密码与解密模型

密码学的基本概念
• 密码学基本模型
Key 加密密匙
发 送
Plaintext
明文 Encryption
方
加密
Key 解密密匙
Ciphertext 密文
不安全信道
Plaintext
Decryption 明文 解密
接 收 方
加密：c= EK (m)
密码分析
解密：m= DK (c)
（Cryptanalysis）
公开密钥系统
Hill密码的加密和解密都只需要加密矩阵这个密钥就可以了。 这种系统称为单密钥系统。如果加密和解密使用两个不同的 密钥，则称为双密钥系统，也称为公开密钥系统。密钥的拥 有者将其中一个密钥公开，另一个保密。
双密钥系统（1）W.Diffie 和 M.Hellman最早提出 （2）R.L.Rivest, A.Shamir和 L.Adleman 提出第一个方法
5 4a b (mod 26) 17 19a b (mod 26) 这样有：12 15a (mod 26) 所以：a 15-1 12 (mod 26) 7 12 (mod 26) 6 (mod 26) a=6与26不互素，所以无法对密文解密。
（2）如令R(17)对应E(5), S(18)对应T (19),得同余式
3）将明文字母分组。 Hill2 使用的是二阶矩阵，所以 将明文字母每2个一组（可以推广至Hilln密码），若最 后仅有一个字母，则补充一个没有实际意义的哑字母。 这样使得每组都有2个字母，查出每个字母的表值，构
成一个二维列向量 。
4）令 A ，由 的两个分量反查字符表值得到
的两个字母即为密文字母。
AB BA I (mod m) 称A为模m可逆。B为A的模m逆矩阵，记为B A1(mod m)
命题2.元素属于Zm的方阵A模m可逆的充要条件 是：m和det( A)没有公共的素数因子。
推论2.若方阵A的每个元素属于Z
，而且
m
det
A

1
则A是模m可逆的，且它的逆矩阵A1(mod m)
ＨILL密码的数学模型
字符（明文） 表值
一组数 分组
向量
左 乘
A
密文 反查表值 向量
解密过程：加密过程的逆过程。
例：设明文为“MEET求这段明文的 Hill2
密文。A


1 0
2 5
将明文分为： ME ET
对应的列向量为
13

5

,
5

20

就是A的模m逆矩阵。
设方阵 容易验证
A

a c
b d
满足命题8.1的条件
A1

(ad

bc)
1
d
c
b
a

(mod
Байду номын сангаас
m)
其中(ad bc)1是ad bc关于模m的同余逆。于是方程组
A 在模m意义下的解为 A1 (mod m)
对上面例子,det(A)=5,它与29互素，所以满足 2 的条件，故A关于模29的逆为
N O P Q R S T U V WX Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
多重图系统
Hill密码中所用的数学手段是矩阵运算。
加密过程： 1）将英文的26个字母、空格和必要的标点符号与1到29 之间的整数建立一一对应关系，称为字符的表值，然后 根据明文字符的表值，将明文信息用数字表示。设通讯 双方给出这29个字符的表值如下：
利用上述解密公式对密文进行解密得到： GTGAE RCSGT KESRE …… RKLGU GXDER TMMT
这是一串没有意义的字符串，解密失败
(3)如令R(17)对应E(4)，K(10)对应T(19)，得 同余式 17=4a+b(mod26)
10=19a+b(mod26), 我们可以得到加密公式：c=3p+5(mod26), 解密公式：
例
假设下面是仿射变换加密的，试破译此文 FSFPR EDLFS HRLER KFXRS KTDMM PRRKF SFUXA FSDHK FSPVM RDSKA RLVUU RRIFE FKKAN EHOFZ FUKRE SVVS
假设此问题由26个英文字母组成，取m=26.由于与26互素，a有12种 不同的取法，b有26种不同的取法，所以放射变换有12*26=321种。 可采取穷举法来破译。
对密文UUQR进行解密得到
1 17 23 448 13
0
6

25

150

5

(mod
29)
1 17 16 237 5
0
6

13

78


20
(mod
29)
即明文MEET
Hill密码的加密与解密过程类似于在n维向量 空间中进行线性变换及其逆变换。每个明 文向量是一个Zm上的n维向量，乘以加密矩 阵并对m取余，仍为Zm上的一个n维向量。由 于加密矩阵A为模m的可逆矩阵，所以如果 知道了n个线性无关的n维明文向量及其对 应的密文向量，就可以求出它的加密矩阵A 及其模m的逆矩阵A-1(mod)
• 明文用M（Message，消息）或P（Plaintext，明文） 表示，它可能是比特流、文本文件、位图、数字化的 语音流或者数字化的视频图像等。
• 密文用C（Cipher）表示，也是二进制数据，有时和M 一样大，有时稍大。通过压缩和加密的结合，C有可能 比P小些。
• 加密函数E作用于M得到密文C，用数学公式表示为：E （M）=C。解密函数D作用于C产生M，用数据公式表示 为：D（C）=M。先加密后再解密消息，原始的明文将 恢复出来，D（E（M））=M必须成立。
A1

