江西省宜春市宜阳学校2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
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江西省宜春市宜阳学校2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
2．如图，以原点 为圆心的圆交 轴于点 、 两点，交 轴的正半轴于点 ， 为第一象限内 上的一点，则 的度数是（）
根据圆周角定理求解即可．
【详解】
解：∵原点 为圆心的圆交 轴于点 、 两点，交 轴的正半轴于点 ，
即有
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟悉相关性质是解题的关键．
3．B
【分析】
根据圆的切线，弦和弧的概念逐一判断即可．
【详解】
不共线的三点确定一个圆，故A选项错误；
圆的切线垂直于过切点的半径，故B选项正确；
（1）若抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
（2）根据图象，写出满足 的 的取值范围．
16．如图，点 、 分别是正八边形 （每条边相等，每个角相等）的边 、 上的点，且 ， 交 于点P．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
17．（1）如图1，四边形AODE为平行四边形，当点D在圆上时，请你用无刻度的直尺在图中作出∠BAC的平分线；
（2）如图2，四边形AODE为平行四边形，当点D在圆内时，请你用无刻度的直尺在图中作出∠BAC的平分线．
三、解答题
13．（1）解方程： ；
（2）求抛物线 的对称轴和顶点坐标．
14．如图，点 是 外接圆的圆心，点 是 内切圆的圆心，已知 ，求 和 的度数．
15．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，点 在抛物线上，且与点 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 的图象经过该二次函数图象上的点 及点 ．
（1）求二次函数和点 的坐标；
①线段 与 的位置关系是______．（不需证明）
②设 的面积为 ， 的面积为 ，则 与 的数量关系是______，证明你的结论；
（2）猜想论证
当 绕点 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中 与 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 和 中 ， 边上的高，请你证明小明的猜想．
23．如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故C选项错误；
能够互相重合的弧为等弧，故D选项错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了圆的基础知识，熟练的掌握圆的相关基础定义和性质是解决本题的关键．
4．A
【分析】
根据二次函数图象开口方向可以判断出 的符号，由与 轴的交点判断 的正负情况，再由一次函数的性质解答．
A．45°B．60°C．65°D．70°
3．下列说法正确的是（）
A．三点确定一个圆
B．圆的切线垂直于过切点的半径
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．长度相等的弧是等弧
4．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．如图，已知 为正方形 外的一点， ， ，将 绕点 顺时针旋转 ，使点 旋转至点 ，且 ，则 的度数为（ ）
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过 ，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
22．如图1，将两个完全相同的三角形纸片 和 重合放置，其中 ， ．
（1Baidu Nhomakorabea操作发现如图2，固定 ，使 绕点 顺时针旋转．当点 恰好落在 边上时．
参考答案
1．C
【分析】
根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】
解： 、不是中心对称图形；
、不是中心对称图形；
、是中心对称图形；
、不是中心对称图形；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．A
【分析】
9．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于_____cm．
10．将二次函数 的图象绕着顶点旋转180°后得到的新图象的解析式是______．
11．已知 的内切圆半径为2，斜边长为13，则此直角三角形的面积等于______．
12．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为_____．
A． B． C． D．
6．如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最小值为（）
A．3B．4C．6D．8
二、填空题
7．设一元二次方程 的两根为 ， ，则 ______．
8．已知点 与点 关于原点对称，则 的值等于______．
18．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有实数根，求实数 的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求实数 的值．
19．如图，已知 是 的直径，点 在 上，延长 至点 ，使得 ；直线 与 的另一个交点为 ，连结 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求阴影部分（弓形）面积．
20．如图，已知直线 交 于 、 两点， 是 的直径，点 为 上一点，且 平分 ，过 作 ，垂足为 ．
【详解】
解：由图象可知，函数图形开口向下
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， 的直径为20，求线段 的长．
21．某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为 元/件（ ，且 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为 元．
（1）求 与 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
2．如图，以原点 为圆心的圆交 轴于点 、 两点，交 轴的正半轴于点 ， 为第一象限内 上的一点，则 的度数是（）
根据圆周角定理求解即可．
【详解】
解：∵原点 为圆心的圆交 轴于点 、 两点，交 轴的正半轴于点 ，
即有
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟悉相关性质是解题的关键．
3．B
【分析】
根据圆的切线，弦和弧的概念逐一判断即可．
【详解】
不共线的三点确定一个圆，故A选项错误；
圆的切线垂直于过切点的半径，故B选项正确；
（1）若抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
（2）根据图象，写出满足 的 的取值范围．
16．如图，点 、 分别是正八边形 （每条边相等，每个角相等）的边 、 上的点，且 ， 交 于点P．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
17．（1）如图1，四边形AODE为平行四边形，当点D在圆上时，请你用无刻度的直尺在图中作出∠BAC的平分线；
（2）如图2，四边形AODE为平行四边形，当点D在圆内时，请你用无刻度的直尺在图中作出∠BAC的平分线．
三、解答题
13．（1）解方程： ；
（2）求抛物线 的对称轴和顶点坐标．
14．如图，点 是 外接圆的圆心，点 是 内切圆的圆心，已知 ，求 和 的度数．
15．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，点 在抛物线上，且与点 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 的图象经过该二次函数图象上的点 及点 ．
（1）求二次函数和点 的坐标；
①线段 与 的位置关系是______．（不需证明）
②设 的面积为 ， 的面积为 ，则 与 的数量关系是______，证明你的结论；
（2）猜想论证
当 绕点 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中 与 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 和 中 ， 边上的高，请你证明小明的猜想．
23．如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故C选项错误；
能够互相重合的弧为等弧，故D选项错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了圆的基础知识，熟练的掌握圆的相关基础定义和性质是解决本题的关键．
4．A
【分析】
根据二次函数图象开口方向可以判断出 的符号，由与 轴的交点判断 的正负情况，再由一次函数的性质解答．
A．45°B．60°C．65°D．70°
3．下列说法正确的是（）
A．三点确定一个圆
B．圆的切线垂直于过切点的半径
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．长度相等的弧是等弧
4．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．如图，已知 为正方形 外的一点， ， ，将 绕点 顺时针旋转 ，使点 旋转至点 ，且 ，则 的度数为（ ）
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过 ，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
22．如图1，将两个完全相同的三角形纸片 和 重合放置，其中 ， ．
（1Baidu Nhomakorabea操作发现如图2，固定 ，使 绕点 顺时针旋转．当点 恰好落在 边上时．
参考答案
1．C
【分析】
根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】
解： 、不是中心对称图形；
、不是中心对称图形；
、是中心对称图形；
、不是中心对称图形；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．A
【分析】
9．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于_____cm．
10．将二次函数 的图象绕着顶点旋转180°后得到的新图象的解析式是______．
11．已知 的内切圆半径为2，斜边长为13，则此直角三角形的面积等于______．
12．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为_____．
A． B． C． D．
6．如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最小值为（）
A．3B．4C．6D．8
二、填空题
7．设一元二次方程 的两根为 ， ，则 ______．
8．已知点 与点 关于原点对称，则 的值等于______．
18．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有实数根，求实数 的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求实数 的值．
19．如图，已知 是 的直径，点 在 上，延长 至点 ，使得 ；直线 与 的另一个交点为 ，连结 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求阴影部分（弓形）面积．
20．如图，已知直线 交 于 、 两点， 是 的直径，点 为 上一点，且 平分 ，过 作 ，垂足为 ．
【详解】
解：由图象可知，函数图形开口向下
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， 的直径为20，求线段 的长．
21．某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为 元/件（ ，且 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为 元．
（1）求 与 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；