沈阳二中下学期第五次模拟考试.docx

沈阳二中2015—2016学年度下学期第五次模拟考试高三（16届）数学(文科)试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （选择题, 共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{}2,1,0,1,2--，B ＝[2,1)-，则A B I ＝( ) A ．{}2,1,0--B ．{}2,1,0,1--C ．(2,1)- D ．[2,1]-2. 已知复数312a ii+-是纯虚数，则实数a = ( ) A ．－2 B ．4 C ．6 D ．－63. 设,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最小值为( )A. 8B. 7C. 2D. 14. 已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为（ ）A ．47B ．47-C ．47±D ．43-． 5、已知2,4a b ==r r ，且()a b a +⊥r r r，则a r 与b r 的夹角是（ ）A 、3π B 、23π C 、6π D 、56π6. 如图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．107. 已知点P 是抛物线241y x =上的一个动点，则点P 到点A (0, 2)的距离与点P 到y 轴的距 离之和的最小值为( )A ．2B ．5C ．15-D ．15+8. .若m R ∈,“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数” 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 9. 已知函数)20(sin 2sin cos 2cos )(πϕϕϕ<<-=x x x f 的图象的一个对称中心为（6π，0），则下列说法错误的是 ( ) A ．直线π125=x 是函数)(x f 的图象的一条对称轴B ．函数)(x f 在]6,0[π上单调递减C ．函数)(x f 的图象向右平移6π个单位可得到x y 2cos =的图象 D ． 函数)(x f 在]2,0[π上的最小值为-110. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个 扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观 性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )A B C D 直观图11. 已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（ ）A.5B.2C.3D.2 12. 如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x =相 切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ） A.2个零点B.3个极值点C.2个极大值点D.3个极大值点第12题图Oyxy kx m=+()y f x =ABFPEDC第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13. 点P 为ABC ∆边AB 上任一点，则使ABC PBC S S ∆∆≤31的概率是 . 14. ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边且222ac c b a +=-，若ABC ∆最大边长 是7且sin 2sin C A =，则ABC ∆最小边的边长为 ．15.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11A C 的中点，若四面体M ABD -的外接球 体积为36π，则正方体棱长为 .16. 已知函数2log ()0()20x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩若函数()()g x a f x =-有四个零点1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则3412x x ax x a++的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+. (Ⅰ)求证：数列{}1n a -是等比数列； (Ⅱ)记()()2211log 1log 1n n n b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和为n T .18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，ο60=∠DAB ，ABCD PD 平面⊥，2PD AD ==，点F E ,分别为PD AB 和的中点.（Ⅰ）求证：直线AF ∥平面PEC ；（Ⅱ）求点F 到平面PEC 的距离. 19. （本小题满分12分）随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多．某公司统计了2012到2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：年份（x ） 2012 2013 2014 2015 2016 家庭数（y ）610162226（Ⅰ）从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率；（Ⅱ）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数.参考公式：121()()ˆˆˆ,()nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑ 20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为154，12,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且21F PF ∆的周长是8215+．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设圆T ：94)2(22=+-y x ，过椭圆的上顶点M 作圆T 的两条切线交椭圆于E 、F 两点，求直线EF 的斜率．