其中，f 称为被积函数，x 为积分
变量，为积分区间，\a b 为积分的下限和上限﹒
几何意义：设()f x 为闭区间上的连续函数，定积分的值由曲线()y f x =在x 轴上方部分所有曲边梯形的证面积和下方所有曲边梯形的负面积的代数和﹒
2.定积分的几种计算方法
2.1定义法
通过对积分区间作等分分割，并取适当点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分:
1
30
x dx ⎰
.
解：i i
n
ξ=
则1
3
0x dx ⎰=311lim ()i n
n i i n
n =→∞=∑=2333
2441
11
lim (12)lim (1)44
n n n n n n n →∞→∞++
+=+=.
另外，在求数列极限时，有时也可根据定积分的意义定义化成求定积分的运算。

例：33
34
1lim
(12)n n n →∞+++.
解：333
41
lim (12)n n n
→∞++
+=311lim ()i n
n i i n n =→∞=∑=13
0x dx ⎰=4140x =14.
2.2换元法求定积分
利用换元法求定积分时，要注意换元的条件，要满足在积分区间上单调切具有连续导数。

在做变量替换的同时，应相应替换积分的上限和下限。

被积函数f(x)、积分上、下限(),a b 、积分变元的微分dx 三者同时替换。

换元后不必换成原定积分的变量，直接利用牛顿莱布尼兹公式计算。

定理：设函数()f x 在区间[],a b 上连续，函数()x t ϕ=，满足条件：
(1) (),()a b ϕαϕβ==；
(2)()t φ在[],αβ和[],βα具有连续导数，且其值域a R =[],a b ，则
'()(())()b
a
f x dx f t t dt β
α
φϕ=⎰
⎰ ①
①称为定积分的换元公式。

常用的几种代换：
（1） 三角代换：可令x=sin a t 或x=cos a t ;若被积函数中
x=tan a t 或者x=cot a t
可令x=sec a t 或者x=csc a t 根式代换：若被积函数中含有，则可令
；则可令
，p=[],m n （2） 倒代换：一般用于分母次数较高的情况
如：1
711
(2)
dx x x -+⎰
，令1t x =- 在具体解题时，还必须具体问题具体分析，灵活处理
例1：求22
dx
a x +﹒
解：令x=tan a θ，θ ∈ 30,π
⎡⎤⎣⎦
原式=3
3220
0(tan )1
1.sec 33d a t d a a a a
π
π
ππθθ===⎰
⎰﹒
例2、求1
⎰
﹒
解：令t 则2x t =
2
1
12002()11t t d t dt t t =++⎰⎰1012(1)1t dt t =-++⎰112
00
22ln 1t t t =-++12ln 24=-+﹒ 例3：计算定积分2
1sin dx
x
π
+⎰﹒ 解：令t =tan
2x ，21dt dx t =+， 2
2sin 1t
x t
=+
201sin dx x π+⎰=22
12101t t dt t t +∞+++⎰021
()21()8
d t t t t
+∞-=-+
⎰0
1t +∞-
=2
=
﹒ 例4：求I =1
19971
(1)()x x x x e e dx --+-⎰﹒
解：令t =-x
I =119971(1)()x x x x e e dx --+-⎰=1
19971()(1)()()t t t t e e d t ------⎰
=119971(1)()()t t t t e e d t ----⎰
=1
19971
(1)()x x x x e e dx ----⎰
=21
1
()x x x e e dx ---⎰11
2()x x d e e --=+⎰
1
1
11
1
2()
2()4(x x x x x e e e e dx e e -----=+-+=+⎰）1
1
1
2()8x x
e e e -----=
换元法求定积分应用广泛，但是极易出现错误﹒变换被积函数，自变量必须在原区间连续﹒ 例1：计算1
2
11
1dx x -+⎰
. 误解：令1
x t
=
21
11222211111()111t dt dx dx x t t x ---=-=-+++⎰⎰⎰ 1
211
1dx x -+⎰=0
解显然是错误的，换元设1
x t
=
t=0时 , x 无意义，1
t 在[]1,1-上无界，不可导，不满足换元的基本条件
故不可设1
x t
=
正解：根据定积分换元法的常用公式计算，若()f x 在[],a b 上连续且为偶函数，则：
()2()a
a
a
f x dx f x dx -=⎰
⎰
即：
1
1221011211dx dx x x -=++⎰⎰10
2arctan 2
x π
==。

