测试技术 第二版 课后答案(贾民平 张洪亭 著) 高等教育出版社

0
30
50
ImCn
虚频谱
-50
-30
-0
0
0
30
50
双边幅频谱
2 9π 2 2 π2
1 2
Cn
2 π2
2 25π 2
2 9π 2
2 25π 2
-5ω0
-3ω0
-ω0 0
ω0
3ω0
5ω0
ω
φn
双边相频谱
-5ω0
-3ω0
-ω0 0
ω0
3ω0
5ω0
ω
4
解：该三角形窗函数是一非周期函数，其时域数学描述如下：
= =
1 T0
∫
T0
0
x (t ) dt
T0 1 T0 / 2 [ ∫ sin 2πf 0 dt + ∫ ( − sin 2πf 0 ) dt ] T0 / 2 T0 0
1 [ − cos 2πf 0 t T0
T0 / 2 0
+ cos 2πf 0 t
T0 T0 / 2
]
= 2 /π
2 ψx = ( x rms ) 2 =
−1 2 {[(1 − t ) e − j 2 πft j 2π f T0 2 t ) e − j 2 πft T0
0 − T0 / 2
T0 / 2 0
0
−∫
T0 / 2
0
e − j 2 πft d (1 −
2 t )] T0
+ [(1 + = =
−∫
− T0 / 2
e − j 2 πft d (1 +
T0 / 2
(1 −
bn =
2 T0
∫
T0 / 2
−T0 / 2
x(t ) sin nω 0 t dt
，式中由于 x(t)是偶函数， sin nω0t 是奇函数，
则 x(t ) sin nω0t 也是奇函数，而奇函数在上下限对称区间上的积分等于 0。故
bn = 0。
因此，其三角函数展开式如下：
1 4 x(t ) = + 2 2 π
∞ 0
A 2 − aτ = e 2a
解：
对于周期信号可用一个周期代替其整体，故有 1 T R x (τ ) = ∫ x(t ) x(t + τ )dt T 0 1 T ＝ ∫ A 2 cos(ωt + φ ) cos[ω (t + τ ) + φ ]dt T 0 式中， T 是余弦函数的周期， T ＝2π/ω
∫
T0 / 2
0
0 2 2 (1 + t ) e − j 2 πft dt t ) e − j 2 πft dt + ∫ − T0 / 2 T0 T0
T0 / 2 0 −1 2 2 [∫ (1 − t ) de − j 2 πft + ∫ (1 + t ) de − j 2 πft ] − T0 / 2 j 2π f 0 T0 T0
∫ ∫
∞
0 ∞
0
j ∞ − ( a + jω + jω 0 ) t [e − e − ( a + jω − jω 0 ) t ) dt ∫ 2 0 j e − ( a + jω + j ω 0 ) t e − ( a + jω − jω 0 ) t ∞ = [ 0 + 2 − ( a + jω + jω 0 ) ( a + jω − jω 0 ) j 1 1 = [ − ] 2 a + j (ω + ω 0 ) a + j (ω − ω 0 ) ω0 = 2 2 a + ω 0 − ω 2 + j 2aω
x rms =
= 1 2T 0 1 2T 0 1
T0
∫
T
0
0
x 2 (t ) dt =
1
T0
∫
T
0
0
sin 1
2
2πf 0 t dt 1 4πf 0 sin 4πf 0 t
T 0
0
∫
T
0
0
(1 − cos 4πf 0 t ) dt = 1 4πf 0
2T 0
(T 0 −
)
=
(T 0 −
sin 4πf 0 T 0 ) = 1 / 2
T
X(ω)
T
− ω0
0
10
ω0
ω
由于窗函数的频谱
W (ω ) = 2T sin c(ωT ) ，所以
1 [W (ω − ω 0 ) + W (ω + ω 0 )] 2 = T [sin c (ω − ω 0 )T + sin c (ω + ω 0 )T ]
X (ω ) =
其频谱图如上图所示。
解：
xµ =
C 0 = A0 = a0
1 1 2 2 an + bn = An 2 2 I mCn b φ n = arctg = arctg (− n ) Re C n an
