中国振动工程学会模态分析高级研修班讲课资料(第五章)多输入多输出系统的模态参数识别

PolyMax模态识别方法,属于多自由度时域识别法,也称作多参 考点最小二乘复频域法( Polyreference least squares complex frequency domain method)， 是最小二乘复频域法(LSCF)的多输 入形式，是一种对极点和模态参预因子进行整体估计的多自由度 法,一般首先通过实验建立稳态图，以判定真实的模态频率、阻尼 和参预因子；建立可以线性化的直交矩阵分式模型，然后基于正 则方程缩减最小二乘问题,得到压缩正则方程,于是模态参数可以通 过求解最小二乘问题得到。该方法集合了多参考点法和LSCF方法 的优点,可以得出非常清晰的稳态图,并且密集空间可以被分离出来, 尤其在模态较密集的系统(动力总成系统)，或者FRF数据受到严重 噪声污染的情况下仍可以建立清晰的稳态图，识别出高度密集的 模态，对每一个模态的频率、阻尼和振型都有很好的识别精度,是 国际最新发展并流行的基于传递函数的模态分析方法。
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矩阵A的特征值与系统特征值之间有如下关系；
式中Z r及λr均为复数，可写成
然后由下列公式可求的系统的模态频率ω r及模态阻尼ξ r;
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– 多输入多输出方法
• 时域和频域两种方法；
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• 多输入多输出频响函数估计
– 系统的多输入多输出模型
• 输入与输出
输入噪声
实测输入 实测输出
输出噪声 真实输入
真实输出
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（6）、模态参数辨识 系统的模态参数可由系统矩阵A 的特征值及特征向量来确定。系统矩 系统矩阵A可由下式确定，
对矩阵A进行特征值分解，求出特征值矩阵，然后求出特征向量矩阵
式中：z 为特征值矩阵；Ψ 为特征向量矩阵， 由此便可确定系统的模态振型，
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（2）脉冲响应矩阵的建立 系统的脉冲响应可由实侧传递函数的拉氏逆变换求得。对各 点的脉冲响应函数h ( t ）进行离散采样后，便可得离散的脉冲响 应函数序列h ( K ) , K = 1 , 2 , …。设采样的时间间隔为△ 。在K △时刻，各测量点的脉冲响应可构成下列脉冲响应矩阵：
• 估计模型
– 无输入噪声 – 输出噪声与输入信号无关
•
估计
– – – – 右乘F的共轭转置 再求数学期望，得 输出噪声与输入信号不相关时 频响函数估计
GXF－输入输出互功率谱密度矩阵 GFF－输入自功率谱密度矩阵 GNF－输出误差和输入的互功率谱矩阵
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特征系统实现算法（ERA 法）
特征系统实现算法（ERA）首先由美国国家航空 与宇航局 ( NASA ）所属的Langley 研究中心于1984 年提出。它是一种属于多输入多输出的时域整体模态 参数辨识方法。它移植了自动控制理论中的最小实现 理论，利用脉冲响应数据，采用奇异值分解的方法， 求得系统的特征值与特征向量，从而求得模态参数。 该方法于1984年提出后，当年即在美国伽利略航天器 的模态分析中应用，次年又在航天飞机机载巨型太阳 能帆板的太空模态试验中应用，均取得良好的效果， 该方法有最佳的精度，因此是目前比较先进的一种时 域参数辨识方法。
• 特点
– – – – 是一种欠估计 对输入噪声比较敏感 输入噪声较大时，精度受影响，在共振点附近更是如此 要对输入自谱矩阵求逆，计算量大，且矩阵奇异易导致 求逆失败 – GFF奇异的几方面原因
• 某个输入谱为零时 • 两个或更多输入信号完全相关时 • 数值计算中的问题:矩阵病态等
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（1）系统的状态方程描述 对一个N 自由度的线性系统，若在P个点激励，在L 个点上测量 响应，可用下列状态方程描述：
式中：K 为采样点序号；X ( K ）是在K△时刻系统的状态向量，( 2N xl ) ； △为采样间隔时间；Y( K ）是在K△时刻的实测响应向量，L x1;F ( K ）是在K△时刻系统的输人向量，Pxl ; A 为系统矩阵， 2Nx2N ; B为输入矩阵，又称控制矩阵，2Nx P；C 为输出矩阵，又称 观测矩阵，L x2N 。 对一线性定常系统，自由响应可用脉冲响应来代替。因此自由响 应的最小实现问题常用脉冲响应的最小实现问题来代替。
（5）、特征系统实现算法 由式②，当K=1时，有
③
显然亦有 ④ 对 进行奇异值分解，
⑤ 式中：U 为左奇异向量；V 为右奇异向量；∑为奇异值矩阵,∑∈ , U、V是正交归一化矩阵，
σi称为奇异值，并且有σ1≥σ2≥σ3„≥σr。 矩阵的秩即为
系统的阶次。可由不为零的奇异值的个数来确定。
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•
估计
– 利用最小二乘法原理，极小化误差矩阵的方法
– 圆盘结构三种估计对比试验 » 圆板放置在泡沫塑料衬垫上 » 采用随机激励 » 故意造成一些泄漏 » 人为施加一些噪声
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•特征系统实现算法（ERA） •最小二乘复频域法 （ PolyMax ）
• 检验判别工具
常相干函数（表明两信号的因果关系）
若某一输入信号与 输出信号常相干函 数等于1，则表示该 输入信号与该输出 信号完全相关，该输 出完全由该输入产生
