空间统计分析

n
Correlation Coefficient
n
N w ij (xi x)(x j x) ( w ij ) (xi x) 2
i 1 j1 i 1 i 1 j1 n n n n n
n
w
=
i 1 j1 n i 1
n
n
ij
(xi x)(x j x)/ w ij

对于Moran指数，可以用标准化统计量Z来
检验n个区域是否存在空间自相关关系，Z I E(I ) 的计算公式为 Z
VAR( I )
当Z值为正且显著时，表明存在正的空间自相
关，也就是说相似的观测值(高值或低值)趋于 空间集聚；
当Z值为负且显著时，表明存在负的空间自相
关，相似的观测值趋于分散分布；
GI89
30 0
20 0
Frequency
Gini Index 1989
10 0 Std . De v = .0 3 Me an = .393 0
6 .2 8 .2 1 .3 2 3 .3 6 .3 8 .3 1 .4 3 .4 6 .4 8 .4 1 .5 2 7 7 2 7 2 7 2 7 2
N = 141 2.00
Examples
Is your educational level likely to be similar
to your neighbor’s? 教育水平 Are farm practices likely to be similar on neighboring farms? 农业实践 Are housing values likely to be similar in nearby developments? 住房价格 Do nearby neighborhoods have similar burglary rates?入户盗窃罪率
County Homicide 杀人罪 Rates 1990
South.shp 0 - 5.832 5.832 - 11.983 11.983 - 20.305 20.305 - 64.261
South.shp 0.263 - 0.36 0.36 - 0.396 0.396 - 0.435 0.435 - 0.533
第四章 空间统计分析初步
本章主要内容
探索性空间统计分析
地统计分析方法
空间统计分析
空间统计分析,即空间数据（spatial
data） 的统计分析，是现代计量地理学中一个快 速发展的方向和领域。 空间统计分析，其核心就是认识与地理位 置相关的数据间的空间依赖、空间关联或 空间自相关，通过空间位置建立数据间的 统计关系。
i 1 j1 2 (x x ) i i 1 n
n
n
Spatial auto-correlation
2 (x x ) i
n
n
Briggs UT-Dallas GISC 6382 Spring 2007
The expected value of Moran's I under the

1 ）每个区域单元的 LISA ，是描述该区域单元
周围显著的相似值区域单元之间空间集聚程度的 指标；
2 ）所有区域单元 LISA 的总和与全局的空间联
系指标成比例。
LISA包括局部Moran指数（local Moran）
和局部Geary指数（local Geary），下面 重点介绍和讨论局部Moran指数。
lattice as a binary matrix using rook’s move definitions
A. Computation of variance/covariance-like quantities, matrix C
B.
C*W: Adjustment by multiplication of the weighting matrix, W
1
2
3
3 4 5
4
5
6
6
0
0 0
0
0 0
1
0 0
0
1 0
1
0 1
0
0 0
0
0 1
0
1 0
1
0 1
7
8
9
7 8
9
0
0
0
0
0
1
0
0
0
（二）全局空间自相关
Moran指数和Geary系数是两个用来度量空
间自相关的全局指标。 Moran指数反映的是空间邻接或空间邻近 的区域单元属性值的相似程度。 Geary 系数与Moran指数存在负相关关系。

局部Moran指数被定义为
( xi x ) I i wij ( x j x ) 2 S j

可进一步写成
I i
n( xi x ) wij ( x j x )
(x
i
j
i
x)2
ห้องสมุดไป่ตู้

nzi wij z j
j
zi 和 z j 是经过标准差标准化的观测 式中：
值。 局部Moran指数检验的标准化统计量为


式中： C 为 Geary 系数；其他变量同上式。
如果引入记号
S 0 wij
n n
z j (x j x)
i 1 j 1
zi ( xi x )
z T [ z1 , z 2 ,, z n ]

则全局Moran指数I的计算公式也可以进一步写 成
n I S0
w
Weights Matrix Example
Sample Region and Units Simple Contiguity (rook) Matrix 1 1 2 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 3 0 1 0 0 0 4 1 0 0 0 1 5 0 1 0 1 0 6 0 0 1 0 1 7 0 0 0 1 0 8 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0

