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第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念
1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点等，多元函数的定义等概念
2、多元函数的极限
✧ 如00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y A →=（或0
lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义
✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：
（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；
（2）找两种不同趋近方式，若
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可
断言极限不存在。

✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商等）与一元
类似： 例1．用εδ-定义证明
2222
(,)(0,0)
1
lim ()sin
0x y x y x y
→+=+ 例2．设22
22
22,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，讨论(,)(0,0)
lim (,)x y f x y →是否存在？
例3．设2
2224
22
,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，讨论(,)(0,0)
lim (,)x y f x y →是否存在？
例4．求222
(,)(0,0)sin()
lim x y x y x y →+
3、多元函数的连续性0000(,)(,)
lim
(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔
=
✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内
的区域或闭区域。

✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”
例1．讨论函数3322
22
22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩
在（0，0）处的连续性。

例2．求
(,)(1,2)lim
x y x y
xy →+ 例3
．(,)(0,0)lim x y →
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理
二、多元函数的偏导数
1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）
如果极限00000(,)(,)
lim
x f x x y f x y x
∆→+∆-∆存在，则有
00000
0000000(,)(,)(,)lim
x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f
z f x y x
x x
=∆→=====+∆-∂∂====∂∂∆ （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。

）
如果极限00000
(,)(,)
lim
y f x y y f x y y
∆→+∆-∆存在，则有
00
000
0000000
(,)(,)
(,)lim
x x y
y y y y x x x x y y y y f x y y f x y z f z f x y y
y
y
=∆→=====+∆-∂∂=
===∂∂∆
对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。

例1．设2222
22
221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩
，求(,),(,)x y f x y f x y 。

例2．设y
x z =，求y x z z ,。

2、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的高阶偏导数（二元以上类似定义）
, 22(,)xx z z f x y x x x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2(,)xy z z
f x y y x x y ∂∂∂⎛⎫=
= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 22(,)yy z z f x y y y y ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2(,)yx z z f x y x y y x
⎛⎫∂∂∂=
= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 定理：若两个混合二阶偏导数22,z z x y y x ∂∂∂∂∂∂在区域D 内连续，则有22z z
x y y x
∂∂=∂∂∂∂。

例1．设,1r
u =2
22)()()(c z b y a x r -+-+-=，其中c b a ,,为常数，求：
222222z
u
y u x u ∂∂+∂∂∂∂＋。

例2．设x
y arctg
e y x z -+=)(2
2
，求y
x z ∂∂∂2。

3、(,)z f x y =在点(,)P x y 偏导数存在⇒(,)z f x y =在点(,)P x y 连续
4、偏导数的几何意义：00(,)x f x y 表示曲线0(,)
z f x y y y =⎧⎨=⎩
在点000(,,)P x y z 处的切线与
x 轴正向的夹角。

三、全微分
1、(,)z f x y =在点00(,)P x y 可微分的判定方法
若
(,)(,)(,)lim
0x y z f x y x f x y y
∆∆→∆-∆-∆=，则可判定(,)z f x y =在点
00(,)P x y 可微分。

其中00(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-
例1．设22
2222
221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩
，判断函数在（0，0）是否可微分？
2、全微分的计算方法
若(,)z f x y =在00(,)P x y 可微，则有0000(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy =+ 其中0000(,),(,)x y f x y f x y 的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。

例1．设arctan
(0),y
z x x
=≠求dz 。

例2．设w uy z arcsin +=，x
e u =，2
2
y
x x w +=
，求函数：对变量y x ,的全微分dz 。

3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系
✧ 一阶偏导数,x y f f 在00(,)P x y 连续⇒(,)z f x y =在00(,)P x y 可微⇒
(,)z f x y =在00(,)P x y 连续⇒(,)z f x y =在00(,)P x y 有极限
✧ (,)z f x y =在00(,)P x y 可微⇒在00(,)P x y 的一阶偏导数,x y f f 存在
✧
(,)z f x y =在00(,)P x y 可微⇒在00(,)P x y 的方向导数,x y f f 存在
例1．设22
2222
221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩
，
①求(,),(,)x y f x y f
x y ；②判断函数在（0，0）是否可微分？③判断(,),(,)x y f x y f x y 在（0，0）的连续性
四、多元复合函数求导法则
1
、链式求导法则：变量树状图 法则
(1)(,),(),()z f u v u t v t ϕψ===
dz z du z dv dt u dt v dt
∂∂=+∂∂ dz z du z dv z d dt u dt v dt dt
ωω∂∂∂=++∂∂∂ (2)(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ=== ,z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ (,),(,),()z f u v u x y v y ϕψ===
(3)
（2）的特例：,z z u z z u z dv x u x y u y v dy
∂∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂∂， （3）的特例：(,,),(,)z f u x y u x y ϕ==
,z f u f z f u f x u x x y u y f
∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂
例1． 设y x z ln 2
=，而v u x =
，v u y -=3，求u z ∂∂和v
z ∂∂。