换元在区间上必须满足换元的条件： 例：计算
0)a
a >⎰
﹒
误解：设sin x a t =，则cos dx a tdt =
当0x =时0t =; x a =时2
t π
=
原式=2
cos sin cos a t a t a t
π
+⎰dt 2
0cos sin cos t
dt t t π
=+⎰ 2
cos (cos sin )(sin cos )(cos sin )t t t dt t t t t π
-=+-⎰
2011cos 2sin 22cos 2t t
dt t
π+-=⎰
误因分析：被积函数中含有二次根式，通过换元法消去二次根式，设sin x a t = ﹒虽然4t π
=
0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦但cos sin t t -在4
t π=处为0，故这样的计算是错误的﹒ 正解：令sin x a t =﹒
原式=2
cos sin cos a tdt
a t a t
π
+⎰20cos sin cos t dt t t π
=+⎰ []2
1
sin cos cos sin 2sin cos t t t t dt t t
π
++-=+⎰
22
(sin cos )1
sin cos 2
4
d t t t t πππ
+=+
=
+⎰
积分区间特殊的函数积分： 例：计算244
1
sin cos n d x x
π
+⎰
x 解：原式=2n
π
⎰
441sin cos dx x x +2222201
2(sin cos )2sin cos n x x x x
π=+-⎰dx
=0
221
1sin (2)2
dx n x π
-⎰
22
(2)
22cos 2sin 2d x n x x
π
=+⎰
0o
π==﹒
误因分析：被积函数大于0且积分上限大于积分下限，积分值应大于0.原因在于t=tan2x 在[]0,π上不满足积分的条件﹒ 正解：原式=4n
1
2440
1
sin cos dx x x
π+⎰
=4n
2220
(2)
2cos 2sin 2d x x x
π
+⎰
4
π
⎡⎢⎣
=2n π。

误区分析：用换元法计算定积分时，虽然反复强调计算过程中的有关细节，但是有出现一些思维上的错误，本文在定理1的基础上通过实例进行剖析，以使学生更好的掌握利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分的思维方向，从而避免一些思维上的错误﹒ 2.3牛顿莱布尼兹公式
牛顿莱布尼兹公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且也在理论上把定积分和不定积分联系了起来
定理：若函数f 在上连续，且存在原函数F ，即'()F x =()f x ,x ∈[],a b ,则f 在上可积，且
()b
a
f x dx =⎰
()()F b F a -,此公式即为牛顿莱布尼兹公式
也写作：()()
b
b a
a
f x dx F x =⎰
注1：在应用莱布尼兹公式时,F(x)可由积分法求得 注2：定理条件可适当减弱，例如：
(1) 对F 的要求可减弱为：在[],a b 上连续，在[],a b 内可导，且'()F x =()f x ,[],x a b ∈； (2) 对f 的要求可减弱为：在(,)a b 上可积（不一定连续）；
(3) 后来证得了连续函数均有原函数之后，本定理中对F 的假设便是多余的。

在定积分的计算中，经常会出现像计算定积分1I =21
411
1
x dx x -++⎰，2I =202cos dx x π+⎰等类型的
题目﹒这类题目看似容易，但学生一动手就会出错﹒因为：
2411x dx x ++⎰=2
22
111x dx x x
+
+⎰21
()1()2d x x
x x -=-+
⎰2c =+
但却不能运用牛顿—莱布尼兹公式来计算
1I
=21
142
-110x dx x x -+==+⎰﹒ 但这是错误的﹒这是因为被积函数()g x = 242
1
x x x
++在区间[]1,1-上连续且恒正﹒所以它在区间[]1,1-上的积分应该大于0.其错误原因在于函数()G x
=2在区间
[]1,1-上不连续，x =0为()G x 的第一类间断点﹒不难求得：
G （0-0）
=20lim x -→=G （0+0）
=20lim arctan
x +→=从而在点x =0处'()G x ≠g(x)
G (x)并不是()g x 在[]1,1-上的一个原函数，我们称这种函数为分段原函数。

