第四章 递归程序设计
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if (disk_num == 1) { // 仅有一个盘时，直接从from柱移到to柱 cout << "Move disk1 from " << from << " to " << to << "\n";
} else { // 将disk_num - 1个盘从from柱移到aux柱，借助于to柱 move_tower(disk_num - 1, from, aux, to); // 将最下的盘从from柱移到to柱 cout << "Move disk" << disk_num << " from " << from << " to " << to << "\n"; // 将disk_num - 1个盘从aux柱移到to柱，借助于from柱 move_tower(disk_num - 1, aux, to, from);
其中1和3的解决方法与问题本身的解决方法相同，只 是盘数和柱子不同，因此可使用递归技术
注意：在使用递归技术时，多数情况下是解决问题的 方法相同，而处理的数据不同，这时就可将那些不同 的数据作为递归函数的参数。
14
解决汉诺塔问题的源代码：
// 函数： move_tower // 功能： 将disk_num个盘从from柱移到to柱，可以借助aux柱 void move_tower(int disk_num, char from, char to, char aux) {
游戏规则：
•将所有的盘从A柱移到C 柱，在移动过程中可以借 助另一个B柱 •每次只能移动柱最上面 的一个盘 •任何盘都不得放在比它 小的盘上
13
分析
汉诺塔问题看似复杂，但仔细分析一下，要将n个盘 从A柱移到C柱，可将此问题分解为三个子问题：
1. 将n-1个盘从A柱移到B柱 2. 将第n个盘从A柱移到C柱 3. 将n-1个盘从B柱移到C柱
递归函数的一般形式：
if (最易解决的情况) // 基础分支
解决语句
else
// 递归分支
递归函数调用
6
1、递归程序设计概述（续）
递归程序的可终止性：
正确的递归程序必须是可终止的 递归算法的基础分支通常就是终止分支 所有递归程序都必须至少拥有一个基础分
支，而且必须确保它们最终会达到某个基础 分支；否则，程序将永远运行下去，直到程 序缺少内存或者栈空间
每次递归使得问题规模变小，变得更容易解决 每个递归算法必须有一个基础分支和一个递归分支
基础分支（基线条件，base case）：最容易解决的
情况，递归程序的最底层位置。在此位置时没有必 要再进行操作，可以直接返回一个结果。 递归分支（general case）：普遍情况
5
1、递归程序设计概述（续）
if (n < 2) result = 1; //基础分支 else result = fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); //递归分支 return result; }
9
[例]：求1到n之间整数的和
int Summation (int n )
// 用递归方式计算1到n的和：将1到（n-1）的和加上n
第四章 递归程序设计
参见教材4.9节
1
主要内容及要求
主要内容
递归程序设计概述 简单递归程序 汉诺塔问题 递归程序的内部调用栈实现方式
要求
重点掌握递归程序设计的基本方法，以及递归程序 的执行过程
了解递归程序的内部调用栈实现方式
2
1、递归程序设计概述
递归是计算机科学中很重要的技术，例如，表达式 可以非形式化地定义为：
} return; }
15
ห้องสมุดไป่ตู้
move_tower函数的调用：
int main() {
// 将4个盘从A柱移到C柱，移动时利用B柱 move_tower(4, 'A', 'C', 'B'); return 0; }
16
4、递归程序的内部调用栈实现方 式 ：fibonacci函数的执行分析
调用函数时，系统会分配一块内存保存与函数 调用相关的数据，包括：函数的返回地址、形 式参数、局部变量和返回值等
之前）
出现在 fibonacci(2) 中else部分 “+”之前的
返回值
1 fibonacci(2)，前 fibonacci(3)，前
fibonacci(4) main()
24
输出：
43210
fibonacci(1)返回 到fibonacci(2)的 else部分（“+”之 前），因而继续
调用 fibonacci(0)， fibonacci(0)的相 关数据入栈
return result;
}
void main()
{
cout<<fibonacci(4);
}
18
首先main函 数的相关数
据入栈
main()
