股票变现的最优控制策略

2 S ( 0) 2 e 2 x ( t) 2 dt.
0
0
假定股票投资者的期望效用函数为均值方差效用函数, 其损失效用函数为
! ! U ( x ( t) ) = E [ CE ] + ∀D [ CE ] = - x ( 0) 2 + T v( t) 2 dt + ∀ T 2S ( 0) 2 e 2x ( t) 2 dt,
在公司的运营实践中, 流动性风险管理关系到公司的兴衰存亡, 而完整的风险管理将为公司的稳健 发展提供有力保证. 在我国的股票市场中, 股市投资者, 尤其是资产规模较大的机构投资者, 他们在市场 中所面临的内生流动性风险已经逐步成为制约其进一步发展壮大的重要因素之一. 研究如何通过高流 动性资产降低其流动性风险 [ 1] , 以及制定最优交易策略使得股票组合中的账面价值尽可能多的转化为 实际收益等流动性风险管理具有较强的现实意义. 一般这两个策略是分开研究的, 本文只研究机构投资 者的最优变现策略. 当机构投资者需要变现较大规模头寸时, 为了减小对市场交易价格的不利影响, 总 把大规模头寸分成若干个小头寸, 在 4天乃至更长的时间内卖清, 而不是一次性卖清所有头寸 [ 2] . 文 [ 3] 针对完全变现的交易策略, 给出了完全变现的最优交易策略的解析解. 文 [ 4 6] 研究了大额交易者 的变现行为. 当股票价格服从离散算术布朗运动时, 文 [ 7] 研究了开放式基金流动性风险的最优控制问 题, 文 [ 8] 研究了股票价格服从连续算术布朗运动的机构投资者的变现行为. 以上研究都是假设资产服 从算术布朗运动, 这种假设要求股票价格波动不大, 变现期较短. 当股票价格服从连续几何布朗运动的 最优变现问题, 文 [ 9]假设永久冲击系数为零, 给出了只有一种股票变现时的最优策略的解析解. 本文 研究的是带有永久冲击函数和瞬时冲击函数, 且是不完全变现的最优变现策略, 并进行了敏感性分析, 得到了最优变现策略是由市场价格的波动率、资产的流动性和机构投资者的风险厌恶偏好共同决定的.
假定某机构投资者持有该项目头寸为 X = 100万股, 欲在 5个交易日内进行变现到 Y = 40万股, 同
时假定该投资者的风险厌恶系数 #= 10- 6, 其形状参数为 ∃=
# 2
2
.
从图 1 3可以看出形状参数越大, 投资者在变现初期会迅速变现, 甚至在一段时期内持有的股票
要低于目标头寸, 以降低所承受的风险, 在变现期末买入以弥补与目标头寸的差额, 同时可以看出当风
v( t) 2 +
∀ 2
2S ( 0) 2 e 2x ( t) 2 -
#( t) v( t).
( 9)
为方便起见 H ( x ( t), v( t), #( t) ) 用 H 代替, v( t ) 用 v 代替, #( t) 用 #代替, x ( t) 用 x 代替. 控制方
程为
H v
=
2 v - #=
dt. 所以式 ( 2) 等价变形为 d( lnS ( t ) ) =
dS ( t) - 1 2 dt, 两边积分得 S ( t ) = S ( 0) exp W ( t) - 1 2 t . 即股票价格满足
S ( t) 2
2
S ( t ) = S ( 0) exp
W ( t) -
1 2
2t ,
( 3)
鲁东大学学报 (自然科学版 ) Ludong U n iversity Journa l( N atura l Sc ience Edition)
2010, 26( 4) : 289 292
股票变现的最优控制策略
王秀红, 陈贵霞
( 鲁东大学 数学与信息学院, 山东 烟台 264025)
摘要: 在连续时间框架且股票价格服从几何布朗运动的情况下, 以机构投资者的变现行为为例, 研究了其不完 全变现的最优控制问题 , 并利用最优控制理论中的极小值 原理得到了 最优变现策 略的解析 解. 敏 感性分析表 明: 最优变现策略由市场价格波动率、资产的流动性和机构投资者的风险厌恶偏好共同决定, 需要投资者相机 选择合适的最优变现策 略. 关键词: 流动性风险; 随机冲击; 极小值原理; 最优变现策略 中图分类号: O 224 文献标志码: A 文章编号: 1673 8020( 2010) 04 0289 04
! !TC ( t) =
S ( 0) exp
W ( t) -
1 2
2t
t
- v ( t) dt 0
v( t)
∀ (- !x ).
