正弦函数、余弦函数的图象及其性质习题课

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正弦、余弦函数的图象与性质(习题)

正弦、余弦函数的图象与性质（习题） ➢ 例题示范例1：已知定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当[0]2x π∈，时，()sin f x x =，则()3f 5π的值为（） A ．12- B ．12C ．3-D ．3 思路分析：要求()3f 5π，根据题目条件，考虑利用()sin f x x =来求解；结合函数的周期性和奇偶性，将35π转化到区间[0]2π，上，再利用解析式求解． ∵函数()f x 的最小正周期是π，∴()()()()()33333f f f f f 5π5π2π2ππ=-π==-π=-， ∵函数()f x 是偶函数， ∴3()()sin 3332f f πππ-===，故选D ．例2：已知函数ππ2π()2sin(2)()663f x x x =+∈-，，，则()f x 的单调递增区间是（）A ．ππ()66-， B ．π7π()1212， C ．π2π()33， D ．ππ()63-，思路分析： ∵函数=sin y x 在ππ(2π2π)22k k k -++∈Z ，（）上单调递增， ∴当πππ2(2π2π)622x k k k +∈-++∈Z ，（）时，原函数单调递增，即当ππ(ππ)36x k k k ∈-++∈Z ，（）时，原函数单调递增．综合各个选项，当0k =时，πππ2π()()3663x ∈--，，，即ππ()66x ∈-，时原函数单调递增，故选A ．➢ 巩固练习1. 函数lg(sin )y x =的定义域为（）4.函数ππ()sin()36f x x =+的最小正周期是（） A ．3 B ．6 C ．3π D ．6π 5.函数2()3cos()56f x x π=-的最小正周期是（） A ．52π B ．52π C ．2π D ．5π 6. 函数2()7sin()32f x x 15π=+是（） A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为43π的偶函数7. 函数()cos f x x x =（）A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数8. 若()f x 是以π为周期的奇函数，且π()=14f --，则9π()4f 的值为（） A ．π4 B ．π4- C ．1 D ．1-A ．(0)2，B ．(π)2，22，212. 方程cos x x =在R 上（）A ．没有根B ．有且仅有1个根C ．有且仅有2个根D ．有无穷多个根13. 已知函数()sin()2f x x π=-，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 在区间[0]2π，上是增函数C ．()f x 的图象关于直线x =0对称D ．()f x 是奇函数14. 设M 和m 分别表示函数cos 13y x 1=-的最大值和最小值，则M m +=（）A ．23 B ．23- C ．43- D ．-2【参考答案】➢ 巩固练习1. B2. C3. A4. B5. D6. A7. A8. C9. C10.A11.B12.C13.D14.D。

专题1.4.1-2 正弦函数与余弦函数的图象与性质重难点题型(举一反三)(解析版)

1.4.1-2正、余弦函数的图象与性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 正弦函数、余弦函数图象的画法】1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。

2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象。

3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

要点诠释：（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。

（2）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象。

（3）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到。

【知识点2 正弦曲线、余弦曲线】1.定义：正弦函数sin ()y x x R =∈和余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