注：这是简化的堆 栈示意图，用函数 的入栈和出栈表示 与函数调用相关的 数据的入栈和出 栈，“前”表示返回地 址为else语句中“+” 运算符之前， “后” 表示返回地址为语 句中“+”运算符之后。
fibonacci(4) main()
执行 fibonacci(1)， 输出形参值1
23
输出：
4321
因为实参值为1 （<2），所 以，执行
fibonacci(1)的if 部分，因而 fibonacci(1)返
回，fibonacci(1) 的相关数据出 栈；并将值1返 回到fibonacci(2) 的else部分（“+”
之后）
出现在 fibonacci(2) 中else部分 “+”之后的
返回值
1 fibonacci(2)，前 1 fibonacci(3)，前
fibonacci(4)， main()
26
输出： 43210
因为fibonacci(0)返 回到fibonacci(2)的 else部分（“+”之
后），所以 fibonacci(2)返回， fibonacci(2)的相关
fibonacci(3)，前 fibonacci(4) main()
执行 fibonacci(3)， 输出形参值3
21
输出：
432
因为实参值为 3（>2），所
以，执行 fibonacci(3)的 else部分，因
而调用 fibonacci(2)， fibonacci(2)的 相关数据入栈
执行 fibonacci(2)， 输出形参值2
fibonacci(0)，后 1 fibonacci(2)，前
fibonacci(3)，前 fibonacci(4) main()
执行 fibonacci(0)， 输出形参值0
25
输出：
43210
因为实参值为0 （<2）,执行
fibonacci(0)的if 部分，因而 fibonacci(0)返
回，fibonacci(0) 的相关数据出 栈；并将值1返 回到fibonacci(2) 的else部分（“+”
数据出栈；并将值 1+1=2返回到
fibonacci(3)的else 部分（“+”之前）
2 fibonacci(3)，前 fibonacci(4)， main()
27
输出： 432101
fibonacci(2)返回 到fibonacci(3)的 else部分（“+”之 前），因而继续
调用 fibonacci(1)， fibonacci(1)的相 关数据入栈
递归程序设计的关键
如果要解决的问题、要计算的函数是以 递归方式定义的，相应的递归程序比较 容易设计
对于未曾给出递归定义、用单纯的循环 又难以表达清楚算法的较难问题，其关 键在于分析出问题的递归性所在
12
3、汉诺塔（梵塔）问题
传说在19世纪末，Bramah神庙的教士玩一种称为梵 塔（Tower of Hanoi）的游戏：共有三个木柱和n个 大小各异、能套进木柱的盘。盘按由小到大的顺序 标上号码1～n。开始时n个盘全套在A柱上，且小的 放在大的上面。
返回 4 + Summation(3) = 4 + 6 = 10
n 4
返回 3 + Summation(2) = 3 + 3 = 6
调用 2:
n
Summation(3) 3
调用 3:
Summation(2)
返回 2 + Summation(1)
=2+1= 3
n 2
n==1
返回 1
调用 4:
n
Summation(1) 1 11
fibonacci(1)，后 2 fibonacci(3)，前
fibonacci(4) main()
执行 fibonacci(1)， 输出形参值1
28
输出： 432101
因为实参值为1
（<2），所
以，执行
fibonacci(1)的if
部分，因而
fibonacci(1)返
回，fibonacci(1) 的相关数据出
fibonacci(2)，前 fibonacci(3)，前
fibonacci(4) main()
22
输出：
4321
因为实参值为 2，所以，执 行fibonacci(2) 的else部分，
因而调用 fibonacci(1)， fibonacci(1)的 相关数据入栈
fibonacci(1)，前 fibonacci(2)，前 fibonacci(3)，前
通常系统会使用堆栈来保存与函数调用相关的 数据，当函数被调用时，相关数据入栈，函数 返回时，相关数据出栈
程序运行时，每次调用递归函数factorial()会在 内存中建立一个调用实例，调用结束时，此实 例从内存中消失
17
fibonacci函数的执行分析（续）
// 函数： fibonacci
C++语言中用递归函数来实现递归 递归函数（recursive function）
在其定义中直接或间接调用自己的函数 直接（direct）递归函数 间接（indirect）递归函数
4
1、递归程序设计概述（续）
递归程序设计的基本思想：
求解问题时通常将复杂的问题分解成若干子问题， 如果分解得到的某些子问题的解决方法与原来问题 的解决方法相同或相似，就可以使用递归技术
