交通网络

就是说x1, x2, x3, x4这四个未知量中, 任意 一个未知量的值统计出来之后都可以确定 出其他三个未知量的值。
Matlab练习题 某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是 单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图 中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉 路口进入和离开的车数相等, 整个图中进入和离 开的车数相等。 现在需要解决如下问题： （1）建立确定每条道路流量的线性方程组。 （2）分析哪些流量数据是多余的。 （3）为了唯一确定未知流量, 需要增添哪 几条道路的流量统计 。
案例1 交通网络流量分析问题
城市道路网中每条道路、每个交叉 路口的车流量调查，是分析、评价及改 善城市交通状况的基础。根据实际车流 量信息可以设计流量控制方案，必要时 设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
下图为某城市的局部单行示意图
【问题描述】： 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行 驶的车流量(单位: 辆).

【模型求解】根据上述等式可得如下线性方 程组。 500 x1 x 2
x1 x4 100 x 2 x3 300 x3 x 4 3 0 0
其增广矩阵
1 1 0 0 1 0 500 0 0 1 100 初等行变换 1 1 0 300 0 1 1 300 0 1 0 0 0 0 0 1 100 1 0 1 600 0 1 1 300 0 0 0 0
(A, b) =
由此可得
x1 x 4 1 0 0 x2 x4 600 x x 300 4 3
x1 x 4 1 0 0 x2 x4 600 x x 300 4 3
即：

为了唯一确定未知流量, 只要增添x4统计的值即可. 当x4 = 350时, 确定x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50. 若x4 = 200, 则x1 = 100, x2 = 400, x3 = 100 < 0. 这表明单行线“③④”应该改为“③④”才合 理。 【模型分析】 （1） 由(A, b)的行最简形可见, 上述方程组中的最 后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的 x x 100 x 2 x1 5 0 0 数据“300”可以不用统计. x x 600 （2）由 可得 x 3 x1 2 0 0
一个网络由一个点集以及连接部分或全部 点的直线或弧线构成。 网络中的点称作联结点 (或节点)，网络中的连接线称作分支. 每一分支 中的流量方向已经指定，并且流量(或流速)已 知或者已标为变量。
x3
x1
60
x4
80
x2
(a )
x5
(b )
网络流的基本假设是（1）网络中流入与流 出的总量相等；（2）每个节点上流入和流出 的总量也相等。例如，上面两图（a）、（b）。 流量在每个节点守恒。 在类似的网络模式中， 每个结点的流量都可以用一个线性方程来表示。 网络分析要解决的问题是：在部分信息(如 网络的输入量)已知的情况下，确定每一分支中 的流量。

220
300
100
x1
180
x2
300
x7
x3
x9
x4 x10
x11
500 x12
350
x8
x5
160 150 400
x6
150
290
图 某城市单行线车流量
400 500 1 x2 100 x3 X4 x1 2 300
3
200
4
300
图3 某城市单行线车流量示意图
现在需要解决的问题如下：
（1） 建立确定每条道路流量的线性方程组. （2） 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪 几条道路的流量统计? （3） 当x4 = 350时, 确定x1, x2, x3的值. （4） 若x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合 理? 。
1 4

x x 300 4 3
2
4
x 4 x1 1 0 0
x1 x 2 5 0 0 x3 x2 3 0 0 x4 x2 600
,
x1 x 3 2 0 0 x2 x3 3 0 0 x4 x3 3 0 0
【模型假设】： （1） 每条道路都是单行线 （2） 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等. 【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④ 四个路口进出车辆数目分别满足： 500 = x1 + x2 ① 400 + x1 = x4 + 300 ② x2 + x3 = 100 + 200 ③ x4 = x3 + 300 ④