信号处理2

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数字信号处理第二版(实验二) 信号的采样与重建

实验二信号的采样与重建一，实验目的（1）通过观察采样信号的混叠现象，进一步理解奈奎斯特采样频率的意义。

（2）通过实验，了解数字信号采样转换过程中的频率特征。

（3）对实际的音频文件作内插和抽取操作，体会低通滤波器在内插和抽取中的作用。

二，实验内容（1）采样混叠，对一个模拟信号Va(t)进行等间采样，采样频率为200HZ，得到离散时间信号V(n).Va（t）由频率为30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的5个正弦信号的加权和构成。

Va(t)=6cos(60pi*t)+3sin(300pi*t)+2cos(340pi*t)+4cos(500pi*t )+10sin(660pi*t)观察采样后信号的混叠效应。

程序：clear,close all,t=0:0.1:20;Ts=1/2;n=0:Ts:20;V=8*cos(0.3*pi*t)+5*cos(0.5*pi*t+0.6435)-10*sin(0.7*pi*t);Vn=8*cos(0.3*pi*n)+5*cos(0.5*pi*n+0.6435)-10*sin(0.7*pi*n);subplot(221)plot(t,V),grid on,subplot(222)stem(n,Vn,'.'),gridon,05101520-40-200204005101520-40-2002040（2）输入信号X(n)为归一化频率f1=0.043，f2=0.31的两个正弦信号相加而成，N=100，按因子M=2作抽取：（1）不适用低通滤波器；（2）使用低通滤波器。

分别显示输入输出序列在时域和频域中的特性。

程序：clear;N=100; M=2;f1=0.043; f2=0.31; n=0:N-1;x=sin(2*pi*f1*n)+sin(2*pi*f2*n); y1=x(1:2:100);y2=decimate(x,M,'fir'); figure(1);stem(n,x(1:N));title('input sequence'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(2); n=0:N/2-1; stem(n,y1);title('output sequence without LP'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(3); m=0:N/M-1;stem(m,y2(1:N/M));title('output sequence with LP'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(4);[h,w]=freqz(x);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the input sequence'); xlabel('w');ylabel('fudu'); figure(5);[h,w]=freqz(y1);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the output sequence without LP'); xlabel('w');ylabel('fudu'); figure(6);[h,w]=freqz(y2);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the output sequence without LP'); xlabel('w');ylabel('fudu');0102030405060708090100-2-1.5-1-0.500.511.52input sequencenf u d u05101520253035404550-2-1.5-1-0.500.511.52output sequence without LPnf u d u05101520253035404550-1.5-1-0.50.511.5output sequence with LPnf u d u0.511.522.533.505101520253035404550frequency spectrum of the input sequencewf u d u00.51 1.52 2.53 3.551015202530frequency spectrum of the output sequence without LPwf u d u00.51 1.52 2.53 3.5510152025frequency spectrum of the output sequence without LPwf u d u（3）输入信号X(n)为归一化频率f1=0.043，f2=0.31的两个正弦信号相加而成，长度N=50，内插因子为2.（1）不适用低通滤波器；（2）使用低通滤波器。

北交大数字信号处理2

《数字信号处理》课程研究性学习报告试点班专用姓名学号同组成员指导教师陈后金时间DFT近似计算信号频谱专题研讨【目的】(1) 掌握利用DFT近似计算不同类型信号频谱的原理和方法。

(2) 理解误差产生的原因及减小误差的方法。

(3) 培养学生自主学习能力，以及发现问题、分析问题和解决问题的能力。

【研讨题目】基本题1．利用DFT分析x(t)=A cos(2πf1t)+B cos(2πf2t)的频谱，其中f1=100Hz，f2=120Hz。

(1)A=B=1; (2)A=1,B=0.2。

【题目分析】分析题目，给出合适的DFT参数由取样定理知，要使信号频谱不混叠，则抽样频率不小于最高频率的两倍。

而要满足信号分辨率的要求，抽样点数N≧f sam/△f。

在对信号做DFT时，由于对信号进行截短，因此会产生频谱泄漏，要想从频谱中很好的分辨出个频率分量，需要考虑时域抽样频率，所加的窗函数，窗函数的长度，以及DFT的点数等参数对结果的影响。