// 前置条件：n被赋值 && n > 0
// 后置条件：函数值==1到n的和
{ if ( n == 1)
// 基础分支
return 1 ;
else
// 递归分支
return ( n + Summation ( n - 1 ) ) ;
}
10
Summation(4) 的执行过程
调用1:
Summation(4)
19
输出： 4
调用 fibonacci(4)
， fibonacci(4) 的相关数据
入栈
fibonacci(4) main()
执行 fibonacci(4)， 输出形参值4
20
输出：
43
因为实参值为 4（>2），所
以，执行 fibonacci(4)的 else部分，因
而调用 fibonacci(3)， fibonacci(3)的 相关数据入栈
// 功能：使用递归方法计算Fibonacci序列。
int fibonacci(int n)
{
int result;
cout<<n<<“ “;
//为了更清楚的说明执行情况， //在函数中增加输出形参值的语句，
if (n < 2) result = 1; //基础分支
else result = fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); //递归分支
7
2、简单递归程序
[例]：编制函数计算Fibonacci序列
1 n=0 f(n) = 1 n = 1
f(n - 1) + f(n - 2) n > 1
分析： •这是一个典型的数学递归定义，可用递归程序解决。 •递归调用的基础分支是n<2
8
计算Fibonacci序列的递归函数
// 函数： fibonacci // 功能：使用递归方法计算Fibonacci序列。 int fibonacci(int n) { int result;
2 fibonacci(3)，前 1
栈；并将值1返
fibonacci(4)，
回到fibonacci(3) 的else部分（“+”
main()
之后）
29
输出： 432101
fibonacci(1)返回
到fibonacci(3)的
变量或常量是表达式 （表达式）是表达式 表达式 二元运算符 表达式 是表达式 … 这就用到了递归技术
许多由计算机解决的问题都要用到递归技术 求解问题时通常将复杂的问题分解成几个子问题，
如果分解得到的某些子问题的解决方法与原来问题 的解决方法相同或相似时，就可以用到递归技术。
3
1、递归程序设计概述（续）
} else { // 将disk_num - 1个盘从from柱移到aux柱，借助于to柱 move_tower(disk_num - 1, from, aux, to); // 将最下的盘从from柱移到to柱 cout << "Move disk" << disk_num << " from " << from << " to " << to << "\n"; // 将disk_num - 1个盘从aux柱移到to柱，借助于from柱 move_tower(disk_num - 1, aux, to, from);
其中1和3的解决方法与问题本身的解决方法相同，只 是盘数和柱子不同，因此可使用递归技术
注意：在使用递归技术时，多数情况下是解决问题的 方法相同，而处理的数据不同，这时就可将那些不同 的数据作为递归函数的参数。
14
解决汉诺塔问题的源代码：
// 函数： move_tower // 功能： 将disk_num个盘从from柱移到to柱，可以借助aux柱 void move_tower(int disk_num, char from, char to, char aux) {
游戏规则：
•将所有的盘从A柱移到C 柱，在移动过程中可以借 助另一个B柱 •每次只能移动柱最上面 的一个盘 •任何盘都不得放在比它 小的盘上
13
分析
汉诺塔问题看似复杂，但仔细分析一下，要将n个盘 从A柱移到C柱，可将此问题分解为三个子问题：
1. 将n-1个盘从A柱移到B柱 2. 将第n个盘从A柱移到C柱 3. 将n-1个盘从B柱移到C柱
递归函数的一般形式：
if (最易解决的情况) // 基础分支
解决语句
else
// 递归分支
递归函数调用
6
1、递归程序设计概述（续）
递归程序的可终止性：
正确的递归程序必须是可终止的 递归算法的基础分支通常就是终止分支 所有递归程序都必须至少拥有一个基础分
支，而且必须确保它们最终会达到某个基础 分支；否则，程序将永远运行下去，直到程 序缺少内存或者栈空间
每次递归使得问题规模变小，变得更容易解决 每个递归算法必须有一个基础分支和一个递归分支
基础分支（基线条件，base case）：最容易解决的
情况，递归程序的最底层位置。在此位置时没有必 要再进行操作，可以直接返回一个结果。 递归分支（general case）：普遍情况