例2． 设2
2)(b
a z y e u ax ++=，而x a y sin =，x
b z cos =，则du
dx 。

例3． 设22(,)xy
z f x y e =-，又f 具有连续的二阶偏导数，求2,,z z z x y x y
∂∂∂∂∂∂∂。

（记住一定要设中间变量）
2．一阶全微分形式不变性：
设(,)z f u v =，则不管,u v 是自变量还是中间变量，都有''
u v dz f du f dv =+
✧ 通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。

✧ 当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一
阶偏导数或者全导数比较方便。

例1．设(,,),(,),(),u F x y z z f x y y x ϕ===其中,,F f ϕ都可微，求du dx。

五、隐函数的求导法则
z u x y
x y
1、(,)0()F x y y f x =→=，求
dy dx 方法1（直接代公式）：x y
F dy
dx F =-，其中：(,)x x F F x y =，相当于把F 看成自变量
x ，y 的函数而对x 求偏导数。

方法2：直接对方程两边同时关于x 求偏导（记住()y f x =）：
0x x y
y
F dy dy
F F dx dx F +=→=- 2
22()()()
xx xy y x yx yy y dy dy
F F F F F F d y dx dx dx F +-+=-
2．(,,)0(,)F x y z z f x y =→=，求
,z z
x y
∂∂∂∂ 方法1（直接代公式）：
,y x z z
F F z
z x F y F ∂∂=-=-
∂∂ 方法2：直接对方程两边同时关于x （y ）求偏导（记住(,)z f x y =）：
0x x z z F z z F F dx dx F ∂∂+=→=-，0y y z z
F z z
F F dy dy F ∂∂+=→=-
3．(,,,)0(,),,,(,,,)0(,)
F x y u v u u x y u u v v
G x y u v v v x y x y x y ==⎧⎧∂∂∂∂→⎨
⎨==∂∂∂∂⎩⎩求，
建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x 求偏导，通过解关于未知数
u v
x x
∂∂∂∂，的二元方程组，得到u v
x x
∂∂∂∂，。

同理可求得,u v y y ∂∂∂∂。

例1．设2
),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，
求)1,1,0(-'
x f 。

例2．设有隐函数(
,)0x y F z z =，其中F 的偏导数连续，求,z z x y
∂∂∂∂。

例3．设(,)G u v 可微，方程(,)0G u v =，其中2
2
,u x yz v y xz =+=+确定了z 是x ，
y 的二元可微隐函数，试证明：2
22(2)(2)4z z
y xz x yz z xy x y
∂∂-+-=-∂∂。

六、多元函数微分学的几何应用
1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线，两曲面交线
000
00
0'''000'''000()
()()()()()()()0()()()()
x x t x x y y z z y y t x t x x y t y y z t z z x t y t z t z z t =⎧---⎪=⇒==⇒-+-+-=⎨⎪=⎩
切线向量'''000{(),(),()}x t y t z t
000000''00''00()()()()()()()0()1()()()
x x
x x y y z z y y x y y x x x y t y y z t z z z z x y t z t z z x =⎧---=⎧⎪
⇒=⇒==⇒-+-+-=⎨⎨
=⎩⎪=⎩
切线向量''00{1,(),()}y x z x
(,,)0()()(,,)0()()
x x
F x y z y y x y y x
G x y z z z x z z x =⎧==⎧⎧⎪⇒⇒=⎨
⎨⎨==⎩⎩⎪=⎩
切线向量''
00{1,(),()}y x z x 0
00000''00'
'
00()()()()()01
()
()
x x y y z z x x y t y y z t z z y t z t ---⇒
=
=
⇒-+-+-=
3、 曲面的切平面与法线方程（两种形式）——隐函数，显示函数
000000
000
000000()()()0(,,)0(,,)(,,)(,,)
x y z x y z F x x F y y F z z F x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z -+-+-=⎧⎪=⇒---⎨==⎪⎩ 法线向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z
00000000
00()()()0(,)(,)(,)1
x y x y f x x f y y z z z f x y x x y y z z f x y f x y -+---=⎧⎪=⇒---⎨==⎪-⎩ 法线向量0000{(,),(,),1}x y f x y f x y -，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：
cos f αβγ-===
例1． 在曲线t x =，22t y =，3
3t z =上求点，使该点处曲线的切线平行平面
1478=-+z y x 。

例2． 设),(y x f 具有一阶连续偏导数，且02
2
≠+y x f f ，对任意实数t 有
),(),(y x tf ty tx f =，试证明曲面),(y x f z =上任意一点),,(000z y x 处的法线与直线
00z z y y x x ==相垂直。

