高中数学选修2-1第三章空间向量测试题

选修2-1第三章空间向量检测题(一)

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(3，λ，15

2

)平行，则λ＝( )

C ．－92

D ．－2

3

2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→

等于( )

3．若向量a ＝(1，m,2)，b ＝(2，－1,2)，若cos 〈a ，b 〉＝8

9

，则m 的值为( )

A ．2

B ．－2

C ．－2或255

D ．2或－2

55

4．已知空间向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则与向量a ＋b 方向相反的单位向量的坐标是( ) A ．(0,1,2) B ．(0，－1，－2) C ．(0，

15，25) D ．(0，－15，－2

5

) 5．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 内任一点O ，下列条件中能确定M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) ＝OA →＋OB →＋OC → ＝2OA →－OB →－OC →

＝OA →＋12OB →＋13OC →

＝13OA →＋13OB →＋13

OC →

6.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →

，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( )

A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13

B ．x ＝13，y ＝13，z ＝1

6

C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13

D ．x ＝16，y ＝13，z ＝1

3

7.如图所示，已知三棱锥A －BCD ，O 为△BCD 内一点，则AO →＝13(AB →＋AC

→

＋AD →

)是O 为△BCD 的重心的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若ABCD 是边长为2的正方形，AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则BD 1的长为( )

A ．3 D ．9

9.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 与BC 1所成的角是( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°

10．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥的体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为( )

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

11.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝90°，M 在△ABC 内，∠MPA ＝60°，∠MPB ＝45°，则∠MPC 的度数为( ) A ．150° B ．45° C ．60°

D ．120°

12．已知直二面角α－PQ －β，A ∈PQ ，B ∈α，C ∈β，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α所成的角为30°，那么二面角B －AC －P 的正切值为( )

A ．2

B ．3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

13．已知四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.

14．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA1＝6，M 是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成角的大小为________．

15．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是边长为a 的正方形，AA 1＝b ，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则AC 1的长为________．

16.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝1

2AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与

平面AGC 所成角的正弦值为________．

三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70

分)

17．(10分)已知A(1，－2,11)，B(6，－1,4)，C(4,2,3)，D(12,7，－12)，证明：A，B，C，D四点共面．

18．(12分)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线BD1上，∠PDA＝60°.

(1)求DP与CC 1所成角的大小；(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小．

19.(12分)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．

(1)求证A1E⊥BD；(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．

20.(12分)如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD

＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝1

2CD＝a，PD＝2a.

(1)若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．

21.(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.

(1)求证AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．

22.(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．

(1)证明MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．