【数学】江西省宜春市上高县二中2019届高三上学期第四次月考试卷(理)

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江西省上高二中2019-2020学年高一第四次月考数学试卷word版有答案(精品)

2020届高一年级第四次月考数学试卷一、选择题（12×5=60分）1、设||3,||2,()6a b a b a ==-⋅=且，则a 与b 的夹角为（） A ．30B ．60C ．120D ．1502、已知点(1,3),(4,1)A B -，则与AB 反方向的单位向量的坐标为（） A ．34(,)55-B ．43(,)55C ．34(,)55-D ．43(,)55-3、直线tan 203x y π++=的倾斜角α是（）A ．3πB ．23π C ．6π D ．3π-4、ABC ∆中，已知,,4,3,AB a AC b BC BD CA CE DE ====且则=（） A ．3143b a - B ．53124a b - C ．3143a b - D ．53124b a - 5、已知(1,),(,4),(2,3),//,,a m b nc a b b c m n ==-=⊥+且则的值为（） A ．163B ．203C ．152D ．-46、已知直线:260,l mx y ++=向量(1,1)a m =-与直线l 平行，则m 的值为（） A ．-1B ．1C ．2D ．-1或27、已知||1,||2,0,O A O B O A O B ===点C 在AOB ∠内，且45AOC ∠=，设(,),mO C m O A n O B m n R n=+∈则的值为（）A ．12B ．2CD ．38、已知点(1,3),(2,1)A B --，若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交，则k 的取值范围是（） A ．1[,)2+∞B ．(,2]-∞-C ．1(,2][,)2-∞-⋃+∞D ．1[2,]2-9、已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=，若存在实数m ，使得AB AC nAM +=成立，则n=（） A ．2B ．3C ．4D ．510、若a 与b 满足：||2,||3a b ==，当,||R b a λλ∈-时的最小值为则a b a +在方向上的射影为（）A ．1或2B ．2C ．1或3D ．311、设a 、b 是非零向量，若()()()f x xa b a xb =+⋅-的图象是一条直线，则必有（） A ．a b ⊥B ．//a bC ．||||a b =D ．||||a b ≠12、设22(2,cos ),(,sin ),2,2m a b m a b mλλλαα=+-=+=若则的取值范围是（） A ．[6,1]-B ．4,8]C ．(,1]-∞D ．[1,6]-二、填空题（4×5-20分）13、直线221:(252)(4)50l m m x m y -+--+=与直线2:10l x y -+=的斜率相同，则m=14、已知13,44AM AB AC ABM ABC =+∆∆则与的面积之比为15、ABC ∆，AB=BC=4，BC =，点P 为BC 边所在直线上一个动点，则()AP AB AC ⋅+=16、已知O 为ABC ∆内一点，且20OA OB OC ++=,,AD t AC =若B 、O 、D 三点共线，则t=三、解答题17、（10分）已知(2,1)a =。

江西省宜春市 2019 届高三4月模拟考试数学(理科)试题

………外…………○………学校:_______………内…………○………绝密★启用前江西省宜春市 2019 届高三4月模拟考试数学（理科)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合A ={x|x 2+x −6≤0}，集合B 为函数y =lg(x −1)的定义域，则A ∩B =（） A ．(1，2) B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]2．已知复数z =12+√32i ，则z +|z|=（）A ．12−√32i B ．−12−√32i C ．32−√32i D ．32+√32i 3．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2−x −6=0的两根，则a 5•a 6的值为（） A ．6B ．−6C ．−1D ．14．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.………外…………○…装…………○…………订……○………不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※题※※………内…………○…装…………○…………订……○………D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.5．已知函数f(x)=cos π5x +1，设a =f (log 30.2), b =f (3−0.2), c =f (−31.1)，则（）A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b6．如图，在正方形ABCD 中，F 是边CD 上靠近D 点的三等分点，连接BF 交AC 于点E ，若BE⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ (m,n ∈R)，则m +n 的值是（）A ．−15B ．15C ．−25D ．257．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A ．4√3πB ．2√3πC ．4√2πD ．2√2π8．如图，点F 是抛物线y 2=8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2=8x 及圆(x −2)2+y 2=16的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ΔABF 的周长的取值范围是（）A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)9．记min{x,y}={y,x ≥yx,x <y 设f(x)=min {x 2,x 3}，则（）订…………○…………__考号：___________订…………○…………B ．存在t>0,|f(t)−f(−t)|>f(t)-f(−t) C ．存在t>0,|f(1+t)+f(1−t)|>f(1+t)+f(1−t) D ．存在t>0,|f(1+t)−f(1−t)|>f(1+t)−f(1-t)10．如图，正方形的四个顶点A(−1,−1),B(1,−1),C(1,1),D(−1,1)，及抛物线y =−(x +1)2和y =(x −1)2,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A ．23B ．13C ．16D ．1211．已知A 为椭圆x 2+2y 2=9的左顶点，该椭圆与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线在第一象限内的交点为B ，若直线AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（） A ．√52B ．6√55C ．2D ．√512．已知点P 是单位正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的对角面BB 1D 1D 上的一动点，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的侧面相交于M 、N 两点，则ΔBMN 的面积的最大值为（） A ．√64 B ．12C ．√32D ．√62………○………※※请※※不………○………第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．设变量x,y 满足约束条件{y ≥xx +2y −2≤0x +2≥0 ，则z=|x −3y|的最大值是________．14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n +S n =2n (n ∈N ∗)，则log 2(2a 2−a 1)(2a 3−a 2)⋯(2a 100−a 99)=_____．15．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有____种．16．函数f (x +12)=x 3+2019x −2019−x +1，若f(sinθ+cosθ)+f(sin2θ−t)<2对∀θ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围是_____．三、解答题17．在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，bsinA =a(2−√3cosB). （1）求角B 的大小；（2）D 为边AB 上的一点，且满足CD =2,AC =4，锐角三角形ACD 面积为√15，求BC 的长.18．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,AD =DC =CB =1,∠ABC =60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF =1.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为θ(θ≤900)，试求cosθ的取值范围.19．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线x −y +√6=0相切，过点P (4,0)的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点.（2）若原点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线l 的斜率k 的取值范围.20．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a =950，记X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元: ①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值. 21．已知函数f(x)=ax −ln(2x +1),g(x)=e x −x −1，曲线y=f(x)与y =g(x)在原点出切线相同.（1）求f(x)的单调区间和极值；（2）若x ≥0时，g(x)≥kf(x)，求k 的取值范围. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+2cosθy =2sinθ，（θ为参数）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=m(m >0).（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线θ=π4(ρ∈R)与直线l 交于点A ，与曲线C 交于M,N 两点，且|OA|•|OM|•|ON|=6，求m 的值 23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x +a|+|x +2|,a ∈R（1）若a =−1，求不等式f(x)≥x +5的解集；（2）若a <2，当x ∈(−5,−3)时都有f(x)>x 2+2x −5，求实数a 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】本题首先可以根据一元二次不等式的解法求出集合A，然后根据对数的相关性质求出集合B，最后根据交集的相关性质即可得出结果。

精品解析：【全国百强校】江西省上高二中2019届高三上学期第四次月考数学(理)试题(解析版)

