离散数学第五版第五章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)

称+(G)，+(G)，－(G)，－(G)分别为G的最大出度、 最小出度、最大入度和最小入度。
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则

1

4


2
3
(6)
29
5.2 通路、回路、图的连通性
三、通路相关定理(定理5.3)
在n阶图G中，若从顶点vi到vj(vivj)存在通路，则 从vi到vj存在长度小于等于(n-1)的通路。 推理：在n阶图G中，若从顶点vi到vj(vivj)存在通路，
则vi到vj一定存在长度小于或等于n-1的初级 通路。
(a) 无边关联的点称为孤立点。若vi=vj，则称ek为 环。若vivj，则称ek与vi(或vj)的关联次数为1； 若vi=vj，称ek与vi的关联次数为2；若vi不是ek
e1 a
e4
b
e2
的端点，则称ek与vi的关联次数为0。
c百度文库
(5)无向图G=<V,E>，vi,vjV，ek,elE 。若存在一
e3 (b)
e5 e6
d
记作+D()，称{u|uV <,u>E u}为 的前驱元集，记作-D()。称+D()-D()为 的邻域，记作ND()。称ND(){}为的闭邻
e7
域记作闭邻域，记作ND()。
9
5.1 无向图及有向图
四、度的定义(定义5.5)
26
5.2 通路、回路、图的连通性
一、通路与回路的定义(定义5.11)
给定图G=<V,E>.设G中顶点和边的交替序列 =v0e1v1e2……elvl，若满足如下条件：vi-1和vi是ei的 端点(在G是有向图时，要求vi-1是ei的始点，vi是ei 的终点)，i=1,2,……,l，则称为顶点v0到vl的通路。 v0和vl分别称为此通路的起点和终点，中边的数目l 称为的长度，当v0=vl时，此通路称为回路。
e3
(b) 条边e以vi,vj为端点，即e=(vi,vj)，则称vi,vj
e5 e6
是彼此相邻的，简称相邻的；若ek，el至少有一
d e7
个公共端点，则称ek，el是彼此相邻的，简称相
8
邻。
5.1 无向图及有向图
(6)设无向图G=<V,E>，V，称
e1
1
e3 5
e2 2
e6
e4
e35
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G 称为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的 补图，记作G。
22
5.1 无向图及有向图
十二、图同构的定理（定义5.10）
设G1=<V1,E1>，G2=<V2,E2>为两个无向图(两个有向图)， 若存在双射函数f:V1V2，对于vi,vjV1,(vi,vj)E1 (<vi,vj>E1)当且仅当(f(vi)，f(vj))E2 (<f(vi)，f(vj)>E2)，并且(vi,vj)(<vi,vj>)与 (f(vi),f(vj))(<f(vi),f(vj)>)的重数相同，则称G1与 G2是同构的，记作G1G2。
30
5.2 通路、回路、图的连通性
四、回路相关定理(定理5.4)
在n阶图G中，若存在vi到自己的回路，则一定存在vi 到自身长度小于或等于n的回路。 推理：在n阶图G中，若存在vi到自己的回路，则一定
存在长度小于或等于n的初级回路。
31
5.2 通路、回路、图的连通性
例2：无向完全图Kn(n3)中有几种非同构的圈？
1
e3 5
e2 2
e6
e4
e35
(a)
e7
4
(a)G的度数序列为(4,4,2,1,3)
e1 a
e2 c
(b)D的度数序列为(5,3,3,3)
e3
e4
(b) e5
e6
b
d
e7
14
5.1 无向图及有向图
例1： (1)(3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能称为图的度数序列吗？ 为什么？ (2)已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的度数 均小于等于2，为G中至少有多少个顶点，为什么？
e1
1
e2 2
e6
e3 5
e4
e35
e7 4
(1)G泛指图，D只能表示有向图，V(G)、E(G)分别 表示图的顶点集和边集，|V(G)|、|E(G)|分别
(a) 表示图的顶点数和边数，若|V(G)|=n，则称G为 n阶图。
(2)当|V(G)|与|E(G)|均为有限数，则G为有限图。
e1 a
28
5.2 通路、回路、图的连通性
例1：指出下列图中的通路、回路、简单通路、简单回
路、初级通路、初级回路？
8
7

0
1
2
3
4
(1)

0
1
2
3
4
(2)