21. （本小题满分12分）已知函数21()ln 2f x a x bx x =++，（,a b ∈R ）（Ⅰ）若函数()f x 在121,2x x ==处取得极值，求,a b 的值，并求出极值 （Ⅱ）若函数()f x 在（1,(1)f ）处的切线的斜率为1，存在[1,]x e ∈，使得 21())2f x x a x x -+≤(+2)(-成立，求实数a 的取值范围；※考生注意：请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 为其直径，CH AB ⊥于H ，延长后交圆O 于D ，连接DB 并延长交过C 点的直线于P ，且CB 平分DCP ∠. （Ⅰ）求证：PC 是圆O 的切线； （Ⅱ）若4,3AC BC ==，求PCPB的值. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线E 的极坐标方程为4tan cos θρθ=，倾斜角为α的直线l 过点(2,2)P .（Ⅰ）求E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；MExOyF（Ⅱ）设12,l l 是过点P 且关于直线2x =对称的两条直线，1l 与E 交于,A B 两点，2l 与E 交 于,C D 两点，求证：||:||||:||PA PD PC PB =. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|3|f x x =-.（Ⅰ）若不等式(1)()f x f x a -+<的解集为空集，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若||1||3a b <<，，且0a ≠，求证：()||()bf ab a f a>.沈阳二中2015—2016学年度下学期第五次模拟考试高三（16届）数学(文科)试题答案一. 选择题:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACDBBDCBCBAD二. 填空题:13.3114. 1 15.4 16. [4，+∞) 三. 解答题:17.解：（1） 当1n =时，11121a S a ==+，解得11a =- …………… 1分 当1n >时，由题意，()1121n n S a n --=+-所以，()111(2)21221n n n n n n S S a n a n a a ----=+---=-+⎡⎤⎣⎦，即121n n a a -=- 所以 ()1121n n a a --=- 即1121n n a a --=-所以，数列{}1n a -是首项为2-，公比为2等比数列 ……………6分 （2）由上，11222n n n a --=-⋅=- 所以12n n a =- …………… 8分 ()()()111221221111log 1log 1log 2log 21n n n n n n n b a a n n ⋅+++====---⋅+ …10分 所以，11111111223111n nT n n n n =-+-++-=-=+++L ………12分 18. 解：（1）设PC 的中点为Q ，连接,EQ FQ ,由题意，FQ ∥DC 且12FQ CD =,AE ∥CD 且12AE CD =故AE ∥FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形 所以，AF ∥EQ ,且EQ PEC AF AEC ⊂⊄平面，平面 所以，AF ∥平面PEC ……… 6分（2）由上，点F 到平面PEC 的距离等于点A 到平面PEC 的距离，设为d . 由条件易求7,7,22,5EC PE PC EQ ====，故1225102PEC S ∆=⨯⨯=131322AEC S ∆=⨯⨯=， 所以由A PEC P AEC V V --=得113102332d ⋅=⋅⋅解得3010d =………12分 19. 解:（Ⅰ）从这5年中任意抽取两年,所有的事件有:（2012，2013），（2012，2014），（2012， 2015），（2012,2016），（2013，2014），（2013，2015），（2013,2016），（2014，2015）， （2014,2016），（2015,2016）共10种， ……2分至少有1年多于20人的事件有: （2012，2015），（2012,2016），（2013，2015），（2013,2016）， （2014，2015），（2014,2016），（2015,2016）共7种, ……4分 则至少有1年多于20人的概率为710P =. ……………5分 （Ⅱ）由已知数据得16,2014==y x ，……………6分1()()2(10)(1)(6)1621052nii i xx y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑ ……………7分222221()(1)(2)1210nii xx =-=-+-++=∑ ……………8分所以121()()52ˆ 5.210()nii i nii xx y y bxx ==--===-∑∑，ˆ16 5.2201410456.8a=-⨯=- ……10分 所以是正相关，回归直线的方程为ˆ 5.210456.8yx =- ……………11分 则第2019年的估计值为ˆ 5.2201910456.842y=⨯-= ……………12分 20.解：（I ）由题415==a c e ，222c b a +=，可知b a 4=， b c 15=，Θ 21F PF ∆的周长是8215+，∴ 228215a c +=+,∴4=a ，1=b ,所求椭圆方程为22116x y += …………………4分（Ⅱ）椭圆的上顶点为M(0,1)，由题知过点M 与圆T 相切的直线有斜率， 则设其方程为l ：1y kx =+，由直线1y kx =+与圆T 相切可知321|12|2=++k k ， 即0536322=++k k ，∴8921-=+k k ，32521=k k ，…………6分由1221116y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2211116320k x k x ++=， 12132116E k x k ∴=-+ 同理 22232116Fk x k =-+ ………9分 ()()121211E F E F E F EF E F E F E Fk x k x y y k x k x k x x x x x x +-+--===--- 43325161891612121=⨯--=-+=k k k k 故直线EF 的斜率为43. …………12分21. 解：（Ⅰ）因为()1a f x bx x '=++，(1)10f a b '=++=①，1(2)2102f a b '=++=②。