【全国百强校】江西省上高二中2019届高三上学期第四次月考数学（理）试题一、选择题 :本大题共12小题, 每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数212ii+-的共轭复数是( ) A. i - B. ｉC. 35i -D.35i 【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，然后求其共轭复数.从而求得正确结论. 【详解】()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+，故其共轭复数为i -.所以选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.2. 设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x —2)<1}，B ＝{x |y ＝ln (1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )．A. {x |x ≥1}B. {x |1≤x <2}C. {x |0<x ≤1}D. {x |x ≤1} 【答案】B 【解析】【详解】由图中阴影部分表示集合A ∩∁U B .A ＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，∴∁U B ＝{x |x ≥1}，∴A ∩∁U B ＝{x |1≤x <2}．3. 等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于( ) A. 6 B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解：∵数列{a n }是等比数列，a 4=2，a 5=5， ∴a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10． ∴lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1a 2…×a 8） ==4lg10 =4．故选C ．考点：等比数列的前n 项和．4. 若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】画出可行域，向上平移基准函数20x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()1,2处取得最大值为4.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题.目标函数是线性型目标函数.属于基础题.5. 已知,,a b c ∈R ,函数()2f x ax bx c =++，若(0)(4)(5)f f f =>，则A. 0,40a a b >+=B. 0,40a a b <+=C. 0,20a a b >+=D. 0,20a a b <+=【答案】B 【解析】【详解】因为()()04f f =，即164c a b c =++，所以40a b +=；又()()05f f >，即255c a b c >++，所以50a b +<，即()540a a +-<，故0a <，故选B. 6. 已知51cos()123πα+=，且2ππα-<<-，则cos()12πα-等于（）A.3B.13C. 13-D. 3-【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式将5cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的形式，然后利用同角三角函数关系式求得cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】依题意5ππ5ππ1cos sin sin 12212123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于2ππα-<<-，属于7ππ13π121212α<-<，故πcos 12α⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以选D. 【点睛】本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查同角三角函数的基本关系式中的平方关系.对于三角函数πsin 2k α⎛⎫⋅± ⎪⎝⎭的化简，遵循这样的原理“奇变偶不变，符号看象限”.其中“奇偶”说的是k 是奇数还是偶数.在运用三角函数的基本关系式是，要注意角的终边所在的象限引起的三角函数值正负的变化.7. 知11617a =，16log b =，17log c =，则a ，b ，c的大小关系为（）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】A 【解析】【详解】由题易知：11716171111171log log 171log log 1602222a b c ⎛⎫⎛⎫=>==∈==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，∴a b c >> 故选A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 8.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴相邻交点的横坐标相差2π，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象.关于函数()g x ，下列说法正确的是（） A. 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B. 其图象关于直线4πx =-对称 C. 函数()g x 是奇函数 D. 当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- 【答案】D 【解析】【分析】由已知可求出函数()f x 的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数()y g x =的解析式，根据余弦函数的性质分析出函数的奇偶性、单调性、对称性以及函数的值域．【详解】函数()cos 2sin()6f x x x x ωωωπ=+=+又函数()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于22T π=，故函数的最小正周期T π=，又0ω>，2ω∴=故()2sin(2)6f x x π=+将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位可得： ()2sin[2()]2cos266y g x x x ππ==++=；函数()g x 是偶函数，C 错；令222k x k πππ-，即2k x k πππ-+，k Z ∈故函数()y g x =的增区间为[2k ππ-+，]k π，k Z ∈在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是增函数，A 错；4πx =-时，()2cos 042g ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，不是最值，4πx =-不是对称轴，B 错；由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得，2,343x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故[]1cos 21,2cos 22,12x x ⎡⎤∈-⇒∈-⎢⎥⎣⎦，D 正确，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的周期性、三角函数图象的平移变换法则，两角和与差的正弦函数、诱导公式，余弦函数的奇偶性、单调性、对称性与值域，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键．9. 已知函数21,0()(2)1,0x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，把函数1()()2=-g x f x x 的偶数零点按从小到大的顺序排成一个数列，该数列的前10项的和10S 等于（） A. 45 B. 55 C. 90 D. 110【答案】C 【解析】【详解】当02x <≤时，有220x -<-≤，则()()2212x f x f x -=-+=，当24x <≤时，有022x <-≤，则()()42121x f x f x -=-+=+，当46x <≤时，有224x <-≤，则()()62122x f x f x -=-+=+，当68x <≤时，有416x <-≤，则()()82123x f x f x -=-+=+，以此类推，当222n x n <≤+（其中n N ∈）时，则()()22212x n f x f x n --=-+=+，∴函数()2x f x =的图象与直线112y x =+的交点为：01（，）和112-（，），由于指数函数()2x f x =为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点，将函数()2xf x =和112y x =+的图象同时向下平移一个单位，即得到函数21x f x =-（）和12y x =的图象，取0x ≤的部分，可见它们有两个交点00（，），112--（，）即当0x ≤时，方程()102f x x -=有两个根1x =-，0x =；当02x <≤时，由函数图象平移可得()()12g x f x x =-的零点为1，2；以此类推，函数()y f x =与12y x =在24]（，，46]（，，…，2n 2n 2]+（，上的零点分别为：3，4；5，6；…；21n +，2n 2+；综上所述函数()()12g x f x x =-的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为21n a n （）=-，前10项的和为101092100902S ⨯⨯=⨯+＝，故选C. 点睛：本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题；由分段函数解析式得到函数()f x 在0x >时的分段解析式，首先求得函数()()12g x f x x =-在20]-（，上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数()()12g x f x x =-在02]（，，24]（，，46]（，，…，2n 2n 2]+（，上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n 项和得答案.10. 如图所示，在梯形ABCD 中，∠B ＝2π，2AB =，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，则•CE BD =（）A. 12-B. －2C. 0D.2【答案】B 【解析】【分析】以B 为原点建立平面直角坐标系，利用“向量CD 在向量BC 上的投影为12-”求得D 点的坐标，由此求得•CE BD 的值.【详解】以B 为原点建立平面直角坐标系，故()22,0,0,2C E ⎛ ⎝⎭，设D 的坐标为(2a ，则()()2,2,2,0CD a BC =-=，根据“向量CD 在向量BC 上的投影为12-”有241222CD BC a a BC⋅-==-=-，解得32a =，即322D ⎛ ⎝.所以232,,231222CE BD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B. 【点睛】本小题主要考查利用坐标法解决有关几何以及向量运算的问题.建立平面直角坐标系后利用向量数量积的运算来求解相应的结果.11. 已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且()()2428f a f a -=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*n N∈若()n S f n =，则41n n S aa --的最小值为（）A.276B.358 C.143D.378【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．由题意可得或2842822a a a +-+-=⨯-（），解得a=1或a=-4，当a=-1时，2712f x x x =+-（），数列{a n }不是等差数列；当a=-4时，24f x x x =+（），24n S f n n n （）==+， ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，，()22(1)21134416112221n n n n S a n n a n n ++++-++∴==⨯-++11311221212n n ⎡⎤=⨯+++≥=⎢⎥+⎣⎦（）（），当且仅当1311n n +=+，即1n =时取等号， ∵n 为正数，故当n=3时原式取最小值378，故选D ．考点：等差数列通项公式；基本不等式【方法点睛】利用基本不等式求最值的方法及注意点（1）知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．（2）知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．（3）构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．（4）利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数（或式）均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．12. 已知定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意的x ∈R ，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()()221f x x =--+.若函数()1112y f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,+∞上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭B. 14,33⎛⎫⎪⎝⎭C. 1212,3713⎛⎫⎪⎝⎭D. 124,373⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得()1f 的值，判断函数为周期函数，利用周期性和关于y 轴对称画出函数的图像.分析函数()f x 与函数1112y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像的交点个数，由此求得实数a 的取值范围.【详解】由于函数为偶函数，当1x =-时，()()()1211f f f -+=--，即()10f =，故()()2f x f x +=，所以函数是周期为2的周期函数，且为偶函数.令()11012f x a x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得到()1112f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，也即函数()f x 图像与函数1112y a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像有三个交点，画出两个函数图像如下图所示.由图可知，要使两个函数图像有三个交点，则需直线的斜率a 在两条切线的斜率之间.当[]1,2x ∈时，()()221f x x =--+，将1112y a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭代入并化简得()21143012a x a x +-+-=，其判别式()211443012a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得43a =.同理，当[]3,4x ∈时，()()241f x x =--+，将1112y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入化简后，同样令判别式为零，求得13a =.所以实数a 的范围是14,33⎛⎫⎪⎝⎭.故选B.【点睛】本小题主要考查抽象函数的奇偶性、图像的对称性，考查函数零点问题的处理策略，考查直线和抛物线相切的表示方法.对于函数给定一段区间的表达式的题目，可以根据函数变换的关系，找到函数的周期，然后可以根据周期性和奇偶性画出函数的图像.零点问题一般可以转化为两个函数图像交点的问题来解决.二、填空题（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）13. 若1123ln 2ax dx x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰()1a >，则a 的值是__________．【答案】2 【解析】【详解】试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.14. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若54cos ,cos ,1135BC c ===,则a =______. 【答案】2113【解析】【分析】先求得sin ,sin B C 的值，再求得()sin sin A B C =+的值后，利用正弦定理求得a 的值. 【详解】由于cos B 和cos C 都是正数，故,B C 为锐角.故123sin ,sin 135B C ==，故()481563sin sin sin cos cos sin 656565A B C B C B C =+=+=+=，由正弦定理得sin 21sin 13c A a C ==. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形的内角和定理以及利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题.15. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE ＝m AB ＋AD ，则实数m 的值为________.【答案】13【解析】【分析】先求出AN ＝34AD ＋14AB ，因为A ，N ，E 三点共线，故AE ＝λAN ，化简得1,4314m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解方程组即得解.【详解】由N 是OD 的中点，得AN ＝12AD ＋12AO ＝12AD ＋14(AD ＋AB )＝34AD ＋14AB ，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE ＝λAN ，即m AB ＋AD ＝λ3144AD AB ⎛⎫+⎪⎝⎭，又,AB AD 不共线，所以1,4314m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得1343m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故实数m ＝13. 故答案为：13【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量共线定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16. 已知函数()32ln ,()2()f x x g x x ex kx k R ==-+∈,若函数()()y f x g x =-有唯一零点,则以下四个命题中正确的是______（填写正确序号） ①.21k e e=+②.函数()g x 在(,())e g e 处的切线与直线0x ey -=平行 ③.函数2()2y g x ex =+在[0,]e 上的最大值为221e + ④.函数2()x y g x e x e=-- [0,1]上单调递减【答案】①②④ 【解析】【分析】令()()0f x g x -=，化简为23ln 2e x x x kx +=+，化为两个函数()()23ln 2e ,m x x x n x x kx =+=+，利用两者只有一个交点，则在这一交点的切线的斜率相等，由此列方程求出k 的值.然后对四个命题利用导数进行逐一判断，由此得出正确的结果. 【详解】令()()0f x g x -=，化简得23ln 2e x x x kx +=+，化为两个函数()()23ln 2e ,m x x x n x x kx =+=+，()24e 1x m x x='+，()23n x x k ='+，由于两个函数只有一个交点，故在交点处有相同的交点坐标以及相同的斜率.即2223413,(1)ln 2(2)ex x k xx ex x kx ⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩，（1）式两边乘以x ，然后减去（2）式，得23212ln ex x x +-=，注意到当x e =时，等式成立，故x e =，代入（1）求得21k e e=+.所以①正确.由()32212e e e g x x x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，()22134e e e g x x x ⎛⎫=-++ ⎝'⎪⎭，当e x =时，()1e e g '=，而直线0x ey -=斜率为1e ，故②正确.对于③，321e e y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其导数2213e 0e y x =++>'，函数单调递增，故当ex =时有最大值为32e 1+，故③错误.对于④，322e y x x =-，其导数()234e 34e y x x x x =-=-'，故函数在4e 0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以也在[]0,1上递减，故④正确.综上所述，正确的有①②④.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数研究两个函数有一个交点的策略.属于难题.三、解答题17. 已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0，4]． (1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值．【答案】（1）3；（2）92【解析】【详解】试题分析:（1）根据不等式解集为对应方程的解得0,4为m －|x －2|=1两根，解得m 的值；（2）由柯西不等式得(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2，代入条件a ＋b ＝3，即得a 2＋b 2的最小值．试题解析：(1)不等式m －|x －2|≥1可化为|x －2|≤m －1， ∴1－m ≤x －2≤m －1，即3－m ≤x ≤m ＋1. ∵其解集为[0，4]，∴∴m ＝3.(2)由(1)知a ＋b ＝3，∵(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2＝(a ＋b )2＝9， ∴a 2＋b 2≥，∴a 2＋b 2的最小值为.18. 设向量()2cos 2,2,1,cos 3a x b x π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中x ∈R ，且函数()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设函数()224g x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求()f x 在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点.【答案】（1）π；（2）724π-和24π- 【解析】【详解】试题分析：（1）由题意，可化简得()213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可计算函数的最小正周期；（2）由题意知，化简得()26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()0g x =得，求得方程的根，即可得到函数()g x 的零点.试题解析:（1）()2π1f x cos 2x 2cos x cos2x 1cos2x 32⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭3πcos2x 12x 123⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为2πT π2==.（2）由题意知，()πππg x 2f x 22x 443⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2x 6⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 0=得，πsin 2x 62⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当ππx ,34⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2x ,663⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴π3π2x 64-=-或ππ2x 64-=-，即7πx 24=-或πx 24=-.∴函数()g x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点是7π24-和π24-.19. 已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝()-1na n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和. 【答案】（1）21n a n =-；（2）当n 偶数时，312n n S n -=+.当n 为奇数时，312nn S n -=-+.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想将已知条件转化为11,,,a d b q 的形式，解方程组求得11,,,a d b q 的值，由此求得数列,n n a b 的通项公式.（2）对n 分成奇数和偶数两种情况，利用分组求和法求的数列的前n 项和. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由212313,9b b q b b q ==⎧⎨==⎩得11111,33.n n n b b b q q --=⎧∴==⎨=⎩，又()41111441,327,114127a b a b d -=====∴+-=，解得2d =.()()()11112211,2,3,n a a n d n n n ∴=+-=+-⨯=-=⋅⋅⋅.(2)由(1)知121,3n n n a n b -=-=，因此()()()1-1-1213n nn n n n c a b n -=+=-+.从而数列{}n c 的前n 项和当n偶数时，()113311321133132n n n n S n n n ---=-+-⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+=+-. 当n 为奇数时，()()1113311321133122132n n n n n S n n ----=-+-⋅⋅⋅--+++⋅⋅⋅+=-+-⨯+=-+- 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差和等比数列的通项公式，考查了分组求和法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.题目给定数列为等差或者等比数列的情况下，将已知条件转化为11,,,a d b q ，通过解方程组的方法求得这四个基本量，这是解数列题常用的方法.20. 如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进10米后到达点B ，又从点B 测得斜度为α，建筑物的高CD 为5米．（1）若30α=︒，求AC 的长；（2）若45α=︒，求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．【答案】（1）56522）cos 31θ=【解析】【分析】（1）在ABC 中利用正弦定理可求AC 的长.（2）在ABC 中利用正弦定理可求BC 的长，在BCD △利用正弦定理算出sin BDC ∠后可得BCD ∠的大小，从而可以得到CAE ∠的大小. 【详解】（1）当30α=︒时，150,15o o ABC ACB BAC ∠=∠=∠=，所以10BC AB ==，由余弦定理得：222101021010cos1502001003AC =+-⨯⨯⨯︒=+故10235652AC =+=（2）当45α=︒，在ABC 中，由正弦定理有sin 622062)sin 4AB BAC BC ACB ⋅∠==⋅=∠，在BCD △中，sin sin 31BC DBCBDC CD⋅∠∠==，又cos cos sin 312ADC ADC πθ⎛⎫=∠-=∠= ⎪⎝⎭. 【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．21. 在数列中{}n a ，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）证明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求n a ；（2）设2nn n b S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析；(2)1(23)26n n T n +=-+.【解析】【详解】试题分析：(1)由题中所给的递推关系证得1112n n S S --=，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)结合(1)中的结论求得通项公式()221nn b n =⨯-，然后错位相减可得()12326n n T n +=-+.试题解析：（1）证明：由递推式得112n n n n S S S S --=-，从而1111221n n n S S S n --=⇒=-，则121nn S =-，据此：()()111212112n n n n S S -⎡⎤-=----=⎣⎦. 据此可得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）结合(1)的结论可得：数列{}n b 的通项公式为：()2221nn n nb n S ==⨯-，则：()()()()123221122212231221n n T n =⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-++⨯-，① ()()()()23412221122212231221n n T n +=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-++⨯-，②①-②整理可得：()12326n n T n +=-+.22. 已知函数21()2ln(2)2f x x x a x =-++（其中a R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =有两个极值点12x x 、，且12x x <，求证：21()f x x >. 【答案】（1）见解析;（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析:（1）先求导数，根据二次方程判别式讨论导函数符号，根据导数符号确定单调性（2）先根据极值点化简所证不等式为：()()22212ln 202x x x ++->；再利用导数研究函数()()1ln 1,?2,42g t t t t t =-+∈的单调性，最后根据单调性确定不等式成立试题解析：（1）()()212ln 22f x x x a x =-++∴定义域为()()242,,222a x af x x x x -+-+∞=-+='++ 当4a ≥时，()0f x '≥；当04a <<时，令()0f x '>，解2x -<<x >()0f x '<，解x <<当0a ≤时，令()0f x '>，得x >()0f x '<，得2x -<<所以当()f x 在()2,-+∞上单调递增；当04a <<时，()f x 的单调递增区间为()2,,-+∞；单调递减区间为(；当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为(-；单调递增区间为)+∞；（2）由（1）可知，()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，则04a <<时，且12x x == 要证()21f x x >，即证()220f x x +>，即证()()2222222124ln 202x x x x x -+-++>，即证()()22222214ln 202x x x x -+-+>，又2202,20x x <-，即证()()22212ln 202x x x ++->；令22x t +=，则()2,4t ∈，设()()11ln 1,ln 22g t t t t g t t '=-+=+，而()()2,4,0t g t ∈'>，即()g t 在()2,4单调递增；()()22ln20g t g ∴>=>，即()()22212ln 202x x x ++->成立；所以()21f x x >.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