2.图象要点诠释：（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。

（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数。

【知识点3 函数图象的变换】图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。

sin sin()sin()y x y x y A x ϕωϕ=→=+→=+【知识点4 周期函数的定义】函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.【知识点5 正弦函数、余弦函数的图象和性质】【知识点6 正弦型函数和余弦型函数的性质】函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到：（1）定义域：R ；（2）值域：[],A A -；（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．要点诠释：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出．【考点1 正、余弦函数的定义域】【例1】（2019春•南湖区校级月考）已知函数()f x 的定义域为．【分析】根据根式满足的条件，解三角不等式即可．【答案】解：∵2sin （2x ﹣）﹣1≥0⇒sin （2x ﹣）≥，∴2k π+≤2x ﹣≤2k π+，k ∈Z ，∴k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ．故答案是{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解三角不等式．【变式1-1】（2019秋•黄冈期末）函数y的定义域是．【分析】由题意可得sin x≥0，cos x≥0，故2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，解出x的范围，即得所求．【答案】解：由题意可得sin x≥0，cos x≥0，∴2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，故函数的定义域为（2kπ，2kπ+），k∈z，故答案为：（2kπ，2kπ+），k∈z．【点睛】本题考查求函数的定义域，以及三角函数在各个象限中的符号，得到2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，是解题的关键，属于基础题．【变式1-2】函数1sin21sin2xyx+=-的定义域为．【分析】此为一分式函数，令分母不为0即可解出函数的定义域来．【答案】解：令﹣sin x≠0，即sin x≠，如图x≠2kπ+，x≠2kπ+＝（2k﹣1）π﹣，k∈z，故其形式可以统一为x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．所以函数的定义域为{x|x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．}应填{x|x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．}【点睛】考查定义域的求法与解三角方程，本题中把两种情况的答案合二为一是一个技巧，答题者应细心体会其中的规律．【变式1-3】（2019秋•安福县校级期中）函数(2cos 21)y lg x =+的定义域为．【分析】由题意可得，化简可得，由此求出x 的范围，即得函数的定义域．【答案】解：∵函数，∴，即．化简可得，解得﹣＜x ＜．故函数的定义域为（﹣，），故答案为（﹣，）．【点睛】本题主要考查求余弦函数的定义域和值域，求对数函数的定义域，属于基础题．【考点2 正、余弦函数的值域】【例2】（2018秋•启东市校级月考）函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π上的值域为．【分析】由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f （x ）＝sin 在区间上的值域．【答案】解：在区间上，2x ﹣∈[﹣，]，sin （2x ﹣）∈[﹣，1]，故函数f （x ）＝sin 在区间上的值域为[﹣，1]，故答案为：[﹣，1]．【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题．【变式2-1】（2019秋•射阳县校级期中）函数2()2cos 3sin 2f x x x =++，[6x π∈，2]3π的值域．【分析】根据同角公式化简函数解析式，得到关于sin x 的二次函数，根据二次函数的图象和性质，可得函数的值域．【答案】解：y ＝2cos 2x +3sin x +2＝2（1﹣sin 2x ）+3sin x +2＝﹣2（sin x ﹣）2+，x ∈[，]，∴sin x ∈[，1]，∴当sin x ＝时，函数f （x ）取最大值，当sin x ＝或sin x ＝1时，函数f （x ）取最小值5，故函数f （x ）＝2cos 2x +3sin x +2，x ∈[，]的值域为[5，]，故答案为：[5，]【点睛】此题考查学生灵活运用同角公式化简求值，会利用二次函数的图象及增减性求出函数的值域．做题时注意余弦函数的值域．【变式2-2】（2019春•淄博校级月考）函数3sin 3sin xy x-=+的值域为．【分析】先换元t ＝sin x ，t ∈[﹣1，1]，，利用凑分母分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数的值域．【答案】解：令t ＝sin x ，t ∈[﹣1，1]，所以：，∵﹣1≤t ≤1， ∴2≤t +3≤4， ∴， ∴， ∴，函数的值域为．故答案为：．【点睛】本题重点考查分式函数求值域问题，用到换元，利用凑分母分离常数．【变式2-3】（2019秋•西城区期末）已知函数()sin()6f x x π=+，其中[3x π∈-，]a ．当2a π=时，()f x 的值域是；若()f x 的值域是1[2-，1]，则a 的取值范围是．【分析】当a ＝时，由x ∈[﹣，]利用正弦函数的定义域和值域可得f （x ）的值域．若f （x ）的值域是[﹣，1]，则由正弦函数的图象可得≤a +≤，由此解得a 的取值范围．【答案】解：当a ＝时，由x ∈[﹣，]可得﹣≤x +≤，∴﹣≤sin （x +）≤1，∴f （x ）的值域是[﹣，1]．若f （x ）的值域是[﹣，1]，则≤a +≤，解得≤a +≤π，即a 的取值范围是[，π]，故答案为[﹣，1]、[，π]．【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题．【考点3 正、余弦函数作图】【例3】（2019春•郑州期末）已知函数()sin()(04f x x πωω=->，)x R ∈的最小正周期为π．（Ⅰ）求3()4f π；（Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数()y f x =在区间[2π-，]2π上的图象．【分析】（1）根据T ＝，求出周期，得到函数的解析式，代入值计算即可；（2）利用五点作图法作图即可．【答案】解：（1）依题意得，T ＝＝π，解得ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x ﹣），所以 f （π）＝sin （2×﹣）＝sin （π+）＝﹣sin＝﹣，（2）画出函数在区间上的图象如图所示：【点睛】本题考查了三角函数的周期性质，以及三角函数值的求法和函数图象的做法，属于基础题．【变式3-1】画出下列函数的简图：π；（1）1sinx∈，2]=-，[0y xπ．（2）3cos1x∈，2]y x=+，[0【分析】根据五点做出函数的简图，即可得到结论．【答案】解：（1）列表如下：画出图形，如图：（2）列表为函数图象如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图以及图象之间的关系，属于基本知识的考查．【变式3-2】画出下列函数的图象．π（1）13cosy x=+，[0x∈，2]π．（2）2sin1x∈，2]=-，[0y x【分析】（1）用五点法作出函数y＝1+3cos x在一个周期上的简图．（2）用五点法作出函数y＝2sin x﹣1在一个周期上的简图．【答案】解：（1）列表：如图：（2）列表：如图：【点睛】本题主要考查用五点法作函数 y ＝A sin （ωx +φ）的图象、y ＝A cos （ωx +φ）的图象，属于基础题．【变式3-3】用多种方法在同一坐标系中画出下列函数．（1）sin y x =，[0x ∈，2]π （2）sin 1y x =+，[0x ∈，2]π （3）cos y x =，[2x π∈-，]2π （4）cos y x =-，[2x π∈-，3]2π．【分析】利用五点作图法和图象的平移即可得到各个函数的图象．【答案】解：同一坐标系中各个函数的图象如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考察作图能力，属于基础题．【考点4 正、余弦函数的最小正周期】【例4】求下列函数的最小正周期．（1）sin(3)2y x π=+；（2）|cos |y x =【分析】（1）由条件根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期为，可得结论．（2）由条件根据函数y ＝|A cos （ωx +φ）|的周期为•，可得结论．【答案】解：（1）y ＝sin （x +3）的最小正周期为＝4，（2）y ＝|cos x |的最小正周期为•＝π．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期为，函数y ＝|A cos（ωx +φ）|的周期为•，属于基础题．【变式4-1】求下列函数的最小正周期（1）cos2y x =；（2）sin 2xy =；（3）1sin y x =+．【分析】利用三角函数的周期性及其求法即可得解．【答案】解：（1）∵y ＝cos2x ，∴最小正周期T ＝＝π；（2）∵y ＝sin ，∴最小正周期T ＝＝4π；（3）∵y ＝1+sin x ，∴最小正周期T ＝＝2π；【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．【变式4-2】求下列函数的最小正周期（1）2sin()32xy π=-（2）1cos(2)36y x π=-（3）|sin |y x =【分析】分析：（1）利用了y ＝A sin （ωx +φ ）的周期等于，即可求值；（2）利用了y ＝A cos （ωx +φ ）的周期等于，即可求值；（3）根据y ＝|A sin （ωx +φ ）|、y ＝|A sin （ωx +φ ）|的周期等于，得出结论．【答案】解：（1）∵y ＝2sin （﹣）＝﹣2sin （），∴T ＝＝4π；（2）∵y ＝cos （2x ﹣），∴T ＝＝π；（3）根据y ＝|sin x |的周期等于y ＝sin x 的周期的一半，故y ＝|sin x |的周期为×2π＝π．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y ＝A sin （ωx +φ ）、y ＝A cos （ωx +φ ）的周期等于，y ＝|A sin （ωx +φ ）|、y ＝|A sin （ωx +φ ）|的周期等于，属于基础题．【变式4-3】求下列函数的最小正周期．（1）1cos(2)33y x π=-；（2）cos ||y x =．【分析】（1）由条件利用y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，可得结论．（2）根据y ＝cos|x |＝cos x ，而且y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，可得结论．【答案】解：（1）y ＝cos （2x ﹣）的最小正周期为＝π，（2）y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期为＝2π．【点睛】本题主要考查余弦函数的周期性，利用了y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，属于基础题．【考点5 正、余弦函数的奇偶性】【例5】判断下列函数的奇偶性：（1）cos2y x =，x R ∈；（2）cos(2)2y x π=-；（3）2sin()3y x π=+；（4）cos()4y x π=-．【分析】分别化简函数后根据正弦函数、余弦函数的图象和性质逐一判断即可．【答案】解：（1）由余弦函数的图象和性质可知y ＝cos2x ，x ∈R 为偶函数；（2）∵y ＝cos （2x ﹣）＝sin2x ，∴由正弦函数的图象和性质可知y ＝sin2x ，为奇函数；（3）∵y ＝sin （x +π）＝﹣sin x ，∴由正弦函数的图象和性质可知y ＝﹣sin x ，为奇函数；（4）∵y ＝cos （x ﹣），且f （﹣x ）＝cos （﹣x ﹣）＝cos （x +），∴由余弦函数的图象和性质可知y ＝cos （x ﹣），为非奇函数，非偶函数．【点睛】本题主要考察了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．【变式5-1】判断下列函数的奇偶性（1）()sin()f x x x π=+；（2）1cos ()sin xf x x-=．【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，得出结论．（2）利用半角公式化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，得出结论．【答案】解：（1）∵f （x ）＝x sin （π+x ）＝﹣x sin x ，它的定义域为R ，且满足f （﹣x ）＝﹣x •sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ），故该函数为偶函数．（2）对于函数 f （x ）＝＝tan ，它的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，且满足f （﹣x ）＝tan （﹣）＝﹣tan ＝﹣f （x ），故该函数为奇函数．【点睛】本题主要考查三角公式，三角函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．【变式5-2】判断下列函数的奇偶性：（1）()2f x x ；（2）33()sin()42x f x π=+；（3）()f x =．【分析】求出定义域，判断是否关于原点对称，注意运用诱导公式，定义域化简函数式，再计算f （﹣x ），与f （x ）比较即可判断其偶性．【答案】解：（1）定义域为R ，f （﹣x ）＝sin （﹣2x ）＝﹣sin2x ＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数；（2）f （x ）＝sin （+）＝﹣cos，定义域为R ，f （﹣x ）＝﹣cos （﹣）＝﹣cos＝f （x ），则f （x ）为偶函数；（3）由1﹣cos x ≥0且cos x ﹣1≥0，则cos x ＝1，解得，x ＝2k π，k ∈Z ，则定义域关于原点对称，由于f （x ）＝0，则f （﹣x ）＝f （x ），且f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f （x ）既是奇函数，也是偶函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．【变式5-3】判断下列函数的奇偶性．（1）1sin cos ()1sin cos x xf x x x--=++；（2）44()sin cos cos 2f x x x x =-+．【分析】（1）容易判断f （x ）的定义域包含x ＝，不包含，即定义域不关于原点对称，从而得出f （x ）为非奇非偶函数；（2）容易得出f （﹣x ）＝f （x ），从而得出f （x ）为偶函数．【答案】解：（1）∵；∴时，f （x ）有意义，时，f （x ）没意义；∴f （x ）的定义域关于原点不对称； ∴f （x ）为非奇非偶函数；（2）f （﹣x ）＝sin 4（﹣x ）﹣cos 4（﹣x ）+cos （﹣2x ）＝sin 4x ﹣cos 4x +cos2x ＝f （x ）；即f （﹣x ）＝f （x ）； ∴f （x ）为偶函数．【点睛】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数、偶函数定义域的特点．【考点6 正、余弦函数的对称轴及对称中心】【例6】（2019春•资阳区校级月考）求函数12sin()26y x π=-的对称轴和对称中心．【分析】由条件根据正弦函数的对称性，求得函数y ＝2sin （x ﹣）的对称轴和对称中心．【答案】解：对于函数y ＝2sin （x ﹣），令x ﹣＝k π+，k ∈z ，求得x ＝2k π+，故函数的对称轴方程为 x ＝2k π+，k ∈z ．令x ﹣＝k π，k ∈z ，求得x ＝2k π+，故函数的对称中心为（2k π+，0）k ∈z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性，属于基础题．【变式6-1】求2cos(2)6y x π=-单调性对称轴对称中心．【分析】对于函数y ＝2cos （2x ﹣），令2k π﹣π≤2x ﹣≤2k π，求得x 的范围，可得函数的增区间；令2k π≤2x ﹣≤2k π+π，求得x 的范围，可得函数的减区间．令2x ﹣＝k π，求得x 的值，可得函数的图象的对称中心．【答案】解：对于y ＝2cos （﹣2x ）＝2cos （2x ﹣），令2k π﹣π≤2x ﹣≤2k π，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数的增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈z ．令2k π≤2x ﹣≤2k π+π，求得k π+≤x ≤k π+，可得函数的减区间为[k π+，k π+]，k ∈z ．令2x ﹣＝k π，求得x ＝+，可得函数的图象的对称中心为（+，0）．【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性、余弦函数的图象的对称中心，属于基础题．【变式6-2】变式训练1：求函数的对称轴，对称中心（1）1())4f x x π=+；（2）1()2cos()123f x x π=-+．【分析】直接根据正余弦函数的图象及性质求解即可．【答案】解：（1）f （x ）＝sin （2x +π）；令2x +π＝，k ∈Z 可得：x ＝，∴对称轴方程为：x ＝，k ∈Z 令2x +π＝k π，k ∈Z 可得：x ＝，∴对称中心（，0）．k ∈Z（2）f （x ）＝2cos （x ﹣）+1．令x ﹣＝，k ∈Z可得：x ＝2k π ∴对称中心（2k π，1）．k ∈Z令x ＝k π，k ∈Z可得：x ＝，∴对称轴方程为：x ＝，k ∈Z【点睛】本题考查了正余弦函数的图象及性质的应用．属于基础题．【变式6-3】求下列函数图象的对称轴、对称中心．（1）sin()24x y π=-；（2）2sin(2)3y x π=++．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【答案】解：对于（1）y ＝sin （﹣），令﹣＝k π+，求得x ＝2k π+，可得函数的图象的对称轴为x ＝2k π+，k ∈Z ．令﹣＝k π，求得x ＝2k π+，可得函数的图象的对称中心为（2k π+，0），k ∈Z ．（2）对于y ＝2+sin （+2x ），令2x +＝k π+，求得x ＝k π+，可得函数的图象的对称轴为x ＝k π+，k ∈Z ．令2x +＝k π，求得x ＝k π﹣，可得函数的图象的对称中心为（k π﹣，0），k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．【考点7 正、余弦函数的单调性】【例7】（2019•上城区校级模拟）设函数()3sin()(0)4f x x πωω=+>，且以23π为最小正周期．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的对称轴方程及单调递增区间．【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得它的对称轴方程；再利用正弦函数单调性求得它的单调递增区间．【答案】解：（1）由于函数，且以为最小正周期，∴＝，∴ω＝3， f （x ）＝3sin （3x +）．（2）令3x +＝k π+，求得x ＝+，故函数的图象的对称轴方程为 x ＝+，k ∈Z ．令 2k π﹣≤3x +≤2k π+，求得﹣≤x ≤+，可得函数的增区间为[﹣，+]，k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．【变式7-1】（2018秋•嘉兴期末）已知函数()2sin(2)()6f x x m m R π=-+∈的最小值为1．（Ⅰ）求m 的值及取此最小值时的x 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由题意利用正弦函数的最值，求出m 的值及取此最小值时的x 值．（Ⅱ）利用正弦函数的周期性以及单调性，求得函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间．【答案】解：（Ⅰ）函数 f （x ）＝2sin （2x ﹣）+m （m ∈R ）的最小值为﹣2+m ＝1，∴m ＝3．取取此最小值时，2sin （2x ﹣）＝﹣1，2x ﹣＝2k π﹣，求得x ＝k π﹣，k ∈Z ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 f （x ）＝2sin （2x ﹣）+3，它的最小正周期为＝π，令2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数的增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值，周期性以及单调性，属于中档档题．【变式7-2】（2019春•靖远县期末）已知函数1()2cos()212f x x π=+．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求不等式()1f x >的解集．【分析】（1）根据余弦函数的单调增区间可得，然后解出x 的范围即可；（2）由f （x ）＞1可得，则，k ∈Z ，解出x 的范围即可．【答案】解：（1），由， ∴，∴f （x ）的单调递增区间为；（2）∵f （x ）＞1，∴，∴，∴，k ∈Z ， ∴，k ∈Z ，∴不等式的解集为，k ∈Z ．【点睛】本题考查了余弦函数的单调性和解三角不等式，考查了运算能力，属基础题．【变式7-3】（2019秋•福建月考）已知函数())4f x x π=-，[,]82x ππ∈-（1）求函数()f x 的单调区间．（2）求函数()f x 在区间[,]82ππ-上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．【分析】（1）x ∈[﹣，]⇒2x ﹣∈[﹣，]，利用余弦函数的单调性即可求得f （x ）＝cos （2x ﹣）的单调区间；（2）利用（1）f （x ）＝cos （2x ﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，即可求得其最小值和最大值及取得最值时x 的值．【答案】解：（1）∵f （x ）＝cos （2x ﹣），x ∈[﹣，]，∴2x ﹣∈[﹣，]，由﹣≤2x ﹣≤0得：﹣≤x ≤，∴当x ∈[﹣，]时，函数f （x ）的单调递增区间为[﹣，]；由0≤2x ﹣≤得，≤x ≤，∴当x ∈[﹣，]时，函数f （x ）的单调减区间为[，]；（2）∵f （x ）＝cos （2x ﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f ＝0， f ＝， f＝cos＝﹣cos ＝﹣1，∴函数f （x ）在区间[﹣，]上的最大值为，此时x ＝，最小值为﹣1，此时x ＝．【点睛】本题考查余弦函数的单调性，考查余弦函数的定义域和值域，考查运算能力，属于中档题．【考点8 正、余弦函数的综合应用】【例8】（2019春•延吉市校级期中）已知函数()12sin(2)3f x x π=+-．（1）求对称轴，对称中心（2）求()f x 在[,]42x ππ∈的最大值和最小值；（3）若不等式|()|2f x m -<在[,]42x ππ∈上恒成立，求实数m 的取值范围【分析】（1）令2x ﹣＝可得对称轴，令2x ﹣＝k π可得对称中心；（2）由x ∈[]，可求，结合正弦函数的图象及性质可求；（3）由|f （x ）﹣m |＜2可得m ﹣2＜f （x ）＜m +2恒成立，从而有m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2可求．【答案】解：（1）令2x ﹣＝可得对称轴x ＝，k ∈z ，令2x ﹣＝k π可得，x ＝，k ∈z 可得对称中心为（，1），k ∈z ，（2）∵f （x ）＝1+2sin （2x ﹣），∵x ∈[]，∴，∴，∴f （x ）在x ∈[]的最大值3，最小值2，（3）∵|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[]上恒成立，∴m ﹣2＜f （x ）＜m +2，∴m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2， ∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是（1，4）．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，解题的关键是性质的熟练掌握并能灵活应用．【变式8-1】已知函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++的定义域为[0，]2π，值域为[5-，1]．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()4sin()3g x a bx π=--的最小值并求出对应x 的集合．【分析】（1）由x 的取值范围，求出2x +的取值范围，从而求出2sin （2x +）的取值范围；讨论a＞0、a ＜0时，函数f （x ）的最值问题，从而求出a 和b 的值．（2）根据（1）的结论，分两种情况讨论，根据正弦函数的性质即可求出．【答案】解：（1）∵0≤x ≤，∴≤2x +≤， ∴≤sin （2x +）≤1， ∴﹣1≤2sin （2x +）≤2，当a ＞0时，解得a ＝2，b ＝﹣7，当a ＜0时，，解得a ＝﹣2，b ＝1，（2）当a ＝2，b ＝﹣7时，g （x ）＝﹣8sin （﹣7x ﹣）＝8sin （7x +），其最小值为﹣8，7x +＝﹣+2k π，k ∈Z ，即x ＝﹣+，k ∈Z ，对应x 的集合为{x |x ＝﹣+，k ∈Z }，当a ＝﹣2，b ＝1时，g （x ）＝﹣8sin （x ﹣）＝﹣8sin （x ﹣），其最小值为﹣8，x ﹣＝+2k π，k ∈Z ，即x ＝π+2k π，k ∈Z ，对应x 的集合为{x |x ＝π+2k π，k ∈Z }．【点睛】本题考查了三角函数的图象与应用问题，解题时应根据三角函数的最值与值域的关系，利用分类讨论的方法，求出a 和b 的值．【变式8-2】已知函数23()sin cos 2f x x a x =+-，a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）对于区间[0，)2π上的任意x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）把a ＝1代入函数解析式，利用平方关系化正弦为余弦，平方后求最值；（2）f （x ）＝sin 2x +a cos x ﹣＝，令t ＝cos x 换元，则原函数化为y ＝．由f （x ）≤1，得≤1在t ∈（0，1]上成立，分离参数a ，由对勾函数的单调性求得g （t ）＝t +在t ∈（0，1]上的最小值，则答案可求．【答案】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝sin 2x +cos x ﹣ ＝＝．当cos x ＝时，f （x ）取最大值为；（2）f （x ）＝sin 2x +a cos x ﹣＝，令t ＝cos x ，∵x ∈[0，），∴t ＝cos x ∈（0，1]．则原函数化为y ＝．由f （x ）≤1，得≤1在t ∈（0，1]上成立，即，也就是a ≤t +在t ∈（0，1]上成立，令g （t ）＝t +，由对勾函数的单调性可得在t ∈（0，1]上g （t ）的最小值为g （1）＝．∴a．即实数a 的取值范围是（﹣∞，]．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了利用分离参数法求解恒成立问题，考查利用对勾函数的单调性求最值，是中档题．【变式8-3】（2019春•鹤壁期末）已知函数()sin(2)3f x x π=-．（Ⅰ）当1(2x π∈-，)3π-，2(0,)6x π∈时12()()0f x f x +=，求12x x -的值；（Ⅱ）令()()3F x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++…0≤m 恒成立，求m 的最大值．【分析】（Ⅰ）运用正弦函数的诱导公式，解方程即可得到所求值；（Ⅱ）令t ＝F （x ），可得t ∈[﹣4，﹣2]，转化为二次不等式恒成立问题解法，结合图象可得m 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）f （x 1）+f （x 2）＝0，即为sin （2x 1﹣）+sin （2x 2﹣）＝0，即有sin （2x 1﹣）＝﹣sin （2x 2﹣）＝sin （﹣2x 2），可得2x 1﹣＝2k π+﹣2x 2，或2x 1﹣＝2k π+π﹣+2x 2，k ∈Z ，即有x 1+x 2＝k π+或x 1﹣x 2＝k π﹣，k ∈Z ，由x 1∈（﹣，﹣），x 2∈（0，），可得x 1﹣x 2∈（﹣，﹣），可得x 1﹣x 2＝﹣；（Ⅱ）F （x ）＝f （x ）﹣3即F （x ）＝sin （2x ﹣）﹣3，令t ＝F （x ），可得t ∈[﹣4，﹣2]，对任意x都有F2（x）﹣（2+m）F（x）+2+m≤0恒成立，即为t2﹣（2+m）t+2+m≤0，则16+4（2+m）+2+m≤0，4+2（2+m）+2+m≤0，即m≤﹣．且m≤﹣，．解得m≤﹣，即m的最大值为﹣．【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，考查换元法和二次函数的性质，以及化简运算能力，属于中档题．。

