2019届辽宁省实验中学高三模拟考试数学(理)试题(解析版)
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2019届辽宁省实验中学高三模拟考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求得集合 ， ，结合集合的交集运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合 ，集合 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合 ，结合集合的交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
当a为负偶数时，f（x）＝xa（ex+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限先减后增，D选项符合；
当a为负奇数时，f（x）＝xa（ex+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，f（x）为奇函数，不经过原点且在第一象限先减后增，没有选项符合，
综合可得：D可能是函数f（x）＝xa（ex+e﹣x）（a∈Z）的图象；
二、填空题
13．若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为___________.
【答案】2
【解析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线可得 的最大值.
【详解】
不等式组对应的可行域如图所示：
平移动直线 至 时， 有最大值，
又 得 ，故 ，故填 .
【点睛】
二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如 表示动直线 的横截距的三倍，而 则表示动点 与 的连线的斜率．
18．如图，四棱锥 中，四边形 是边长为2的菱形 ，
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 ，求直线 与平面 所成角正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）过D作 ，垂直为O，连接 ，利用勾股定理证得 ，结合 ，证得 平面 ，即可得到平面 平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，通过计算法向量的夹角的余弦值，求得 的长，再结合线面角的定义，即可求解.
【解析】由题意，得到 ，解得 ，求得二项展开式的通项，代入即可求解.
【详解】
由题意， 的展开式中第三项与第四项二项式系数相等，
即 ，解得 ，即二项式 ，
又由二项式 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
又由a∈Z，
当a＝0，f（x）＝ex+e﹣x，（x≠0）其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，没有选项符合；
当a为正偶数时，f（x）＝xa（ex+e﹣x），其定义域为R，f（x）为偶函数且过原点，在第一象限为增函数，没有选项符合，
当a为正奇数时，f（x）＝xa（ex+e﹣x），其定义域为R，f（x）为奇函数且过原点，在第一象限为增函数且增加的越来越快，没有选项符合，
【详解】
（1）过D作 ，垂直为O，连接 ，
在 中， ， ，可得 ，
在 中，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 为等边三角形，所以 ，
所以 ，可得 ，又由 ，且 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）知，以O为原点， ， ， 方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系
设 ，则 ， ， ， ，
6．记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （）
A．8B．9C．16D．15
【答案】D
【解析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，求得公差 ，再由等差数列的通项公式，即可求解．
【详解】
由题意，因为 ， ，
即 ，解得 ，
所以 ，故选D．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
由 为 中点可知：
由 可知： ，即
本题正确结果：
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质的应用，关键是通过定义可用 表示出各个线段的长度，从而利用平行线分线段成比例的关系构造方程求得结果.
16．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则 的取值范围为________________．
【答案】 .
11．下列图象中，可能是函数 的图象的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，求出函数的导数，按a的值分5种情况讨论，分析函数f（x）的定义域、是否经过原点以及在第一象限的单调性，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，函数f（x）＝xa（ex+e﹣x），其导数f′（x）＝axa﹣1（ex+e﹣x）+xa（ex﹣e﹣x），
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即
函数 的图像就是函数 的图像向左平移 个单位，
如图所示，函数 向左平移时，
当函数图像过点 之后，与函数 没有交点，
此时 ， ，故 的取值范围为 ，故选B．
【点睛】
本题考查了对数函数与指数函数的相关性质，考查对数函数与指数函数图像的画法，考查函数图像平移的相关性质，考查数形结合思想，考查推理能力，体现了综合性，是难题．
15．已知抛物线 的焦点为 ，过 点的直线 与抛物线交于 两点，直线 交准线于点 ，点 是 的中点，且 ，则 _____.
【答案】4
【解析】根据抛物线定义可得： ， ，根据 可构造方程 ，从而求得 ，进一步可求解 .
【详解】
由题意可得图象如下图所示：
分别作 ， 垂直于准线，垂足为 ，
根据抛物线定义可知： ，
9．已知双曲线 （ ， ）的渐近线与圆 相切，且过双曲线的右焦点 与x轴垂直的直线l与双曲线交于点A，B， 的面积为 ，则双曲线的实轴的长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据渐近线与圆相切求得 ，再根据 的面积得到等式，联立方程，即可求解.
【详解】
设双曲线 （ ）的渐近线方程为 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
【详解】
模拟程序的运行过程如下，
输入 ，
，
，
，
此时不满足循环条件，输出 ；
则判断框中应填入的是 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查了算法与程序框图的应用问题，理解框图的功能是解题的关键，是基础题．
8． 的展开式中第三项与第四项二项式系数相等，则 的展开式中 的系数为（）
A．10B． C．84D．
【答案】B
【解析】先由三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式以及正弦定理证明 ，再利用正弦定理、余弦定理化简原等式可得 ，利用基本不等式求得 ，从而可得结果.