江西省上高县高三上学期第四次月考考试理科数学试题 Word版含答案

2017届高三年级第四次月考数学理科试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 设全集{}0≥∈=x R x U ，函数x x f lg 1)(-=的定义域为M ，则M C u 为（） A. {}0),10(U +∞ B. ),10(+∞ C. )10,0( D. (]10,02.函数f (x )＝ln x －1x 的零点所在的区间是（）A.(0,1)B.(1，e)C.(e,3)D.(3，＋∞)3．下面函数中在定义域内是奇函数和单调增函数的是（） A ．x x y e e -=- B ．tan y x =C ．3||y x x -=D ．ln(2)ln(2)y x x =+--4．数列{}n a 满足112(2)n n n a a a n -+=+≥，且1352469,12a a a a a a ++=++=则345a a a ++=（）A .9B .10C .11D .125．若(1,2)x ∀∈-,20ax +≠是假命题的一个充分不必要条件为a ∈ （） A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．(1,2)-C ．(,1)-∞-D ．][)(,12,-∞-+∞6．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若a ，b ，c 成等比数列，A ＝60°，则b sin Bc＝（） A.12 B.32C.22 D.347.在△ABC 中，若2,BC AB BC CB CA BC BA =++则△ABC 是（） A.锐角三角形C.直角三角形B.钝角三角形 D.等边三角形8．对于实数x ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.32]＝0，[5.68]＝5.若n 为正整数，a n＝[n4]，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 40=（） A. 190 B. 180 C. 170 D.1609．已知O 是△ABC 中的一点，350OA OB OC ++=,则△OAB 与△OAC 的面积之比为（） A. 1:3B. 1C. 5:3D. 3:510．已知31cos 6sin(=απα）－＋，则=）＋6(cos sin 2παα（）A ． 185－B ．185 C ．97－ D ．9711.已知点)1,0(A ，曲线x a y C ln :=恒过定点B ，P 为曲线C 上的动点且⋅的最小值为2，则=a （）A.2-B.-1C.2D.112．已知函数()221ln f x x x a x =-++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则（）A ．()212ln 24f x ->B ．()212ln 24f x -<C ．()212ln 24f x +> D ．()212ln 24f x +<-二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知函数),1,0()1(,)10(,2)(2≠>⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=a a x a x x ax f x 且),2()1(f f =则=)6(log 4f ____．14.如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是 .15．非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为16．已知函数()()f x x a x =-⋅的图象与直线1y =有且只有一个交点，则实数a 的取值范围是．三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.18．（本小题共12分）甲、乙两位同学玩猜数字游戏：（1）给出四个数字0，1，2，5，先由甲将这四个数字组成一个四位数，然后由乙来猜甲的四位数是多少，求乙猜对的概率；（2）甲先从1，2，3，4，5，6这六个数中任选出两个数（不考虑先后顺序），然后由乙来猜．若乙至少答对一个数则乙赢，否则甲赢．问这种游戏规则公平吗？请说明理由． 19．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1 =3，且a 1，a 2，a 4成等比数列．（I ）求{a n }的通项公式；（II ）数列{n k a }是以a 1为首项，3为公比的等比数列，求数列}{n n k 的前n 项和S n ．20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC ＝2 ，AB ＝BB 1＝2，∠BCC 1＝ π4，点E 在棱BB 1上.（Ⅰ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若BE ＝λBB 1，试确定λ的值，使得二面角A -C 1E -C的余弦值为55.21．（本小题满分12分）定义在R 上的函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x e x f x -'=⋅+-,21()()(1)24x g x f x a x a =-+-+.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅲ）如果s 、t 、r 满足||||s r t r --≤，那么称s 比t 更靠近r . 当2a ≥且1x ≥时，试EA C BC 1B 1A 1比较ex和1x e a -+哪个更靠近ln x ，并说明理由.22. （本小题满分10分）存在实数a b 和()0b ≠，使不等式22a b a b M b ++-≤⋅成立，记实数M 的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）解不等式13x x m -+-≤。

