双曲线的简单几何性质课件

（4）等轴双曲线的离心率e= ?2 离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
(5) e c a
c2 a2 b2
在a、b、c、e四个参数中，知二可求二
双曲线 x2 y2 1 16 9
(1)范围： x 4或x 4, y R
(2)顶点坐标： A1(4,0), A2 (4,0) (3)焦点坐标： F1(5,0), F2 (5,0) (4)离心率： e c 5
y2 b2
1, (a
0,b 0)
直线y b x叫做双曲线的渐进线. a
例如：
x2 y2 1的渐进线为：y 3 x
43
2
x2 y2 1的渐进线为： y x
22
y ybx
a
O
x
y b x a
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
y2 x2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2
y a 或 y a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a）
离心率 渐进线
e c a
(e
如 1何) 记忆双曲线e
c a
A1
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A2
o a
x
它与yyb x的x位置的变化趋势:
a
（3）利画用出慢渐 双慢近 曲靠线 线近可 的以草较图准确的
B1
ybx a
ybx a
能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？
双曲线方程
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0 ) 中，把1改为0，得
5、渐近线方程：y b x
6、离心率：e= c
a
a
X
A2
B1
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1(a b 0)
a2 b2 x a 或 x a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1 O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
(e 1)
y b x a
的渐进线方程？y


a b
x
例题讲解
例1 :求双曲线 9y2 16 x2 144 的半实轴长,半虚轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
b c2 a2 (c )2 1 e2 1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
a
a
e增大时，渐近线与实轴的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0) y
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a,a叫做 半实轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的半虚轴长
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
b B2
(3) x2 ( y 3)2 x2 ( y 3)2 6
(4) (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 3)2 4
曲线是x轴上分别以F1(1,1)和F2(-3,-3)为焦点的双曲线。
一、研究双曲线
x2 a2

y2 b2
1(a 0,b 0)
确定焦 点 位置：椭圆看分母大小,双曲线看系数正负
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
复
习 回
双曲线 图象
顾
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
x
F1
方程
x2 y2
a2
(a
0，bb2


1
0)
y2 x2
a
(a
20，b2b10)
焦点
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
mn 0
(5) 8kx2 ky2 8 的一个焦点为（0,3），则k=___
练习１.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件
是 -2<<-1
.
练习２:下列方程各表示什么轨迹?
(1) x2 (y 3)2 x2 (y 3)2 4
(2) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 5
a.b.c 的关系
c2 a2 b2
(1)方程 x2 y2 1表示椭圆
mn
(2)方程 x2 y2 1 表示双曲线
mn
(3)方程 x2 y2 1 表示双曲线
mn
m 0, n 0, n m mn 0 mn 0
(4)方程 mx2 ny2 1 表示双曲线
x2 a2

y2 b2
0
( x y )( x y ) 0 a ba b
x y 0或 x y 0.
ab
ab
y＝ b x a
（记忆双曲线的渐进线方程的方法）
结论：
双曲线 x2 a2

y2 b2
(

0)

渐近线方程
x2 a2

y2 b2
0.
双曲线 x2 a2

的简单几何性质
1、范围
Βιβλιοθήκη Baidu
y
x2 a2
≥
1, 即x 2
≥
a2
(-x,y)
(x,y)
x≥a, x ≤ a
-a o a
x
另外,
x2 a2

y2 b2

0 可知并夹在两
(-x,-y)
(x,-y)
相交直线之间.(如图)
2、对称性 关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.
A1 -a o a A2
x
-b B1
x2 y2 m(m 0)
4、渐近线
双曲线在第一象限内部 分的方程为
（1） y
b双曲x 2线
x2
aa22
(xby22
1(a
0)

0, b

0)
a的渐近线为 y b x 它与y b x的位置关a系:
（2）等 (m在轴ya双 0ba)的曲 x的渐线下近x方2线 为 y2 m
a4 （5）渐近线方程： y 3 x
4
y F1 A1 O A2 F2 x
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： x 2 a2

y2 b2
1
1、范围：x≥a或x≤-a
Y
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
B2
3、顶点: A1（-a，0），A2（a，0）
A1
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2