【详解】
因为
所以由正弦定理可得 ，
又因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，故 的取值范围为 ．
2．在复平面内，复数z在复平面所对应点为 ，则 （）
A．2B． C． D．
【答案】C
【解析】由复数的几何表示方法，求得 ，再结合复数的运算，可求解.
【详解】
由题意，复数z在复平面所对应点为 ，即 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了复数的几何表示，以及复数的运算，其中解答中熟记复数的几何表示方法，以及复数的乘法运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．已知函数 ，并且 ，则 ______.
【答案】
【解析】由 ，求得 ，再由当 时，得到 ，代入即可求得 的值.
【详解】
由题意，函数 ，
当 时， ，则 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
当 时， ，则 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了导数的计算，其中解答熟记导数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．已知向量 ， 不平行，且满足 ，则 （）
A． B． C．1或 D．1或
【答案】A
【解析】由 ，得到 ，解得 或 ，再由向量 不平行，即可求解.
【详解】
由题意，向量 ， ，则 ， ， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
又因为向量 ， 不平行，则 ，即 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了向量的垂直的条件，以及向量的数量积的运算，其中解答熟记向量的垂直条件，结合向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
故选D．
【点睛】
本题考查函数图象的判定，注意讨论a的取值情况，属于基础题．对于已知函数表达式确定函数的图像的题目，一般是通过解析式得到函数的定义域和值域，或者函数的奇偶性等性质，进而对图像进行排除.
12．已知正四面体 的表面积为 ，点 在 内（不含边界）.若 ，且 ，则实数 的取值范围为（）
A． B．
10．若函数 在 上存在零点，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题首先可以将“函数 在 上存在零点”转化为“函数 与函数 在 上有交点”，然后画出函数图像，根据函数图像即可得出结果．
【详解】
函数 在 上存在零点，
即 在 上有解，
令函数 ， ，
在 上有解即函数 与函数 在 上有交点，
可得 ，解得 ，
所以渐近线方程为 ，即 ，即 ，
将 代入双曲线的方程，得 ，整理得 ，所以 ，
又由 的面积为 ，即 ，即
联立方程组 ，解得 ，
所以双曲线的实轴的长为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
7．《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的 ，输出的 则判断框“ ”中应填入的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】模拟程序的运行过程，即可得出输出 的值时判断框中应填入的是什么．
【点睛】
解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
三、解答题
17．已知数列 满足 ， .设 .
（1）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（2）若 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)本题首先可以将 代入 ，化简得到 ，然后对 的值进行判断即可得出结果；
(2)首先可以根据 以及(1)中所得出的结论得出数列 的通项，然后通过分组求和法即可得出结果．
【详解】
（1）由 ，得 ，代入 ，
3．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 的取值范围，从而可得结果.
【详解】
由对数函数的性质可得 ，
由指数函数的性质可得
， ，
所以 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
得 ，所以 ，
当 时， ，此时，数列 不是等比数列，
当 时， ，此时，数列 是以 为公比、 为首项的等比数列．
（2）当 时，由（1）知数列 是以 为公比、 为首项的等比数列， ，
从而 ，
所以
．
【点睛】
本题考查数列的相关性质，主要考查等比数列的定义以及数列求和中的分组求和法，考查综合分析论证求解能力，考查等差数列以及等比数列的求和公式的使用，是中档题．
C． D．
【答案】A
【解析】通过正四面体的表面积可求得棱长，从而得到高为 ；再根据 ，可以得到 ，则 ，表示出 ，从而得到 的取值范围.
【详解】
设正四面体 的棱长为
则 ，解得
则正四面体 的高为
记点 到平面 、 、 的距离分别为
则
因为 ，所以 ，则
故ห้องสมุดไป่ตู้
又 ，故
即实数 的取值范围为
本题正确选项：
【点睛】
本题考查立体几何中的最值问题，关键是能够根据体积关系得到点 到平面 的距离所处的范围，从而能够得到体积所处的范围，进而得到最值.
5．已知函数 ，函数 的最小正周期为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简函数 ，结合正切函数的图象与性质，以及函数的定义域，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，
定义域为 ，解得 且 ，
结合正切函数的图象，可得函数 的最小正周期为 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及同角三角函数的基本关系式的应用，其中解答中合理应用三角函数的基本关系式化简，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了化简与运算能力，属于中档试题.