(1)A=B=1，即x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)矩形窗1：条件：fsam=240Hz；N=20；L=512矩形窗2：条件：fsam=600Hz；N=40；L=512矩形窗3：fsam=1200Hz；N=80；L=512Hamming窗1：N=40；L=512；fs=600;Hamming窗2：N=60；L=512；fs=600;Hamming 窗3：N=120；L=512；fs=600;(2)A=1,B=0.2，即x(t)=cos(2πf1t)+0.2cos(2πf2t)矩形窗：N=100；L=512；fs=600Hamming窗：N=100；L=512；fs=600【仿真结果】【结果分析】对实验结果进行分析比较，回答：加窗对谱分析有何影响？如何选择合适的窗函数？选择合适DFT 参数的原则？在（1）中进行矩形窗仿真时，我们选择了不同的fsam ，分别为240,600,1200它们均满足抽样定理，但是我们在实验中却发现，在240hz 时出现了混叠现象。

(完整word版)数字信号处理第二章习题解答

数字信号处理第2章习题解答2.1 今对三个正弦信号1()cos(2)a x t t π=，2()cos(6)a x t t π=-，3()cos(10)a x t t π=进行理想采样，采样频率为8s πΩ=，求这三个序列输出序列，比较其结果。

画出1()a x t 、2()a x t 、3()a x t 的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。

解：采样周期为2184T ππ== 三个正弦信号采样得到的离散信号分别表示如下：1()cos(2)cos()42a n x n n ππ=⋅=2()cos(6)cos()42a n x n n ππ=-⋅=-3()cos(10)cos()42a n x n n ππ=⋅=输出序列只有一个角频率2π，其中1()a x n 和3()a x n 采样序列完全相同，2()a x n 和1()a x n 、3()a x n 采样序列正好反相。

三个正弦信号波形及采样点位置图示如下：tx a 1(t )tx a 2(t )tx a 3(t )三个正弦信号的频率分别为1Hz 、3Hz 和5Hz ，而采样频率为4Hz ，采样频率大于第一个正弦信号频率的两倍，但是小于后两个正弦信号频率的两倍，因而由第一个信号的采样能够正确恢复模拟信号，而后两个信号的采样不能准确原始的模拟信号，产生频谱混叠现象。

2.3 给定一连续带限信号()a x t 其频谱当f B >时，()a X f 。

求以下信号的最低采样频率。

（1）2()a x t （2）(2)a x t （3）()cos(7)a x t Bt π解：设()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω（1）2()a x t 的傅里叶变换为22()[()]Ba a BX j X j d ππωωω-⋅Ω-⎰因为22,22B B B B πωππωπ-≤≤-≤Ω-≤ 所以44B B ππ-≤Ω≤即2()a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。

生物医学信号处理 (2)

1992年，比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。
1994年, AT&T公司Bell实验室的Wim Swelden
提出的提升方案Lifting Scheme，即第二代小
波。
34
Who’s who in Wavelet!
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
数学模型
N 1
y[n] 1/ N x[n k] k 0
26
滤除噪声—低通滤波法
Signal 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
Wn=0.8 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.2 0.4 0.6 0.8
（Gauss）等人把这一成果带入电
学中去。
10
傅立叶变换 Fourier Transform
傅里叶变换的基本思想是将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加，或者从另外一个角度来说是将信号从时间域转换到频率域。

f (t) Ak coskt k 0
11
傅立叶变换的定义
待处理的信号
1
Signal+Noise 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
Wn=0.3 1.5
1