2019年12月江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第四次月考理科综合试题及答案

绝密★启用前江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第四次月考理科综合试题2019年12月22日本卷可能使用的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Li-7一、选择题：本题共13 小题，每小题 6 分，共78 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于生物体中酶的叙述，正确的是A．酶分子在催化反应完成后立即被降解为氨基酸B．酶均合成于核糖体,可以降低化学反应的活化能C．酶既可以作为催化剂,也可以作为另一反应的底物D．低温能降低酶活性的原因是其破坏了酶的空间结构2．如图表示北方的一个贮藏白菜地窖中,随着氧气的消耗,二氧化碳浓度的变化情况,错误的是A．AB段白菜主要进行有氧呼吸,CD段白菜主要进行无氧呼吸B．BC段CO2浓度几乎不上升的原因是细胞无氧呼吸不释放CO2C．从B点开始,O2浓度是限制有氧呼吸的主要因素D．为了较长时间贮藏大白菜,应把地窖里的O2浓度控制在BC段范围内3．某生物兴趣小组就影响植物光合作用的因素进行了研究,获得如右图所示的实验结果。

下列有关分析正确的是A．该实验表明,温度、光照强度和CO2浓度都会影响植物光合作用的强度B．当光照强度大于7时,该植物在15℃和25℃的环境中合成有机物的速率相同C．该植物可在较低温度、较弱光照的环境中快速生长D．随着温度的升高,该植物的呼吸速率逐渐增强4、仔细观察下列染色体行为,其中相关叙述正确的是（）A．该图中的染色体行为发生在所有具有分裂能力的细胞中B．所在真核细胞中都能发生该图中的染色体行为C．有丝分裂和减数分裂过程中都能发生图中的染色体行为D．若图中的染色体行为变化出现在有丝分裂过程中,则顺序是4→2→3→55．如图为某二倍体生物细胞增殖过程中某时期的细胞示意图,下列叙述正确的是A．此细胞中不会发生非等位基因的自由组合B．此细胞形成过程中一定发生了交叉互换C．此细胞分裂后可产生2种精细胞或1种卵细胞D．该生物体细胞中最多可含有2个染色体组6．棉铃虫是严重危害棉花的一种害虫。

2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三(上)第四次月考数学试卷(理科)(附详解)