正弦函数与余弦函数的图象练习题

专项训练:正弦函数与余弦函数的图象一、单选题1．同时具有性质:①最小正周期是；②图象关于直线对称;③在上是增函数的一个函数是 ( ）A ．B ．C ．D ．2．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时,,则的值为( ). A ．B ．C ．D ．3．函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（）A ．B ．C ．D ．4．函数,是A ．最小正周期为的奇函数B ．最小正周期为的偶函数C ．最小正周期为的奇函数 D ．最小正周期为的偶函数5．函数f (x )＝4x －3tan x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．6．如图是函数()(),(0)2f x cos x ππϕϕ<<＝＋的部分图象，则f (3x 0)＝( ）A ．12 B ．－12 C ．3． 37．已知f (x ）＝sin(ωx ＋φ）(ω>0,｜φ｜〈2π)的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( ）A ． ω＝2，φ＝π3B ． ω＝2，φ＝π6C ． ω＝4，φ＝π6D ． ω＝2，ω＝－π68．函数y =sin2x +cos2x 最小正周期为A ．B ．C ． πD ． 2π9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) 0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若x 1,x 2∈,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且f (x 1)＝f （x 2），则f (x 1＋x 2）＝（ )A ．12B ． 22C ．32D ． 1 10．下列函数中,周期为π,且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ )A ． sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ． cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ． cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ． sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．函数y ＝－sin x ，x ∈π3,22π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的简图是( )A ．B ．C ．D ．12．函数f （x )=sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程可以为 ( )A ． x=π12B ． x=5π12 C ． x=π3 D ． x=π613．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A ．B ．C ．D ．14．函数()22sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ）。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 知识点及习题

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．______时，y min ＝－1一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定 3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π)D ．y ＝cos(x ＋π)7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．9．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______．三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>πB ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C ．2D ．31．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理R R [－1,1] [－1,1] 奇函数偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z )作业设计 1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin168°＝sin (180°－12°)＝sin12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80° 由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.] 7.⎣⎡⎦⎤π2，π 8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2]9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. ∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos2x >0且y ＝cos2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos2x )的增区间为⎝⎛⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴π－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增， ∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β) ⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]。