若两输入信号常相干函 数等于1，则表示两个 输入信号完全相关
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基本思路
特征系统实现算法是利用实测的自由响 应（脉冲响应函数，相关函数），运用奇异 值分解方法，确定系统的阶次和状态方程中 的系统矩阵A 、输人矩阵B 和输出矩阵C ，进 而求解系统矩阵A 的特征值问题，求得极点与 留数，从而确定系统的模态参数。当矩阵A 、 B 、C 的阶次为最小时，即为最小实现。此 时系统是可控的，又是可观的。
GXF－输入输出互功率谱密度矩阵 GFF－输入自功率谱密度矩阵 GNF－输出误差和输入的互功率谱矩阵
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• 特点
– – – – – 有唯一解的条件是GFX的逆矩阵存在 当激励力数P比响应测点数L小时， GFX的逆不存在 此时可利用最小二乘解，利用GFX的伪逆矩阵，求解 只考虑输入噪声的影响，对输出噪声比较敏感 是一种过估计，即有
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多输入多输出系统的模态参数识别
张永强
高级工程师
靖江泰斯特电子有限公司 西北工业大学 振动工程研究所
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• 概述
– 单点激励的不足
• • • • • 激励能量不够，且传递过程中损耗过大； 离激励点较远的地方响应信号较弱，信噪比低； 较大激励会造成局部响应过大，产生非线性现象 若激励处于节点位置，系统变成不可控和不可观的； 模态密集时辨识能力较弱；
偏相干函数
– 消除其它输入信号的潜在贡献后，输入与输入、输入与输出、 输出与输出之间的相干函数； – 如果输入偏相干函数为1，表明两个输入力是相关的。
重相干函数
– 描述某个输出信号与所有已知输入信号之间因果关系；
– 重相干函数等于1，表示输出xi全部由输入信号f1、 f1、…、 fp引起； – 重相干函数等于0，表示输出xi全部由未知噪声引起的。
对上式递推，可得
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继续递推并代入式①，可得
②
式中；P 矩阵称为可观性矩阵；Q 矩阵称为可控性矩阵；α 、β 则称 为可观、可控性指数，且有
由此即可导出特征系统实现算法的主要计算公式。
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（3）构成Hankel矩阵 脉冲响应的最小实现一般是从生成Hankel 分块矩阵开 始。Hankel 矩阵有如下形式：
①
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（4）、脉冲响应与三重矩阵【A 、B 、C 】之间的关系
对线性定常系统脉冲响应与矩阵A 、B、C 之间有如下关系：
– 在共振点附近， 估计较 估计有较高的精度 – 在反共振点附近，情况相反
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– 输入输出噪声估计模型
• 同时考虑输入输出噪声 • 估计
–取 和 的算术平均值
– 或取其加权平均
– –取
估计 和 的几何平均值
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U ，V ，∑和A,B,C的关系
其中
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因此系统的状态方程规范型可写为
由式⑨可见，A矩阵的阶次取决于∑的阶次，而矩阵∑∈ 。因此， 尽管的阶次很高（Lα x Pβ ),经过奇异值分解后，∑属于2N阶。因为
由此可见，系统矩阵A为2N阶方阵。相应的状态矢量X(K)的阶次必为 2N阶，它是描述2N阶系统的最小阶次，因此是最小实现。
• 系统模型 • 干扰影响
– 无干扰时 – 有干扰时
– – – –
误差（总体误差） 测量误差 信号处理误差 非线性误差
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–
F－输入 向量 H－频响 函数 矩阵 X－输出 向量 N－系统 噪声 向量
估计－输出噪声估计模型
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经上述推导，可以对 做奇异值分解的含意，理解如下； 1）从逼近理论来看， 是 所在子空间的最佳逼近。 2）从信号处理角度来看，用 代替 相当于对数据进 行一次维纳滤波。被滤掉的是对应于奇异值为零的那些与输入、 输出无关的随机噪声。因此状态方程无需再为噪声提供出口， 无需再进行扩阶。 3）以最少的参数、最小的阶次来描述系统的特征和进行运算， 从而减小了运算量。 4）提高了算法的抗噪声干扰能力，避免了在模态转化过程中产 生计算误差，即出现虚假模态。
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–
估计－输入噪声估计模型
• 估计模型
– 只有输入噪声 – 假设输入噪声与输出信号不相关
•
估计
F－输入向量 H－频响函数矩阵 X－输出向量
– 右乘X的共轭转置 M－系统噪声向量 – 再求数学期望 – 输入噪声与输出信号不相关时 – 频响函数估计
式中：hij。为j 点激励、i 点测量的脉冲响应函数；L 、P分别为测 量点与激励点的数目。 脉冲响应的最小实现问题是已知 及求矩阵A 、B 、C ， 并使三重矩阵[ A ，B，C ]的阶次最小。在求得系统矩阵A 后，再 由其特征值与特征向量确定模态参数。
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