2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、单选题（本大题共22小题，共100.0分）1.已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=()A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2.如果cosθ<0，且tanθ>0，则θ是()A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A. y=2xB. y=|x|+1C. y=x3D. y=cosx4.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(−√2,1)，则cos2α=()A. 2√23B. 13C. −13D. −2√235.M(−1,2)，N(3,0)两点之间的距离为()A. 2√2B. 4C. 2√5D. 56.已知向量a⃗=(−1,2,1)，b⃗ =(3,x,y)，且a⃗//b⃗ ，那么|b⃗ |=()A. 3√6B. 6C. 9D. 187.圆(x−1)2+y2=2的圆心到直线x+y+1=0的距离为()A. 2B. √2C. 1D. √228.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是()A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βC. 若m//α，m//β，则α//βD. 若m⊥α，n⊥α，则m//n9.x2+y2−4x−4y−10=0上的点到直线x+y−14=0的最大距离与最小距离的差是()A. 36B. 18C. 5√2D. 6√210.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为()A. 4√55B. 2C. 2√2D. 311.已知集合X={x|e x>12}，Y={x|x2+x−6≤0}，则(∁R X)∩Y=()A. [−3,−ln2)B. [−2,−ln2]C. [−3,−ln2]D. [−ln2,2]12.复数z满足：(z−2)⋅i=z(i为虚数单位)，z−为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是()A. z2=2iB. z⋅z−=2C. |z|=2D. z+z−=013.平面直角坐标系xOy中，点P(x0,y0)在单位圆O上，设∠xOP=α，若α∈(π4,3π4)，且sin(α+π4)=35，则x0的值为()A. √310B. √210C. −√210D. −√31014.设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n−1+a2n<0”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件15.函数f(x)=ln(x−1x)的图象是()A. B.C. D.16.要得到函数y=−√2sin3x的图象，只需将函数y=sin3x+cos3x的图象()A. 向右平移3π4个单位长度 B. 向右平移π2个单位长度C. 向左平移个π4单位长度 D. 向左平移个π2单位长度17. 已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 5−2a 72+2a 8=0，数列{b n }是等比数列且b 7=a 7，则b 2b 12等于( )A. 49B. 32C. 94D. 2318. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为( )A. √22 B. √52 C. √32D. √219. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ⩽6x −3y ⩽−2x ⩾1若目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最小值为2，则1a +3b 的最小值为( )A. 2+√3B. 5+2√6C. 8+√15D. 2√320. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，a n+1=2S n ，则数列{1a n}的前20项和为( )A. 32−12×319B. 74−14×319C. 32−12×318D. 74−14×31821. 已知函数f(x)=e x +x 2+lnx 与函数g(x)=e −x +2x 2−ax 的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−e]B. (−∞,−1e ]C. (−∞,−1]D.22. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(−x)，且对任意的x 1 ,x 2∈[ 0 , 12 ](x 1≠x 2)，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π.又g(x)=sinπx ，则关于x 的不等式f(x)≥g(x)在区间[ −32, 32 ]上的解集为( )A. [ −32, −π4 ]∪[ 0 , π4 ] B. [ −32, −π4 ] C. [ −32, −1 ]∪[ 0 , 1 ]D. [ −32, 0 ]二、单空题（本大题共9小题，共45.0分）23. 已知U =R ，A ={x|x 2−2x −3<0}，则∁U A =______ 24. 过点(1,0)且与直线x −2y −2=0平行的直线方程是______． 25. 直线x +y +√3=0的倾斜角为______，x 轴上截距为______26. 已知直线x +ay +6=0与圆x 2+y 2=8交于A ，B 两点，若|AB|=2√2，则a =______．27. 已知点P 是直线l ：x +3y −12=0上的一点，过P 作圆(x −2)2+y 2=1的切线，切点为A ，则切线长|PA|的最小值为______．28. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ =(cosα,sinα),|b ⃗ |=2，且a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=2，则向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值为______．29. 设f(n)=1−12+13−14+⋯+12n−1−12n ，则f(k +1)=f(k)+______.(不用化简) 30. 已知函数f(x)=e x +ae −x 为偶函数，若曲线y =f(x)的一条切线的斜率为83，则该切点的横坐标等于______．31. 已知△ABC 为锐角三角形，满足sinBsinC =(sin 2B +sin 2C −sin 2A)tanA ，△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为1，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围是______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）32. 在△ABC 中，a =4，b =5，c =6，则cosA = (1) ，△ABC 的面积为 (2) ．四、解答题（本大题共12小题，共144.0分）33. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 为AB 的中点．(Ⅰ) 求证：CD ⊥平面ABB 1A 1； (Ⅱ) 求证：BC 1//平面A 1CD ．34.在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3√2,b=√10,B=π．4 (Ⅰ)求sinA的大小；(Ⅱ)求边c和△ABC的面积．35.已知直线l经过直线3x+4y−2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x−2y−1=0.求：(Ⅰ)直线l的方程；(Ⅱ)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．36.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP=2，E为棱PD的中点．(Ⅰ)求证：CD⊥AE；(Ⅱ)求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；(Ⅲ)求点A到平面PBD的距离．37.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=4，直线l过定点A(1,0)．(1)若l与圆C相切，求l的方程；(2)若l与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．(其中点C是圆的圆心)38.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC⊥BC，AC=BC=CC1，E，F分别为A1B1，BC的中点．(Ⅰ)求证：AC⊥C1F；(Ⅱ)求证：BE//平面A1C1F；(Ⅲ)在棱CC1上是否存在一点G，使得平面B1EG⊥平面A1C1F？说明理由．39.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+3|，g(x)=x2+ax+4，a∈R．(Ⅰ)当a=1时，解关于x的不等式f(x)≤4；(Ⅱ)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得不等式f(x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围．40.已知函数f(x)=sin2(x−π4)．(1)若f(α2)=16，tanβ=√5，α∈[−π2,π2]，求tan(2α+β)的值；(2)若动直线x=t(t∈[0,π])与函数f(x)和函数g(x)=√3sin(π4+x)cos(π4+x)的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值，并求出此时t的值．41.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，a n2=S n+S n−1+2(n≥2,n∈N∗)，a1=2．(1)证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)设b n=32S n ，数列{b n}的前n项和记为T n，证明：T n<116．42.△ABC中，AB=5，AC=4，D为线段BC上一点，且满足BD=2DC．(1)求sin∠BADsin∠DAC的值；(2)若∠BAD=2∠DAC，求AD．43.四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D−AE−C的平面角的余弦值．44.已知函数f(x)=(ax2+x+a)e−x(a∈R)．(1)若a≥0，函数f(x)的极大值为3，求实数a的值；e(2)若对任意的a≤0，f(x)≤bln(x+1)在x∈[0,+∞)上恒成立，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题．利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．【解答】解：∵M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3}，∴M∩N={x|−2<x<2}．故选C．2.【答案】C【解析】解：∵cosθ<0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ>0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．3.【答案】D【解析】解：A.y=2x是非奇非偶函数，∴该选项错误；B.y=|x|+1≥1，∴该函数没有零点，∴该选项错误；C.y=x3为奇函数，∴该选项错误；D.cos(−x)=cosx，∴y=cosx是偶函数；cosπ2=0，∴x=π2是y=cosx的零点，∴该选项正确．故选：D．可看出y=2x为非奇非偶函数，y=x3是奇函数，从而判断A，C错误，而容易判断y=|x|+1没有零点，从而正确选项为D．考查偶函数的定义，奇函数的定义，以及非奇非偶函数的定义，函数零点的定义．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的定义的应用，二倍角公式的应用，属于基础题．直接利用三角函数的定义和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(−√2, 1)，所以cosα=√2√3，所以cos2α=2cos2α−1=2×23−1=13．故选：B．5.【答案】C【解析】解：M(−1,2)，N(3,0)两点之间的距离为d=√(−1−3)2+(2−0)2=2√5．故选：C．根据两点间的距离公式计算即可．本题考查了求两点间的距离公式应用问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，向量a⃗=(−1,2,1)，b⃗ =(3,x,y)，且a⃗//b⃗ ，则设b⃗ =k a⃗，即(3,x,y)=k(−1,2,1)，则有k=−3，则x=−6，y=−3，则b⃗ =(3,−6,−3)，故|b⃗ |=√9+36+9=3√6；故选：A．根据题意，设b⃗ =k a⃗，即(3,x,y)=k(−1,2,1)，分析可得x、y的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查空间向量的平行以及模的计算，关键是求出x、y的值．7.【答案】B【解析】解：圆(x−1)2+y2=2的圆心坐标为(1,0)，则圆心到直线x+y+1=0的距离为d=√2=√2=√2．故选：B．由圆的方程求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式求解．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，是基础题．8.【答案】D【解析】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，圆有关的最值问题，点到直线的距离，是基础题．先判断直线与圆相离，则最大距离与最小距离的差是直径．【解答】解：圆x2+y2−4x−4y−10=0的圆心为(2,2)，半径为3√2，圆心到到直线x +y −14=0的距离为|2+2−14|√2=5√2>3√2，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6√2，故选D ．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查线段长的最大值的求法，涉及向量模的计算，二次函数最值，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1P 的长度的最大值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设P(a,b,0)(a ⩾0,b ⩾0)，则D 1(0,0,2)，E(1,2,0)，B 1(2,2,2)， B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −2,b −2,−2)，D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−2)，∵B 1P ⊥D 1E ，∴B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a −2+2(b −2)+4=0， ∴a +2b −2=0，由a =2−2b ⩾0，得0⩽b ⩽1，∴|B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(a −2)2+(b −2)2+4=√5b 2−4b +8=√5(b −25)2+365，当b =0时，|B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2，当b =1时，|B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，当b =25时，|B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6√55， ∴由二次函数性质可得|B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[6√55,3]， ∴线段B 1P 的长度的最大值为3．故选D ．11.【答案】C【解析】解：∵X ={x|e x >12}={x|x >−ln2}，Y ={x|x 2+x −6≤0}={x|−3≤x ≤2}，则(∁R X)∩Y ={x|−3≤x ≤−ln2}．故选：C．解指数与二次不等式可求集合X，Y，然后结合集合的基本运算即可求解．本题主要考查了集合的基本运算，属于基础试题．12.【答案】B【解析】解：由(z−2)⋅i=z，得zi−2i=z，∴z=−2i1−i =−2i(1+i)(1−i)(1+i)=1−i，∴z2=(1−i)2=−2i，z⋅z−=|z|2=2，|z|=√2，z+z−=2．故选：B．由已知求得z，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．13.【答案】C【解析】解：∵α∈(π4,3π4)，∴α+π4∈(π2,π)，∵sin(α+π4)=35，∴cos(α+π4)=−45，则x0=cosα=cos[(α+π4)−π4]=cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=−45×√22+35×√22=−√210，故选：C．利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．14.【答案】C【解析】【分析】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用必要、充分及充要条件的定义结合等比数列进行判断即可．【解答】解：{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，“q <0”时，“对任意的正整数n ，a 2n−1+a 2n <0”不一定成立，例如：当首项为2，q =−12时，各项为2，−1，12，−14，…，此时2+(−1)=1>0，12+(−14)=14>0；而对任意的正整数n ，a 2n−1+a 2n =a 1q 2n−2(1+q)<0，因为a 1q 2n−2>0，所以1+q <0，q <−1<0，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n−1+a 2n <0”的必要不充分条件，故选C ．15.【答案】B【解析】解：因为x −1x >0，解得x >1或−1<x <0，所以函数f(x)=ln(x −1x )的定义域为：(−1,0)∪(1,+∞)．所以选项A 、C 不正确．当x ∈(−1,0)时，g(x)=x −1x 是增函数，又因为y =lnx 是增函数，所以函数f(x)=ln(x −1x )是增函数．故选：B ．求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的单调性，推出选项即可．本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力．判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等．16.【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的变换和平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．【解答】解：因为y=sin3x+cos3x=√2sin(3x+π4)，所以将其图象向左平移π4个单位长度，可得y=√2sin[3(x+π4)+π4]=√2sin(2x+π)=−√2sin2x，故选：C．17.【答案】C【解析】解：由a5−2a72+2a8=0，得a5+2a8=2a72，即3(a1+6d)=2a72，即3a7=2a72，∵a7≠0，∴a7=32=b7，则b2b12=b72=94．故选：C．由条件利用等差数列的性质可得3a7=2a72，求得a7的值，再根据b2b12=b72计算．本题考查等差数列、等比数列的性质，求出a7=7是解题的关键，属于基础题．18.【答案】C【解析】解：将该几何体放入在正方体中，且棱长为1，由三视图可知该三棱锥为C1−ABD，S△ABC1=S△ADC1=12×1×√2=√22．S△BDC1=12×√2×√12+(√22)2=√32．故该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为S△BDC1=√32．故选：C．将该几何体放入在正方体中，且棱长为1，由三视图可知该三棱锥为C1−ABD，经过计算即可得出．本题考查了正方体与三棱锥的三视图、面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值，属于中档题．关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．【解答】解：约束条件对应的区域如图：作直线l0:ax+by=0，因为a>0，b>0，所以直线l0的倾斜角为钝角，平行移动直线，显然当直线平移到过点C(1,1)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取最小值为2，所以a+b=2，则1a +3b=12(1a+3b)(a+b)=12(4+ba+3ab)≥2+√ba⋅3ab=2+√3；当且仅当√3a=b，并且a+b=2时等号成立；故选A．20.【答案】D【解析】解：设S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，a n+1=2S n，∴a n=2S n−1，∴a n+1−a n=2a n，∴a n+1=3a n，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴a n=3n−1，当n=1时也满足，∴1a n =(13)n−1，∴数列{1a n }的前20项和为1−13201−13=32−12×319故选：D．根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到1an=(13)n−1，再根据等比数列的求和公式即可求出．本题考查了数列的递推公式和求和公式，属于中档题21.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查导数的应用，属于中档题．由题意可化为g(−x)−f(x)=0在(0,+∞)上有解即x+a−lnxx=0在(0,+∞)上有解，构造函数，利用导数研究函数零点，即可得到所求a的范围．【解答】解：由题意知，方程g(−x)−f(x)=0在(0,+∞)上有解，即e x+2x2+ax−lnx−e x−x2=0，即x+a−lnxx=0在(0,+∞)上有解，即ℎ(x)=x+a−lnxx有零点，ℎ′(x)=x−1+lnxx2，令l(x)=x −1+lnx ，显然l(x)单调递增且l(1)=0，即ℎ′(x)在(0,1)上为负，在(1,+∞)为正，ℎ′(1)=0，∴ℎ(x)有极小值也是最小值ℎ(1)=1+a ，∴ℎ(x)有零点等价于1+a ≤0，∴a ≤−1 故选C ．22.【答案】C【解析】解：∵f(1+x)=f(−x)， ∴函数f(x)关于x =12对称，又函数f(x)为奇函数，故关于原点(0,0)中心对称， ∴函数f(x)的周期为4×|12−0|=2，∵对任意的x 1 ,x 2∈[ 0 , 12 ](x 1≠x 2)，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，不妨设x 1>x 2，∴f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2， ∴函数f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，∴当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0，而当x ∈[0,12]时，g(x)−πx =sinπx −πx ≤0，∴当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥g(x)−πx ，即f(x)≥g(x)，由对称性及周期性作函数f(x)的示意图及函数g(x)的图象如下，由图象可知，不等式的解集为[−32,−1]∪[0,1]．