正弦函数、余弦函数的图象和性质优秀课件 1

7
四、学法分析
明确告诉学生本节课的重点和难点，引导学
生先自主学习，探讨得到自己的观点，最后认真观察教学课件的演示。指导学生进行分组讨论交流，要求学生动手画、动脑想、善观察、会发现，促进学生知识体系的建构和数学思想方法的形成。注意面向全体学生，使学生真正成为学习的主体。
8
五、教学程序设计
3 3 2
o o
2
y sin x , x [ 0 , 2 ]

2
2 2
x x
y cos x , x [ 0 , 2 ]
16
1.4. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
5、归纳小结
（1）正弦函数图象的几何作图法；（2）正弦函数、余弦函数图象的五点作图法；使学生通过作业进一步掌握和巩固本节内容。（3）正弦函数与余弦函数图象间的联系。通过学生自己总结，检测出
x
余弦线OM
三角问题
几何问题
10
2、提出问题，导入课题
教师边启发，边与同学们共同分析。从一个特殊点出发，由特殊到一般，符合认知规律，分散了难点。
0 , 2 （2）如何利用正弦线准确地做出y=sinx， x
的图象?
提出问题，让学生思考，创设问题情境，激发学生学习的欲望和要求。
-
-
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
图象的最低点 ( 32 ,1)
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
3 ( , 0 ) ( x 2 2 2 ,0) ) 图象的最低点 ( ,1 15

5.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质(第1课时)课件高一上学期数学

π
的图象向右平移个单位长度,得到
2
g(x)的图象.
3.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是( B )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解析当 x=0 时,y=1;当
当
3π
x= 时,y=2;当
2
π
x=2 时,y=0;当
x=π 时,y=1;
x=2π 时,y=1.结合选项中的图象可知 B 正确.故选 B.
π
3
2
2π
0
1
1
2
3
规律方法
用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]
上的简图的步骤.
(1)列表:
x
0
sin x(或cos x) 0(或1)
y
π
2
1(或0)
b(或A+b) A+b(或b)
π
3π
2
2π
0(或-1)
-1(或0)
0(或1)
b(或-A+b)
解将 y= 1-cos 2 化为 y=|sin x|,
即 y=
sin(2π ≤ ≤ π + 2π,∈Z),
-sin(π + 2π < < 2π + 2π,∈Z).
因此首先作出函数y=sin x的图象,然后将图象在x轴下方的部分翻折到上
方即可得到函数y=|sin x|的图象,其图象如图所示.
x的取值集合为
解析当
π
2
,m),则m=
2π
4π
{x∣ 3 +2kπ<x< 3 +2kπ,k∈Z}

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)(可编辑修改word版)

2第一章三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1. 正弦曲线、余弦曲线2. “五点法”画图画正弦函数 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是；画余弦函数 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是．3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式 cos x ＝sin (x ＋π)，要得到 y ＝cos x 的图象，只需把 y ＝sin x 的图象向π平移个单位长度即可．2知识点归纳：1. 正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2. 五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题 1. 函数 y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴πC ．直线 y ＝xD ．直线 x ＝2π2. 函数 y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移2个单位后，得到函数 y ＝g (x )的图象，则 g (x )的解析式为( ) A ．－sin x B ．sin x C ．－cos x D ．cos x2 4 4 2 4 4π 3π3. 函数 y ＝－sin x ，x ∈[－2， 2]的简图是()4. 在(0,2π)内使 sin x >|cos x |的 x 的取值范围是()A.(π，3π)B.(π π] (5π 3π]， ∪ ， C.(π，π)D.(5π，7π)5. 若函数 y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线 y ＝2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( ) A ．4 B ．8 C ．2π D ．4π 6．方程 sin x ＝lg x 的解的个数是( )π7. 函数 y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式是．8. 函数 y ＝ 2cos x ＋1的定义域是． 9. 方程 x 2－cos x ＝0 的实数解的个数是． 10. 设 0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则 x 的取值范围为．三、解答题1.利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．4 4 4 212.分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13.求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．( )解析 y ＝sin x −−−−−−→ y ＝sin x － 2 2 23 3知识梳理§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案2．(0,0)，( ，1)，(π，0)，( π，－1)，(2π，0) (0,1)，( ，0)，(π，－1)，( π，0)，(2π，1)π 3 π 3 22223．左作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出 y ＝sin x ，x ∈(0，π)与 y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得 x ∈(π，3π).]4 45．D [作出函数 y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数 y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线 y ＝2 围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形 OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移 2π 个单位，得到 y ＝sin x 的图象．描出点 1，－1 ，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到 y ＝lg x 的图象，如图所示．10由图象可知方程 sin x ＝lg x 的解有 3 个．] 7．y ＝－cos x向右平移 2个单位 ( π)∵sin (x －π)＝－sin (π－x )＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.[2k π－2π，2k π＋2π]，k ∈Z解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－1，结合图象知 x ∈[2k π－2π，2k π＋2π]，k ∈Z . 2 3 39．2解析作函数 y ＝cos x 与 y ＝x 2 的图象，如图所示，4 4由图象，可知原方程有两个实数解．10.[π，5π]解析由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示：π 5观察图象知x∈[ ，π]．4 411.解利用“五点法”作图(1)列表：X 0π2π3π22πsin x 0 1 0 －1 01－sin x 1 0 1 2 1(2)列表：X 0π2π3π22πcos x 1 0 －1 0 1－1－cos x －2 －1 0 －1 －212.解(1)y＝|sin x|＝Error! (k∈Z)．其图象如图所示，(2)y＝sin|x|＝Error!，其图象如图所示，13.解由题意，x 满足不等式组Error!，即Error!，作出y＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．14.解f(x)＝sin x＋2|sin x|＝Error!图象如图，若使f(x)的图象与直线y＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。

习题课正弦函数余弦函数的图象与性质课件高一下学期数学北师大版(1)

3
2
3
ω≥ .
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D.3
4.函数 f(x)=
2
-1

1+e
sin x 的部分图象大致形状是( C )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5.[2021 全国甲,文 15]已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则
f
π
2
=
- 3
2π
B.
3
3π
C.
2
+

π
f(x)=sin 3 是偶函数,可得 3 =kπ+2,k∈Z,即
[0,2π],所以
3π
φ= .
2
φ=( C )
5π
D.
3
3π
φ=3kπ+ 2 (k∈Z),又
φ∈
规律方法与正弦函数、余弦函数的奇偶性相关的结论
π
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ+ 2 ,k∈Z;若为奇函数,则有
因为-1≤sin x≤1,所以函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0].
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)五点(作图)法的应用;
(2)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象;
(3)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质及应用.
2.方法归纳:数形结合、整体代换、分类讨论.
π
π-2
x= + 2 ,k∈Z
当φ=kπ,k∈Z时是奇函数;
奇偶性

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)

第一章三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．知识点归纳：1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题号 1 2 3 4 5 6 答案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．三、解答题11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．12．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13．求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1) 3．左作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，34π.] 5．D [作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2解析作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解．10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈[π4，54π]．11．解利用“五点法”作图 (1)列表：X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点作图，如图所示．(2)列表：X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。