Cn =
故有 ReCN =an/2 ImCN =-bn/2
⎧ 2 2 ⎪ 2 nπ = 2 2 sin = ⎨ n 2π 2 2 ⎪ nπ ⎩0
x(t) 1
-T0/2
0
T0/2
t
2 ⎧ 1 + ⎪ T t ⎪ 0 x(t ) = ⎨ ⎪1 − 2 t ⎪ ⎩ T0
−
T0 ≤t≤0 2 T 0≤t≤ 0 2
用傅里叶变换求频谱。
X(f ) = ∫
= = =
∞
−∞
x(t )e − j 2πft dt = ∫
(1 −
T0 / 2
−T0 / 2
x(t )e − j 2πft dt
1 ( a + jω ) a − jω = 2 a +ω2 =
7
a2 + ω 2 ω φ (ω ) = −arctg a
根据频移特性可求得该指数衰减振荡函数的频谱如下：
F (ω ) =
1
1 [ F (ω − ω0 ) − F (ω + ω0 )] 2j 1 1 1 = [ − ] 2 j a + j (ω − ω0 ) a + j (ω + ω0 )
解： S＝S1S2=404×10 Pc/Pa×0.226mV/Pc=9.13×10 mV/Pa
10 × 10 6 mV/Pa 8 S2=S/S1= = 2.48×10 mV/Pc -4 404 × 10 Pc/Pa
-4 -3
解: τ =2s, T=150s, ω =2π/T
A(ω ) =
1 1 + (ωτ )
τ →0
τ
τ →0
50τ
-
解：
R x (τ ) = lim ∫ x(t ) x(t + τ ) dt
T → ∞ −T
T
= lim ∫ Ae − at ⋅ Ae − a ( t +τ ) dt
T →∞ 0
T
= A 2 lim ∫ e − 2 at ⋅ e − aτ dt
T →∞ 0
T
= A 2 (−
1 − aτ − 2 at )e e 2a
A/2
A/2
当 f0<fm 时，频谱图会出现混叠，如下图所示。
− f0
0
f0
f
9
解：
x ( t ) = w ( t ) cos ω 0 t
w(t)
1
w
0 T
cosω0t
1 0
t
-
-T
FT [ w(t )]
FT [cos ω0t ]
1 2 1 2
W(ω)
2T
0
1 2T
ω
卷积
− ω0
0
ω0
ω
FT [ w ( t ) cos ω 0 t ]
2 T0
2 t )]} T0
0 − T0 / 2
−1 2 {[ − 1 + j 2π f T0
∫
T0 / 2
0
e − j 2 πft dt ] + [1 −
T0 / 2 0
∫
]
e − j 2 πft dt ]}
−2 −1 ⋅ [ e − j 2 πft j 2π fT0 j 2π f
− e − j 2 πft
测试技术与信号处理习 题 解 答第章习题（P29）
解： （1）瞬变信号－指数衰减振荡信号，其频谱具有连续性和衰减性。 （2）准周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱仍具有离散 性。 （3）周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱具有离散性、 谐波性和收敛性。
解：x(t)=sin2 πf 0t 的有效值（均方根值） ：
0 − T0 / 2
=− =
1 [ e − jπfT0 − 1 − 1 + e jπfT0 ] 2 2 2π f T0
1 1 2 π fT 0 [ 1 − cos π fT ] = ⋅ 2 sin 0 π 2 f 2T0 π 2 f 2T0 2 sin 2
π fT0 T 2 = T0 ⋅ sin c 2 π fT0 = 0⋅ 2 ( π fT0 ) 2 2 2 2
2
=
1 1 + (4π / 150) 2
= 0.9965
300－ 0.9965 ×100=200.35℃ 300＋ 0.9965 ×100=399.65℃ 故温度变化范围在 200.35~399.65℃.
13
解: τ =15s, T=30/5=6s, ω =2π/T
A(ω ) =