例3． 由曲线223212
x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点（0
向外侧的单位法向量，
七、方向导数与梯度
1、方向导数的概念和计算公式
(,)z f x y =在(,)P x y 沿l 方向的方向导数为：
① 设'(,)P x x y y +∆+∆为l 上一点，则
'00()()(,)(,)
lim lim
f f P f P f x x y y f x y l ρρρρ
→→∂-+∆+∆-==∂ ② 设l 的方向余弦为：{cos ,cos }l αβ=，则
cos cos f f f l x y
αβ∂∂∂=+∂∂∂ 可微⇒方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系
2、梯度的概念和计算公式 (,)z f x y =在(,)P x y 沿什么方向的方向导数最大？
沿梯度方向{,}P f f G x y ∂∂=∂∂
的方向导数最大，最大值为梯度的模||G =
例1．求函数2
2
2
),,(z y x z y x f -+=在点)5,4,3(0P 沿曲线⎩
⎨⎧=+=-+2
2222225
22z y x z y x 在点0P 处的切线方向的方向导数。

例2．求函数3
2),(y x y x f =在点（2，1）沿方向j i l +=的方向导数
例3．设函数(,)y
z f x y xe ==，（1）求出f 在点P （2，0）处沿P 到Q （1/2，2）方向
的变化率；（2）f 在P （2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？
八、多元函数的极值及其求法
1、掌握极值的必要条件、充分条件
2、掌握求极值的一般步骤
3、掌握求条件极值的一般方法——拉格朗日乘数法
例1．求函数3
3
2
2
(,)339f x y x y x y x =-++-的极值。

例2．设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a ，问这三条棱长各取什么值时，长方体
的表面积最大？ 例3．求旋转抛物面2
2
z x y =+与平面22x y z +-=之间的最短距离。

解答
二、1. D ;2．
1-=∂∂y yx x
z
，x x y z y ln =∂∂；3．2ln )(2ln ⋅⋅='=xy x xy x z y xy z z 4．)()()(z p y g x f u x '=；)()()(z p y g x f u y '=； )()()(z p y g x f u z '= 5．2222220u u u x y z ∂∂∂+=∂∂∂＋；6．2z x y ∂∂∂=x y
arctg e y
x xy x y -+--2
222 三、1．dy y
y x xy
e dx y
x y ye dz x
x
))(()(2
22
2+++++
=∴ 四．1．2222ln(3)3(3)z u u v u u v v u v ∂-=+∂-，22
22
2ln(3)(3)
z u u v u v v v u v ∂--=-∂- 2．]sin )([22
x b z y a b a e ax
-++ 3．'⋅-'⋅=-⋅'+⋅'=∂∂2212212)(2f x y f y x x y f y x f x z ； ))(2(222
1211122x y f y x f y x f y x z -⋅"
+⋅"+'=∂∂ ))(2(222221223x
y f y x f x y f x y -⋅"
+⋅"-'+ ＝"
+"-"+'+'22421211222314422f x
y f x f y x f x y f y
4．解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅∂∂-⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂21212121y z x z z y z x z y y z x x z z ηξξξ ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧∂∂=∂∂-∂∂∂∂=∂∂+∂∂)
2(2)
1(2ηξz y
z x z z y z
x z
ηξ∂∂+∂∂=∂∂⇒+z z x z )2()1( ηξ∂∂-∂∂=∂∂⇒-z z y z )2()1( 令
0=∂∂⇒∂∂-∂∂=∂∂+∂∂η
ηξηξz z z z z 5.c 五、1．1；
六、1．解：所求点对应0t t =， 切线方向向量{}
2
009,4,1t t s =， '
s 应垂直平面的法向量{}4,7,8-=n ，即036288200=-+=⋅t t n s ，
解得00=t 或9
2
-
，所求点)3,2,1(和)2438,818,92(-
-。

2．解：分析：02
2≠+y x f f ，即x f ，y f 不同时为零，其中),,(000z y x s =，而
{}1),,(),,(0000-=y x f y x f n y z 。

要证0=⋅s n ，即0),(),(0000000=-+z y x f y y x f x y x 证明：将),(),(y x tf ty tx f =对t 求导
),(),(),(y x f ty tx yf ty tx xf ty tx =+对任何t 成立，∴取1=t 有z y x f y x yf y x xf y x ==+),(),(),(
以),(000y x f z =代入0),(),(0000000=-+⇒z y x f y y x f x y x 即得证。

3．解：记 02522),,(2
2
2
=--+=z y x z y x F ，0),,(2
2
2
=-+=z y x z y x G
曲线在点0P 处切线方向向量为000},,{},,{|P z y x P z y x P G G G F F F l '
''⨯'''=
＝}0,3,4{20}5,4,3{2}5,8,6{2-=-⨯-
}0,5
3
,54{-=o l ；
γβαcos |cos |cos |000⋅'
+⋅'+⋅'=∂∂P z P y P x f f f l f ＝005
38)54(6=+⨯+-⨯ 4.A。