再如函数()h x =
1
2cos x
+
2cos dx
x +
⎰223dt c t ==+
+
⎰)2x c =+ 函数()H x
=
)2x 在x π=有第一类间断点，
即(0)H π
-
=lim )2x x π
-
→=
(0)H π+
=lim )2x x π
+
→=
∴()H x 是被积函数()h x 的一个分段原函数
对于积分220
2cos dx
I x
π
=+⎰
我们也不能简单应用牛顿莱布尼兹公式求值﹒
为了利用分段函数求原函数来计算定积分，必须推广牛顿莱布尼兹公式
定理：若()F x 为连续函数()f x 在区间[],a c 和[],c b 上的分段原函数，为其第一类间断点，则：
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰=(0)F c --()F a +()F b -(0)F c +
=()F b -()F a + (0)F c - -(0)F c +—广义牛顿莱布尼兹公式.① 证：有定积分的可加性知：
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰=
[][]lim (0)()lim ()(0)x c x c
F c F a F b F c -
-
→→-++-+=+()(0)F b F c -+ =()()F b F a -+(0)F c -(0F c -+） 利用公式①计算1I 和2I ﹒
[]21
142
-11(1)(0)(00)(00)x I dx G G G G x x =+=-+--+=+⎰[]220
(2)(0)(0)(0)2cos dx
I H H H H x
π
πππ==-+--++⎰
=0-0+
-（）
例：()f x = 23(1)(1)
(2)
x x x x +--,求3421()1()f x I dx f x -=+⎰。

解：[][]4(3)(1)(00)(00)(20)(20)I F F F F F F =--+--++--+ 32
arctan
227
π=-。

2.4利用对称原理求定积分
对于对称区间上的定积分和一类费对称区间上的定积分，均可用对称原理进行简便计算﹒
1、结论：设()f x 在[],a b 上连续，求证：()b a
f x dx =⎰()b
a
f a b x dx +-⎰
证明：令t a b x =+-
()()()()()()b
a b b
a
b
a
a
f x dx f a b t d a b t f a b t dt f x d a b x dx
=+-+-=+-=+-⎰
⎰⎰⎰
进而：()b
a
f x dx =
⎰[]1()()2
b
a f x f a
b x dx ++-⎰ ①﹒ 例1：求I =23
6
cos (2)
x
dx x x π
ππ-⎰﹒
解：6
a π
=
，3
b π
=
()f x = 2cos (2)x x x π-在,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上连续
2sin ()2(2)x
f x x x
π
π∴-=-
22
36cos sin 11
2(2)(2)2x x I dx x x x x πππππ
⎡⎤=+=⎢⎥
--⎣⎦⎰ 3
3
6
6
1212ln 2
()(ln )222dx x x x
ππ
π
π
ππππ
∴+==
--⎰
对于①式，若将积分区间[],a b 用对称区间[],a a -代入 则有：[]1()()()2
a
a
a a f x dx f x f x dx --=
+-⎰⎰②﹒ 2、利用这个结论计算对称区间上的非奇非偶函数的定积分，只要()f x 比()f x +()
f x -的定积分简单即可。

例2：求I =2
1
11x
x dx e -+⎰﹒
解：22
(),()11x x
x x f x f x e e
-=-=++﹒ I =
[]1123
11
111111()()226
3
f x f x dx x dx x -----===
⎰⎰﹒ 例3、求I =3
2
sin arctan 2x x dx ππ
--⎰
﹒
解：()f x = sin x arctan 2x dx
1arctan 2arctan
2
x x π+= 1arctan 2arctan
sin 2
x x x π
+= 从而I =321sin 222
x dx ππππ
--=⎰﹒
3、若()f x 为奇函数，则()0a
a
f x dx -=⎰；
若()f x 为偶函数，则0
()2()a a
a
f x dx f x dx -=⎰⎰
利用上面的性质并结合定积分的分项运算与分段运算可以简化计算过程。