正弦函数的性质与图像练习题含答案

正弦函数的性质与图像练习题含答案1. 求出sin x≥的解集（）A. B.C. D.2. 已知函数f(x)＝cos(2x−π6)(x∈R)，下列命题正确的是（）A.若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1−x2＝kπ(k∈Z)B.f(x)的图象关于点(π12, 0)对称C.f(x)的图象关于直线x=π3对称D.f(x)在区间(−π3, π12)上是增函数3. 已知函数f(x)的周期为4π，且，则f （）的值与下列哪个函数值相等（）A. B. C.f(π) D.4. f(x)是R 上的奇函数，对任意实数x 都有f(x)=−f(x −32)，当x ∈(12, 32)时，f(x)=log 2(2x −1)，则(2018)+f(2019)=( ) A.0 B.1 C.−1 D.25. 函数y ＝1−sin x 的最大值为（） A.1 B.0 C.2 D.−16. 已知四个命题：p 1：∃x 0∈R ，sin x 0−cos x 0≥√2；p 2:∀x ∈R ，tan x =sin x cos x；p 3：∃x 0∈R,x 02+x 0+1≤0；p 4:∀x >0，x +1x ≥2．以下命题中假命题是（） A.p 1∨p 4 B.p 2∨p 4 C.p 1∨p 3 D.p 2∨p 37. 已知函数f(x)＝sin (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π2)在(π8, 5π8)上单调，且f(−π8)＝f(3π8)＝0，则f(π2)的值为（） A.√22B.1C.−1D.−√228. 已知函数f(x)＝ax 3+bx ，a ，b ∈R ，若f(−2)＝−1，则f(2)＝（） A.−2 B.1 C.3 D.−39. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x −4)=−f(x)，在[0, 2]上f(x)是增函数，则下列结论：①若0<x 1<x 2<4，且x 1+x 2=4，则f(x 1)+f(x 2)>0；②若0<x 1<x 2<4，且x 1+x 2=5，则f(x 1)>f(x 2)；③若方程f(x)=m 在[−8, 8]内恰有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4=±8，其中正确的有（） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10. 已知f(x)=cos 2x +2sin x,x ∈[π4,π]，则f(x)的值域是（） A.[1, 2] B.[1,12+√2]C.[−∞, 2]D.[−2, 2]11. 若函数f(x)＝sin (2x +θ)的图象关于直线x =−π6对称，则|θ|的最小值是________．12. 在[0, 2π]内，使sin x≥−成立的x的取值范围是________．13. 函数f(x)=√3sin x cos x+cos2x的最大值为________．14. 已知[x]表示不超过x的最大整数，如[−1.2]＝−2，[1.5]＝1，[3]＝3．若f(x)＝2x，)=________，函数g(x)的值域为________．g(x)＝f(x−[x])，则g(3215. 求函数的对称轴和对称中心．．16. 已知函数f(x)=sin x⋅cos x−√3cos2x+√32（1）化简函数f(x)，并用“五点法”画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．（2）当x∈[0, π2参考答案与试题解析正弦函数的性质与图像练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分）1.【答案】C【考点】三角函数线正弦函数的图象三角不等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】正弦函数的奇偶性和对称性【解析】利用余弦函数的对称性质可知，2x−π6=kπ可得对称轴，2x−π6=kπ+π2，可得其对称中心，根据2kπ−π≤2x−π6≤2kπ单调递减，可得增区间．【解答】函数f(x)＝cos(2x−π6)(x∈R)，其周期T=2π2=π，一个周期有两个零点，即f(x1)＝f(x2)＝0，则x1−x2=12kπ(k∈Z)故A不对．余弦函数的性质可知：由2x−π6=kπ+π2，可得其对称中心为(π3+12kπ, 0)，经考察，故B不对．由2x−π6=kπ可得其对称中轴x=12kπ+π12，(k∈Z)，经考察，故C不对．由2kπ−π≤2x−π6≤2kπ可得增区间为[kπ−5π12, kπ+π12]，∴f(x)在区间(−π3, π12)上是增函数．3.【答案】C【考点】三角函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】正弦函数的奇偶性和对称性【解析】主要考查函数的周期性和奇偶性,考查转化与化归能力、运算求解能力【解答】解：∵f(x)是R上的奇函数，且f(x)=−f(x−32)，∴f(x+32)=−f(x)，∴f(x+32+32)=−f(x+32)=f(x)，即f(x+3)=f(x).∴函数f(x)的最小正周期为3，∴f(2018)+f(2019)=f(672×3+2)+f(673×3+0) =f(2)+f(0)=f(−1+3)+f(0) =f(−1)+f(0)=−f(1)=0.故选A.5.【答案】C【考点】正弦函数的定义域和值域正弦函数的图象三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】由已知可得函数f(x)的最小正周期为T=2πω，解得0<ω≤1，结合已知列关于ω，φ的方程组，求解可得ω，φ得到函数解析式，进一步求得f(π2)的值．【解答】由题意得，函数f(x)的最小正周期为T=2πω，∵f(x)在(π8, 5π8)上单调，∴T2=πω≥π2，得0<ω≤2．且f(−π8)＝f(3π8)＝0，所以T2=3π8−(−π8)=π2，解得ω＝2．由于f(−π8)＝0，所以sin[2×(−π8)+φ]＝0，整理得φ=π4．所以f(x)＝sin(2x+π4)，则f(π2)=sin(π+π4)=−√22．8.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，分析可得f(x)为奇函数，进而由奇函数的性质分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝ax3+bx，其定义域为R，有f(−x)＝a(−x)3+b(−x)＝−(ax3+bx)＝−f(x)，即函数f(x)为奇函数，又由f(−2)＝−1，则f(2)＝−f(−2)＝1；9.【答案】D【考点】奇函数【解析】由条件“f(x−4)=−f(x)”得f(x+8)=f(x)，说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0, 2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0, 2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，①若0<x1<x2<4，且x1+x2=4，f(x)在[0, 2]上是增函数，则f(x1)>f(x1−4)=f(−x2)=−f(x2)；则f(x1)+f(x2)>0；故①正确；②若0<x1<x2<4，且x1+x2=5，f(x)在[0, 2]上是增函数，由图可知：f(x1)>f(x2)；故②正确；③当m>0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(−6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=−8．当m<0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(−2)，另两个交点的横坐标之和为2×6，所以x1+x2+x3+x4=8．故③正确；故选D．10.【答案】A【考点】三角函数的最值【解析】将f(x)化简转化为关于sin x的二次函数形式，然后根据sin x的范围求出f(x)的值域即可．【解答】f(x)＝cos2x+2sin x＝−sin2x+2sin x+1＝−(sin x−1)2+2∵x∈[π, π]，∴sin x∈[0, 1]，4∴当sin x＝0时，f(x)min＝1；当sin x＝1时，f(x)max＝2，∴f(x)的值域为：[1, 2]．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）11.【答案】π6【考点】正弦函数的奇偶性和对称性【解析】结合正弦函数的对称轴处取得函数的最值即可求解．【解答】依题意可知2×(−π6)+θ=kπ+π2(k∈Z)，得θ=kπ+5π6(k∈Z)，所以|θ|=|kπ+5π6|，故当k＝−1时，|θ|取得最小值π6．12.【答案】【考点】三角函数线正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】32【考点】三角函数的最值【解析】运用二倍角的正弦公式和余弦公式、以及辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：函数f(x)=√3sin x cos x+cos2x=√32sin2x+12cos2x+12=sin(2x+π6)+12，当2x+π6=2kπ+π2，k∈Z，即x=kπ+π6，k∈Z，函数取得最大值1+12=32.故答案为：32.14.【答案】√2,[1, 2)【考点】函数的值域及其求法【解析】代入自变量x ，利用取值求出，代入即可，求出[x]∈(x −1, x]，故x −[x]∈[0, 1)，代入即可．【解答】由f(x)＝2x ，g(x)＝f(x −[x])，g(32)＝f （32−[32]）＝f(32−1)＝f(12)＝212=√2，由g(x)＝2x−[x]， [x]∈(x −1, x]，故x −[x]∈[0, 1)，所以g(x)∈[1, 2)，三、解答题（本题共计 2 小题，每题 5 分，共计10分） 15. 【答案】由，得，所以对称轴为．由，得，所以对称中心为．【考点】正弦函数的图象正弦函数的奇偶性和对称性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答 16. 【答案】解：（1）f(x)=sin x⋅cos x −√3cos 2x +√32=12sin 2x −√32cos 2x =sin (2x −π3)，令X =2x −π3，则x =12(X −π3)．填表：…（2）因为x∈[0, π2]，所以2x∈[0, π]，2x−π3∈[−π3, 2π3]…所以当x=0时，即2x−π3=−π3，y=sin(2x−π3)取得最小值−√32；当x=5π12时，即2x−π3=π2，y=sin(2x−π3)取得最大值1…【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象正弦函数的图象【解析】（1）先化简函数f(x)，然后利用“五点法”进行作图．（2）根据三角函数的最值性质进行求解．【解答】解：（1）f(x)=sin x⋅cos x−√3cos2x+√32=12sin2x−√32cos2x=sin(2x−π3)，令X=2x−π3，则x=12(X−π3)．填表：y010−10…（2）因为x∈[0, π2]，所以2x∈[0, π]，2x−π3∈[−π3, 2π3]…所以当x=0时，即2x−π3=−π3，y=sin(2x−π3)取得最小值−√32；当x=5π12时，即2x−π3=π2，y=sin(2x−π3)取得最大值1…试卷第11页，总11页。

专题36 正弦函数、余弦函数的图像(解析版)