5
1、递归程序设计概述（续）
if (n < 2) result = 1; //基础分支 else result = fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); //递归分支 return result; }
9
[例]：求1到n之间整数的和
int Summation (int n )
// 用递归方式计算1到n的和：将1到（n-1）的和加上n
第四章 递归程序设计
参见教材4.9节
1
主要内容及要求
主要内容
递归程序设计概述 简单递归程序 汉诺塔问题 递归程序的内部调用栈实现方式
要求
重点掌握递归程序设计的基本方法，以及递归程序 的执行过程
了解递归程序的内部调用栈实现方式
2
1、递归程序设计概述
递归是计算机科学中很重要的技术，例如，表达式 可以非形式化地定义为：
} return; }
15
ห้องสมุดไป่ตู้
move_tower函数的调用：
int main() {
// 将4个盘从A柱移到C柱，移动时利用B柱 move_tower(4, 'A', 'C', 'B'); return 0; }
16
4、递归程序的内部调用栈实现方 式 ：fibonacci函数的执行分析
调用函数时，系统会分配一块内存保存与函数 调用相关的数据，包括：函数的返回地址、形 式参数、局部变量和返回值等
之前）
出现在 fibonacci(2) 中else部分 “+”之前的
返回值
1 fibonacci(2)，前 fibonacci(3)，前
fibonacci(4) main()
24
输出：
43210
fibonacci(1)返回 到fibonacci(2)的 else部分（“+”之 前），因而继续
调用 fibonacci(0)， fibonacci(0)的相 关数据入栈
return result;
}
void main()
{
cout<<fibonacci(4);
}
18
首先main函 数的相关数
据入栈
main()
注：这是简化的堆 栈示意图，用函数 的入栈和出栈表示 与函数调用相关的 数据的入栈和出 栈，“前”表示返回地 址为else语句中“+” 运算符之前， “后” 表示返回地址为语 句中“+”运算符之后。
fibonacci(4) main()
执行 fibonacci(1)， 输出形参值1
23
输出：
4321
因为实参值为1 （<2），所 以，执行
fibonacci(1)的if 部分，因而 fibonacci(1)返
回，fibonacci(1) 的相关数据出 栈；并将值1返 回到fibonacci(2) 的else部分（“+”
之后）
出现在 fibonacci(2) 中else部分 “+”之后的
返回值
1 fibonacci(2)，前 1 fibonacci(3)，前
fibonacci(4)， main()
26
输出： 43210
因为fibonacci(0)返 回到fibonacci(2)的 else部分（“+”之
后），所以 fibonacci(2)返回， fibonacci(2)的相关
fibonacci(3)，前 fibonacci(4) main()
执行 fibonacci(3)， 输出形参值3
21
输出：
432
因为实参值为 3（>2），所
以，执行 fibonacci(3)的 else部分，因
而调用 fibonacci(2)， fibonacci(2)的 相关数据入栈
执行 fibonacci(2)， 输出形参值2
fibonacci(0)，后 1 fibonacci(2)，前
fibonacci(3)，前 fibonacci(4) main()
执行 fibonacci(0)， 输出形参值0
25
输出：
43210
因为实参值为0 （<2）,执行
fibonacci(0)的if 部分，因而 fibonacci(0)返
回，fibonacci(0) 的相关数据出 栈；并将值1返 回到fibonacci(2) 的else部分（“+”
数据出栈；并将值 1+1=2返回到
fibonacci(3)的else 部分（“+”之前）
2 fibonacci(3)，前 fibonacci(4)， main()
27
输出： 432101
fibonacci(2)返回 到fibonacci(3)的 else部分（“+”之 前），因而继续
调用 fibonacci(1)， fibonacci(1)的相 关数据入栈
递归程序设计的关键
如果要解决的问题、要计算的函数是以 递归方式定义的，相应的递归程序比较 容易设计
对于未曾给出递归定义、用单纯的循环 又难以表达清楚算法的较难问题，其关 键在于分析出问题的递归性所在
12
3、汉诺塔（梵塔）问题