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求得集合 ， ，结合集合的交集运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合 ，集合 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合 ，结合集合的交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
当a为负偶数时，f（x）＝xa（ex+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限先减后增，D选项符合；
当a为负奇数时，f（x）＝xa（ex+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，f（x）为奇函数，不经过原点且在第一象限先减后增，没有选项符合，
综合可得：D可能是函数f（x）＝xa（ex+e﹣x）（a∈Z）的图象；
二、填空题
13．若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为___________.
【答案】2
【解析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线可得 的最大值.
【详解】
不等式组对应的可行域如图所示：
平移动直线 至 时， 有最大值，
又 得 ，故 ，故填 .
【点睛】
二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如 表示动直线 的横截距的三倍，而 则表示动点 与 的连线的斜率．
18．如图，四棱锥 中，四边形 是边长为2的菱形 ，
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 ，求直线 与平面 所成角正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）过D作 ，垂直为O，连接 ，利用勾股定理证得 ，结合 ，证得 平面 ，即可得到平面 平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，通过计算法向量的夹角的余弦值，求得 的长，再结合线面角的定义，即可求解.
【解析】由题意，得到 ，解得 ，求得二项展开式的通项，代入即可求解.
【详解】
由题意， 的展开式中第三项与第四项二项式系数相等，
即 ，解得 ，即二项式 ，
又由二项式 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
又由a∈Z，
当a＝0，f（x）＝ex+e﹣x，（x≠0）其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，没有选项符合；
当a为正偶数时，f（x）＝xa（ex+e﹣x），其定义域为R，f（x）为偶函数且过原点，在第一象限为增函数，没有选项符合，
当a为正奇数时，f（x）＝xa（ex+e﹣x），其定义域为R，f（x）为奇函数且过原点，在第一象限为增函数且增加的越来越快，没有选项符合，
【详解】
（1）过D作 ，垂直为O，连接 ，
在 中， ， ，可得 ，
在 中，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 为等边三角形，所以 ，
所以 ，可得 ，又由 ，且 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）知，以O为原点， ， ， 方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系
设 ，则 ， ， ， ，
6．记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （）
A．8B．9C．16D．15
【答案】D
【解析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，求得公差 ，再由等差数列的通项公式，即可求解．
【详解】
由题意，因为 ， ，
即 ，解得 ，
所以 ，故选D．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
由 为 中点可知：
由 可知： ，即
本题正确结果：
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质的应用，关键是通过定义可用 表示出各个线段的长度，从而利用平行线分线段成比例的关系构造方程求得结果.
16．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则 的取值范围为________________．
【答案】 .
11．下列图象中，可能是函数 的图象的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，求出函数的导数，按a的值分5种情况讨论，分析函数f（x）的定义域、是否经过原点以及在第一象限的单调性，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，函数f（x）＝xa（ex+e﹣x），其导数f′（x）＝axa﹣1（ex+e﹣x）+xa（ex﹣e﹣x），
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即
函数 的图像就是函数 的图像向左平移 个单位，
如图所示，函数 向左平移时，
当函数图像过点 之后，与函数 没有交点，
此时 ， ，故 的取值范围为 ，故选B．
【点睛】
本题考查了对数函数与指数函数的相关性质，考查对数函数与指数函数图像的画法，考查函数图像平移的相关性质，考查数形结合思想，考查推理能力，体现了综合性，是难题．
15．已知抛物线 的焦点为 ，过 点的直线 与抛物线交于 两点，直线 交准线于点 ，点 是 的中点，且 ，则 _____.
【答案】4
【解析】根据抛物线定义可得： ， ，根据 可构造方程 ，从而求得 ，进一步可求解 .
【详解】
由题意可得图象如下图所示：
分别作 ， 垂直于准线，垂足为 ，
根据抛物线定义可知： ，
9．已知双曲线 （ ， ）的渐近线与圆 相切，且过双曲线的右焦点 与x轴垂直的直线l与双曲线交于点A，B， 的面积为 ，则双曲线的实轴的长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据渐近线与圆相切求得 ，再根据 的面积得到等式，联立方程，即可求解.
【详解】
设双曲线 （ ）的渐近线方程为 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
【详解】
模拟程序的运行过程如下，
输入 ，
，
，
，
此时不满足循环条件，输出 ；
则判断框中应填入的是 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查了算法与程序框图的应用问题，理解框图的功能是解题的关键，是基础题．
8． 的展开式中第三项与第四项二项式系数相等，则 的展开式中 的系数为（）
A．10B． C．84D．
【答案】B
【解析】先由三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式以及正弦定理证明 ，再利用正弦定理、余弦定理化简原等式可得 ，利用基本不等式求得 ，从而可得结果.