专题36 正弦函数、余弦函数的图像考点1 正弦函数的图像1.函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是()A．B．C．D．【答案】B【解析】按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示：2.用“五点法”画y＝sin x，x∈[－2π，0]的简图时，正确的五个点应为()A．(0,0)，(π2,1)，(π，0)，(3π2,−1)，(2π，0)B．(0,0)，(−π2,−1)，(－π，0)，(−32π,1)，(－2π，0)C．(0,1)，(π2,0)，(π，1)，(32π,0)，(2π，－1)D．(0，－1)，(−π2,0)，(－π，1)，(−32π,0)，(－2π，－1)【答案】B【解析】由五点法作图的概念可知B正确．3.函数y＝sin(2x－π3)在区间[－π2，π]的简图是()A．B．C．D．【答案】B【解析】当x＝－π2时，y＝sin[(2×(－π2)－π3]＝－sin(π＋π3)＝sinπ3＝√32＞0，故排除A，D；当x＝π3时，y＝sin(2×π3－π3)＝sin0＝0，故排除C，故选B.4.给出下列说法：①作正弦函数的图象时，单位圆的半径与x轴的单位长度要一致；②y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)对称；③y＝sin x，x∈[π2，5π2]的图象关于直线x＝3π2对称；④正弦函数y＝sin x的图象不超出直线y＝1和y＝－1所夹的区域．其中，正确说法的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】作出正弦函数y＝sin x的图象，可知①②③④均正确．5.已知函数f(x)＝|sin x|，x∈[－2π，2π]，则方程f(x)＝12的所有根的和等于() A．0B ．πC ．－πD ．－2π【答案】A【解析】若f (x )＝12，即|sin x |＝12，∴sin x ＝12或sin x ＝－12，∵x ∈[－2π，2π]，∴方程sin x ＝12的4个根关于x ＝－π2对称，则对称的2个根之和为－π，则4个根之和为－2π.由对称性可得sin x ＝－12的四个根之和为2π.故选A.6.如下图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧⌒AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】如下图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2sin θ，l ＝2θR ＝2θ， ∴d ＝2sin l 2，根据正弦函数的图象知，C 中的图象符合解析式.7.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是()A．[－1,1]B．(1,3)C．(－1,0)∪(0,3)D．[1,3]【答案】B【解析】由题意知，f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]＝{3sinx，x∈[0，π)－sinx，x∈[π，2π],在坐标系中画出函数图象：由其图象可知当直线y＝k，k∈(1,3)时，与f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，故选B.8.求函数f(x)＝lgsin x＋√16−x2的定义域.【答案】由题意，知x满足不等式组{sinx＞0，16−x2≥0,即{－4≤x≤4，sinx＞0，作出y＝sin x的图象，如图所示：结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).考点2 余弦函数的图像8.对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下三项描述：①向左向右无限伸展；②与x轴有无数多个交点；③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同.其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】如图所示为y＝cos x的图象.可知三项描述均正确.9.若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是()A．4B．8C．2D．4π【答案】D【解析】作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，其与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.10.若方程|cos x|＝ax＋1恰有两个解，则实数a的取值集合为()A．(－2π，－23π)∪(23π，2π)B．(－2π，0)∪(0，2π)C．[－2π，2π]D．{－2π，2π}【答案】D【解析】作出函数y＝|cos x|和y＝ax＋1的图象，由图象可知当直线经过点(π2，0)或(－π2，0)时，两个图象有两个交点，此时a ＝－2π或2π，故实数a 的取值集合为{－2π，2π}.11.利用“五点法”作出函数y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)的简图.【答案】(1)取值列表如下：(2)描点连线，如图所示：12.根据y ＝cos x 的图象解不等式：－√32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]. 【答案】函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为{x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3}.考点3 正弦函数和余弦函数的综合应用13.在(0,2π)内使sin x＞|cos x|的x的取值范围是()A．(π4,3π4)B．(π4,π2]∪(5π4,3π2]C．(π4,π2 )D．(5π4,7π4)【答案】A【解析】∵sin x＞|cos x|，∴sin x＞0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈(π4,3π4).14.函数f(x)＝sin x的图象与g(x)＝cos x的图象关于某条直线对称，这条直线可以是()A．x＝3π4B．x＝3π2C．x＝－7π2D．x＝－7π4【答案】D【解析】设这条直线是x＝a，∵函数f(x)＝sin x的图象与g(x)＝cos x的图象关于x＝a对称，∴sin(2a－x)＝cos x，即有cos[π－(2a－x)]＝cos x，2∴可解得π－(2a－x)＝x＋2kπ，k∈Z，2故有a＝π－kπ，k∈Z，4.∴当k＝2时，a＝－7π415.若0＜x＜π，则2x与πsin x的大小关系是()2A．2x＞πsin xB．2x＜πsin xC．2x＝πsin xD．与x的取值有关【答案】B【解析】在同一坐标平面内作出函数y＝2x与函数y＝πsin x的图象，如图所示：观察图象易知：当x＝0时，2x＝πsin x＝0；时，2x＝πsin x＝π；当x＝π2)时，函数y＝2x是直线段，而曲线y＝πsin x是上凸的.所以2x＜πsin x，故选当x∈(0,π2B.16.已知a是实数，则函数f(x)＝a cos ax的图象可能是()A．B．C．D．【答案】C【解析】函数f(x)＝a cos ax，因为函数f(－x)＝a cos(－ax)＝a cos ax＝f(x)，所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为π，所以a＝2，所以B错误，C正确.17.在同一坐标系中，曲线y＝sin x与y＝cos x的图象的交点是()A．(2kπ+π2,1)B．(kπ+π4k √2)C．(kπ+π2,(−1)k)D．(kπ，0)k∈Z【答案】B【解析】在同一坐标系中，画出曲线y＝sin x与y＝cos x的图象，观察图形可知选项B正确，18.若函数f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a－1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个零点x1，x2(x1≠x2)，则x 1＋x 2－a 的取值范围是( ) A ．(π3−1,π3+1)B ．[π3,π3+1)C ．(2π3−1,2π3+1)D ．[2π3,2π3+1)【答案】B【解析】函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a －1的周期为π，令2x ＋π6＝π2，求得x ＝π6，可得函数在y 轴右侧的第一条对称轴方程为x ＝π6. 由于函数的两个零点为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝2×π6＝π3.由函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a －1(a ∈R )在区间[0，π2]上有两个零点x 1，x 2(x 1≠x 2)，可得y ＝2sin(2x ＋π6)的图象和直线y ＝1－a 在区间[0，π2]上有两个交点. 由x ∈[0，π2]，可得2x ＋π6∈[π6，7π6]，2sin(2x ＋π6)∈[－1,2]，∴1≤1－a ＜2，求得－1＜a ≤0，故0≤－a ＜1， ∴π3≤x 1＋x 2－a ＜π3＋1.19.如图是函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0，|φ|≤π2)图象的一部分，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝√3，则φ的值为( )A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】D【解析】根据函数f(x)＝A sin(2x＋φ)(A＞0，|φ|≤π2)图象的一部分，可得A＝2，周期为2π2＝π，∴b－a＝π2.由f(x1)＝f(x2)，可得函数的图象关于直线x＝x1x22＝a+b2对称，故a＋b＝x1＋x2.由五点法作图可得2a＋φ＝0,2b＋φ＝π，∴a＋b＝π2－φ.结合f(a＋b)＝f(π2－φ)＝2sin(π－2φ＋φ)＝2sinφ＝f(x1＋x2)＝√3，可得sinφ＝√32，∴φ＝π3.20.函数y＝x－2sin x在区间[－π2，π2]上的图象大致为()A．B．C．D．【答案】D【解析】f(－x)＝－x＋2sin x＝－f(x)，∴函数为奇函数，故排除A，B，f(π3)＝π3－√3，f(π6)＝π6－1，f(π6)＞f(π3)，即在x＝π3时，取到最小值，排除C，故选D.21.已知函数f(x)＝sinπx和函数g(x)＝cosπx在区间[0,2]上的图象交于A，B两点，则△OAB的面积是()A．3√28B．√22C．5√28D．3√24【答案】A【解析】如图所示，∵sinπx ＝cosπx ＝sin(π2－πx )，x ∈[0,2]，∴解得πx ＝π－(π2－πx )＋2k π，k ∈Z (无解)或πx ＝π2－πx ＋2k π，k ∈Z ， ∴解得x ＝14＋k ，k ∈Z ，且x ∈[0,2]，∴x ＝14或54，∴解得坐标A (14，√22)，B (54，－√22).∴解得直线AB 所在的方程为y －√22＝－√2(x －14)，联立方程y ＝0，可解得，x ＝34，OC＝34.∴S △OAB ＝S △OAC ＋S △COB ＝12×OC ×√22＋12×OC ×√22＝3√28.故选A.22.函数f (x )＝2sinπx －11−x ，x ∈[－2,4]的所有零点之和为________. 【答案】8【解析】设t ＝1－x ，则x ＝1－t ，原函数可化为g (t )＝2sin(π－πt )－1t ＝2sinπt －1t ，其中，t ∈[－3,3]，因g (－t )＝－g (t )，故g (t )是奇函数，观察函数y ＝2sinπt 与曲线y ＝1t 的图象可知，在t ∈[－3,3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 7＋t 8＝0，从而x1＋x2＋…＋x7＋x8＝8.23.设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________.【答案】[π4,5π4]【解析】由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系内画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，观察图象知x∈[π4,5π4].24.若函数f(x)＝2sin(ωx＋π3)(ω＞0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为____.【答案】π2【解析】由题意可得，函数的周期为2×2＝2πω，求得ω＝π2.25.已知0≤x≤2π，试探索sin x与cos x的大小关系.【答案】用“五点法”作出y＝sin x，y＝cos x(0≤x≤2π)的简图.由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ； ②当π4＜x ＜5π4时，sin x ＞cos x ；③当0≤x ＜π4或5π4＜x ≤2π时，sin x ＜cos x .。