(完整版)数字信号处理实验二

xlabel('时间序号n'); ylabel('振幅');
y = filter(num,den,x,ic);
yt = a*y1 + b*y2;
d = y - yt;
subplot(3,1,1)
stem(n,y);
ylabel('振幅');
title('加权输入: a \cdot x_{1}[n] + b \cdot x_{2}[n]的输出');
subplot(3,1,2)
%扫频信号通过2.1系统：
clf;
n = 0:100;
s1 = cos(2*pi*0.05*n);
s2 = cos(2*pi*0.47*n);
a = pi/2/100;
b = 0;
arg = a*n.*n + b*n;
x = cos(arg);
M = input('滤波器所需的长度=');
num = ones(1,M);
三、实验器材及软件
1.微型计算机1台
2. MATLAB 7.0软件
四、实验原理
1.三点平滑滤波器是一个线性时不变的有限冲激响应系统，将输出延时一个抽样周期，可得到三点平滑滤波器的因果表达式，生成的滤波器表示为
归纳上式可得
此式表示了一个因果M点平滑FIR滤波器。
2.对线性离散时间系统，若y1[n]和y2[n]分别是输入序列x1[n]和x2[n]的响应，则输入
plot(n, y);
axis([0, 100, -2, 2]);
xlabel('时间序号 n'); ylabel('振幅');

现代信号分析与处理技术_第5讲_通信中的信号处理(二)

1 ⎛ ρ ⎞ H , 其中λ = Ei , j Ei , j P ( si → s j ) ≤ M R ⎜ ⎟ λ ⎝ 4M T ⎠ 最大分集度是MR(无发射分集), 空间速率为rs＝ MT
编码的空分复用(SM, spatial multiplexing)方案：
水平编码：H-BLAST 垂直编码：V-BLAST 对角编码：D-BLAST
−MR
H-BLAST编码
各信息符号只在一个天线上发射可达的分集度和阵列增益都为MR 没有发射分集各层的编码调制较灵活
V-BLAST编码
假设发射信号经历的MIMO信道独立衰落信息符号扩展到所有天线⎯⎯各层数据是相耦合的由于单个比特可能扩展到各个发射天线，所以可达到最优编码(引入空间相关) 可获得全速率MT和潜在的全分集度MT MR(需编码协助) 最优解码较复杂，需各路联合解码
最大似然接收机
完成矢量解码，是最优接收机对于等概率发生的未考虑信道编码的发射符号，检测为
2 Es MT
ˆ s = arg min y −
s
Hs
F
它对所有可能的矢量s完成全局搜索其计算量会指数增长，因此需要次优的检测方法
迫零接收机 1
迫零接收机检测信号为
ˆ s=
MT Es
(H
H
H) H y
−1 H
y=
Es MT
Hs + n
MR
n = [n1 ,..., nM R ]T ∈ M R 是噪声矢量 M R ×M T 是随机衰落的信道矩阵 H∈
ES 是一个符号周期内发射端所具有的平均能量噪声 ni ∼ CN (0, N 0 ) ,协方差为 E{nnT } = N 0 I M , 均值为

同态信号处理2

H[c1x1(n) c2x2 (n)] c1H[ x1(n)] Oc2H[ x2(n)] 若和O为加法，Δ和为标量乘法，则同态系统就是线
性系统，所以线性系统是同态系统的一个特例。
输入、输出运算必须满足矢量相加和标乘的代数公设任何同态系统可表示为三个子系统级联的规范形式
++
x(n)
引言
加性组合信号的分离，利用线性滤波可以完成，如
a. 各信号占据不同的频带或信号和噪声分别占据不同的频带，可用选频滤波器过滤。
b.信号占据不同的频带有部分重叠，可按均方误差最小的准则设计线性滤波器如维纳滤波器或卡尔曼滤波器来分离。
但是实际中还存在另一种情况，即它们不是加性组合，而是乘性或卷积性的组合
D□ [ ]
L[ ]
Δ
xˆ (n)
++ D-1○ [ ]
yˆ (n)
O y(n)

++
x(n)
D□ [ ]
L[ ]
Δ
xˆ (n)
++ D-1○ [ ]
yˆ (n)
O y(n)

第一个子系统 D□ [称] 为运算的特征系统，
D□ [的] 性质如下：
D [ x1(n) x2 (n)] D [ x1(n)] D [ x2 (n)] D [cx(n)] cD [ x(n)]
精品课件！
精品课件！
四、逆特征系统 D-1*[ ]
作用：将加法组合的信号还原成卷积组合的信号，即：
D*1[ yˆ1(n) yˆ 2 (n)] D*1[ yˆ1(n)]* D*1[ yˆ 2 (n)]
yˆ(n) + Z [ ]