51
5 0
2
1

(mod
29)

6
5 0
2
1

(mod
29)(因为5的同余逆21)

30 0
12
6

(mod
29)

1 0
17
6

(mod
29)
解密公式为：


A1
1 (mod m) 0
17
6


(mod 29)
F((3*0+5)mod26=5=F)和I，它们有3个字母的间隔(a=3)
仿射变换的解密公式可通过求解同余方程得到 ap c b (mod m) 记整数a关于模m的同余逆为a1,即aa1 1 (mod m),
对上式两边同乘a1, 得 p a1(c b) (mod m)
Remark: 只有a与m互素，才可能存在a关于模m的同余逆a1
HILL密码
Hill2密码中所用的数学手段是矩阵运算。 加密过程： 1）将英文的26个字母与0到25之间的整数建立一一对应 关系，称为字母的表值，然后根据明文字母的表值，将 明文信息用数字表示。设明文信息只用26个大写字母表 示，通讯双方给出这26个字母的表值如下：
ABCDE F GHI J KL M ０ １ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
双密钥系统的程序是这样的 收方先告诉发方如何把情报制成密码（敌人也听到） 发方依法发出情报的密文（敌人也可能收到密文） 收方将密码还原成原文（敌人却解不开密文）
左乘矩阵A后的向量
23 45

25

,
100

关于29取模

23 25

,
16 13

,
对应密文
WYPM
定义1. 设m为一正整数，记整数集合Zm {1, 2, , m}. 对于一个元素属于Zm的n阶方阵A，若存在一个元素属于Zm 的n阶方阵B，使得
17 4a b (mod 26) 18 19a b (mod 26) 这样有：1 15a (mod 26) 所以：a 15-1 1 (mod 26) 7 1 (mod 26) 7 (mod 26) a=7
b 17-4 7 (mod 26) 11 (mod 26) 15(mod 26) 我们可得到 加密公式: c 7 p 15 (mod 26) 解密公式: p 15c 9 (mod 26)
上面移位置换密码的一个简单变种就是仿射变换密码， 其数学表示为
c ap b(mod m) 其中自然数 a必需与模 m互素
在上面例子移位置换密码下，明文中相邻的字母对应的 密文字母也是相邻的，如A和B对应的密文字母分别为D和E,
但在仿射变换下，c 3p 5(mod 26) 对应的密文字母分别为
密码本
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
密文
DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC
明文 密文
Caesar was a great soldier Fdhvdu zdv d juhdw vroglhu
CAESAR 密码 ： c=( m+ 3) Mod 26
仿射变换密码
置换密码
置换密码是一个最容易实现而且最为人们 熟悉的密码，它只需要把每个字母由某个 其他字母来替换而形成密文。替换的规律 可以是随机的或者是系统的。
总共有26！种可能的密码！
Gaius Julius Caesar
置换密码
Caesar 密码
ABCDEFGHIJK 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C D E F GH I GK LMNO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 P Q R S T U V W X Y Z 空格 ？ ！ 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
2）选择一个 n 阶可逆整数方阵A，称为Hilln密码的加 密矩阵，它是加密体制的“密钥”，是加密的关键，仅 通讯双方掌握。
Around the 16th century, as the basic system, a mechanical means of encryption to make a secret password table and the secret codes has made cryptography developed.
p=3-1(c-5)(mod26)=9(c-5)(mod26)=9c+7(mod26)
最后破译文为 ANAME RICAN SECRE TAGEN TWILL MEETA NAFGH ANIST ANMOL EINTH ECOFF EEBAR ATTHU RSDAY AFTER NOON 即AN AMERICAN SECRET AGENT WILL MEET AN AFGHANISTAN MOLE IN THE COFFEE BAR AT THURSDAY AFTERNOON 破译成功
可以用频率法，即密文中出现次数最多的字母与英文中最常见的字母 对应。
在密文中 F：出现12次 R：出现12次 S：出现9次 K：出现8次
在平常统计中 E：出现频率 13.04% T：出现频率 13.04% Z：出现频率 0.08%
（1）如令F (5)对应E(5), R(17)对应T (19),得同余式
DES(data encryption standard ) and public key system were two exotic blooming flowers on the cryptography groud.
These two almost came at the same time, the former was promoted by IBM and the later came from a famous scientific paper “New Directions in Crytagraphy” by Diffie W. and Hellman M.E.
The history
Password as a technology in the military and political struggle, has a thousand years of history. Since human beings have a war, password naturally appears. From 4000 thousands years ago to 14th century BC, they used artificial means to encrypt ，called classical cryptography .