当被积分中含有奇偶函数或者积分区间含有对称区间时，可以考虑直接用上面的结论化简定积分﹒
例4、求1
1()x
x x e dx --+⎰﹒
解：原式=1
1
x
xe dx --⎰+1
1
x
xe
dx --⎰=201
2(1)x xe dx e
-=-⎰﹒
例5、求2
1
x
xe
dx --⎰﹒
解：原式=11
x
xe dx --⎰+2
1
x
xe dx -⎰=1223e e --+﹒
4、如果把[],a b 换成[]0,2，于是有：
()f x 在[]0,2上连续，则0
1()[()()]2a
a
f x dx f x f a x dx =+-⎰
⎰﹒
例6、求I =2
sin sin cos x
dx x x
π
+⎰﹒
解：()f x =
sin sin cos x x x + ，()2f x π-= cos sin cos x
x x
+﹒
()f x +()f x -=1
I =204
dx π
π
=
⎰
更一般的，2
20
0sin cos 4sin cos sin cos n n n n n n x x dx dx x x
x x π
π
π==++⎰
⎰﹒
例7、求I =40
1
ln(1tan )2x π
+⎰dx ﹒
解：I =44
01(ln(1tan )ln(1tan())ln 228
x x dx πππ
+++-=⎰﹒ 2.5利用奇偶性求函数积分
定理1：函数的奇偶性在定积分的计算中有如下结论：
若()f x 在[],a a -上连续，当()f x 为奇函数时，()0a a
f x dx -=⎰；当()f x 为偶函数
时，0
()2()a a
a
f x dx f x dx -=⎰⎰﹒
例：计算积分I =321
262
1
sin (2)31x x x x dx x x -⎡⎤++⎢⎥++⎣⎦
⎰
﹒ 解：I ＝321
621sin 31
x x x x -++⎰dx 12
1(2)x x -++⎰dx ﹒ 定理2、当被积函数无奇偶性时，0
()[()|()]a a
a
f x dx f x f x dx -=+-⎰⎰或者对分析被积函数，
对其进行变形时、拆项，化成奇函数或者偶函数﹒ 当被积函数不具有奇偶性或者积分区间不为对称区间时， 定理3、设函数f 在[],a b 上可积，则()()b
b
a
a
f x dx f a b x dx =+-⎰⎰﹒
类型1：直接利用奇偶性求定积分： 例1、计算I =222
cos 2sin 21x
xdx x π
π
-+⎰﹒
解：被积函数是关于原点对称的奇函数 ∴ I =222
cos 2sin 21x
xdx x π
π
-+⎰=0﹒
例2、2sin 1cos x dx x π
π
-+⎰﹒
解：2sin 1cos x
dx x
ππ
-+⎰
220
sin sin 221cos 1cos x x
dx dx x
x
π
π
==-++⎰
⎰
2012(cos )1cos d x x π=-+⎰ 0
2arctan(cos )x π
π=-=﹒
类型2：间接利用奇偶性来求定积分： 1、区间对称，函数不是奇函数或偶函数 例3、计算3ln(1)a
x a x e dx -+⎰﹒
解：原式=
3ln(1)a x a x e dx -+⎰ 330ln(1)ln(1)a
x x
x e x e dx -⎡⎤=+-+⎣⎦⎰
3
3
01(1)ln ln 1(1)x x x a
a x x x
e e e x dx x dx e e e --++==--⎰
⎰ 5540
055
a a
x a x dx ==
=⎰﹒ 2、函数是奇函数或者偶函数但是区间不对称
当函数是奇函数或者偶函数，但区间不对称时，可以通过变量代换的方法变换成对称区间﹒
例4、求I =4
2
02)sin(2)x x dx ⎡⎤-+-⎣
⎦⎰（之值﹒ 分析：观察可知，积分区间不对称，被积函数既不是奇函数也不是偶函数，也不是偶函数，所以此题可以将被积函数展开然后再求积分，但是这种求法比较繁琐。