正弦、余弦、正切函数的性质和图像

1-4-1正弦函数、余弦函数的图象一、选择题 1．对于正弦函数y ＝sin x 的图象，下列说法错误的是( )A ．向左右无限伸展B ．与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同C ．与x 轴有无数个交点D ．关于y 轴对称 2．从函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π)的图象来看，对应于cos x ＝12的x 有( )A ．1个值B ．2个值C ．3个值D ．4个值 3．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是()4．下列选项中是函数y ＝－cos x ，x ∈[π2，5π2]的图象上最高点的坐标的是( )A ．(π2,0)B ．(π,1)C ．(2π,1)D ．(5π2,1)5．函数y ＝cos x ＋|cos x |,x ∈[0,2π]的大致图象为( )6．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是()7．如图，曲线对应的函数是()A ．y ＝|sin x|B ．y ＝sin|x |C ．y ＝－sin|x |D ．y ＝－|sin x |8．下列函数的图象与图中曲线一致的是()A ．y ＝|sin x |B ．y ＝|sin x |＋12C ．y ＝|sin2x |D ．y ＝|sin2x |＋129．在(0,2π)内，使sin x ≥|cos x |成立的x 的取值范围为( )A ．[π4,3π4]B ．[π4,5π4]C ．[5π4,7π4]D ．[π4,π2]10．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．6D ．5 二、填空题11．已知函数f (x )＝3＋2cos x 的图象经过点(π3，b )，则b ＝________.12．方程sin x ＝lg x 的解有________个． 13．sin x >0，x ∈[0,2π]的解集是________．14．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x <0，则不等式f (x )>12的解集是______．三、解答题15．用“五点法”作出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的图象．16．利用“五点法”作出y ＝sin(x －π2)，x ∈[π2，5π2]的图象．17．根据函数图象解不等式sin x >cos x ，x ∈[0,2π]． 18．画出正弦函数y ＝sin x ，(x ∈R )的简图，并根据图象写出－12≤y ≤32时x 的集合．1-4-2-1周期函数一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )，存在无数个实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )( ) A ．是周期为1的周期函数 B ．是周期为2的周期函数 C ．是周期为4的周期函数 D ．不一定是周期函数 2．函数y ＝sin 24x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为( ) A ．π B ．2π C ．4π D.π23．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x4 D ．y ＝cos4x4．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x |5．函数y ＝2cos 3x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小正周期是4π，则ω等于( )A ．2 B.12 C ．±2 D ．±126．函数y ＝7sin 35x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的周期是( )A ．2πB ．πC .π3 D.π67．函数y ＝cos(k 4x ＋π3)(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13 8．定义在R 上的周期函数f (x )的一个周期为5，则f (2011)＝( )A ．f (1)B ．f (2)C ．f (3)D ．f (4) 9．定义在R 上周期为4的函数，则f (2)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 10．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，f (x )＝sin x ，则f 53π⎛⎫⎪⎝⎭等于( ) A ．－12 B ．1 C ．－32 D.32二、填空题11．若函数y ＝4sin ωx (ω>0)的最小正周期是π，则ω＝________. 12．已知函数f (x )是定义在R 上周期为6的奇函数，且f (－1)＝－1，则f (5)＝________.13．若函数f (x )＝2cos(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．14．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若412f απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝95，则sin α的值为________．三、解答题15．求下列函数的周期．(1)f (x )＝sin 43x π⎛⎫+⎪⎝⎭(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R )．16．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 17．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图．(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 18．已知函数y ＝5cos ()2136k x ππ+⎛⎫-⎪⎝⎭(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 值．1-4-2-2正、余弦函数的性质一、选择题1．有下列三个函数：①y ＝x 3＋1；②y ＝sin3x ；③y ＝x ＋2x，其中奇函数的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．使cos x ＝1－m 有意义的m 的取值范围为( )A ．m ≥0B ．0≤m ≤2C ．－1<m <1D ．m <－1或m >1 3．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A ．[－π4，π4] B ．[π4，3π4]C ．[0，π2]D ．[π2，π]4．y ＝2sin x 2的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．R 5．函数y ＝sin x2＋cos x是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数6．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1 7．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos (2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)8．已知A ＝{x |y ＝sin x }，B ＝{y |y ＝sin x }，则A ∩B等于( )A ．{y ＝sin x }B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |x ＝2π}D ．R9．函数y (x )＝－cos x ln x 2的部分图象大致是图中的()10．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 二、填空题11．比较大小：sin 3π5______cos π5.12．函数y ＝sin(x －π6)，x ∈[0，π]的值域为________．13．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的范围是________． 14．函数y ＝3sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_____．三、解答题15．求函数y ＝sin x ,x ∈,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．16．求函数y ＝13cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1的最大值，及此时自变量x 的取值集合． 17．已知函数f (x )＝log 12|sin x |.(1)求其定义域和值域； (2)判断其奇偶性； (3)求其周期； (4)写出单调区间．18．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间 [－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围．1-4-3正切函数的性质与图象一、选择题1．下列叙述正确的是( )A ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是增函数B ．函数y ＝tan x 在(0，π)上是减函数C ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数D ．函数y ＝sin x 在(0，π)上是增函数 2．函数y ＝3tan 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域是( ) A.{|,}2x x k k ππ≠+∈ B.3{|,}28k x x k ππ≠-∈ C.{|,}28k x x k ππ≠+∈ D.{|,}2k x x k π=≠∈ 3．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 4．下列直线中，与函数y ＝tan (2)4x π+的图象不相交的是( )A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π85．下列不等式中，正确的是( )A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan 13()7π-<tan 15()8π- D ．tan 13()4π->tan 12()5π- 6．当－π2<x <π2时，函数y ＝tan|x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形7．在区间(－3π2，3π2)范围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 8．函数y ＝tan(sin x )的值域是( )A ．[－π4，π4]B ．[－22，22]C ．[－tan1，tan1]D ．[－1,1]9．已知函数y ＝tan ωx 在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1 10．函数f (x )＝tan 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭在一个周期内的图象是二、填空题11．函数y ＝tan x －3的定义域是________． 12．函数y ＝－2tan 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭的单调递减区间是．13．三个数cos10°,tan58°,sin168°的大小关系是． 14．若tan 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭≤1，则x 的取值范围是____．三、解答题15．求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭; (2)y ＝13tan2x ＋1； (3)y ＝3tan 64x π⎛⎫- ⎪⎝⎭16．求函数2tan 10tan 1,,43y x x x ππ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦的值域．17．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，求f (π4)的值．18．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性．1-4-1正弦函数、余弦函数的图象一、选择题1．D 2．B 3．B 4．B 5．D[析]32cos ,[0,][,2]22cos cos 30,[,]22x x y x x x πππππ⎧∈⎪⎪=+=⎨⎪∈⎪⎩ ，6．C [析]3sin ,[0,)[,)220,(,)2x x y x πππππ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩7．C 8．B 9．A [析] 在同一坐标系中画出函数sin y x =，x ∈(0,2π)与函数y ＝|cos x |，x ∈(0,2π)的图象，如图所示，则当sin x ≥|cos x |时，π4<x <3π4.10．A [析] 画出函数y ＝sin x ，y ＝x10的图象如图．两图象的交点个数为7，故方程sin x ＝x10的根有7个．二、填空题11．4 [析] b ＝f (π3)＝3＋2cos π3＝4. 12．313．(0，π) [析] 如图所示是y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，由图可知满足题意的解集是(0，π)． 14.350,22,266x x or k x k k ππππ⎧⎫-<<+<<+∈⎨⎬⎩⎭[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和函数y ＝12的图象，如图所示，当f (x )>12时，函数f (x )的图象位于函数y ＝12的图象上方,此时有－32<x <0或π6＋2k π<x <5π6＋2k π(k∈N )．三、解答题15．略 16．略17．[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在x ∈[0,2π]上的图象，如图所示，可知，当π4<x <5π4时，sin x >cos x ，即不等式的解集是(π4，5π4)．18．[解]过(0，－12)、(0，32)点分别作x 轴的平行线，从图象可看出它们分别与正弦曲线交于(7π6＋2k π，－12)，k ∈Z ，(π6＋2k π，－12)，k ∈Z 点和(π3＋2k π，32)，k ∈Z ，(2π3＋2k π，32)，k ∈Z 点，那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－12≤y ≤32时x 的集合为：{x |－π6＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z }∪{x |2π3＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z }．1-4-2-1周期函数一、选择题1．D 2．C [解析] T ＝2π⎪⎪⎪⎪－12＝4π. 3．D [解析] T ＝2π4＝π24．D 5．D [解析] 4π＝2π|ω|，∴ω＝±12. 6．C [解析] T ＝12·2π3＝π3.7．D [解析] T ＝2πk 4＝8πk ≤2 ∴k ≥4π又k ∈N *∴k 最小为13，故选D8．A [解析] f (2011)＝f (402×5＋1)＝f (1)． 9．C [解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)又f (x )是4为周期的函数，∴f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)．∴f (2)＝－f (2)∴f (2)＝0，故选C.10．D [解析] f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－π＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝f ⎝⎛⎭⎫23π－π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 二、填空题11．2 12．－1 13．6 [解析] T ＝2πω，又1<T <3，∴1<2πω<3. ∴12π<1ω<32π.∴2π3<ω<2π.则正整数ω的最大值为6.14．±45 [解析] ∵f (x )的最小正周期为π2，ω>0，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6.由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95，∴cos α＝35.∴sin α＝±1－cos 2α＝±45.三、解答题 15．[分析] 解答本题(1)可结合周期函数的定义求解；(2)可通过画函数图象求周期．[解析] (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋π3，∴f (x ＋8π)＝sin ⎣⎡⎦⎤14(x ＋8π)＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋π3＋2π ＝sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋π3＝f (x )．∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋π3的周期为8π. (2)函数y ＝|sinx |的图象如图所示．由图象知T ＝π.[点评] 求三角函数的周期，通常有三种方法．(1)定义法．根据函数周期的定义求函数的周期．如本例(1)．(2)公式法．一般地，对于y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数且A ≠0，ω≠0)形式的函数，其周期为T ，则T ＝2π|ω|.本例(1)可用公式求解如下：T ＝2π14＝8π.(3)图象法，即大致画出函数的图象观察．如本例(2)．其中公式法是最常用而且简单的方法．16．[解析] ∵f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期．17．[解析] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z ). 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.18．[解析] 由5cos(2k ＋13πx －π6)＝54，得cos(2k ＋13πx －π6)＝14.∵函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值为14的有两次，而区间[a ，a ＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×2π2k ＋13π≤3，且4×2π2k ＋13π≥3.∴32≤k ≤72.又k ∈N ，故k ＝2,3.1-4-2-2正、余弦函数的性质一、选择题 1．C [解析] 函数y ＝x 3＋1不是奇函数也不是偶函数；函数y ＝sin3x 和y ＝x ＋2x是奇函数．2．B [解析] ∵－1≤cos x ≤－1，∴－1≤1－m ≤1.∴0≤m ≤2.3．C [解析] ∵y ＝cos2x ，∴2k π≤2x ≤2k π＋π(k∈Z )，即k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，亦即[k π，k π＋π2](k∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间．而C ，[0，π2]显然满足上述区间，故选C.[点评] 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ(ω>0)”视为一个“整体”(若ω<0，可利用三角函数的诱导公式化x 系数为正)．②A >0(A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式的方向相同(反)．4．A [解析] ∵x 2≥0，∴sin x 2∈[－1,1]，∴y ＝2sin x 2∈[－2,2]．5．A [解析] 定义域为R ，f (－x )＝sin (－x )2＋cos (－x )＝－sin x2＋cos x＝－f (x )，则f (x )是奇函数．6．A [解析] 解法一：易知y ＝sin x 在R 上为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝0.解法二：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即sin(－x )－|a |＝－sin x ＋|a |，－sin x －|a |＝－sin x ＋|a |.∴|a |＝0，即a ＝0.7．A [解析] 选项A ：y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，周期为π，在[π4，π2]上为减函数；选项B ：y ＝cos(2x＋π2)＝－sin2x ，周期为π，在[π4，π2]上为增函数；选项C ：y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，周期为2π；选项D ：y ＝cos(x ＋π2)＝－sin x ，周期为2π.故选A.8．B [解析] A ＝R ，B ＝{y |－1≤y ≤1}，则A ∩B ＝{y |－1≤y ≤1}． 9．A [解析] 函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝－cos(－x )ln(－x )2＝－cos x ln x 2＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项C 和D ；当x ∈(0,1)时，cos x >0,0<x 2<1，则ln x 2<0，此时f (x )>0，此时函数f (x )的图象位于x 轴的上方，排除选项B.10．D [解析] 如图所示．由图可知，S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象与直线y ＝2所围成的图形面积即为矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π，∴S 矩形＝2×2π＝4π. 二、填空题11．> 12．[－12，1] 13．(－π，0] [解析]由y ＝cos x 在[－π，a ]上是增函数，则－π<a ≤0.14．⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) [解析] 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z . 三、解答题15．[解析] 函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数，所以函数y ＝sin x在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是sin π2＝1，最小值是sin π4＝22；函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上的最大值是sin π2＝1，最小值是sinπ＝0. 所以函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π的最大值是1，最小值是0.16．[解析] ∵x ∈R ，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4≤1. ∴23≤13cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1≤43. ∴函数y ＝13cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1的最大值是43.此时2x －π4＝2k π(k ∈Z )，∴x ＝k π＋π8.即此时自变量x 的取值集合是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z .17．[解析] (1)由|sin x |>0得sin x ≠0，∴x ≠k π(k ∈Z )．即函数定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．又0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0.∴函数的值域为[0，＋∞)．(2)∵f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝log 12|sin(－x )|＝log 12|－sin x |＝log 12|sin x |＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)函数f (x )是周期函数，∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)|＝log 12|－sin x |＝log 12|sin x |＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝π.(4)∵y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，u ＝|sin x |在⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，在⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )上是减函数． ∴f (x )在⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )上是增函数，在⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )上是减函数．即f (x )的单调增区间是⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )，单调减区间是⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 18．[解析] 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )．据题意，⎣⎡⎦⎤－π3，π4 ⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )．从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3π2ω≥π4ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是(0，32]．1-4-3正切函数的性质与图象一、选择题1．C 2．C [解析] 要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，则x ≠k 2π＋π8(k ∈Z )． 3．A [解析]定义域是{|,}2x x k k ππ≠+∈{|,}x x k k π≠∈ ＝{|,}2k x x k π≠∈ .又f (－x )＝tan(-x )＋1tan (－x )＝－1(tan )tan x x+＝－f (x )，即函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数．4．C [解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋π8 (k∈Z )，令k ＝0得，x ＝π8.5．D [解析] 433tan tan()tan 777πππ=-<; 322t a n t a n ()t a n 555πππ=-<, 1315t a n ()t a n ,t a n ()t a n ,7788ππππ-=-=1315t a n t a n t a n ()t a n (),7878ππππ>∴->- 13tan()tan(3)tan()tan4444πππππ-=--=-=-12222tan()tan(2)tan()tan 5555πππππ-=--=-=-又2tan tan 54ππ>，所以1213t a n ()t a n ()54ππ->-, 6．C 7．B 8．C 9．B [解析] 若ω使函数tan y x ω=在(,)22ππ-内是减函数，则有ω<0，并且周期T ＝π|ω|≥π2－()2π-＝π.则－1≤ω<0.10．A[解析]3()tan()tan(),36363f ππππ=-=-=-则()f x 的图象过点3(,)33π-，排除选项C ，D ；2()tan()tan 00333f πππ=-==，则()f x 的图象过点2(,0)3π，排除选项B.故选A. 二、填空题11．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z [解析] 要使函数有意义，自变量x 的取值应满足tan x －3≥0，即tan x ≥ 3.解得π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z .12．⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )[解析] 求此函数的递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z 得：k π3－π4<x <k π3＋π12，∴减区间是⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z . 13．sin168°<cos10°<tan58° [解析] ∵sin168°＝sin12°<sin80°＝cos10°<1＝tan45°<tan58°，∴sin168°<cos10°<tan58°.14．⎝⎛⎭⎫－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z ) [解析] 令z ＝2x －π6，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x －π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z .三、解答题15．(1)由k π－π2<x －π4<k π＋π2得k π－π4<x <k π＋3π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z .(2)由k π－π2<2x <k π＋π2得k π2－π4<x <k π2＋π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π4，k π2＋π4(k ∈Z )．(3)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，由k π－π2<x4－π6<k π＋π2得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，所以函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 16．[解析] 由x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，得tan x ∈[]1，3， ∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. 由于1≤tan x ≤3，∴8≤y ≤103－4， ∴函数的值域是[8,103－4]．17．[解析] ∵ω>0，∴函数f (x )＝tan ωx 的周期为πω，且在每个独立区间内都是单调函数，∴两交点之间的距离为πω＝π4，∴ω＝4，f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tanπ＝0.18．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性．[解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R .(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π.f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．。

