第七章：一阶电路和二阶电路总结

uR (0 ) 1 8 8V
L 1A
+
uL (0 ) uC (0 ) uR (0 ) 0
uL
8
+ 8V -
ic(0+)
C
+
uR
-
0+等效电路
7-2 一阶电路的零输入响应
零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元 件初始储能产生的电压和电流响应。
一、RC电路的零输入响应
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t
uc U 0 e
t
0


2
3
5
U0 U0 e -1
U0 e -2 U0 e -3
U0 e -5
uC
U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0
注意
:电容电压衰减到初始电压36.8%所需的时间。
从理论上讲，要经过 t
时间，零输入响应才衰减
K(t=0)
i
+
UO
uC,,uR
i
+ -
uC
uR
UO/R
-
o
t
o
t
1. 换路后,电容电压uC以U0为初始值，随时间按指数规 律衰减至零。 2. 在换路瞬间,电流i由0跃变到U0/R,电阻电压UR也 由0跃变到U0。 3. 放电过程中电压与电流衰减的快慢取决于时 间常数 。
讨论

讨论τ的另一层含义:
则 uC (0 ) uC (0 ) 0
iL (0 ) iL (0 ) 0
（2）非零初始状态：换路前，动态元件均已储能，即
uC (0 ) uC (0 ) 0 iL (0 ) iL (0 ) 0
2、独立初始值的求法 在t=0_时刻的稳态电路中,求出 uC (0 ), iL (0 )
在
uC
uC U0e

t

U0
曲线上任一点B
t
B
作切线BD，则图中次切线


D
t
BC CD tg
uC U 0e t duC 1 U 0e dt

o
C
在零输入响应中，不论何时，若响应一直按照该点 的变化率衰减下去，经过一个时间常数 后，响应 便衰减到零。
③能量关系 + C
非零初始条件
(3)时变电源取其在t=0时的值 (4) t=0+等效电路为一个电阻性电路，依KCL、KVL和 欧姆定律求相关初始值
例1: 图示电路原已达稳态,t=0时，K断开, 求各元件电流、电压初始值 。 解：t<0时，K闭合,电路稳定，有
iL (0 ) 1 A uc (0 ) 8V
换路
电路结构或元件参数等变化而引起电路 状态变化统称为换路。 支路接入或断开 电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时 能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的 时间来完成。
ΔW p Δt
Δt 0
p
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二、 动态电路的方程
例
RC电路 应用KVL和电容的VCR得：
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= RC
1 1 p RC
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 uc 大→过渡过程时间长 U0 大 小→过渡过程时间短 物理含义 C 大（R一定） 电压初值一定： 0
小
t
W=Cu2/2
储能大
R 大（ C一定）
i=u/R
放电电流小
放电时间长
若uL 为有限值，则 上式中积分项为0
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
本质: 磁场能量不能跃变
换路定律
qc (0+) = qc (0－)
换路瞬间，若电容电流保持 为有限值，则电容电压（电荷） uC (0+) = uC (0－) 换路前后保持不变。 换路瞬间，若电感电压保持 L (0+)= L (0－) 为有限值，则电感电流（磁链） iL(0+)= iL(0－) 换路前后保持不变。
第 七 章
一阶电路和二阶电路 的时域分析
点： 动态电路方程的建立及初始条件的确定 零输入响应、零状态响应和全响应 用“三要素法”求解一阶电路 掌握二阶电路在过渡过程中的三种状态 及物理过程 难 点：

重
非独立初始值的确定 一阶电路的阶跃响应、冲击响应的求解 二阶电路的零输入响应 如何根据二阶微分方程的两个特征根确 定方程的齐次通解即电路的零输入响应
dx a1 a0 x e(t ) t 0 dt
二阶电路
2
二阶电路中有二个动态元件,描述 电路的方程是二阶线性微分方程。
dx dx a2 2 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt
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高阶电路
电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。
四、 换路定律
对于线性电容，在任意时刻t,有
q(t) = q(t0 ) + iC ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱξ)dξ
t0
t
1 uC (t) = uC (t0 ) + C

t t0
iC (ξ)dξ
令t0=0-, t=0+, 则得
0 1 0+ uC (0+ ) = uC (0- ) + iC dt C 0 q(0+ ) = q(0- ) + iC dt
A U0
uR (t ) uC U0e

t RC
表明
①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； U0 uC 连续 函数 t , I0 0
i
跃变
t
0
②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关; 令 =RC 称为一阶电路的时间常数
C A S RC F S V V
为零，过渡过程才结束。 工程上认为, 经过 3－5 , 过渡过程结束。
讨论τ的几何意义:
在
uC
uC U0e