由观察可以发现，若令2t x =-，原积分就转化成了区间对称的定积分，也可以用定理3求解。

解法1：I =4
202)sin(2)x x dx ⎡⎤-+-⎣
⎦⎰（ 令2t x =-﹒0x =时，2t =- ；4x =时， dx dt =
则4
2
2)sin(2)x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰（=2
52(sin )t t dt -+⎰ 5sin t t +是奇函数 0I ∴=﹒
解法2：I =4
202)sin(2)x x dx ⎡⎤-+-⎣
⎦⎰（ = 4
50[42)]sin[4(2)]x x dx --+--⎰
（
=
4
4
550
)sin )]2)sin(2)]x x dx x x dx I -+-=--+-=-⎰
⎰[（2（2[（
0I ∴=﹒ 例5、求I =2
32123sin 44cos 2x x
dx x
ππ-+⎰
之值﹒
分析：观察可知该定积分的积分区间不对称，但函数是奇函数，所以拆分区间使该定积分比较容易计算﹒
解：I =2
32123sin 44cos 2x x dx x π
π-+⎰=332123sin 44cos 2x x dx x ππ-+⎰+232123sin 44cos 2x x
dx x
π
π+⎰ =0+2
2332233sin 4cos 24cos 2x x dx x x πππ
π-+⎰⎰=2
233122233sin 4cos 24cos 2x x dx I I x x
π
πππ-+=+⎰⎰ 2
223
3
3
3123
(tan 2)[tan 2tan 2]2
I xd x x x xdx π
π
ππ
π
π==-⎰⎰dx
22
33
22
3sin 43tan 24cos 22x I dx xdx x ππππ==⎰⎰
I =12I I +=
2
﹒ 2.6利用分部积分法计算定积分 分部积分公式
设函数)(x u 、)(x v 在区间[]b a ,上具有连续导数，则有[]⎰⎰-=b
a b
a
b
a
vdu uv udv .（定积分的分
部积分公式）﹒
例1、计算12
arcsin xdx ⎰﹒
解：令,arcsin x u = 则,12
x
dx du -=
⎰
2
10
arcsin xdx []2
10arcsin x x = ⎰--2
10
2
1x xdx
621π⋅= )1(11212022
1x d x --+⎰
12
π
=
[
]2
10
2
1x
-+ 1122
π=+-﹒
例2、计算4
1cos 2xdx
x
π+⎰
﹒
解,cos 22cos 12x x =+
⎰
+∴4
2cos 1πx xdx ⎰=402cos 2πx xdx ()x d x tan 240⎰=π
[]4
0tan 21πx x = xdx tan 2140⎰-π
[]40sec ln 21
8
ππ
x -
=
ln 284
π=-。

例3、计算1
2
ln(1)
(2)x dx x ++⎰。

解：⎰
++1
2)2()1ln(dx x x ⎰++-=1021
)1ln(x
d x 1
2)1ln(⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=x x ⎰+++10)1ln(21x d x 32ln -= dx x x ⎰+⋅++101121 （=+⋅+x x 1121x
x +-
+21
11） []1
0)2ln()1ln(3
2ln x x +-++-
= =5ln 2ln 33-。

例4、设⎰=21
,sin )(x dt t
t
x f 求10()xf x dx ⎰。

解：因为
t
t
sin 没有初等形式的原函数，无法直接求出)(x f ，所以采用分部积分法 ⎰1
0)(dx x xf ⎰=10
2
)()(21x d x f []
102)(21x f x = ⎰-102)(21x df x
)1(21f =
⎰'-1
02)(21dx x f x
⎰
=2
1
,sin )(x dt t t
x f ,0sin )1(11⎰==dt t t f ,sin 22sin )(222x x x x x x f =⋅='
⎰∴1
0)(dx x xf )1(21f = ⎰'-102)(21dx x f x ⎰-=102
sin 221dx
x x
⎰-=1022sin 21dx x []
102cos 21x == 1
(cos11)2
-﹒
2.7欧拉积分在求解定积分中的应用
求解定积分在是学习高等数学的一个重要内容，也是解决数学问题的一个基本技能。

求解定积分的方法一般来说是求出原函数，然后根据牛顿莱布尼兹公式代入上下限进行计算。

这种方法一般比较实用﹒
在实际问题中，有许多定积分的原函数，难以计算或者计算过程非常繁杂。

而如果将其进行适量的变量代换，变为我们熟悉的定积分，那么问题就得到了很好的解决。

欧拉积分恰恰是我们解决这样问题的一个有效工具﹒ 2.7.1欧拉积分定义
10
()x x e dx ατα+∞
--=⎰（0a >）我们称之为τ函数﹒
令2x t =是，代入上式得：2
210
()2t t e dt ατα+∞
--=⎰（0a >）
令1ln x t =时，代入上式得：1110011
()(ln )(ln )dt t t
ατα-=⎰⎰（0a >）﹒
2.7.2 τ性质
（1）τ函数的定义域区间为(0,)+∞，在(0,)+∞內闭一致收敛。

()τα在区间(0,)+∞上
连续，求导在积分号下进行： ()10
()(ln )n x n x e x dx ατα+∞--=⎰
（2）递推公式
a ∀> 有：
(1)()ταατα+=﹒
这个性质可由分部积分公式得到。