( 6)
在
( 0, T )
时刻内对式 ( 6) 积分, 并利用
v( t)
=
-
dx ( t) 得到在变现期末 dt
T 获得的所有现金总量为
! ! T
TC = S ( 0) exp 0
资者的决策目标是选择最优的变现策略 x ( t) 使得损失效用函数泛函最小化, 则该问题转化为如下的最
优控制问题:
! ! m in J [ v(x ) ] =
2 x( 0)2 +
T 0
v( t)2 dt +
∀T 20
2S ( 0) 2 e 2 x ( t) 2 dt =
!T
- 2 x( 0)2 + 0
收稿日期: 2010 04 19; 修回日期: 2010 05 29 基金项目: 国家自然科学基金 ( 60774016) 作者简介: 王秀红 ( 1964 ) , 女, 山东烟 台人。教 授, 硕士 研究生 导师, 主 要研究 方向为 最优控 制理 论与 应用。 T e:l 13220937821, E m a i:l ysw xh@ sohu. com。
险厌恶系数趋于零的时候, 最优变现策略近似为线性的.
2 92
鲁东大学学报 (自然科学版 )
第 26卷
a. ∃= 0 502
b. ∃= 0 159 图 1 不同形状参数时的最优变现策略
c. ∃= 0 0001
4 结语
本文讨论了卖出一定数量股票的最优策略问题, 假设股票价格服从几何布朗运动, 得到了最优变现 策略的解析解, 最优变现策略的研究, 对机构投资者投资获得较高收益有重要的指导意义. 本文没有像 已有文献那样简单的假设模型是完全变现的, 而研究的是不完全变现的行为, 与现实情况符合; 并且利 用了最优控制理论中的极小值原理, 与欧拉方程相比应用简单, 并且适合的范围广泛.
其中 为该资产的年波动率, W ( t) 为标准的维纳过程. 类似于文 [ 3 4] 中的研究, 本文把投资者变现
交易引起的对市场不利影响分为永久冲击与瞬时冲击. 所谓的永久冲击是指投资者的变现交易 (卖 ) 对 市场价格的不利影响一直持续整个变现期 [ 0, T ] , 而瞬时冲击只是在时间 ( t - dt, t ), 使投资者的实际成
2T
X∀ -e
e
A
A e
e 2T 2T
,
其中
M
=-
1
.
2 ∀ 2 s2 ( 0) e 2
由以上解法就得到了最优轨线 x 的解析解.
3 最优控制策略的数值分析
假定某项资产的年波动率 = 0 297, 初始价格 s ( 0) = 10元, 利用几个月之间的分时数据得到永 久冲击系数 = 5 62 ∃ 10- 8, 瞬时冲击系数 = 1 75 ∃ 10- 8.
W ( t) -
1 2
2t
v( t)dt +
2 x (0)2 -
T 0
v ( t) 2 dt.
定义执行成本为期初资产价值与期末资产价值之差, 则在时期 ( 0, T ) 内执行成本为
! ! T
EC = S ( 0) x ( 0) - T C = S ( 0)x ( 0) - S ( 0) exp
W ( t) - 1 2 t v( t) dt-
=
-
∀
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2 s2 (
0)
e
2∀
∀#,
则得到
x( t) = -
1 2 ∀s2 ( 0)
2e 2
c1 e - A e 2 c2 e A e 2 .
( 10)
因为 x( 0)
= X, x(T )
=
Y, 可解
c1
=
Mx
+
MYe Ae
MX 2T -
∀e e-
A e 2T
, A e 2T
c2
=
MY e
-
Ae
M
2 90
鲁东大学学报 (自然科学版 )
第 26卷
d( lnS ( t) ) =
lnS
( t
t)
dt
+
lnS ( t) S ( t)
dS
(
t)
+
1 2
(-
1 S ( t) 2
)
(
dS (
t)
) 2.
( 2)
又因为
lnS ( t ) t
=
0, dt∀ dt =
0, dt∀ dw =
0, dW ∀ dW =
交价格偏离市场的均衡价格. 永久冲击响应和瞬时冲击响应都是变现速度的函数, 本文采用线性冲击响
应 g ( v( t) ) = v( t ), > 0和 h ( v( t ) ) = v( t ), > 0. 故考虑永久冲击因素后股票价格服从如下形式的运动
! S ( t) = S ( 0) exp
W ( t) -
W ( t) - 1 2 t v( t) dt-
x( 0)2 +
0
2
2
! ! ! T
T
v( t) 2 dt = D S ( 0) x ( 0)- S ( 0) exp