[现代信号处理（第二版）].张贤达.扫描版（2）

信号的频谱分析式研究信号特性的重要手段之一，对于确定信号，可以用Fourier变换来考察信号的频谱特性，而对于广义平稳随机信号而言，相应的方法是求其功率谱。

功率谱反映了随机信号功率能量的分布特征，可以揭示信号中隐含的周期性以及靠的很近的谱峰等有用信息，有很广泛的应用。

在雷达信号处理中，回波信号的功率提供了运动目标的位置、强度和速度等信息（即功率谱的峰值与宽度、高度、和位置的关系）；在无源声纳信号处理中，功率谱密度的位置给出了鱼雷的方向（方位角）信息；在生物医学工程中，功率谱的峰和波形，表示了一些特殊疾病的发作周期；在语音处理中，谱分析用来探测语音语调共振；在电子战中，还利用功率谱来对目标进行分类。

功率谱密度函数反映了随机信号各频率成份的功率分布情况，是随机信号处理中应用很广泛的技术。

实际应用中的平稳信号通常是有限长的，因此，只能从有限的信号中去估计信号的真实功率谱，这就是功率谱估计问题。

寻找可靠与质量优良的估计谱是这次研究的主要内容。

功率谱估计可分为非参数化方法（低分辨率分析），参数化方法（高分辨率分析），广义的功率谱分析（空间谱分析），也可以把非参数化方法称为经典谱估计，参数化方法称为现代谱估计（包括空间谱估计）这次论文从不同角度介绍了现代谱估计的一些主要算法，包括参数模型法、Pisarenko 谐波分解法、最大熵估计、多重信号分类（MUSIC）、旋转不变技术(ESPRIT)等。

参数模型法将以ARMA模型为主，以及其谱估计所需的AR、MA的参数和阶数；最大熵估计也就是Burg最大熵谱估计,它在不同约束条件下，分别与AR谱估计、ARMA谱估计等价；MUSIC 方法是一种估计信号空间参数的现代谱估计方法；ESPRIT方法是一种估计信号空间参数的旋转不变技术，其基本思想是将谐波频率的估计转变为矩阵束的广义特征值分解。

最后，这次论文还会分析它们各自的优缺点及应用场合。

并利用计算机语言对各种现代谱估计算法的进行仿真实现，并比较它们的性能。

信号的运算与处理 (2)

调相（PM）
要点一
总结词
调相是一种通过改变信号相位以携带信息的方式。
要点二
详细描述
在调相中，载波信号的相位根据要传输的信息信号而变化。相位变化的载波信号携带了信息，并在信道中传输。在接收端，通过比较载波信号的相位与原始相位，可以提取出信息信号。
04
信号的变换域处理
傅立叶变换
傅立叶变换是信号处理中最常用的工具之一，它可以将时域信号转换为频域信号，从而揭示信号的频率成分。
减法运算
总结词
信号的减法运算是指将一个信号在时间域上对应点的值减去另一个信号在相应点的值，得到一个新的信号。
详细描述
减法运算是信号处理中常用的数学运算之一。通过从一个信号中减去另一个信号，可以得到一个新的信号。这种运算在消除噪声、提取特定成分等场景中非常有用。
乘法运算
总结词
信号的乘法运算是指将两个信号在时间域上对应点的值相乘，得到一个新的信号。
陷波滤波器
总结词
陷波滤波器主要用于消除特定频率的信号，通常用于消除干扰或噪声。
详细描述
陷波滤波器对特定频率的信号产生强烈的衰减，从而实现消除该频率噪声的目的。在通信和声音处理中，陷波滤波器用于消除不需要的频率成分，如电磁干扰或机械振动产生
的噪声。
03
信号的调制与解调
调幅（AM）
总结词
调幅是一种通过改变信号幅度以携带信息的方式。
傅立叶变换具有多种形式，包括离散傅立叶变换（DFT）和快速傅立叶变换（FFT）。
傅立叶变换在通信、图像处理、音频处理等领域有着广泛的应用。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，它可以用于分析信号的稳定性。