故选：C ．由题意，函数f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，故当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥0，而此时g(x)−πx ≤0，即可推出f(x)≥g(x)，又函数f(x)关于x =12对称，关于原点(0,0)中心对称，故可在同一坐标系中作出两函数的草图，由图象观察即可得解．本题也可构造函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，可得函数ℎ(x)关于x =12轴对称，也关于原点(0,0)中心对称，求导后研究其单调性，再作图得解．本题考查函数的性质及不等式的求解，考查运算求解能力，旨在培养学生的数学抽象思维及数形结合思想，属于中档题．23.【答案】{x|x ≤−1或x ≥3}【解析】解：U =R ，A ={x|x 2−2x −3<0}={x|−1<x <3}，则∁U A ={x|x ≤−1或x ≥3}．故答案为：{x|x ≤−1或x ≥3}．可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．本题考查描述法表示集合的概念，以及补集的概念及运算．24.【答案】x −2y −1=0【解析】解：直线x −2y −2=0的斜率是12，所求直线的斜率是12，所以所求直线方程：y =12(x −1)，即x −2y −1=0，故答案为：x −2y −1=0．先求直线x −2y −2=0的斜率，利用点斜式求出直线方程．本题考查两条直线平行的判定，直线的点斜式方程，是基础题．25.【答案】3π4 −√3【解析】解：直线x +y +√3=0转换为：y =−x −√3，故直线的斜率k =tanθ=−1，由于θ∈(0,π]，所以θ=3π4，令y =0，解得x =−√3．故直线在x 轴上的截距为−√3．故答案为：3π4；−√3．直接利用直线的方程的形式之间的转换的应用求出直线的倾斜角和截距．本题考查的知识要点：直线的方程，直线的斜率和倾斜角的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．26.【答案】±√5【解析】解：圆x2+y2=8的圆心坐标为(0,0)，半径为2√2，∵直线x+ay+6=0被圆x2+y2=8所截弦长|AB|=2√2，∴圆心(0,0)到直线x+ay+6=0的距离d=√(2√2)2−(√2)2=√6，则√1+a2=√6，解得a=±√5．故答案为：±√5．求出已知圆的圆心坐标与半径，得到圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求解．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．27.【答案】3【解析】解：圆(x−2)2+y2=1的圆心C(2,0)，半径r=1，|PA|=√|PC|2−1，所以当|PC|取得最小值时，切线长|PA|取得最小值，过圆心C(2,0)作直线l的垂线，则点P为垂足，此时点C到直线l的距离即为|PC|的最小值，所以|PC|的最小值为√1+9=√10，所以切线长|PA|的最小值为√(√10)2−1=3．故答案为：3．圆(x−2)2+y2=1的圆心C(2,0)，半径r=1，利用勾股定理得到|PA|=√|PC|2−1，当|PC|取得最小值时，切线长|PA|取得最小值，由点到直线的距离公式求出|PC|的最小值，即可得到答案．本题考查了直线与圆位置关系的应用，主要考查了圆的切线的应用，点到直线距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．28.【答案】12【解析】解：a⃗，b⃗ 满足a⃗=(cosα,sinα),|b⃗ |=2，a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=2=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =1+a⃗⋅b⃗ ，所以a⃗⋅b⃗ =1，∴cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=11×2=12．故答案为：12．可求得，再将已知条件运用数量积公式展开即可得解．本题考查平面向量的夹角、平面向量的模以及数量积公式，考查运算求解能力，属于基础题．29.【答案】12k+1−12k+2【解析】解：因为f(n)=1−12+13−14+⋯+12n−1−12n，所以f(k+1)=1−12+13−⋅⋅⋅+12k−1−12k+12k+1−12k+2，所以f(k+1)=f(k)+12k+1−12k+2．故答案为：12k+1−12k+2．由已知的等式，先求出f(k+1)，即可得到答案．本题考查了函数解析式的理解与应用，解题的关键是正确表示出f(k+1)，考查了运算能力，属于基础题．30.【答案】ln3【解析】解：∵函数f(x)=e x+ae−x为偶函数，∴f(−x)=f(x)，即e−x+ae x=e x+ae−x，可得：a=1．∴f(x)=e x+e−x，∴f′(x)=e x−e−x，设该切点的横坐标等于x0，则e x0−e−x0=83，令e x0=t>0，可得t−1t =83，化为：3t2−8t−3=0，解得t=3．∴e x0=3，解得x0=ln3．则该切点的横坐标等于ln3．故答案为：ln3．函数f(x)=e x+ae−x为偶函数，利用f(−x)=f(x)，可得：a=1.f(x)=e x+e−x，利用导数的几何意义即可得出．本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．31.【答案】[−2−√3,−72)【解析】解：∵sinBsinC =(sin 2B +sin 2C −sin 2A)tanA ， ∴b 2+c 2−a 22bc⋅sinA cosA=12，即sinA =12，又△ABC 为锐角三角形，故A =π6，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=cos∠AOB +cos∠AOC −2=cos2C +cos2B −2=cos(5π3−2B)+cos2B −2=32cos2B −√32sin2B −2 =√3cos(2B +π6)−2，又{B <π2A +B >π2，故π3<B <π2， ∴5π6<2B +π6<7π6，∴−1≤cos(2B +π6)<−√32， ∴−2−√3≤√3cos(2B +π6)<−72．故答案为：[−2−√3,−72)．由正弦定理及余弦定理可得sinA =12，进而得到A 的大小，根据斜率的减法法则及平面向量数量积公式可得则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=√3cos(2B +π6)−2，根据三角形为锐角三角形，可得π3<B <π2，进而由余弦函数的图象及性质得解．本题主要考查正余弦定理，平面向量的数量积，两角和与差公式，三角函数的性质等知识点，考查化简变形及运算求解能力，属于中档题．32.【答案】3415√74【解析】【分析】根据余弦定理直接计算即可求得cosA ，利用三角形的面积公式S =12bcsinA 求得△ABC 的面积．本题考查了余弦定理和三角形面积公式的应用问题，是基础题．【解答】解：△ABC 中，a =4，b =5，c =6，由余弦定理得， cosA =b 2+c 2−a 22bc=52+62−422×5×6=34．所以sinA =√1−916=√74，S △ABC =12bcsinA =12×5×6×√74=15√74．故答案为：34；15√74． 33.【答案】(本小题满分13分)证明：(Ⅰ)因为正三棱柱ABC −A 1B 1C 1，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ，AA 1⊥底面ABC.…(1分) 又因为CD ⊂底面ABC ，所以AA 1⊥CD.…(3分)又因为AA 1∩AB =A ，AB ⊂平面ABB 1A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，所以CD ⊥平面ABB 1A 1.…(6分)(Ⅱ)连接AC 1，设A 1C ∩AC 1=O ，连接OD ，…(7分) 由正三棱柱ABC −A 1B 1C 1，得AO =OC 1，又因为在△ABC 1中，AD =DB ，所以OD//BC 1，…(10分)又因为BC 1⊄平面A 1CD ，OD ⊂平面A 1CD ，所以BC 1//平面A 1CD.…(13分)【解析】(Ⅰ)推导出CD ⊥AB ，AA 1⊥底面ABC ，从而AA 1⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面ABB 1A 1．(Ⅱ)连接AC 1，设A 1C ∩AC 1=O ，连接OD ，推导出OD//BC 1，由此能证明BC 1//平面A 1CD ．本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查空间想象能力，属中档题．34.【答案】解：(Ⅰ)因为a =3√2,b =√10,B =π4，a sinA =bsinB ，所以sinA =asinB b=3√2×√22√10=3√1010．(Ⅱ)因为b 2=a 2+c 2−2accosB ，所以10=18+c 2−2×3√2×c ×√22，得c 2−6c +8=0，即(c −2)(c −4)=0，所以c =2或c =4，当c =4时，a >c >b ，所以A >C >B ，因为cosA =b 2+c 2−a 22bc=2×√10×4>0，所以A ∈(0,π2)，因为三角形是钝角三角形，所以c =4舍去，即c =2，所以S △=12acsinB =12×3√2×2×√22=3．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理计算可得；(Ⅱ)首先由余弦定理求出边c ，再利用面积公式计算可得．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．35.【答案】解：(Ⅰ)由{3x +4y −2=02x +y +2=0,解得{x =−2y =2,所以点P 的坐标是(−2,2)．又所求直线l 与x −2y −1=0垂直，可设直线l 的方程为2x +y +m =0．把点P 的坐标代入得2×(−2)+2+m =0，即m =2．则所求直线l 的方程为2x +y +2=0．(Ⅱ)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是−1，−2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S =12×1×2=1．【解析】此题考查求两直线的交点坐标，掌握直线的一般式方程，会求直线与坐标轴的截距，是一道中档题．(Ⅰ)联立两直线方程，求出方程组的解集即可得到交点P 的坐标，根据直线l 与x −2y −1=0垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为−1，可设出直线l 的方程，把P 代入即可得到直线l 的方程；(Ⅱ)分别令x =0和y =0求出直线l 与x 轴和y 轴的截距，然后根据三角形的面积公式，即可求出直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．36.【答案】(Ⅰ)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，因为AD ⊥CD ，PA ∩AD =A 所以CD ⊥平面PAD ．因为AE ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AE ．(Ⅱ)解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，不妨设AB =AP =2，可得B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，由E 为棱PD 的中点，得E(0,1,1)．AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)．设平面PBD 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2z =0，令y =1，可得n⃗ =(1,1,1)，所以cos〈AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√63．所以直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值为√63．(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，平面PBD 的一个法向量n ⃗ =(1,1,1)，所以点A 到平面PBD 的距离d =|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3=2√33．【解析】(Ⅰ)根据PA ⊥底面ABCD ，PA ⊥CD ，再由底面ABCD 为正方形，利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论．(Ⅱ)以点A 为原点建立空间直角坐标系，不妨设AB =AP =2，求得向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，和平面PBD 的一个法向量n⃗ =(x,y,z)，然后计算夹角的余弦值即可． (Ⅲ)利用空间向量法求解点面距离即可．本题主要考查空间中的垂直关系，点面距离的计算，线面角的计算等知识，属于中等题．37.【答案】解：(1)直线l 无斜率时，直线l 的方程为x =1，此时直线l 和圆C 相切．直线l 有斜率时，设方程为y =k(x −1)，即kx −y −k =0， ∵l 与圆C 相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d =√k 2+1=2，解得k =34，∴直线l 的方程为y =34x −34∴综上，直线l 的方程为x =1或3x −4y −3=0． (2))设PQ =2a ，则C 到直线l 的距离为√r 2−a 2， ∴S △CPQ =12×2a ×√r 2−a 2≤a 2+r 2−a 22=r 22，当且仅当a²=r²−a²，即r =√2a 时，上式取等号，即∠PCQ =90°，△CPQ 是等腰直角三角形时，S max =12×2×2=2 由半径r =2得：圆心到直线的距离为√2设直线l 的方程为：y =k(x −1)，即kx −y −k =0，则d =√k 2+1=√2，∴k =7或k =1，∴直线l 的方程为：7x −y −7=0或x −y −1=0．【解析】本题考查直线方程的求法、直线与椭圆位置关系，本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用． (1)直线l 无斜率时，直线l 的方程为x =1，成立；直线l 有斜率时，设方程为kx −y −k =0，由圆心到直线的距离等于半径，能求出直线l 的方程．(2)△CPQ面积最大时，△CPQ是等腰直角三角形，此时圆心到直线的距离为√2，设直线l的方程为kx−y−k=0，由此能求出直线l的方程．38.【答案】(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，∵侧棱垂直于底面，∴CC1⊥平面ABC，则CC1⊥AC．∵AC⊥BC，CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1B1．∵C1F⊂平面BCC1B1，∴AC⊥C1F；(Ⅱ)证明：取A1C1的中点H，连结EH，FH．B1C1，则EH//B1C1，且EH=12B1C1，又∵BF//B1C1，且BF=12∴EH//BF，且EH=BF．∴四边形BEHF为平行四边形，则BE//FH．又BE⊄平面A1C1F，FH⊂平面A1C1F，∴BE//平面A1C1F；(Ⅲ)解：在棱CC1上存在点G，且G为CC1的中点．证明：连接EG，GB1．在正方形BB1C1C中，∵F为BC中点，∴△B1C1G≌△C1CF．∴∠C1CF+∠B1GC1=90°，则B1G⊥C1F.由(Ⅰ)可得AC⊥平面BB1C1C，∵AC//A1C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C.∵B1G⊂平面BB1C1C，∴A1C1⊥B1G.∵A1C1∩C1F=C1，∴B1G⊥平面A1C1F.∵B1G⊂平面B1EG，∴平面B1EG⊥平面A1C1F.【解析】本题考查线面平面、线面垂直、面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．(Ⅰ)在三棱柱ABC−A1B1C1中，由侧棱垂直于底面，可得CC1⊥平面ABC，则CC1⊥AC，再由AC⊥BC，结合线面垂直的判定可得AC⊥平面BCC1B1.从而得到AC⊥C1F；(Ⅱ)取A1C1的中点H，连结EH，FH.可得EH//BF，且EH=BF.则四边形BEHF为平行四边形，则BE//FH.再由线面平行的判定可得BE//平面A1C1F；(Ⅲ)在棱CC1上存在点G，且G为CC1的中点．连接EG，GB1.首先证明△B1C1G≌△C1CF.可得∠C1CF+∠B1GC1=90°，则B1G⊥C1F.由(Ⅰ)可得AC⊥平面BB1C1C，得到A1C1⊥平面BB1C1C.即A1C1⊥B1G.由线面垂直的判定可得B1G⊥平面A1C1F.进一步得到平面B1EG⊥平面A1C1F.39.【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=|x−1|+|x+1|，则f(x)={−2x,x<−1 2,−1≤x<1 2x,x≥1，当x<−1时，由f(x)≤4，可得−2x−2≤4，解得−2≤x<−1；当−1≤x<1时，f(x)≤4恒成立；当x≥1时，由f(x)≤4，可得2x≤4，解得1≤x≤2．所以f(x)≤4的解集为{x|−2≤x≤2}；(Ⅱ)对任意x1∈R，都存在x2∈R，得f(x1)≥g(x2)成立，所以f(x)min>g(x)min，因为a2−2a+3=(a−1)2+2>0，所以a2>2a−3，且|x−a2|+|x−2a+3|≥|(x−a2)−(x−2a+3)|=|a2−2a+3|=a2−2a+ 3①，当2a−3≤x≤a2时，①式等号成立，即f(x)min=a2−2a+3，又因为x2+ax+4=(x+a2)2+4−a24≥4−a24②，当x=−a2时，②式等号成立，即g(x)min=4−a24，所以a2−2a+3>4−a24，即a取值范围为(−∞,−25)∪(2,+∞)．【解析】(Ⅰ)利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数，然后分类讨论，分别求解不等式，即可得到答案；(Ⅱ)将问题转化为f(x)min>g(x)min，然后利用绝对值不等式的结论求出f(x)min，利用二次函数的性质求出g(x)min，从而得到关于a的不等式，求解即可．本题考查了分段函数的应用，函数与不等式的综合应用，不等式恒成立问题的求解，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．40.【答案】解：(1)∵函数函数f(x)=sin2(x−π4)=1−cos(2x−π2)2=12−12sin2x，则若f(α2)=16=12−12sinα，∴sinα=23．∵α∈[−π2,π2]，∴cosα=√1−sin2α=√53，∴tanα=sinαcosα=√5，tan2α=2tanα1−tan2α=4√5．∵tanβ=√5，tan(2α+β)=tan2α+tanβ1−tan2α⋅tanβ=5√51−20=−5√519．(2)∵函数g(x)=√3sin(π4+x)cos(π4+x)=√32sin(π2+2x)=√32cos2x，由题意可知PQ=|f(t)−g(t)|=|12−12sin2t−√32cos2t|=|12−sin(2t+π3)|，故当sin(2t+π3)=−1时，PQ取得最大值32，当PQ取到最大值时，2t+π3=2kπ−π2，k∈Z，又t∈[0,π]，∴t=7π12．【解析】(1)由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再利用二倍角公式、两角和的正切公式，求得tan(2α+β)的值．(2)先化简g(x)的解析式，再利用三角函数的图象和性质，求出线段PQ长度的解析式，由此可得它的最大值．本题主要考查三角恒等变换，二倍角公式的应用，三角函数的图象和性质，属于中档题．41.【答案】解：(1)证明：由已知：a n2=S n+S n−1+2(n≥2,n∈N∗)①，得a n−12=S n−1+S n−2+2(n≥3,n∈N∗)②①−②可得a n2−a n−12=a n+a n−1(n≥3,n∈N∗)．因为a n>0，所以a n−a n−1=1(n≥3)，检验：由已知a22=(a1+a2)+a1+2，a1=2，所以a2=3，那么a2−a1=1，也满足式子a n−a n−1=1.所以a n−a n−1=1(n≥2)，所以{a n}为等差数列，首项为2，公差为1.于是a n=n+1；(2)证明：由a n =n +1，所以S n =(2+n+1)⋅n2=n(n+3)2．所以b n =32S n=3n(n+3)=1n −1n+3．则T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =(1−14)+(12−15)+(13−16)+(14−17)+⋯+(1n−2−1n+1)+(1n−1−1n+2)+(1n −1n+3)=(1+12+13+14+⋯+1n )−(14+15+16+⋯+1n+1+1n+2+1n+3)=(1+12+13)−(1n+1+1n+2+1n+3)=116−(1n+1+1n+2+1n+3)<116．【解析】(1)运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求；(2)由等差数列的求和公式，可得b n =32S n=3n(n+3)=1n −1n+3，运用数列的裂项相消求和，化简可得为 n ，再由不等式的性质，即可得证．本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．42.【答案】解：(1)由题：BD =2DC ，所以S △ABD =2S △ACD ，即12AB ⋅AD ⋅sin∠BAD =2⋅12AC ⋅AD ⋅sin∠DAC ．所以sin∠BADsin∠DAC =2AC AB=85．(2)由∠BAD =2∠DAC ，所以sin∠BAD =sin2∠DAC =2sin∠DACcos∠DAC ，所以cos∠DAC =45，所以，cos∠BAD =cos2∠DAC =2cos 2∠DAC −1=725．设AD =x ，在△ABD 中，由BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcos∠BAD =25+x 2−145x ．△ACD 中，CD 2=AC 2+AD 2−2AC ⋅ADcos∠CAD =16+x 2−325x ．又因为BD =2DC ，所以BD 2=4CD 2，即25+x 2−145x =4(16+x 2−325x)．化简可得15x 2−114x +195=0，即(3x −15)(5x −13)=0，则x =5或x =135．又因为D为线段BC上一点，所以AD<AB=5且AD<AC=4，．所以AD=135【解析】(1)由题意，利用S△ABD=2S△ACD，根据三角形的面积公式即可求解sin∠BAD的sin∠DAC 值；(2)由二倍角公式可求cos∠DAC=4，cos∠BAD的值，设AD=x，利用余弦定理可求5BD2=4CD2，可得(3x−15)(5x−13)=0，解得x的值，即可得解AD的值．本题主要考查了三角形的面积公式，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．43.【答案】(1)证明：取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，△ABD与△CBD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°，AC，∴DO=12∴DO2+BO2=AB2=BD2，∴∠BOD=90°，∴OB⊥OD，又DO∩AC=O，DO⊂平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OB⊥平面ACD，又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．(2)解：∵△ABC是正三角形，所以AB=CB，又∵∠ABD=∠CBD，AB=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，即△ACD为等腰直角三角形，取AC中点，连接DO，BO，则DO⊥AC，又∵平面ACD⊥平面ABC且交于AC，DO⊂平面ABC，。