如果是位置（区域）的观测值，则该变量的 全局Moran指数I，用如下公式计算
n wij xi x x j x
n n i 1 j 1 n
I
w x
i 1 j 1 ij i 1
n
n
i
x

w ( x
i 1 j i ij n
n
n
i
x)(x j x)
I
n wij xi x x j x
n n i 1 j 1 n
w x
i 1 j 1 ij i 1
n
n
i
x

w ( x
i 1 j i ij
n
n
i
x)(x j x)
n ij
2
S
2
w
i 1 j i
n
S2
1 2 ( x x ) ； i n i 1 n x xi 。 n i 1

当Z值为零时，观测值呈独立随机分布。
example
an arrangement of 10 cells with real-valued
entries
3 1 2 4 5 6 7 8 9 10

Table 5-10 Tabulated lattice data a table of (x,y,z) triples, where rows are numbered 1,2… from the top and columns are likewise numbered 1,2… from the left,
第1节 探索性空间统计分析
基本原理与方法

应用实例
一、基本原理与方法
（一）空间权重矩阵
通常定义一个二元对称空间权重矩阵W， 来表达n个位置的空间区域的邻近关系，其形式 如下

w11 w W 21 wn1 w12 w22 wn 2 w1n w2 n wnn
Why Do Spatial Analysis?
“Everything is related to everything else, but closer things more so.”
(attributed to Tobler)
Tobler's First Law地理学第一定律
all attribute values on a geographic surface are related to
I=10*16.19/(26*196.68) so I=0.0317
I= ？
请完成
I=0.26
（三）局部空间自相关



局部空间自相关分析方法包括3种: 空间联系的局部指标(LISA) ； G统计量 ； Moran散点图。
空间联系的局部指标(LISA)
空间联系的局部指标（local indicators of spatial association ，缩写为LISA）满足下列两个条件：
Z (I i ) I i E(I i ) VAR( I i )
z z
T
z i wij z j
j

G
统计量
全局G统计量的计算公式为
G wij xi x j / xi x j
i j i j
对每一个区域单元的统计量为
Gi wij x j / x j

式中：Wij表示区域i与j的临近关系，它可 以根据邻接标准或距离标准来度量。
两种最常用的确定空间权重矩阵的
规则
根据连接性 ①简单的二进制邻接矩阵
1 当区域i和j相邻接 wij 其他 0
根据距离 ②基于距离的二进制空间权重矩阵
1 当区域i和j的距离小于d时 wij 其他 0
3 .5 7
GI89
LISA Cluster Maps
Homicide Rate 1990
Gini Index 1989
Examples of Research Using SDA
Epidemiology (environmental exposure research)
Criminology (crime patterns)
each other, but closer values are more strongly related than are more distant ones Waldo Tobler，生于1930年，圣塔芭芭拉加州大学 （UniversityofCalifornia,SantaBarbara，UCSB，加州大学 圣塔芭芭拉分校）退休教授，美籍瑞士地理学家，制图学家。
i 1 j 1
n
n
ij
( xi x )(x j x )
i
(x
i 1
n
x)
2
n S0
w
i 1 j 1 n i 1
n
n
ij i 2
z zj
zi
n z T Wz S0 zT z
Moran指数I的取值一般在[-1，1]之间,小于0表 示负相关，等于0表示不相关，大于0表示正相 关； Geary系数C的取值一般在[0，2]之间，大于1 表示负相关，等于1表示不相关，而小于1表示 正相关。
Education (neighborhood effects on attainment) Diffusion/adoption (technologies)
Social movements (trade unions, demonstrations)
Market analysis (housing and land price variation) Spillover effects (economic spillovers of universities) Regional studies (regional income variation & inequality) Demography (segregation patterns) Political science (election studies)
n
2
S 2 wij
i 1 j i

式中： I 为Moran指数；
1 2 S ( xi x ) ； n i 1 n x xi 。 n i 1
2
1(yi y)(xi x)/n
i 1 2 (y y ) i i 1 n 2 (x x ) i i 1 n
null hypothesis of no spatial autocorrelation is
方差为

n
Geary 系数C计算公式如下
n i 1 j 1 n
C
n 1 wij xi x j 2
2 wij xi x
i 1 j 1 i 1 n n 2