正弦函数、余弦函数的图象和性质教案

正弦函数、余弦函数的图象和性质教案第一章：正弦函数的定义与图象1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图象1.2 教学内容正弦函数的定义：正弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值。

正弦函数的图象：正弦函数的图象是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。

1.3 教学活动讲解正弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。

使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制正弦函数的图象，并观察其特点。

1.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数的练习题，包括选择题和解答题。

第二章：余弦函数的定义与图象2.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图象2.2 教学内容余弦函数的定义：余弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值。

余弦函数的图象：余弦函数的图象也是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。

2.3 教学活动讲解余弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。

使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制余弦函数的图象，并观察其特点。

2.4 作业与练习让学生完成一些关于余弦函数的练习题，包括选择题和解答题。

第三章：正弦函数和余弦函数的性质3.1 教学目标了解正弦函数和余弦函数的性质3.2 教学内容正弦函数和余弦函数的周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π。

正弦函数和余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

正弦函数和余弦函数的单调性：正弦函数和余弦函数在一个周期内都是先增后减。

3.3 教学活动讲解正弦函数和余弦函数的性质，并通过实际例子进行解释。

让学生通过观察图象，总结正弦函数和余弦函数的性质。

3.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数和余弦函数性质的练习题，包括选择题和解答题。

第四章：正弦函数和余弦函数的应用4.1 教学目标能够应用正弦函数和余弦函数解决实际问题4.2 教学内容正弦函数和余弦函数在物理学中的应用：正弦函数和余弦函数可以用来描述简谐运动，如弹簧振子的运动。

正弦函数余弦函数的图像(校优质课)

解:（1 2）列表
x
sin cosx x sin x x 1 cos
0
2 2
（2）y=－cosx , x∈[0,2π] 描点作图
10 1 -1
01 02
0 -1 11
3 3 2 2
2 2
yy
2-
1 0 00
1 0 1 -1
1 1oo 1 - 1
2
y 1 sin x, x [0,2 ] y cos x, x [0,2 ]
2

3 3 2
y sin x, x [0,2 ]
2
2 2
xx
y cos x, x [0,2 ]
六归纳整理，课程小结
（1）用单位圆中的正弦函数线画出正弦函数图象；（2）用诱导公式并通过图象平移画出余弦函数的图象；（3）会用“五点描图法”画正弦函数、余弦函数的简图。
二问题推进，探究试验
请跟随我们课外实验小组的脚步，观察一下他们的研究成果，谈一谈你对正、余弦函数的直观印象。
三思考问题，突破难点
问题1：这样得到的图像准确吗？如何才能画出比较精确的正弦函数图像？
y
问题2：如何由[0,2π]的图象能得到[2π，4 π] 1 正弦曲线 [-2π ，0]上的函数图象，进而得到正弦函数 - o 4 3 2 5 -4 在-3 上的图像 -2 6 R ? x -1
正弦函数和余弦函数的图像
水城中学高一蒋立鑫
一提出问题，导入课题
问题1：必修一我们研究过那些函数？我们研究了他们的哪些性质？怎么研究的？
问题2：引入了弧度制后，实数集与角的集合一一对应，一个确定的角对应着唯一确定的正弦（余弦）值。所以对应关系y=sinx和 y=cosx都表示函数，叫做正弦函数和余弦函数，我们怎么研究他们的性质呢？

正弦函数余弦函数的图象与性质教案

正弦函数与余弦函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 理解正弦函数和余弦函数的定义及其在直角坐标系中的图象。

2. 掌握正弦函数和余弦函数的性质，包括周期性、对称性、奇偶性等。

3. 能够运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。

二、教学内容：1. 正弦函数和余弦函数的定义及图象。

2. 正弦函数和余弦函数的周期性及其应用。

3. 正弦函数和余弦函数的对称性及其应用。

4. 正弦函数和余弦函数的奇偶性及其应用。

5. 正弦函数和余弦函数的性质在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 重点：正弦函数和余弦函数的图象与性质。

2. 难点：正弦函数和余弦函数性质的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解正弦函数和余弦函数的定义、图象和性质。

2. 利用多媒体展示正弦函数和余弦函数的图象，增强学生的直观感受。

3. 运用例题解析，引导学生运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。

4. 开展小组讨论，促进学生对正弦函数和余弦函数性质的理解和应用。

五、教学过程：1. 引入：通过实例引入正弦函数和余弦函数的图象和性质。

2. 讲解：讲解正弦函数和余弦函数的定义、图象和性质。

3. 演示：利用多媒体展示正弦函数和余弦函数的图象，引导学生观察和分析。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固正弦函数和余弦函数的性质。

5. 应用：运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。

7. 作业：布置作业，巩固所学内容。

六、教学评估：1. 课堂讲解：评估学生对正弦函数和余弦函数定义、图象和性质的理解程度。

2. 练习题：评估学生运用正弦函数和余弦函数性质解决实际问题的能力。

3. 小组讨论：评估学生在团队合作中提出观点、分析问题和解决问题的能力。

七、教学反馈与调整：1. 根据学生的课堂表现和作业完成情况，了解学生对正弦函数和余弦函数图象与性质的掌握程度。

2. 针对学生的薄弱环节，进行有针对性的辅导和讲解。

3. 调整教学方法和进度，确保学生能够扎实掌握正弦函数和余弦函数的图象与性质。

正弦函数、余弦函数的性质习题

[例 2] 求下列函数的单调区间．
π (1)y＝2sin4－x；
(2)y＝cos2x.
[分析] 将(1)先用诱导公式化为
π y＝－2sinx－4，然后依
据 y＝sint 与 y＝cost 的单调区间和复合函数单调性的判断方法求解．
[解析]
π (1)y＝2sin4－x化为
3π 7π π 3π 2kπ＋，2kπ＋ (k∈Z)、2kπ－，2kπ＋ (k∈Z)． 4 4 4 4 (2)函数 y＝cos2x 的单调增区间、单调减区间分别由下面
的不等式确定 2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)① 2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)② π 解①得，kπ－ ≤x≤kπ(k∈Z)， 2 π 解②得，kπ≤x≤kπ＋2(k∈Z)．
ex4、求函数y 1 2 sin 2 x 6 cos x的最值． 2 解： y 1 2(1 cos x) 6 cos x 2 cos 2 x 6 cos x 1
3 2 11 则y 2t 6t 1 2(t ) t [1， 1] 2 2 当t 1即cos x 1，x 2k (k Z )时，ymax 7
2
令t cos x [1， 1]
当t 1即cos x 1，x 2k (k Z )时，ymax 5
y 1 y 1 (2) sin x 由 1 sin x 1 1 2y 2 2y 2 y 1 2 y 2 y2 2 y 1 4 y2 8 y 4 2 y 2 0 y 1 1 2 3 y 10 y 3 0 y 3或y 3 y 1 y 1 1 1 y 3或y 所求值域为(， ] [3， )． 3 3