(1)()x x x e dx x d e αατα+∞+∞
--+==-=⎰⎰10
()x
x x e x e dx αααατα+∞
-+∞
---+=⎰
特别是，当,n n N α+=∈，有：
(1)()(1)(1)!(1)n n n n n n n ττττ+==--=﹒
(1)1x e dx τ+∞
-==⎰，即：(1)n τ+=!n =0
n x x e dx +∞
-⎰﹒
（3）余元公式：
()(1)sin π
τατααπ
-=
（01a <<〕﹒ 2.7.3 B 函数（第一型欧拉积分）
（1）定义：(,)B p q =1
110(1)(,p q x x dx p q ---⎰＞0),我们称之为B 函数。

令2cos x θ=时，代入上式得：
(,)B p q =22
21210
cos sin p q d π
θθθ--⎰
令1
u
x u =
+时，同理得： (,)B p q =
1
(1)p p q
u du u -+∞
++⎰。

（2）性质
①∀ []1212:;:(0,;0,)p p q q ⊂+∞+∞，B 函数在[]1212:;:p p q q 上一致连续，有连续的各阶偏导数。

②对称性：(,)(,)B p q B q p = ③递推公式： (,)B p q = 1(,1)1q B p q p q --+-= 1
(1,)1
p B p q p q --+-
特别对正整数
,m n
有
(,)B m n =
(1)!(1)!
(1)!
n m m n --+-﹒
④余元公式：0
(,1)B p p -=
sin p π
π
（01p <<）
特别是：11
(,)22
B = π
⑤Dirchlet 公式：()()
(,)()
p q B p q p q τττ=
+﹒
2.7.4应用欧拉积分求解其他定积分
用欧拉积分表示其他积分时，说到底主要是变量替换以及各种变形，下面举个例子﹒
例1
、求⎰
﹒
解：11221033(1)(,)22
x x dx B =-=⎰
⎰22
11223[()][()]2(3)2!τττ== 而11
22()(1)sin
2
π
ττπ
-=
故12()τ= 于是原式= 8
π
﹒
例2、求2
sin cos m n d π
θθθ⎰ （1,1m n >->-）﹒
解析：这是一道关于三角函数的定积分的问题﹒如果通过利用三角公式求出其原函数的再计算，这就需要讨论m 、n 的奇偶性﹒这显然是我们尽可能避免的﹒
我们用欧拉积分求解：
令2
cos x θ=时，代入上式得：2
0sin cos m n d π
θθθ⎰=111(,)222
m n B ++
当6,4m n ==时，即原式为：2
6420sin cos cos ()d π
θθθθ⎰=175(,)222B =
75
()()
1
2
22
(6)
τττ=3512π
同理：2
tan n xdx π
⎰（1n <）﹒
我们有：2
0tan n
xdx π
⎰=2
0sin cos n n d π
θθθ-⎰=1111(,)12222sin 2
n n B n ππ+-=
+2cos
2n ππ=﹒ 例3、求2
4
11x dx x +∞
-∞++⎰﹒
解：我们用欧拉积分求解 原式=240
121x dx x
+∞
++⎰
对于2
401x dx x +∞+⎰ 我们令1x t =时，代入得：2
202
444001()111x t dx t dt dt x t t -+∞+∞--+∞=-=+++⎰⎰⎰ 所以，2411x dx x +∞
-∞++⎰=424
01x dx x +∞+⎰
令4u x =得：2
411x
dx x +∞
-∞++⎰
=3
4
01t dt t -+∞+⎰
=13
()()
134
4(,)44(1)
B τττ--==
结论：定积分求解中有很大一部分是可以通过欧拉积分解决的，而且应用欧拉积分非常简洁。

其中三角函数的定积分，反常积分大部分都可以通过欧拉积分来解。

当然还有其他类型，也可以通过欧拉积分来解，这里就不多讨论﹒
3.结论
目前，对于定积分的求法和应用的研究是比较全面和完善的﹒但是，对于定积分的求法与应用的研究没有停止，了解了定积分的基本概念后，我们要学会总结归纳定积分的一般性求法以及具有特殊特征的函数的求法﹒同时，将定积分应用于数学问题的求解中以及物理学和经济学的实际问题中是非常必要的﹒理论联系实际，对于生活中出现的现象，学会用定积分求解也是一种非常重要的工具﹒
4.参考文献
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[7] 陈文灯，黄文开，曹显兵。

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[8] 喻德生，郑华盛。

高等数学学习引导[M]2版﹒北京：化学工业出版社。

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