0
1
2 3
4
6
(3)
5
8
7

0
1
2 3
4
6
(4)
5
0 = 5

1

4


2
3
(5)
0 = 5
例3：无向完全图K3的顶点依次标定为a,b,c，在定义意 义下K3中有过少个不同的圈？
32
5.2 通路、回路、图的连通性
五、两点之间连通性的定义(定义5.12)
（1）设无向图G=<V,E>，u,vV，若u,v之间存在通 路，则称u,v是连通的，记作u～v，vV，规 定v～v。 注：无向图中顶点之间的连通关系 ～={<u,v>|u,vV 且 u与v之间有通路} ～是V上的等价关系。
设G=<V,E>为一无向图，V，称作为边的端点次数之 和为的度数，简称度，记作dG()，在不发生混淆时，简 记d()。设D=<V,E>为有向图，V，称作为边的始点 的次数之和为的出度，记作d+D()，简记作d+()。称作 为边的终点的次数之和为的入度，记作d-D()，简记作 d-()。称d+()+d-D()为的度数，记作d()。度数为1的 顶点为悬挂顶点，它所对应的边为悬挂边。
二、无向图的定义(定义5.1)
一个无向图是一个有序的二元组<V,E>，记作G，其中 (1)V称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 (2)E为边集，它是无序积VV的多重子集，其元素称为
无向边，简称边。
123
无向图G=<V,E>:V={1,2,3},E={(1,1),(1,2),(2,3)}。
5
5.1 无向图及有向图
e4
b
e2
c
e3
(3)在图G中，若边集E(G)=，则称G为零图，此时
(b) e5
又若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特
e6 d
别是称N1为平凡图。顶点集V(G)=的图为空图。
e7
7
5.1 无向图及有向图
e1
1
e2 2
e6
e3 5
e4
e35
e7 4
(4)设ek=(vi,vj)为无向图G=<V,E>中的一条边，称 vi,vj为ek的端点，ek与vi(或vj)是彼此关联的。
10
5.1 无向图及有向图
在无向图G中，令 (G)=max(d()| V(G)) (G)=min(d()| V(G))
称(G)，(G)分别为G的最大度和最小度。
11
5.1 无向图及有向图
在有向图D中，令 +(D)=max(d+()| V(G)) +(G)=min(d+()| V(G)) -(D)=max(d-()| V(G)) -(G)=min(d-()| V(G))
15
5.1 无向图及有向图
七、度数序列是否可图化的定理
设非负整数列d={d1,d2,……,dn}，则d是可图化的当且仅当
n
d i = 0 (mod 2 )
i =1
16
5.1 无向图及有向图
八、多重图、简单图的定义(定义5.6)
在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称 这些边为平行边，平行边的条数称为重数。在有向图中， 关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点 与终点相同，则称这些边为平行边。含平行边的图称为 多重图，既不含平行边也不含环的图称为简单图。
17
5.1 无向图及有向图
九、完全图的定义（定义5.７）
设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的n-1个 顶点相邻，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记 作Kn(n1)。 设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点均邻接到其余的 n-1个顶点，又邻接于其余的n-1个顶点，则称D是n阶有 向完全图。
33
5.3通路、回路、图的连通性
五、两点之间连通性的定义(定义5.12)
（2）设有向图D=<V,E>，若从顶点u到v存在通路，则 称u可达v，则记作uv。规定v到自身总是可达 的。若uv且vu则称vi与vj是相互可达的，记 作uv，规定vv。 注：有向图中顶点之间的相互可达关系 ={<u,v>|u,vV uv vu} 是V上的等价关系。
离散数学
1
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
2
5.1 无向图及有向图
y d
123
（1）
123
（2）
a
b
x
（3）
注：在离散数学中，我们只关心点之间是否有连线，而 不关心点的位置，以及连线的曲直。这是离散数学 中的图与几何学中图的本质区别。
三、有向图的定义(定义5.2)
一个有向图是一个有序的二元组<V,E>，记作D，其中 (1)V称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 (2)E为边集，它是迪卡尔积V×V的多重子集，其元素称
为有向边，简称边。
123
有向图D=<V,E>:V={1,2,3},E={<1,1>,<1,2>,<2,1>}。
6
5.1 无向图及有向图
27
5.2 通路、回路、图的连通性
二、简单通路、简单回路、初级通路、初级回路
1) 若中的所有e1,e2,……,el互不相同，则称为简单 通路。若回路中的所有边互不相同，称此回路为 简单回路。
2) 若通路的所有顶点v0，v1，……，vl互不相同，则称 此通路为初级通路。若回路中，除v0=vl外，其余 顶点个不相同，所有边也各不相同，则称此回路 为初级回路。
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
18
5.1 无向图及有向图
例2：下列图中是完全图？
e a
b
d
c
(1)
1
4
5
2
3
(2)
(4)
(5)
(3)
（6） 19
5.1 无向图及有向图
十、母图与子图的定义（定义5.8）
设G=<V,E>，G’=<V’,E’>为两个图(同为无向图或同为有 向图)，若V’V且E’E，则G’是G的子图，G为G’的母图， 记作G’G，又若V’V或E’E，则称G’为G的真子图，若 V’=V，则称G’为G的生成子图。
3
5.1 无向图及有向图
一、无序积的定义
设A、B为任意的两个集合，称 ｛｛a,b｝|aA bB｝
为A与B的无序积，记作AB，并将｛a,b｝记作(a,b)。 并且无论a、b是否相等，均有(a,b)=(b,a)，因此 AB= BA。 注：迪卡尔乘积的定义与无序积定义的区别。
4
5.1 无向图及有向图
n
n
n
d ( i ) = 2 m 且 d + ( i ) = d - ( i ) =m
i =1
i =1
i =1
注：任图(有向图和无向图)中，奇度顶点的个数是偶数。
13
5.1 无向图及有向图
六、度数序列的定义
设V={1,2,……,n}为图G的顶点集，称 e1
{d(1), d(2),……, d(n)} 为G的度数序列。
(a)
e7 4
{u|uV (u,)E u} 为的邻域，记作NG()，并称NG(){}为的 闭邻域，记作NG()。称{e|eE e与相关联} 为的关联集，记作IG()。
e1 a
e4
b
e2 c
(7)设有向图D=<V,E>，V，称 {u|uV <u,>E u}为的后继元集，