平行板电容器中介质的受力分析教材

平行板电容器中介质的受力分析

引言: 对于平行板电容器的受力问题，前人大多研究理想情况下平行板电容器的受力，即通过改变电容的大小研究其受力情况。本文的设想是把电介质放入平行板电容器中电介质在电场的作用下一定会发生变化，必然产生电偶极子，电偶极子在电场中必定会受力，一旦电偶极子受力就会发生位移变化，那么必然存在做功问题，那么就可以从能量角度去分析它的受力，进而得出的两个结果一定是相等的，本文通过例题去检验其确性。

1 介质受力公式的推导（从宏观上理论推导）

介质在进入平行板电容器的过程中（假设电量Q 不变），纵向电场使介质极化所做之功转化为介质的极化能，这仍是电容器储能的一部分，根据能量守恒定律，插入介质后电容的静电能应不变，但是由电容器的能量公式W=Q*Q/2C ，当C 增大时，能量却是减少的，矛盾的出现说明我们一定忽略了某些相互作用的存在，为了避开繁琐的力分析，下面，我们将从能量的角度出发，通过数学方法导出平行板电容器中介质的受力的计算公式。

一个平行板电容器，其中部分地充入介质常数为E(p(m),r)(介质常数一般不仅是空间r 的函数，而且还是介质的质量密度p(m)的函数)并且无自由电荷的介质，假设介质沿X 方向作一个无限小位移X ，则电容器的储能变化为

22111

222W V V v

V

D EDdV dV EDdV

E dV δδδδεε===-⎰⎰⎰⎰ 式(1-1)

而 E 0D ρ=-∇Φ∇==

则 ()221

2V

v

V V

Ddv E dV D D E dV δφδδεδδδε=-∇-

=-∇Φ+Φ∇-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ =22

12S

v

V

V

Dd s dV E dV E dV δδρδεδε-Φ+Φ-

-⎰⎰⎰⎰ 式(1-2) 其中在无穷大界面的值为零，而介质中已设自由电荷密度为零。

对于介质给定的一个无限小位移0X ，相对于空间的一个固定体积来说，必有：

0()m m X v

S

v

dV d s X dV δρρ

ρ=-=-∇∙⎰⎰⎰ 式(1-3)

则 ()

()

00,x x m m

m m m m ρρε

δρρεδερδρ∙∇∂∂-=∂∂=∙∇=而

()

dV E X X E V dV X E V M M

M M M M V w ⎰⎰⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∇∙-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∙∇=∙∇∂∂=ρερρρερρεδ2002221

21 dV E X dV E X d X E M M V M v

m V M M ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∇∙-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰ρε

ρρερρρε2020022121

21 式(1-4)

A 电量Q 恒定

当介质位移0X 时，电场对介质作的功等于电容器储能的减少，即

2222211()()22m M M M M M M M M M v V F E dV E E E E dV

εεεεερρρρρρρρρρ⎡⎤∂∂∂∂∂=∇=∇+∇-∇-∇⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦⎰⎰

B 电压U 恒定

电源所作之功一部分转化为电容器的储能，另一部分对介质做功转化为机械能，即有

W X

Udq δ-=∙-⎰0

0X F dq U v

∙-⎰=dV E E X M

M V

)(21220ρε

ρ∂∂∇∙⎰

⎰=dC U 2dV E X X ε∇-∙=∙-⎰2002

1

举例说明：

例1 如图所示

图

1.1

一个平行板电容器，带电量为Q ，宽为b ，长为L ，两级板间的距离为 d ，其中部分地冲入电介质常数为ε 的均匀电介质，求介质所受的力。

解：在介质内部，0=∇ε 则 内=0，所以介质所受到的力只出现在介质到真空的过度层中，显然作用在极板上下界面的作用大小相等，方向相反，相互抵消。在侧面上，假定介电常数迅速而连续地从ε降到0ε，略去边缘效应后有：E ==21 由上面推导公式可知

x S

x x x V e db E e dydz E e dydz dx e X E dV E F )(2121212102222

00εεεεεε

εεε-=∂-=∂∂-=∇-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

式(1-5)

因为C 总=C 介+C 真=

()[]

d

x b d

b

x d bx r 11)1(00-+=

-+

εεεε 式(1-6)

则 E=()[]

X b Q

cd Q R 110-+εε

即

()[]()()[]x

r r x r r e x b d Q e bd x b Q F 2

020*******)

1(1112-+-=--+=εεεεεεε （0

例2 如图所示

图1.2

一个平行板电容器，在宽为 b 长为L ， 两板之间距离为 a ，电源电压恒为0U

其

中部分地充入介电常数为均匀电介质，求电介质受到的力 解 ： 上面公式可得

dV E X X dC U ε∇-∙=∙-⎰⎰20022

1

()()()0000011111r r b x U C a b x x C a

εεεε+-⎡⎤⎣⎦

=+-++⎡⎤⎣⎦

=

02

0000200

02

20002

2)

1(2)

1()1(2100x a

b U X x a

b U X a

x b U dydz

dx e X E X X dC U r r r x C

C -=∙-+∙=-∂∂-∙=⎰⎰⎰⎰εεεεεεεε

ε

因为介质只能沿 x 方向运动，所以介质受到的合外力只能沿x 方向，即 00>∙X F

所以，F 只能沿 X 正方向。则有，x r e a

b U 2)

1(02

0-=

εε 2 用库仑定律求插入介质板后介质的受力公式（从微观角度出发）

在电场中的电介质要受到电场作用而极化成偶极子（电偶极矩q =）。当偶极子处于电容器中间的均匀场中，如图所示： E q F -=-

E q

F =+ q =

⨯=

(A)在均匀电场中的一个偶极子

图2.1 偶极子的正端受力一向右的拉力E q ，负端受力 一向左的拉力- Eq 作用在这个位置上的偶极子的净力和力矩都是零。如图所示