高等数学第三节 三重积分教材课程

r •M(x,y,z)
定，其中 r 为原点 O 与点 M 间的距离，
z
为有向线段
OM 与 z轴正向所夹的角，
o
x
A
为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向 x y
•
P
y
转到有向线段 OP 的角，这里 P 为点 M
在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 r， ，
就叫做点 M 的球面坐标．
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4. 求由曲面 z 5 x 2 y 2与抛物面 x 2 y 2 4z 所围成立体的体积 .
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5. 求三重积分 zdxdydz，其中 为球面 x 2 y 2 z 2 4 与抛物面 x 2 y 2 3z所围成的闭区域。
6. 求三重积分 zdv，其中 为球面 x 2 y 2 z 2 4 与锥面 z 3( x 2 y 2 )所围成的闭区域 .
规定： 0r ,
z
02,
z .
注意：柱面坐标系平就面是极
o
坐标系加z上 轴.
x
•M(x,y,z)
ry • P(r,)
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柱面坐标系的三坐标面是
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z z .
r
10 . 计算 x 2 y 2 dv，其中 圆锥面
z x 2 y 2 与 z 1所围成的区域 .
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11 .计算 I xdxdydz ，其中积分区域 ( x , y , z ) x 2 y z 1, x 0, y 0, z 0
12 .已知
f ( x 2 y 2 z 2 )dΩ k R r 2 f ( r 2 )dr， 0
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1. 计算三重积分 ( x 2 y 2 )dv ，其中 是由 曲面 2( x 2 y 2 ) z与平面 z 4所围成的区域 .
2. 求由曲面 z 2 ( x 2 y 2 )与 z x 2 y 2所围 成立体的体积 .
3. 求由曲面 z x 2 2 y 2 , z 6 2 x 2 y 2为边界 所围成立体的体积 .
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五 小结与思考判断题
三重积分计算
柱面坐标
球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxd ryd d d rzd z
（2） 球面坐标的体积元素
dxd r2 y sd id n z rd d
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思考判断题
若积分域关于三个坐标面都对称，则
zlx n2x 2 ( y2y 2 z2z 21 1)dxdy0.dz
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: r 2 z 4 r 2， 3 0 r 3, 0 2.
I02d03drr324r2rzdz143 .
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例2 计算 z x2y2dxdy,d其z中是由圆锥面 x2 y2 z2与z1所围成的区域。
解 所围成的立体如图，
x2y2z2
z r,
D : x2y21,
第三节 三重积分(2)
一 柱面坐标系 二 利用柱面坐标计算三重积分 三 球面坐标系 四 利用球面坐标计算三重积分 五 小结与思考判断题
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一 柱面坐标系
设M(x, y,z)为空间内一点，M并 在设点
Baidu Nhomakorabea
xoy面上的投 P的 影极坐标 r,为 ，则这样的三
个数r,,z就叫点 M的柱面坐标．
:r z 1 , 0 r 1 ,0 2 ,
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所以 z x2 y2dxdydz
zr2drddz
2d 1r2dr1zdz
0
0
r
2 1r2(1r2)dr
0
2
2 .
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三 球面坐标系
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，则点
z
M 可用三个有次序的数 r， ， 来确
•
P
y
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
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四 利用球面坐标计算三重积分 z
球面坐标系中的体积元素为
dr
d
d vr2sin drd dθ,
rsin
r
rsin d
rd
d
f(x, y,z)dxdydz
o
y
d
f ( r s ic n o ,r ss isn i,r n cxo ) r 2 s sid n d r θ .d
0
00
20 4si3n 1 5(cao5 5 s0)d
a5. 10
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例 4求 曲 面 x 2 y 2 z 2 2 a 2 与 z x 2 y 2 所 围 成 的 立 体 体 积 .
解 由锥面和球面围成，采 用 球 面 坐 标 ，
由 x 2 y 2 z2 2 a 2
r 2a,
或
tan
z z
x2 y
x
y2
x
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z
•M(x,y,z)
z
o
r•P(r,)
y
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例1 计算Izdxd， yd其中 z 是球面
x2y2z24与抛物面x2y23z
所围的立体.
解 球面与抛物面交线为
r2 z2 4
r2 3z
z1, r3,
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把闭 区 投域 影 xo到 面 y 上，
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规定：
0r , 0, 0 2 .
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
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如图，
设点M在xoy面上的投P影 ，为z
点P在x轴上的投A影 ，为
r •M(x,y,z)
z
则 O x A ,A y P ,P M z . Axo 球面坐标与直角坐标的关系为 x y
15. 计 算I （x 2 y2 z 2 )dv, 其 中 : x2 y2 z2 1 , x 0, y 0, z 0
8. 计 算 三 重 积 分I x 2 y2 z 2 dv， 其 中是 由 球 面 x 2 y 2 z 2 2z 所 围 成 的 区 域.
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(1)一 般 ， 当 积 分 区柱 域形 为、 圆扇 形 柱 体
或 圆 环 柱 体 ， 或函 者数 被中 积含x有 2 y2, x2 y2等 项 时 可 采 用 柱法 面 坐 标 (2)一般当积分区域为、球半体球体或锥面 与球面所围成的立域体，区或被积函数
含有x2 y2 z2, x2 y2 z2等项，可采用 球面坐标法。
7. 计算三重积分 I ( x 2 y 2 )dxdydz , 其中 是圆锥面 z x 2 y 2与平面 z 5 所围成的区域 .
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9. 计算三重积分 I ( x 2 y 2 z 2 )dv，
其中 是由球面 z 1 x 2 y 2 及平面 z 0所围成的区域 .
x2 y2z2R2
求k.
13 . 求三重积分 I ( x 2 y 2 )dxdydz , 其中 是
曲面 25 ( x 2 y 2 ) 4 z 2与平面 z 5所围成的区域。
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14. 求 （x 2 y2 )dv, 其 中是 由 曲 面x 2 y2 2z 与z a(a 0)所 围 成 的 空 间 立 体.
z x2y2 , 4
:0 r 2 a , 0 , 0 2 , 4
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由 三 重 积 分 的 性 质 知 V d x , dy
V2d 4d2ar2si n dr 0 00
2 4si n( 2a)3d
0
3
4( 21)a3. 3
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注意:
一 般 当 积 分 区 域、 为半 球球 体体 或 锥 面 与
所 围 成 的 立 体 区被 域积 ，函 或数 中x含 2 有 y2 z2,
x2 y2 z2等 项 ， 可 采 用 球法 面。 坐 标
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例 3计 算 I ( x 2 y 2 )dx， d 其 中 y d 是 锥 z面
x 2 y 2 z2 ， 与 平 面 z a(a 0 )所 围 的 立 体 . 解 采 用 球 面 坐 标
z a r a , cos
x2y2z2 ,
4
:0 ra,0 ,0 2 , c os 4
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I(x2y2)dxdydz
2d 4dcaosr4si3 ndr