数字信号处理第2章(3、4)

-∞＜k＜∞ (2.3.10)
gopt ( k ) =
对上式两边同时做Z变换，得到
rωs (k ) (k
σω
2
-∞＜k＜∞ (2.3.11)
Gopt ( z ) =
Sωs ( z )
2 σω
(2.3.12)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波这样，非因果维纳滤波器的最佳解为 Gopt ( z ) 1 Sωs ( z ) H opt ( z ) = = 2 B( z ) σ ω B( z ) (1.4.15)式, 得到
G( z) H ( z) = B( z )
(2.3.7)
因此，维纳滤波器的传输函数H(z)的求解转化为G(z)的求解。
x(n)
1 B( z )
ω(n)
G(z)
^ y(n)＝ s(n)
图 2.3.3 维纳滤波解题思路
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解假设待求维纳滤波器的单位脉冲响应为ω(n)，期望信号 d(n)=s(n)，系统的输出信号
ω(n)
B(z)
x(n)
x(n)
B －1(z)
ω(n)
图 2.3.2 x(n)的时间序列信号模型及其白化滤波器
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波具体思路如图2.3.3所示。用白噪声作为待求的维纳滤波器的输入，设定1/B(z)为信号x(n)的白化滤波器的传输函数，那么维纳滤波器的传输函数G(z)的关系为
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波下面我们推出该滤波器的最小均方误差E［|e(n)|2］ min 的计算, 重新写出(2.3.9)式的最佳解
E[| e(n) | ]min = rss (0) −
2
k = −∞