江西省上高县二中2019届高三数学上学期第四次月考试题理

江西省上高县二中2019届高三数学上学期第四次月考试题理一、选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1。

复数212ii+-的共轭复数是（ ) A.i -B.ｉC 。

35i - B 。

35i2。

如右图，设全集{}{}(2),|21,|ln(1)x x U R A x B x y x -==<==-，则阴影部分表示的集合为（ )A 。

{}|1x x ≥ B.{}|12x x ≤<C.{}|01x x <≤ D 。

{}|1x x ≤3。

等比数列{}n a 中，452,5a a ==,则数列{lg }n a 的前8项和等于（） A ．6 B ．5 C ．3 D ． 44。

若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-0302x y x y x ,则y x z +=2的最大值是（）A.3B 。

4C 。

5D 。

65、已知,,a b c R ∈，函数2(),(0)(4)(1)f x ax bx c f f f =++=>若，则（） A ．0,40a a b >+= B ．0,40a a b <+= C ．0,20a a b >+=D ．0,20a a b <+=6.已知cos 错误!＝错误!,且－π<α〈－错误!，则cos 错误!等于( ) A.错误! B.错误! C 。

－错误! D.－错误!7．知11617a =,16log 17b =17log 16c =a ，b ，c 的大小关系为（ ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 8．已知函数()3cos ,(0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，关于函数()g x ,下列说法正确的是（ ) A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线4x π=-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- 9. 已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排成一个数列，该数列的前10项的和S 10等于（）A 。

江西省宜春市上高二中2020届高三数学上学期第四次月考试题理[含答案]

min
min
因为 a2 2a 3 a 12 2 0 ，所以 a2 2a 3 ，
且 x a2 x 2a 3 ≥ x a2 x 2a 3 a2 2a 3 a2 2a 3 ， ①
当 2a 3≤x≤ a2 时，①式等号成立，即 f x a2 2a 3 ．………………………8 分 min
又因为 BD 2DC ,所以 BD2 =4CD2 ，即 25 x2 14 x 4(16 x2 32 x) .
5
5
化简可得15x2 114x 195 0 ，即 (3x 15)(5x 13) 0 ，则 x 5 或 x 13 . 5
又因为 D 为线段 BC 上一点，所以 AD AB 5 且 AD AC 4 ，所以 AD 13 . 5
所以an为等差数列，首项为 2 ，公差为1.于是 an n 1 .
（2）由 an
n
1 ，所以
Sn
(2
n 1) n 2
n(n 2
3)
.
所以 bn
3 2Sn
3 n(n 3)
1 n
1. n3
则 Tn b1 b2 b3 L bn
(1 1) (1 1) (1 1) (1 1) L ( 1 1 ) ( 1 1 ) (1 1 )
则实数的取值范围为（）
A. （（--e]
（（--] 1
B.
e
C. （（--1]
（（--] 1
D.
2
12.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (1 x) f (x) ，且对任意的 x1，x，2 [ 0
1 2
]
( x1
x2
)
，
都有 f (x1) f (x2 ) ．又 g(x) sin x ，则关于 x 的不等式 f (x) g(x) 在区间[ 3，3 ] 上的

