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lim f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x x0
x x0
存在，则称此极限为函数 f 在点 ( x0 , y0 ) 关于 x 的
偏导数．记为
f x ( x0 , y0 ) , zx
, ( x0 , y0 )
z ,
x ( x0 , y0 )
即 f x ( x0 , y0 )
lim
x x0
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x x0
或 f x ( x0 , y0 )
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0
x
2019年12月9日9时40分
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9
类似地可定义关于 y 的偏导数
f y
( x0 , y0 )

f y ( x0 , y0 )
lim
y y0
f ( x0 , y) f ( x0 , y0 ) y y0
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
2019年12月9日9时40分
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全增量z 可表示为
z Ax By o()
⑴
其中 A , B 是只与点 P0 有关的常数， x2 y2
则称函数 f 在点 P0 可微，
z 线性主部 Ax + By 称为函数 f 在点 P0 的
全微分，记为
dz P0
df ( x0 , y0 ) Ax By
由于 | x y | | x | | y | 0 ( 0),

因此 xy o( ). 从而 f 在 ( x0 , y0 ) 可微, 且
d f y0 x x0 y.
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二、偏导数
定义2 设函数 z = f ( x , y ), ( x , y )D ，若极限
lim lim 0
( x ,y )( 0,0 )
( x ,y )( 0,0 )
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数在 D 内可微分.
2019年12月9日9时40分
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6
可微与连续的关系由全微分的定义可知，
若函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微，
2019年12月9日9时40分
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4
dz 是 z 的线性主部，特别当| x|、 | y|充分小时，
全微分 dz 可作为全增量 z 的近似值，即
z f ( x, y) f ( x0 , y0 )
A( x x0 ) B( y y0 ) o( )
则称 z f (x 0 , y 0 ) f (x , y ) f (x 0 , y 0 ) f (x 0 x , y 0 y ) f (x 0 , y 0 )
为函数 f 在点 P0 的全增量. 称 xf (x 0 , y 0 ) f (x 0 x , y 0 ) f (x 0 , y 0 )
y f (x 0 , y 0 ) f (x 0 , y 0 y ) f (x 0 , y 0 ) 为函数 f 在点 P0 的偏增量.
2019年12月9日9时40分
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定义 1 若函数 z = f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处的
或
f (x, y)
x

fy(x, y)
或

f
( x, y
y)

,
也可简单地写作 fx , zx , 或
f x

fy, zy,
或

f yห้องสมุดไป่ตู้

.
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2019年12月9日9时40分
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11
若函数 z f ( x, y) 在区域 D 上每一点 ( x, y) 都存在对 x ( 或对y) 的偏导数, 则得到 z f ( x, y) 在 D 上
对 x (或对y) 的偏导函数 (也简称偏导数), 记作
fx(x, y)
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7
例1 考察 f ( x, y) x y 在任一点 ( x0, y0 ) 的可微性.
解 f 在点 ( x0, y0 ) 处的全增量为
f ( x0 , y0 ) ( x0 x) ( y0 y) x0 y0
y0 x x0 y x y.
A( x x0 ) B( y y0 ) dz
从而
f ( x, y) f ( x0 , y0 ) A( x x0 ) B( y y0 )
2019年12月9日9时40分
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在使用上，⑴式常写成下列形式：
其中
z Ax By x y
lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
(x,y )(0,0)
( x ,y ) ( 0,0 )
所以函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 连续．
函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微函数在该点连续．
2019年12月9日9时40分
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注1 : 这里符号，专用于偏导数算符， x y
与一元函数 d 相仿，但又有差别. dx
注2：在上定义中，f
在点（x
0，y
）存在
0
关于x (或y )的偏导数，f 至少在
{(x , y 0 ) | | x x 0 | } (或{(x 0 , y ) | | y y 0 | }上有定义.
可微性与全微分偏导数可微性条件可微性几何意义及应用
2019年12月9日9时40分
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一、可微性与全微分
一元函数的微分的定义复习设P0 ( x0 , y0 )，P( x, y) D, x x x0 , y y y0 ,