t

U0
曲线上任一点B
t
B
作切线BD，则图中次切线


D
t
BC CD tg
uC U 0e t duC 1 U 0e dt

o
C
在零输入响应中，不论何时，若响应一直按照该点 的变化率衰减下去，经过一个时间常数 后，响应 便衰减到零。
依据换路定律：
uC ( 0 ) u C ( 0 ) iL (0 ) i L (0 )
3、非独立初始值的求解
(1) 先求独立初始值uC(0+) , iL(0+) (2) 画t=0+时刻等效电路 零初始条件 C用短路代替 L用开路代替 C用电压值为uC(0+)的电压源代 L用电流值为iL(0+)的电流源代。 （方向与原假定的电容电压、电感电流方 向相同）。
t=0时，K断开，有
+
10V -
2 k (t=0) +
iL
L
iC
+
uc (0 ) uc (0 ) 8V
iL (0 ) iL (0 ) 1 A
uL
8
C
uC
-
画t=0+时的等效电路，L用1A电流源代,C用 8V电压源代.
ic (0 ) iL (0 ) 1A
i
C
+
-
uC
uR
+
R
-
方程的通解为：
k (t=0)
uC Ae
特征根
pt
i
特征方程为：
RCp 1 0
1 p RC 1
C
+ -
uC
uR
+
R
-
则 u Ae RC t C 代入初始值
uC (0 ) Ae 0 U 0
u（ C t) U0e

t RC
则
t duC U 0 RC i ( t ) C e dt R
－
i
R
电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕.
uC
设 uC(0+)=U0
电容放出能量：
1 2 CU 0 2
电阻吸收（消耗）能量：
WR 0
U 02 R
2


0
t U 0 RC 2 ( e ) Rdt i Rdt 0 R 2 2t 2t 1 2 U RC e RC dt 0 ( e RC ) |0 CU 0 2 R 2
uC U0e
t

t

6e
333 t
1k 3mA
1
2
V
i
U0 6 333 t i e e R 3 2e 333 t mA
工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
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稳态分析和动态分析的区别
稳态
恒定或周期性激励
动态
任意激励
换路发生很长时间后状态 换路发生后的整个过程
微分方程的特解
直流时
微分方程的通解
dx a1 a0 x U S dt a0 x U S dx t 0 dt
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(t >0) + Us -
R i + uC –
C
Ri uC u S duC iC dt
若以电流为变量：
duC RC uC uS (t ) dt 1 Ri idt uS (t ) C
di i duS (t ) R dt C dt
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结论
有源 电阻 电路
一个动 态元件
一阶 电路
含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其 电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。
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结论 ①描述动态电路的电路方程为微分方程； ②动态电路方程的阶数通常等于电路中动 态元件的个数。 一阶电路中只有一个动态元件,描述 一阶电路 电路的方程是一阶线性微分方程。
注意 ①电容电流和电感电压为有限值是换路定
律成立的条件。 ②换路定律反映了能量不能跃变。
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五、 电路初始值计算 独立初始值：uC(0+) , iL(0+)
非独立初始值：其它可以跃变的物理量的初始值。
1、零状态与非零初始状态
（1）零状态：换路前电路中的动态元件均未储能，即 uC(0-)=0, iL(0-)=0
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例1：图示电路，开关K合在位置1已久，在t=0 时将K合向2。求电容电压uC(t)及放电电流i(t).
解： uC (0 ) uC (0 ) 3 103 2 103 6V U0
RC 3 103 1 106 0.003S
三.电路的初始条件
① t = 0＋与t = 0－的概念 0－ 换路前最后一瞬间 认为换路在t=0时刻进行
f (0 ) f (0 )
f( t)
0＋ 换路后最初一瞬间 0－ 0 0＋
f (0 ) f (0 )
t
注意 初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数
的值。
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7.1 动态电路的方程及其初始条件
一、 动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
特点
当动态电路状态发生改变时（换路）需要 经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 个变化过程称为电路的过渡过程。
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观察： k(t=0)
U C
灯泡
灯泡马上亮然后才熄灭
结论：K闭合改变了电路的工作状态，由稳态1（K打 开）转变到稳态2（S闭合后无限长时间），中间电容 经历了被充电的过程。 注意： 工程实际中在切断电容或电感电路时会出现 过电压和过电流现象。
0+
q(0+ ) = q(0- ) uC (0+ ) = uC (0- )
若ic 为有限值， 则上式中积分项为0
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 本质: 电场能量不能跃变
对于线性电感，在任意时刻 t, 有
L ( t ) L ( t0 ) uL ( )d
n 1
dx d x dx an n an1 n1 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt dt
动态电路的分析方法 ①根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；
n
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②求解微分方程 时域分析法
本章 采用
复频域分析法
经典法 状态变量法 卷积积分
拉普拉斯变换法 状态变量法
K闭合前，电容已充电 uC(0-)=U0
t=0时K合上,则： uc (0 ) uc (0 ) U0
t 0 有 uc ( t ) uR (t ) 0 duc ( t ) uR ( t ) RC dt duc ( t ) RC uc ( t ) 0 dt
k (t=0)
t0 t
1 t iL ( t ) iL ( t0 ) uL ( )d L t0
令t0=0-, t=0+, 则得
L (0 ) L (0 ) 0 uLdt
0

1 0 i L (0 ) i L (0 ) uLdt L 0
L (0 ) L (0 ) iL (0 ) iL (0 )