数字信号处理实验二时域采样和频域采样

数字信号处理实验二时域采样和频域采样数字信号处理是一门研究信号的数字化表示、处理和传输的学科。

在数字信号处理中，时域采样和频域采样是两种常用的信号分析方法。

下面我们将对这两种采样方法进行详细介绍和比较。

一、时域采样时域采样是数字信号处理中最基本的采样方法之一。

它通过对连续时间信号进行离散时间采样，将连续时间信号转换为离散时间信号。

时域采样的基本原理是，如果一个连续时间信号f(t)在采样时刻t=kT(k=0,1,2,)上的值f(kT)能够被准确地测量，则可以通过这些采样值重建出原始信号。

时域采样的优点是简单易行，适用于大多数信号的采样。

但是，时域采样也存在一些缺点。

首先，如果信号中含有高于采样率的频率成分，这些高频成分将会被混叠到低频部分，导致信号失真。

这种现象被称为混叠效应。

其次，时域采样需要大量的采样数据才能准确地重建出原始信号，这会占用大量的存储空间和计算资源。

二、频域采样频域采样是一种在频域上对信号进行采样的方法。

它通过对信号进行傅里叶变换，将信号转换到频域，然后对频域中的信号进行采样。

频域采样的基本原理是，如果一个离散时间信号f(n)的傅里叶变换在频域上有有限的带宽，那么频域上的信号可以被认为是无穷多个离散的冲激函数的线性组合。

通过对这些冲激函数的幅度和相位进行采样，可以得到频域采样值。

相比时域采样，频域采样具有一些优点。

首先，频域采样可以避免混叠效应，因为高频成分在频域中可以被准确地表示和处理。

其次，频域采样只需要采样信号的幅度和相位信息，而不必存储大量的采样数据，可以节省存储空间和计算资源。

此外，频域采样还可以用于对信号进行压缩和编码，以便于信号的传输和存储。

然而，频域采样也存在一些缺点。

首先，傅里叶变换需要将信号从时域转换到频域，这需要使用复杂的数学运算和计算。

其次，频域采样的结果通常需要经过逆傅里叶变换才能得到原始信号的离散时间表示，这同样需要复杂的数学运算和计算。

此外，频域采样的结果可能存在频率混叠和泄漏现象，这会影响到重建出的原始信号的质量。

数字信号处理实验二

实验二快速傅里叶变换(FFT)及其应用一、思考题(1) 实验中的信号序列()c x n 和()d x n 在单位圆上的z 变换频谱()()c j j d X e X e ωω和会相同吗如果不同，说出哪一个低频分量更多一些，为什么答：设j Z r e ω=⨯ ()()n n G z g n z ∞-=-∞=⨯∑因为为单位圆，故r=1.因为()()j j n n G e g n eωω∞-=-∞=⨯∑，故3723456704()(8)23432j j n j n j j j j j j j c n n X e nen e e e e e e e e ωωωωωωωωωω---------===+-=++++++∑∑ 7235670()(4)43223j j n j j j j j j d n X e n ee e e e e e ωωωωωωωω-------==-=+++---∑比较可知频谱不相同，()c X n 的低频分量多。

(2) 对一个有限长序列进行DFT 等价于将该序列周期延拓后进行DFS 展开，因为DFS 也只是取其中一个周期来运算，所以FFT 在一定条件下也可以用以分析周期信号序列。

如果实正弦信号()sin(2),0.1x n fn f π== 用16点FFT 来做DFS 运算，得到的频谱是信号本身的真实谱吗为什么答：针对原来未经采样的连续时间信号来说，FFT 做出来的永远不会是信号本身的真实频谱，只能够是无限接近。

FFT 频谱泄露问题是一定会存在的，因为毕竟采样率再高，也不能完全达到原来的连续时间信号准确。

原题的采样率是1/10，就是将2*pi 分成10份，即每个正弦波周期进行10次采样，这样的采样率很低，而最后你只截取16个点来做分析，泄露一般会挺严重，看到的频谱，应该是一个上头尖，下面慢慢变宽的尖锥形，而纯正的正弦波的理想频谱应该是在某频点只有一个尖峰。

二．?实验原理：?（1）混叠：采样序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，当采样频率不满足奈奎斯特采样定理的时候，就会发生混叠，使得刺痒后的序列信号的频谱不能真实的反映原采样信号的频谱。

通信信号处理第二章.pdf

f = 0 = 1 + j [− j sgn( f )] f <0 2 2
Ø 第一类解析信号(确定信号)
2S( f ) f >0
如果解析信号的频谱满足 SA( f ) =2U( f )S( f ) =S( f ) f =0
Ø 第二类解析信号（随机信号）
0
f <0
如果解析信号的功率谱密度满足
2014年3月30日
PsA
(
f
)
=
2U
(
f
)
Ps
(
f
)
=
2PsP(s 0
( f
f )
)
f >0 f =0 f <0
9
• 两类解析信号的构造方法是不同的 2
对于确定信号，关心频谱，往往采用第一类解析信号；对于随机信号，更关心功率谱密度，往往采用第二类解析信号。2014年3月30日 Nhomakorabea返回10
5
2.1.2 基带信号
对雷达和通信一类的信息系统，常用的信号是
r (t ) = α (t )e jϕ (t )
④ 如果 x(t) = x1(t) * x2 (t) Hilbert变换满足
xˆ(t) = xˆ1(t) * x2 (t) = x1(t) * xˆ2 (t)
2014年3月30日
8
4
• 解析信号的描述
为了全面描述通信信号处理中的各种解析信号
Ø 定义滤波器
1 f >0
U ( f ) = 1/ 2 0
2014年3月30日
25
衡量一表面是否粗糙的标准是Rayleigh准
则。这一标准对已知入射角 θi 定义表面隆起的临界高度hc

信号处理第二章知识点

第二章连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰dt t f T 1)(。

(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。

正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为T 1，角频率为11122T f π=π=ω。

(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。

(4) 三角形式的FS ：(i) 展开式：∑∞=ω+ω+=1110)sin ()(n n n t n b t con a a t f(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量：⎰=1)(110Tdt t f T a (b) n 次谐波余弦分量：N n tdt n t f T a Tn ∈ω=⎰,cos )(2111(c) n 次谐波的正弦分量：N n tdt n t f T b Tn ∈ω=⎰1,sin )(211(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。

(iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。

(v) 合并同频率的正余弦项得：(a) ∑∞=ψ+ω+=110)cos()(n n n t n c c t f(b) ∑∞=θ+ω+=110)sin()(n n n t n d d t fn ψ和n θ分别对应合并后n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。