传说在19世纪末，Bramah神庙的教士玩一种称为梵 塔（Tower of Hanoi）的游戏：共有三个木柱和n个 大小各异、能套进木柱的盘。盘按由小到大的顺序 标上号码1～n。开始时n个盘全套在A柱上，且小的 放在大的上面。
返回 4 + Summation(3) = 4 + 6 = 10
n 4
返回 3 + Summation(2) = 3 + 3 = 6
调用 2:
n
Summation(3) 3
调用 3:
Summation(2)
返回 2 + Summation(1)
=2+1= 3
n 2
n==1
返回 1
调用 4:
n
Summation(1) 1 11
fibonacci(1)，后 2 fibonacci(3)，前
fibonacci(4) main()
执行 fibonacci(1)， 输出形参值1
28
输出： 432101
因为实参值为1
（<2），所
以，执行
fibonacci(1)的if
部分，因而
fibonacci(1)返
回，fibonacci(1) 的相关数据出
fibonacci(2)，前 fibonacci(3)，前
fibonacci(4) main()
22
输出：
4321
因为实参值为 2，所以，执 行fibonacci(2) 的else部分，
因而调用 fibonacci(1)， fibonacci(1)的 相关数据入栈
fibonacci(1)，前 fibonacci(2)，前 fibonacci(3)，前
通常系统会使用堆栈来保存与函数调用相关的 数据，当函数被调用时，相关数据入栈，函数 返回时，相关数据出栈
程序运行时，每次调用递归函数factorial()会在 内存中建立一个调用实例，调用结束时，此实 例从内存中消失
17
fibonacci函数的执行分析（续）
// 函数： fibonacci
C++语言中用递归函数来实现递归 递归函数（recursive function）
在其定义中直接或间接调用自己的函数 直接（direct）递归函数 间接（indirect）递归函数
4
1、递归程序设计概述（续）
递归程序设计的基本思想：
求解问题时通常将复杂的问题分解成若干子问题， 如果分解得到的某些子问题的解决方法与原来问题 的解决方法相同或相似，就可以使用递归技术
// 前置条件：n被赋值 && n > 0
// 后置条件：函数值==1到n的和
{ if ( n == 1)
// 基础分支
return 1 ;
else
// 递归分支
return ( n + Summation ( n - 1 ) ) ;
}
10
Summation(4) 的执行过程
调用1:
Summation(4)
19
输出： 4
调用 fibonacci(4)
， fibonacci(4) 的相关数据
入栈
fibonacci(4) main()
执行 fibonacci(4)， 输出形参值4
20
输出：
43
因为实参值为 4（>2），所
以，执行 fibonacci(4)的 else部分，因
而调用 fibonacci(3)， fibonacci(3)的 相关数据入栈
// 功能：使用递归方法计算Fibonacci序列。
int fibonacci(int n)
{
int result;
cout<<n<<“ “;
//为了更清楚的说明执行情况， //在函数中增加输出形参值的语句，
if (n < 2) result = 1; //基础分支
else result = fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); //递归分支
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2、简单递归程序
[例]：编制函数计算Fibonacci序列
1 n=0 f(n) = 1 n = 1
f(n - 1) + f(n - 2) n > 1
分析： •这是一个典型的数学递归定义，可用递归程序解决。 •递归调用的基础分支是n<2
8
计算Fibonacci序列的递归函数
// 函数： fibonacci // 功能：使用递归方法计算Fibonacci序列。 int fibonacci(int n) { int result;
2 fibonacci(3)，前 1
栈；并将值1返
fibonacci(4)，
回到fibonacci(3) 的else部分（“+”
main()
之后）
29
输出： 432101
fibonacci(1)返回
到fibonacci(3)的
变量或常量是表达式 （表达式）是表达式 表达式 二元运算符 表达式 是表达式 … 这就用到了递归技术
许多由计算机解决的问题都要用到递归技术 求解问题时通常将复杂的问题分解成几个子问题，
如果分解得到的某些子问题的解决方法与原来问题 的解决方法相同或相似时，就可以用到递归技术。
3
1、递归程序设计概述（续）