江西省宜春市2019届高三4月模拟考试数学试题(理)(解析版)

江西省宜春市2019届高三4月模拟考试数学试题（理）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，集合为函数的定义域，则（）A. B. C. D.『答案』D『解析』由题意可知，集合：，，解得；集合：，解得，综上所述，，故选D。

2.已知复数，则（）A. B. C. D.『答案』C『解析』因为复数，所以复数的共轭复数，，所以，故选C。

3.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为（）A. B. C. D. 。

『答案』B『解析』因为、是方程的两根，所以根据韦达定理可知，因为数列是等比数列，所以，，故选B4.如图，是民航部门统计的某年春运期间个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B. 深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.『答案』D『解析』由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选：D．5.已知函数，设，则（）A. B.C. D.『答案』B『解析』函数是偶函数,所以).，，即因为函数在)是单调递减函数，所以.故答案为B.6.如图，在正方形中，是边上靠近点的三等分点，连接交于点，若，则的值是（）A. B. C. D. 『答案』C『解析』由题意知，B,E,F三点共线，是边上靠近点的三等分点，则又E,C,A三点共线则，即，则所以m=-1,n=,故m+n=故选：C7.三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D. 『答案』A『解析』三棱锥的直观图如图，以△P AC所在平面为球的截面，则截面圆O1的半径为，以△ABC所在平面为球的截面，则截面圆O2的半径为球心H到△ABC所在平面的距离为，则球的半径R为，所以球的体积为4．故选：A．8.如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（）A. B. C. D.『答案』C『解析』抛物线的准线，焦点，由抛物线定义可得，圆的圆心为，半径为4，∴的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，∴，∴，故选C.9.记设，则（）A. 存在B. 存在C. 存在D. 存在『答案』C『解析』x2﹣x3＝x2（1﹣x），∴当x≤1时，x2﹣x3≥0，当x＞1时，x2﹣x3＜0，∴f（x）．若t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|＝|t2+（﹣t）3|＝|t2﹣t3|＝t3﹣t2，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t2+t3|＝t2+t3，f（t）﹣f（﹣t）＝t2﹣（﹣t）3＝t2+t3，若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|＝|t3+（﹣t）3|＝0，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t3+t3|＝2t3，f（t）﹣f（﹣t）＝t3﹣（﹣t）3＝2t3，当t＝1时，|f（t）+f（﹣t）|＝|1+（﹣1）|＝0，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|1﹣（﹣1）|＝2，f（t）﹣f（﹣t）＝1﹣（﹣1）＝2，∴当t＞0时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|＝f（t）﹣f（﹣t），故A错误，B错误；当t＞0时，令g（t）＝f（1+t）+f（1﹣t）＝（1+t）2+（1﹣t）3＝﹣t3+4t2﹣t+2，则g′（t）＝﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）＝0得﹣3t2+8t﹣1＝0，∴△＝64﹣12＝52，∴g（t）有两个极值点t1，t2，∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数，∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0，∴|g（t0）|＞g（t0），故C正确；令h（t）＝（1+t）﹣f（1﹣t）＝（1+t）2﹣（1﹣t）3＝t3﹣2t2+5t，则h′（t）＝3t2﹣4t+5＝3（t）20，∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）＝0，∴|h（t）|＝h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＝f（1+t）﹣f（1﹣t），故D错误．故选：C．10.如图，正方形的四个顶点，及抛物线和,若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A. B. C. D.『答案』B『解析』∵A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），C （1，1），D （﹣1，1）， ∴正方体的ABCD 的面积S ＝2×2＝4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积： S ＝2『1﹣』dx ＝2（x 3）2『（1）﹣0』＝2，则由几何槪型概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故选：B ．『点睛』本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．11.已知为椭圆的左顶点，该椭圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为，若直线垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.『答案』D『解析』因为直线直线垂直于双曲线的另一条渐近线，所以直线的方程为，联立，可得交点，代入椭圆方程整理得的，即有，故离心率为.12.已知点是单位正方体的对角面上的一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体的侧面相交于、两点，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.『答案』A『解析』由题意知，MN⊥平面BB1D1D，其轨迹经过B，D1和侧棱AA1，CC1的中点E，F，如图，设正方体中心为O1,当P点在线段BO1上运动时，MN随BP的增大而线性增大，所以△BMN的面积表达式应是开口向上的二次函数图像递增的一部分; 当P点在线段D1O1上运动时, MN随D1P的增大而线性减小，所以△BMN的面积表达式应是开口向下的二次函数图像递减的一部分.所以当MN与EF重合时，△BMN的面积取最大值，此时，BM＝BN，MN，S△BMN．故选：A．二、填空题13.设变量满足约束条件，则的最大值是________．『答案』8『解析』作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，令，可得，平移直线，由图象可得，当直线经过可行域内的点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值，且，当直线经过可行内的点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最小值，且，所以，故，因此的最大值为8.故答案为8.14.已知是数列的前项和，若，则_____．『答案』『解析』∵a n+S n＝2n，a n+1+S n+1＝2n+1，两式相减可得2a n+1﹣a n＝2n．则（2a2﹣a1）（2a3﹣a2）…（2a100﹣a99）＝21•22•23…299＝24950．15.某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有____种．『答案』60『解析』每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种.16.函数，若对恒成立，则实数的取值范围是_____．『答案』『解析』f（x）＝x3+2019x﹣2019﹣x+1，可得f（x）＝﹣x3+2019﹣x﹣2019x+1，则f（x）+f（x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，即为f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（x）+f（x），f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R恒成立，可令x＝sinθ+cosθ，则f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，由于f（x）在R上递增，f（x）的图象向右平移个单位可得f（x）的图象，则f（x）在R上递增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，设g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2+（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，则m sin（θ），则m，则g（m）＝m2+m﹣2，其对称轴m，故当m时，g（m）取的最大值，最大值为22．则t，故答案为：（，+∞）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别是，.（1）求角的大小；（2）为边上的一点，且满足，锐角三角形面积为，求的长.解：（1）因为，所以，解得，所以，因为，所以，，解得。

江西省宜春市上高二中高三上学期第四次月考数学(理)试题(解析版)

2020届江西省宜春市上高二中高三上学期第四次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合12x X x e ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，2}6{|0Y x x x =+-≤，则()R C X Y ⋂=（）A ．[)3,2ln --B ．[]2,2ln --C ．[]3,2ln --D ．[]2,2ln -【答案】C【解析】先解指数型不等式，得到集合{}2,X x x ln =>-进而求其补集，然后与集合Y 取交集即可. 【详解】解:集合{}2,X x x ln =>-，{}2,{|32}R C X x x ln Y x x =≤-=-≤≤ 所以(){}32R C X Y x x ln ⋂=-≤≤- 故选：C 【点睛】本题考查交集与补集运算，考查不等式的解法，考查计算能力，属于常考题型. 2．复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（） A ．22i z = B ．2z z ⋅=C ．||2z =D ．0z z +=【答案】B【解析】由已知求得z ，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由（z ﹣2）•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ， ∴z ()()()2121111i i ii i i i -+-===---+，∴z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，2||2z z z ⋅==，z ，2z z +=．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．2-D ．3-【答案】C【解析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．【详解】3,44Q ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q ，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 42322525210=-⨯+⨯=-，故选：C ．【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．4．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C. 【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．②等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．5．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f （x ）的单调性，问题得以解决．【详解】因为x ﹣1x＞0，解得x ＞1或﹣1＜x ＜0，所以函数f （x ）=ln （x ﹣1x）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A 、D 不正确．当x ∈（﹣1，0）时，g （x ）=x ﹣1x是增函数，因为y=lnx 是增函数，所以函数f （x ）=ln （x-1x）是增函数．故选B ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6．要得到函数23y x =-的图象，只需将函数sin 3cos3y x x =+的图象（）A ．向右平移34π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移个4π单位长度 D ．向左平移个2π单位长度【答案】C【解析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论. 【详解】因为sin3cos32sin 34y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以将其图象向左平移4π个单位长度，可得()2sin 32sin 32sin344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选C. 【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.7．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，则212b b 等于（）A ．49B ．32C ．94D ．23【答案】C【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=，7730,2a a ≠∴=Q ，则：222127794b b b a ===. 本题选择C 选项.8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（）A．2 2B．3C．5D．2【答案】B【解析】根据三视图还原出三棱锥的直观图，求出三棱锥的各个侧面面积即可求出侧面面积的最大值。

江西省上高二中2019届高三数学上学期第四次月考试题文201901180199

2
是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为 ( A.
)
5 钱 4
B.
4 钱 3
C.
3 钱 2
D.
5 钱 3
12.已知函数 f (，若 x 1 是函数 f ( x) 的唯一极值 x
C. ( e, ) D.
点，则实数 k 的取值范围是（） A. ( , e] B. ( , e)
数 f x 的图象在 0, 2 内恰有两个不同的公共点，则实数 a 的值是（ A.0 B.0 或） D.
1 2
C.
1 1 或 4 2
0或
10.设等差数列 an 的前项的和为 Sn ，若 a6 0 ， a7 0 ，且 a7 a6 ，则（） A. S11 S12 0 B. S11 S12 0 C. S11 S12 0 D.
2 2
，则符合条件的三角形有( ) C．3 个） B、 D．0 个
sin x cos x 的单调减区间是（

4
, k

4
]
（ kz）
1
[k

3 , k ](k z ) 4 4 [2k , k
C、

[k

4

2
4
,2k

2
](k z )
D、
1 (, ] e
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.已知角的终边经过 2,3 ，则 cos

3 2

.
14.对于实数 a 和 b，定义运算 a*b＝ e2*
( )
1 9
－
1 2的 .
（b＋1），（a＞b），则式子 ln {a b（a＋1），（a＜b），)