【详解】
因为
所以由正弦定理可得 ，
又因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，故 的取值范围为 ．
2．在复平面内，复数z在复平面所对应点为 ，则 （）
A．2B． C． D．
【答案】C
【解析】由复数的几何表示方法，求得 ，再结合复数的运算，可求解.
【详解】
由题意，复数z在复平面所对应点为 ，即 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了复数的几何表示，以及复数的运算，其中解答中熟记复数的几何表示方法，以及复数的乘法运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．已知函数 ，并且 ，则 ______.
【答案】
【解析】由 ，求得 ，再由当 时，得到 ，代入即可求得 的值.
【详解】
由题意，函数 ，
当 时， ，则 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
当 时， ，则 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了导数的计算，其中解答熟记导数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．已知向量 ， 不平行，且满足 ，则 （）
A． B． C．1或 D．1或
【答案】A
【解析】由 ，得到 ，解得 或 ，再由向量 不平行，即可求解.
【详解】
由题意，向量 ， ，则 ， ， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
又因为向量 ， 不平行，则 ，即 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了向量的垂直的条件，以及向量的数量积的运算，其中解答熟记向量的垂直条件，结合向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
故选D．
【点睛】
本题考查函数图象的判定，注意讨论a的取值情况，属于基础题．对于已知函数表达式确定函数的图像的题目，一般是通过解析式得到函数的定义域和值域，或者函数的奇偶性等性质，进而对图像进行排除.
12．已知正四面体 的表面积为 ，点 在 内（不含边界）.若 ，且 ，则实数 的取值范围为（）
A． B．
10．若函数 在 上存在零点，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题首先可以将“函数 在 上存在零点”转化为“函数 与函数 在 上有交点”，然后画出函数图像，根据函数图像即可得出结果．
【详解】
函数 在 上存在零点，
即 在 上有解，
令函数 ， ，
在 上有解即函数 与函数 在 上有交点，
可得 ，解得 ，
所以渐近线方程为 ，即 ，即 ，
将 代入双曲线的方程，得 ，整理得 ，所以 ，
又由 的面积为 ，即 ，即
联立方程组 ，解得 ，
所以双曲线的实轴的长为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
7．《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的 ，输出的 则判断框“ ”中应填入的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】模拟程序的运行过程，即可得出输出 的值时判断框中应填入的是什么．
【点睛】
解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
三、解答题
17．已知数列 满足 ， .设 .
（1）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（2）若 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)本题首先可以将 代入 ，化简得到 ，然后对 的值进行判断即可得出结果；
(2)首先可以根据 以及(1)中所得出的结论得出数列 的通项，然后通过分组求和法即可得出结果．
【详解】
（1）由 ，得 ，代入 ，
3．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 的取值范围，从而可得结果.
【详解】
由对数函数的性质可得 ，
由指数函数的性质可得
， ，
所以 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
得 ，所以 ，
当 时， ，此时，数列 不是等比数列，
当 时， ，此时，数列 是以 为公比、 为首项的等比数列．
（2）当 时，由（1）知数列 是以 为公比、 为首项的等比数列， ，
从而 ，
所以
．
【点睛】
本题考查数列的相关性质，主要考查等比数列的定义以及数列求和中的分组求和法，考查综合分析论证求解能力，考查等差数列以及等比数列的求和公式的使用，是中档题．
C． D．
【答案】A
【解析】通过正四面体的表面积可求得棱长，从而得到高为 ；再根据 ，可以得到 ，则 ，表示出 ，从而得到 的取值范围.
【详解】
设正四面体 的棱长为
则 ，解得
则正四面体 的高为
记点 到平面 、 、 的距离分别为
则
因为 ，所以 ，则
故ห้องสมุดไป่ตู้
又 ，故
即实数 的取值范围为
本题正确选项：
【点睛】
本题考查立体几何中的最值问题，关键是能够根据体积关系得到点 到平面 的距离所处的范围，从而能够得到体积所处的范围，进而得到最值.
5．已知函数 ，函数 的最小正周期为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简函数 ，结合正切函数的图象与性质，以及函数的定义域，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，
定义域为 ，解得 且 ，
结合正切函数的图象，可得函数 的最小正周期为 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及同角三角函数的基本关系式的应用，其中解答中合理应用三角函数的基本关系式化简，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了化简与运算能力，属于中档试题.