变质量动量定理

d dm m mg r dt dt 设初始时刻t=0时 0 m m0 且 r为常量
将式（f）积分得
（f）
m0 0 gt r ln m
（g）
例 6－2 二级火箭及多级火箭 单级火箭具有重大的缺欠 那就是燃料装得越多其壳体也就越大 任何时候火箭的反推力不仅要使有效载荷产生加速度 而且也要使庞大的壳体产生同样的加速度 这就限制火箭速度的提高 多级火箭可以克服这一缺欠 当前一级火箭燃料燃烧终了时 连同其壳体一起抛弃 后一级火箭开始工作 二级火箭由3部分组成 第一级火箭 第二级火箭和载荷
m0 N mf
m0 N ef / r mf
（c）
称此式为齐奥尔科夫斯基公式 它表明在 r 已知时 欲使火箭达到特征速度 0 所应具备的质量比
如果火箭在真空中且处于均匀重力场内 沿铅直方向向上运动 称为齐奥尔科夫斯基第二类问题 与第一问题的区别是有均匀重力作用 运动微分方程（6－3）在铅直方向上的投影为
设第一级火箭总质量为m1 其内携带燃料的质量为m1e 且 m1e m1 第二级火箭总质量为m2 其内携带燃料的质量为 m2e m2 载荷的质量为 m p 设燃料从火箭喷出的相对速度 r =常数 方向与火箭速度方向相反 每秒喷出的燃料质量也为常数 火箭由静止开始运动 略去重力 由例6.1式（b）可得 第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度为 m1 m2 m p 1 r ln （a） m1 m2 m p m1 当第二级火箭的燃料也全部喷射完时 速度为 m2 m p 2 1 r ln m2 m p m2 （b）
（6－5）

（2）质量按指数规律变化 设变化规律为
dm t m e m ， 由 知 式中 0 皆为常数 0 dt 其反推力为
m m0 e t
（6－6）
令 a 表示仅在反推力 F 作用下变质量质点的加速度
则当 r 为常量时 a 也是常量 即由反推力引起的加速度为常量
得
d p p2 p1 F (e) dt
略去高阶微量 dm d 并以dt除各项 得 (e) d dm dm m 1 F dt dt dt (e) d dm 或 m (1 ) F （6－1） dt dt 式中 (1 ) 是微小质量dm在并入前 令 对于质点m得相对速度 r
如果取 m1 3m2 50m p ， 0.8 ， r / g 300s 则由式（a）及（b）可得 如果用单级火箭 仍采用上面的参数 所求得的速度就要低的多 设二级火箭的总质量（不含载荷质量 m p） m m1 m2 为常量 则 m1 ，m2 的不同分配将影响火箭的速度 将式（a）代函数 为求 2的最大值 将其对m2求导 并令 d 2 / dm2 0 化简并只取M/P幂级数展开的首项 得

dm F r dt 则式（6－1）改写为 d (e) m F F dt
（6－2）
（6－3）
上式称为变质量质点的运动微分方程 式中m是变量 因 F具有力的量纲且与喷气方向相反 称为反推力
dm 是代数量 dt
2.常用的几种质量变化规律
（1）质量按线性规律变化 设变化规律为


（d）
如果取 m p / m 1/ 100 则 m2 / m 1 / 10， m1 / m 9 / 10 如果仍用 0.8 、 r / g 300s m/s 则由式（d）可得 2 max 7500 这显然比 m1 m2时的 2 6000m/s 要大得多 下面讨论多级火箭 ，mn 设各级火箭的质量分别为 m1 ，m2 ， ， 2， ，n) 各级火箭内的燃料质量为 i mi (i 1
2 m2
2 6761 .14m/s
m p m2 m p m1
（d）
满足式（c）的 m2 / m 将使 2达到最大值 将式（c）代入式（a）（b） 略去 m2 / m 及 m p / m 的高次项 可得
2 max 2r ln 1 [1 (m2 m)1/ 2 ]
§ 6－1 变质量质点的运动微分方程
1.变质量质点的运动微分方程
(e) 设作用于质点系的外力为 F
质点系在瞬时t的动量为 p1 m dm 1 质点系在瞬时t+dt的动量为 p2 (m dm)( d ) 根据动量定理
( e) (m dm)( d ) (m dm 1 ) F dt 将上式展开得 ( e) md dm dm d dm 1 F dt
d dm 或 m r dt dt 设初始时刻t=0时 0
d
r dm
m
（a）
m m0 将式（a）积分得
m0 0 r ln m
（b）
设火箭燃烧终了时质量为 mf 速度为v
令
（c）
称N为质量比（有些资料取 N mf /m0 为质量比） 令 f r ln N （b） 称 f 为火箭的特征速度 它代表这一级火箭在初始速度 0的基础上所能增加的速度 由式（d）可得
m m0 (1 t ) ， t 1 （6－4） 式中 m0 ， 皆为常数 该式代表质量随时间呈线性变化
dm m0 知 其反推力为 由 dt
可见 当 r 为常数时 反推力也为常量 且与 r方向相反

dm F r m0 r dt
dm t F r m0 e r dt
F a r m
（6－7）
（6－8）

例 6－1 单级火箭 设火箭在真空中运动且不受任何外力作用 其喷射出的气体相对于速度 r 的大小不变 方向与火箭运功方向相反 此问题称齐奥尔科夫斯基第一类问题 对这一问题 变质量质点的运动微分方程（6－3） 在运动方向上的投影为