压缩映射原理及其应用.ppt

= 1-
m M
，则有0＜＜1，且
A2 x A1 x 2 x 1 x
按 Ca,b 中距离的定义，即知
d A2, A1 d 2,1。
因此，A是压缩映射。由定理1，存在唯一的 Ca,b满
足A= ，即 x x 1 f x, x，这就是说
f
x,
x
0,
M
a
x
b
定理证毕。
定理3（Picard）设 f t, x 是矩形
（1），我们有
d x,Tx d x, xm d xm,Tx
d x, xm d xm1, x
上面不等式右端当m 时趋向于0，所以 d x,Tx 0 ，即 x Tx 。
下证唯一性。如果又有 x X ，使 Tx x，则由条件（1），
d x, x d Tx,Tx d x, x
因 ＜1，所以必须 d x, x 0 ，即 x x 。证毕。
x
m 1
d
x0 ,
x1
（4）
（4）式给出了用逼近解x的误差估计式。
§6 压缩映射原理及其应用
Banach空间的压缩映射原理是完备度量空间概念
的应用，它有助于证明微分方程、代数方程、积分
方程等问题中许多关于存在唯一性的定理。
定义1 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存
在一个数 ，0＜＜1，使得对所有的x，y∈X，成立
d（Tx，Ty）≤ d（x，y），
（1）
则称T是压缩映射。
数m和M，满足
0＜m≤ fyx, y≤M，m＜M。 则方程 f x, y =0在区间 a,b上必有唯一的连续函数 y=x 作
为解：
f x, x 0, x a,b 。
证 在完备空间 Ca,b 中作映射A，使对任意的函数 Ca,b，
有
A
x
x
1 M
f x, x。按照定理条件，f
x, y
是连续的，
故 A x也连续，即A Ca,b。所以A是 Ca,b 到自身的映
（2）
d xn_1, xn
m m1 n1 d x0, x1
m
• 1 nm 1
d
x0,
x1
因0＜＜1，所以1 nm＜1，于是得到
d xm , xn
m 1
d
x0 , x1 （n＞m）
（3）
所以当m ,n 时，d xm, xn 0 ，即xn是X中柯西点列，由X
完备，存在 x X ，使 xm xm ，又由三点不等式和条件
D= t, x t t0 a, x x0 b
上的二元连续函数，设 f t, x M,t, xD，又 f t, x 在D上关
于x满足Lipschitz条件，即存在常数K，使对任意的t, x,t,v，D
有
f t, x f t,v K x v ，
那么方程 dx
dt
f
t, x 在区间
J =t0 ,t0
x
，
0
，x n
=Tx
n-1
=T
n
x
，
0
。
我们证明 xn点 列是X中柯西点列，事实上，
d
x
，x
m+1 m
d
Txm
,
Txm1
d
x
，x
m m1
d Txm1,Txm2 2d xm-1，xm2
mdx1，x0
由三点不等式，当n＞m时，
。
。
d xm, xn d xm, xm1 d xm1, xm2
射。
现证A是压缩映射。任取 1，2 Ca,b，根据微分中值定理，存
在0＜ ＜1，满足
A2 x A1 x
=
2
x
1 M
f
x,2
x
1
x
1 M
f x,1 x
=
2
x
1
x
1 M
fy x,1 x 2 x 1 x • 2 x 1 x
2
x 1 x
1
m M
由于0＜m ＜1，所以令
M
压缩映射原理在分析、微分方程、积分方程、代数方程解的
存在和唯一性定理证明中起了重要作用。下文介绍隐函数存在定 理以及常微分方程解的存在性和唯一性定理（Picard）。
定理2 设函数 f x, y 在带状域
a x b, -∞＜y＜∞
中处处连续，且处处有关于y的偏导数 fyx, y 。如果还存在常
压缩映射在几何上的意思是说点x和y经T映射后，
它们像的距离缩短了，不超过d（x，y）的 倍（ ＜
1）。
定理1 （压缩映射原理）设X是完备的度量空间，T是X上的压
缩映射，那么T有且只有一个不动点（也就是说，方程 x=x，
有且只有一个解）。
证明：设是X中任意一点。令
x1 =Tx 0，x 2
=Tx1
=T2
上有唯一的满足初
值条件 xt0 x0 的ห้องสมุดไป่ตู้续函数解，其中
＜min
a,
b M
,
1 K
.
压缩映射原理不仅证明了方程 Tx x解的存在性和唯一性，
而且也提供了求解的方法——逐次逼近法，即只要任
取 x0 X ，令 xn
令n ，则有
T n x0，则解
x
lim
n
xn
。如果在（3）中，
d
xm ,