(vi) 傅里叶系数之间的关系：(a) 000d c a ==(b) n n n n n d c a θ=ψ=sin cos (c) n n n n n n d c b θ=ψ-=cos sin (d) 000a d c ==(e) 2222n n n n b a d c +==(f) nnn a b arctg -=ψ(g) nnn b a arctg=θ (5) 复指数形式的FS ：(i) 展开式：∑∞-∞=ω=n t jn n e F t f 1)((ii)系数计算：Z n dt e t f T F Tt jn n ∈=⎰ω-,)(1111(iii) 系数之间的关系：⎪⎩⎪⎨⎧≠-==0),(210,0n jb a n a F n n n **,nn n n F F F F ==--)0(,21212122≠+====-n b a d c F F n n n n n n)0(,≠==+-n d c F F n n nnn n n a F F =+- j b F F n n n /=--)0(4422222≠==+==-n F F F b a d c nn n n n n n(iv) n F 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。

数字信号处理第2章习题答案

（2） ZT的逆变换为
求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。用围线积分法求逆Z变换有两个关键。一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系，可以总结成几句话： ① 收敛域包含∞点，序列是因果序列； ② 收敛域在某圆以内，是左序列； ③ 收敛域在某圆以外，是右序列； ④ 收敛域在整个z面，是有限长序列； ⑤ 以上②、 ③、 ④均未考虑0与∞两点，这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键是会求极点留数。
2.2 FT和ZT
（1） FT的逆变换为
用留数定理求其逆变换，或者将z=ejω代入X(ejω)中，得到X(z)函数，再用求逆Z变换的方法求原序列。注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域，或者说封闭曲线c可取单位圆。
例如，已知序列x(n)的傅里叶变换为
求其反变换x(n)。将z=ejω代入X(ejω)中，得到因极点z=a，取收敛域为|z|>|a|，由X(z)很容易得到x(n)=anu(n) 。
2.1.1
（1）傅里叶变换的正变换和逆变换定义，以及存在条件。
（2）傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。
（3）Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。
2.1.2 重要公式
（1）
这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件，即
（2）若y(n)=x(n)*h(n), 则这是时域卷积定理。
（3）若y(n)=x(n)h(n), 则
这是频域卷积定理或者称复卷积定理。（4）

数字信号处理实验二时域采样和频域采样

实验二-时域采样和频域采样一、实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。

要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。

二、实验原理及方法1、时域采样定理的要点：a)对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(ˆΩj X 是原模拟信号频谱()aX j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓b)采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。

利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。

2、频域采样定理的要点：a)对信号x(n)的频谱函数X(ej ω)在[0，2π]上等间隔采样N 点则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列。

三、实验内容及步骤1、时域采样理论的验证程序：clear;clcA=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi;Tp=50/1000;F1=1000;F2=300;F3=200;T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3;n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1;x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1);x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2);x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w0*n3*T3);f1=fft(x1,length(n1));f2=fft(x2,length(n2)); %f3=fft(x3,length(n3)); %k1=0:length(f1)-1;fk1=k1/Tp; %k2=0:length(f2)-1;fk2=k2/Tp; % k3=0:length(f3)-1;fk3=k3/Tp; % subplot(3,2,1)stem(n1,x1,'.')title('(a)Fs=1000Hz');xlabel('n');ylabel('x1(n)');subplot(3,2,3)stem(n2,x2,'.')title('(b)Fs=300Hz');xlabel('n');ylabel('x2(n)');subplot(3,2,5)stem(n3,x3,'.')title('(c)Fs=200Hz');xlabel('n');ylabel('x3(n)');subplot(3,2,2)plot(fk1,abs(f1))title('(a) FT[xa(nT)],Fs=1000Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('·ù¶È')subplot(3,2,4)plot(fk2,abs(f2))title('(b) FT[xa(nT)],Fs=300Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('·ù¶È')subplot(3,2,6)plot(fk3,abs(f3))title('(c) FT[xa(nT)],Fs=200Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('·ù¶È')结果分析：由图2.2可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓。