考研数学一历年真题2003
2003年考研数学一试题及完全解析(Word版)
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x . 【评注】 本题属基本题型。
2003考研数一真题及解析
2003考研数一真题及解析2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 21ln(1)lim(cos )x x x +→=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ，则2a = .(4) 从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P.(6) 已知一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm )，则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数()f x 在),(+∞-∞则()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3) 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则( )(A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4) 设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则( )(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.x(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 若0Ax =的解均是0Bx =的解，则秩(A )≥秩(B )； ② 若秩(A )≥秩(B )，则0Ax =的解均是0Bx =的解； ③ 若0Ax =与0Bx =同解，则秩(A )=秩(B )； ④ 若秩(A )=秩(B )， 则0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的是( )(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则( )(A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y .三 、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D .(1)求D 的面积A ;(2)求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四 、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证：(1) dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dxx y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当0t >时，).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数X 的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数()F x ; (2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ；(3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 (1)【详解】方法1：求()lim ()v x u x 型极限，一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ，再回到指数上去．)1ln(12)(cos lim x x x +→=220ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxx x x ee→++→=,而2200ln cos ln(1cos 1)limlim ln(1)ln(1)x x x x x x →→+-=++20cos 1lim x x x →-=(等价无穷小替换ln(1)x x +)220112lim 2x x x →-==-(等价无穷小替换211cos 2x x -) 故 原式=.121ee=-方法2：令21ln(1)(cos )x y x +=，有2ln cos ln ln(1)xy x =+，以下同方法1．(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．平面042=-+z y x 的法向量：1{2,4,1}n =-； 曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量：20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-00{2,2,1}x y =-由于12//n n ，因此有00221241x y -==- 可解得，2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z 所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：2{2,4,1}n =-，故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数20()cos ()n n f x x a nx x ππ∞===-≤≤∑，其中⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n ．所以 x d x xdx x a 2sin 12cos 2222⎰⎰=⋅=ππππ201[sin 2sin 22]x xx xdx πππ=-⋅⎰1cos2xd x ππ=⎰001[cos2cos2]x x xdx πππ=-⎰1=(4)【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132【详解】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P =[121],,,-n ααα [],,,21n βββ ．根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(5)【答案】14． 【分析】本题为已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤．连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法(,)(,),y xF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤0(,)(,)g x y z f x y dxdy ≤=⎰⎰进行计算．【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有=≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰1220(612)x x dx =-⎰14=(6)【答案】)49.40,51.39(．【分析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计. 因为(,1)XN μ，设有n 个样本，样本均值11ni i X X n ==∑，则1(,)XN nμ，将其标准~(0,1)X N 得：)1,0(~1N n X μ-由正态分布分为点的定义αμα-=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+．(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值μ的置信区间问题．由教材上已经求出的置信区间22(x u x u αα-+，其中2{}1,(0,1)P U u UN αα<=-，可以直接得出答案．【详解】方法1：由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题16n =, 40=x .根据 1.96}0.95P <=，有 1.96}0.95P <=， 即{39.5140.49}0.95P μ<<=，故μ的置信度为0．95的置信区间是)49.40,51.39(．方法2：由题设，95.01=-α，22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu 将1σ=，16n =, 40=x代入22(x u x u αα-+得置信区间)49.40,51.39(二、选择题 (1)【答案】()C【分析】函数的极值点可能是驻点(点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数 不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(2)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确． 方法2：排除法y取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确； 取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xy x y →→-=+222(,)(1)()f x y xy x y α⇒-=++，其中00lim 0x y α→→=． 由(,)f x y 在点(0,0)连续知，(0,0)0f =．取y x =，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=++>； 取y x =-，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=-++< 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选()A ． (极值的定义)(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关． 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤． 可见正确选项为(D)． 本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】 用排除法：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．(5)【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③、④，迅速排除不正确的选项．【详解】若0AX =与0BX =同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B )，命题③成立，可排除(A), (C)；但反过来，若秩(A )=秩(B )，则不能推出0AX =与0BX =同解，通过举一反例证明，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A )=秩(B )=1，但0AX =与0BX =不同解，可见命题④不成立，排除(D). 故正确选项为(B)．(6)【答案】(C)．【分析】求解这类问题关键在于了解产生2χ变量、t 变量、F 变量的典型模式．(1)2χ分布：设12,,,n X X X 相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量21ni i Z X ==∑服从自由度为n 的2χ分布．记做2().Zn χ(2)t 分布：设1(0,1)X N ，22~()X n χ，且12,X X相互独立，则随机变量Z =n 的t 分布．记做()Z t n(3)F 分布：设2212(),(),Xn Y n χχ且,X Y 相互独立，则随机变量12X n Z Y n =服从F 分布，其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).Z F n n【详解】其实，由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得，(1) 如果统计量 ()T t n ，则有2(1,)T F n ；(2) 如果统计量12(,)FF n n ，则有211(,)F n n F．由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C)．先由t分布的定义知()X t n =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是 21XY ==122U n V U n V =， 分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以)1(~22χU . 由F 分布的定义知~(,1).Y F n 故应选(C)．三【分析】圆锥体体积公式：213V r h π=⋅；旋转体的体积：(1) 连续曲线()y f x =，直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()baV f x x dx π=-⎰(2) 连续曲线()x g x =，直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dcV g y y dy π=-⎰【详解】为了求D 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是：).(1ln 000x x x x y -+=切线的斜率为01x y x '=，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为.1x ey =(1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy βαϕψ=-⎰，得⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y (2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图．x切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为：122101().3V e ey dy e ππ=-=⎰曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为：dy e e V y 2102)(⎰-=π1220(2)y y e e e e dy π=-⋅+⎰12201(2)2yy e y e e e π=-⋅+211(2)22e e π=-+-因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形．另外，由于函数展开成的幂级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有00()()n n n f x a x x ∞==-∑收敛区间为00(,)x R x R -+． 如果在0x x R =+处级数收敛，并且()f x (左)连续，则展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处，在0x x R =-处亦有类似的结论，不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续． 【详解】本题可先求导，()f x '()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x '-+---⎛⎫ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭基本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x=-+ 对于函数2114x +，可以利用我们所熟悉的函数x-11的幂级数展开： 2011(11)1nnn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑所以 2222001(4)(1)414114n n n n n n x x x x ∞∞===-=--<-<+∑∑ (把x 换成24x -) 有 220111()22(1)4,(,).1422n n nn f x x x x ∞='=-=--∈-+∑对上式两边求积分，得200()(0)()2(1)4xxn n n n f x f f t dt t dt ∞=⎛⎫'-==-- ⎪⎝⎭∑⎰⎰ 221000(1)4112(1)42,(,)2122n n x nnnn n n t dt x x n ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰，又因为04f π=（），所以()(0)()xf x f f t dt '=+⎰=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n nn π即 21012(1)411arctan 2,(,).1242122n n n n x x x x n π∞+=--=-∈-++∑ (*)在21=x 处，右边级数成为0(1)1212n n n ∞=-⋅+∑，收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数()f x 连续，所以成立范围可扩大到21=x 处．而在12x =-处，右边级数虽然收敛，但左边函数()f x 不连续，所以成立范围只能是11(,]22x ∈-．为了求∑∞=+-012)1(n nn ，令21=x 代入(*)得∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n n n n n n n f ππ, 再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五【详解】(1) 方法1：用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰． 所以 ⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin所以 ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin因为积分区域D 关于y x =对称，所以sin sin sin sin ()()x y yxy xDDeedxdye e dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰与互换故 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--方法2：化为定积分证明左边sin sin yxLLxe dy yedx -=-⎰⎰=dx edy exy⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x右边sin sin y x LLxe dy ye dx -=-⎰⎰=⎰⎰--ππππ00sin sin dx e dy ex y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x 所以 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--．(2) 方法1：用格林公式证明⎰⎰⎰--+=-Dxy x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy e DDx y ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin 利用轮换对称性=sin sin ()2x x DDe e dxdy dxdy -+≥⎰⎰⎰⎰22π=(因为0,0a b a b +≥>>)方法2：由(1)知，sin sin sin sin 00()2y x x x L xe dy ye dx e e dx dx ππππ---=+≥⎰⎰⎰22π=六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x 轴正向，设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，汽锤所作的功等于克服阻力所做的功．121102x k W kxdx x ==⎰，2122221()2x x k W kxdx x x ==-⎰，3222332()2x x k W kxdx x x ==-⎰，1x a =从而 212332kW W W x ++=又 12rW W =，2321W rW r W ==，从而 222231231(1)(1)22kk x W W W r r W r r a =++=++=++于是 3x =(2) 第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ．则汽锤前n 次所功的和等于克服桩被打进地下n x m 所做的功．11210(1)nx n n kxdx W W W r r W -=+++=+++⎰而 2102a k W kxdx a ==⎰ 牛-莱公式所以212(1)22n n k k x r r a -=+++从而 n x = 等比数列求和公式由于01r <<，所以1lim n n x +→∞=．七【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d xdy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dxdy 与22d ydx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有 dy dx =y dxdy '=11，)(22dy dxdy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-． 代入原方程，得 .sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21x x e C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=则 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--=解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为.sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．八【详解】(1) 首先对()F t 进行化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算．222222220()()()sin 2sin ()t tt f x y z dv d d f r r dr d f r r dr πππθϕϕπϕϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222002()cos 4()t tf r r dr f r r dr ππϕπ=⋅-=⎰⎰ (球面坐标)222220()()()2()t tD t f x y d d f r rdr f r rdr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰ (极坐标)所以222220000222()sin 4()()()2()ttttd d f r r drf r r drF t d f r rdrf r rdrπππθϕϕπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22022()()ttf r r drf r rdr=⎰⎰为了讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性，对()F t 求导：222222022()()()()()2[()]tttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ⋅-⋅'=⎰⎰⎰22022()()()2[()]tttf t f r r t r drf r rdr ⋅-=⎰⎰由于()0,0,0f t r t r >>->，所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质：若在区间[,]a b 上()0f x >，则()0ba f x dx >⎰. 所以()0F t '>，所以()F t 在区间),0(+∞内严格单调增加．(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可．因为 22200()2()2()t t tt f x dx f x dx f r dr -==⎰⎰⎰， 所以2222()0022200()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdr f r rdrG t f x dxf r drf r drσππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰要证明0t >时)(2)(t G t F π>，只需证明0t >时，0)(2)(>-t G t F π，即22200222()2()2()()()()t tttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drπ-=-⎰⎰⎰⎰()()()()()222222202()()()()()tttttf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dr⎡⎤⋅-⎢⎥⎣⎦=⋅⎰⎰⎰⎰⎰令 ()()()22222()()()()tttg t f r r dr f r dr f r rdr =⋅-⎰⎰⎰222222220222()()()()()2()()()()()0ttttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t '=+-=->>⎰⎰⎰⎰故()g t 在),0(+∞内单调增加，又因为(0)0g =，所以当0t >时，有()0)0g t g >=（，从而0t >时，).(2)(t G t F π>九【分析】 法1：可先求出*1,A P -，进而确定P A P B *1-=及2B E +，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2：先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量．【详解】方法1：经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，所以 P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ． 令 2900(2)274(9)(3)0225E B E λλλλλλ--+=-=--=-，故2B E +的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数．当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η， 所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数．方法2：设A 的特征值为λ，对应的特征向量为η，即ληη=A ．由于07≠=A ，所以.0≠λ所以 ***()()A A A E A A A E A A A E ηηηη=⇒=⇒=***()AA A A A A ληηληηηηλ⇒=⇒=⇒=，于是 11*11()()()AB P P A P P P ηηηλ----==，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为2B E +的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于)7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为1231,7λλλ===当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP ． 因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数．十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b ca b c b c a c a b A bc a b c a c a bc ab -++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b -=++-=-++- 16()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c--=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点． 方法2：“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=--2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组．(1) 方法1：X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333k kC C -种；样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C ．所以有，X 的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P201 209 209 201 因此，由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑易得 19913()0123.202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法2：本题对数学期望的计算也可用分解法：设0, ,1,i i X i ⎧=⎨⎩从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品.则i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21.3,2,1=i因为321X X X X ++=，所以由数学期望的线性可加性，有()()()()1233.2E X E X E X E X =++=(2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====3}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===⋅=⋅=∑∑()1131.6624E X ==⋅=十二【分析】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点．将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式．求分布函数()F X 是基本题型：求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立． 【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义，有.,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx(2) 由题给).,,,min(ˆ21nX X X =θ，有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ 121{min(,,,)}n P X X X x =->121{,,,}n P X x X x X x =->>>1[1()]nF x =--2(),1,.0,n x x e x θθθ-->⎧-=⎨≤⎩(3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得θˆ概率密度为.,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dxx dF x f x n 因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx θθθθ+∞+∞---∞==⎰⎰12nθθ=+≠， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性．。
2003-数一真题大全及答案
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ = .（2） 曲面22y x z +=与平面042=−+z y x 平行的切平面的方程是 . （3） 设)(cos 02ππ≤≤−=∑∞=x nx ax n n，则2a = .（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞−∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) [ ]（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+−→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.[ ]（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ ] （6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2−n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ ] 三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V . 四、（本题满分12分）将函数x xx f 2121arctan )(+−=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+−012)1(n n n 的和.五 、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin −=−⎰⎰−−; (2).22sin sin π≥−−⎰dx ye dy xe x Ly 六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米.） 七 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞−∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dv z y x f t F σ，⎰⎰⎰−+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>九 、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1−=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、（本题满分10分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、（本题满分8分） 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=−−,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学一真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1.【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e −进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020−=−==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee =− 【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202−=−=+⋅−→→xxx x x x ， 所以原式=.121ee=−（2） 曲面22y x z +=与平面042=−+z y x 平行的切平面的方程是542=−+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{−=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{−=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F −−=，则x F x 2−='，y F y 2−='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x −−，其与已知平面042=−+z y x 平行，因此有11422200−=−=−y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=−−−+−z y x ，即 542=−+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤−=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤−=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤−=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππcos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅−πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰−=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. （4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−2132.【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,−n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],−αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+−=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=−⎰dx x x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ−，由αμα−=<−1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=−α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16,40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<−nX P μ，有 95.0}96.116140{=<−μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞−∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点.(D) [ C ]【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+−→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ]【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+−→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈− y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈−可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈−x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+−≈−x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ]【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).【例】 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵.(C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.（6）设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2−n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21X Y =，然后利用F 分布的定义即可.【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F XY =故应选(C).【评注】 本题综合考查了t 分布、2χ分布和F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义.三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V .【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是 ).(1ln 000x x x x y −+=由该切线过原点知 01ln 0=−x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰−=−=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy e e V y 2102)(⎰−=π， 因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+−=−−=−=⎰e e dy e e e V V V y πππ【评注】 . 也可考虑用微元法分析. 四 、（本题满分将函数x xx f 2121arctan )(+−=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+−012)1(n n n 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数x−11的幂级数展开 +++++=−n x x x x2111即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和. 【详解】 因为).21,21(,4)1(2412)(202−∈−−=+−='∑∞=x x x x f nn n n 又f(0)=4π, 所以 dt t dt t f f x f n n xxn n ]4)1([24)()0()(20⎰⎰∑∞=−−='+=π=).21,21(,124)1(24120−∈+−−+∞=∑x x n n n n n π因为级数∑∞=+−012)1(n n n 收敛，函数f(x)在21=x 处连续，所以].21,21(,124)1(24)(120−∈+−−=+∞=∑x x n x f n n n n π令21=x ，得 ∑∑∞=+∞=+−−=⋅+−−=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ, 再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=−=+−∑∞=f n n n五 、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin −=−⎰⎰−−; (2).22sin sin π≥−−⎰dx ye dy xe x Ly 【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.【详解】 方法一：(1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰−−0sin 0sin ππππ=⎰−+ππ0sin sin )(dx e e x x ，右边=⎰⎰−−ππππ0sin sin dx e dy e x y=⎰−+ππ0sin sin )(dx e e x x ，所以dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin −=−⎰⎰−−. (2) 由于2sin sin ≥+−x xe e ，故由（1）得.2)(20sin sin sin sin πππ≥+=−⎰⎰−−dx e e dx ye dy xe x x x Ly 方法二：（1） 根据格林公式，得⎰⎰⎰−−+=−Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ， ⎰⎰⎰+=−−−Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin .因为D 具有轮换对称性，所以 ⎰⎰−+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+−Dxy dxdy e e )(sin sin ， 故dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin −=−⎰⎰−−. (2) 由(1)知⎰⎰⎰−−+=−Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin=dxdy e dxdy e DDxy ⎰⎰⎰⎰−+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰−+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰−dxdy dxdy e eDDx x【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a k x k kxdx W x ===⎰， ).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x −=−==⎰由12rW W =可得 2222ra a x =− 即 .)1(222a r x += ].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +−=−==⎰由1223W r rW W ==可得 22223)1(a r a r x =+−， 从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2） 由归纳法，设a rr r x n n 121−++++= ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n−==++⎰+=].)1([22121a r r x k n n −++++− 由于1121W r W r rW W nn n n ====−+ ，故得 22121)1(a r a r r x n n n =+++−−+ ,从而 .11111a rr a r r x n nn −−=+++=++于是 a rx n n −=+∞→11lim 1， 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r−11m. 【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞−∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】 将dy dx 转化为dxdy 比较简单，dy dx =y dxdy '=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dxy dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''−='⋅'''−. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dy dx '=1，于是有 )(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''−='⋅'''−. 代入原微分方程得.sin x y y =−'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=−''y y 的通解为 .21xxe C e C Y −+= 设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0−==B A ，故x y sin 21*−=，从而x y y sin =−''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y xx −+=+=−由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121−==C C . 故所求初值问题的解为.sin 21x e e y xx −−=−【评注】 本题的核心是第一步方程变换.八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dv z y x f t F σ，⎰⎰⎰−+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数)(t F '的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ttttrdrr f drr r f rdrr f d drr r f d d t F 0202220022022)()(2)(sin )()(πππθϕϕθ，202022])([)()()(2)(rdr r f drr t r r f t tf t F tt⎰⎰−='，所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2） 因⎰⎰=ttdrr f rdrr f t G 0202)()()(π，要证明t>0时)(2)(t G t F π>，只需证明t>0时，0)(2)(>−t G t F π，即.0])([)()(0202222>−⎰⎰⎰tttrdr r f dr r f dr r r f令 ⎰⎰⎰−=tttrdr r f dr r f dr r r f t g 0202222])([)()()(，则 0)()()()(2022>−='⎰dr r t r f t f t g t，故g(t)在),0(+∞内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：dx x g dx x f dx x g x f b ababa⎰⎰⎰⋅≤)()(])()([222，在上式中取f(x)为r r f )(2，g(x)为)(2r f 即可.九 、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1−=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.【分析】 可先求出1*,,−P A ，进而确定P A P B *1−=及B+2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E 与A*+2E 相似求出其特征值与特征向量.【详解】 方法一： 经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=522252225*A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−1000011101P ，P A P B *1−==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−322452007.从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=+5224720092E B ，)3()9(522472009)2(2−−=−−−=+−λλλλλλE B E ， 故B+2E 的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=−x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=η 所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数. 当33=λ时，解0)3(=−x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η， 所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数.方法二：设A 的特征值为λ，对应特征向量为η，即 ληη=A . 由于07≠=A ，所以.0≠λ又因 E A A A =*，故有 .*ηληAA =于是有 )()(*)(1111ηληη−−−−==P AP P A P PB ，.)2()2(11ηλη−−+=+P APE B因此，2+λA为B+2E 的特征值，对应的特征向量为.1η−P由于)7()1(3222322232−−=−−−−−−−−−=−λλλλλλA E ， 故A 的特征值为.7,1321===λλλ当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−11031ηP .因此，B+2E 的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=+−−11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数.【评注】 设AP P B 1−=，若λ是A 的特征值，对应特征向量为η，则B 与A 有相同的特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值λ的特征向量为.1η−P本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力.不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A 与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+−=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A 由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cb cb a A −−−++++=−−−==])()())[((3222a c cb b ac b a −+−+−++, 但根据题设 0)()()(222≠−+−+−a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++−=−= =0]43)21[(222≠++−b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cb cb a A −−−++++−===])()())[((3222a c cb b ac b a −+−+−++−, 但根据题设 0)()()(222≠−+−+−a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+−=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧−=+−=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++−=−==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一 、（本题满分10分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.【详解】 (1) X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为36333}{C C C k X P k k −==， k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3P201 209 209 201 因此.232013209220912010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P=∑∑====⋅=3030}{616}{k k k X kP k k X P =.41236161=⋅=EX 【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设,,,1,0件产品是次品从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第i i X i ⎩⎨⎧= 则i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21 .3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以.23321=++=EX EX EX EX 十二 、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=−−,,,0,2)()(2θθθx x e x f x 其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (4) 求总体X 的分布函数F(x);(5) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (6) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立. 【详解】 (1).,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧−==⎰∞−−−x x e dt t f x F xx (2) }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ =}),,,{min(121x X X X P n >−=},,,{121x X x X x X P n >>>−=nx F )](1[1−− =.,,0,1)(2θθθ≤>⎩⎨⎧−−−x x e x n (3) θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==−−x x ne dx x dF x f x n 因为 ⎰⎰+∞−−+∞∞−==θθθθdx nxe dx x xf E x n )(2ˆ2)(ˆ =θθ≠+n21， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性. 【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.。
2003-数一真题、标准答案及解析
(3)2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)的平均值为40 (cm)，贝U 的置信度为0.95的置信区间是(注：标准正态分布函数值(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)一个极小值点和两个极大值点 两个极小值点和一个极大值点 两个极小值点和两个极大值点已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim f (x, y)―xyx 0, y 0(1)lim (cos x)x 0(2)曲面z x 2(3) 设x 21ln(1 x 2)2x 4y z 0平行的切平面的方程是a n cosnx()，则 a2 =(4) 从R 2的基到基1 的过渡矩阵为(5) 设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为 f (x, y)6x, 0 0,x y 其他,1,则 P{X Y 1}(6) 已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布 N(,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度(1) 设函数f(x)在()内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) (B) (C) 0, lim b nn1 ,lim c nn，则必有(A) a nb n 对任意n 成立.(B) b n C n 对任意(C) 极限lim a n C n 不存在. n(D)极限lim b n C n 不存在.n1，则2 2 2(x y )n y 2与平面 0n(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设向量组I:1, 2, , r可由向量组II:1? 2 ,,s线性表示，则(A)当r s时, 向量组II必线性相关•(B)当(r s 时，向量组II必线性相关(C)当r s时，向量组I必线性相关•(D)当j r s 时，向量组1必线性相关[](5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m n矩阵，现有4个命题:①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A)①②•(B)①③•(C)②④•(D)③④•[ ](6) 设随机变量X~t(n)(n1),Y 1X2，则(A)2Y~ (n )•(B)Y〜2(n 1).(C)Y ~ F(n,1)・(D)Y〜F(1, n).[]三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形 D.(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分12分)1 2x ( i)n将函数f (x) arctan 展开成x的幕级数，并求级数的和•1 2x n 02n 1五、(本题满分10分)已知平面区域D {(x, y) 0 x ,0 y }，L为D的正向边界•试证：sin y . sin x . sin y . sin x .(1) ;xe dy ye dx xe dy ye dx；sin y . sin x . - 2(2) ；xe dy ye dx 2 .六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层•汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k>0)•汽锤第一次击打将桩打进地下根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？.设土a m.(注：m 表示长度单位米.) 七、(本题满分12分)A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵. 十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1 : ax2by 3c 0， 2 : bx2cy 3a 0， 3: cx2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 十一、(本题满分10分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从 甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率 .十二、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为设函数y=y(x)在()内具有二阶导数，且y 0, x x(y)是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程第(ydydxsin x)(-dx)3 0变换为y=y(x)满足的微分方程; dy求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0, y (0)、(本题满分12分) 设函数f(x)连续且恒大于零，2 2 2f (x y z )dv(t)y 2)dF(t))d，G(t)f(x 2D(t)t 2，1f(x )dx(t) {( x, y, z) x 2 2 y 2 .2-1z t }，D(t){(x, y) x 22 .2,yt}(1)讨论F(t)在区间 (0, )内的单调性(2)证明当t>0时， F(t)-G(t).九、(本题满分10分)3 2 2 0 1 0设矩阵A 2 3 2， P 1 0 1， B P 1A P ，求 B+2E 2 2 3 0 0 1a b c 0.其中的特征值与特征向量，其中A *为D(t)0是未知参数•从总体X 中抽取简单随机样本 X 1,X 2, ,X n ，记? min (X^X ?, ,X n ).(1) 求总体 X 的分布函数 F(x); (2) 求统计量 ?的分布函数 F ?(x)；(3) 如果用 ?作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性f(x)2e 2(x ),x0, x其中2003年考研数学一真题评注、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)1ln(1 x 2)lim 1_ ln cosx【详解 1】lim(cosx)ln(1 x )= e x 0ln(1 x)x 0sin x1所以原式=e 2故所求的切平面方程为2(x 1) 4(y 2) (z 5) 0,即卩 2x 4y z 5._ 1= ,e .(1) i|m (cos x)【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式lim f (x)g(x) (1 ) = e lim(f(x) 1)g(x)进行计算求极限均而lim x 0 ln(1In cos xx 2) lim 竺空x 0x 2limcosxx 02x，故原式=e1 e"【详解2】 因为lim (cos x 1)x 0ln(1 x 2)1 2xlim 2—x 0 x 2(2) 曲面z2y 与平面2x4yz 0平行的切平面的方程是 2x 4y z 5. 【分析】 待求平面的法矢量为 n {2,4, 1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程 ，而切点坐标可根据曲面z 2 2x y 切平面的法矢量与 n{2,4, 1}平行确定•【详解】22令 F (x, y, z) z x y ,则F x 2x ， F y 2y ， F z 1 .设切点坐标为(x 0,y °,Z 0)，则切平面的法矢量为 { 2x 。
2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案 .doc
2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x . 【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n ρ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n ρ平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132 .【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21Λ到基n βββ,,,21Λ的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21Λ]=[nααα,,,21Λ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n αααΛ[],,,21n βββΛ.【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) [ C ]【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21Λ==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ]【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).（4）设向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).（6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C).三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是 ).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey =平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy ee V y212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四 、（本题满分12分）将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。
考研数学一2003真题
考研数学一2003真题2003年的考研数学一真题涵盖了多个知识点，包括线性代数、概率统计和数学分析等内容。
在本文中，我将对这些真题进行分析和解答，希望能帮助考生们更好地理解和应对考试。
一、线性代数1. 以下关于实对称矩阵A的说法，正确的是（）。
(A) A的解空间是一维的(B) A与一个对角矩阵相似(C) A是正交矩阵(D) A的特征值全为1解答：根据实对称矩阵的性质，其特征值全为实数。
所以选项(D)正确。
2. 设A是n阶矩阵，方程组Ax=b有且仅有两个解x=x1和x=x2，则以下哪个条件成立（）。
(A) Ax1=Ax2(B) x1、x2是A的特征向量(C) Ax=b有唯一解(D) A的零空间是一维的解答：根据题意，Ax=x1和Ax=x2是同一个方程组的解，所以Ax1-Ax2=0，即Ax1=Ax2，选项(A)正确。
二、概率统计1. 设随机变量X和Y相互独立且都服从标准正态分布N(0,1)，则P(|X|<a, |Y|<a)的值为（）。
(A) 1-a^2/π(B) 1-(2a^2)/π(C) 1-(a^2)/π(D) a^2/π解答：根据独立事件的概率乘法定理，P(|X|<a, |Y|<a) =P(|X|<a)P(|Y|<a) = 2Φ(a)Φ(a) = 2Φ(a)^2，其中Φ代表标准正态分布的累积分布函数。
所以选项(B)正确。
2. 设X1，X2，...，Xn为来自总体X的一个样本，它们的期望和方差分别为E(X)和Var(X)，则样本X1+X2+...+Xn的期望和方差分别为（）。
(A) nE(X)、n^2Var(X)(B) E(X)、Var(X)(C) nE(X)、n^2Var(X)/n(D) nE(X)、nVar(X)解答：根据期望和方差的性质，已知X1，X2，...，Xn是来自总体X的样本，所以期望和方差分别为nE(X)和nVar(X)。
所以选项(A)正确。
三、数学分析1. 设函数f(x)在区间[0,2π]上连续且单调递增，且f(0)=0，f(π)=1，则曲线y=f(x)的下方所围图形的面积为（）。
2003考研数一真题及解析
2( x 1) 4( y 2) (z 5) 0 ，即 2x 4 y z 5
21
2003
(3) 【答案】 1
【详解】将 f ( x) x 2 (
x ) 展开为余弦级数
f ( x) x2
an cosnx(
n0
2
f ( x, y)dxdy 进行计算．
g ( x, y ) z0
【详解】图中阴影区域为积分区域 . 由题设，有
P{ X Y 1}
f (x, y)dxdy
y
xy1
1
1x
2 dx 6xdy
0
x
yx
1
21
O
1
2
xy1 x
2003
1
2 (6 x
2
12 x )dx
1
0
4
(6) 【答案】 (39.51,40.49) ．
(5) 设有齐次线性方程组 Ax 0和 Bx 0 , 其中 A, B 均为 m n 矩阵，现有 4 个命题：
① 若 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解，则秩 ( A ) 秩 ( B )；
② 若秩 ( A ) 秩 ( B )，则 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解；
③ 若 Ax 0 与 Bx 0 同解，则秩 ( A )= 秩( B )；
? min( X1, X 2 , , X n ).
(1) 求总体 X 的分布函数 F ( x) ;
(2) 求统计量 ?的分布函数 F?( x) ；
(3) 如果用 ?作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性 .
2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
2003考研数学一真题及答案
2003考研数学一真题及答案一、填空题：此题共6小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 21ln(1)lim(cos )x x x +→=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，那么2a = .(4) 从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为.(5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=那么=≤+}1{Y X P.(6) 一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个 零件，得到长度的平均值为40 (cm )，那么μ的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题：此题共6小题，每题4分，共24分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设函数()f x 在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如下图， 那么()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,那么必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3) 函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，那么( ) (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4) 设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么( )(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 假设0Ax =的解均是0Bx =的解，那么秩(A )≥秩(B )； ② 假设秩(A )≥秩(B )，那么0Ax =的解均是0Bx =的解； ③ 假设0Ax =与0Bx =同解，那么秩(A )=秩(B )； ④ 假设秩(A )=秩(B )， 那么0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的选项是( )(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，那么( ) (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y .三 、(此题总分值10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四 、(此题总分值12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(此题总分值10分)平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xex L y六 、(此题总分值10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克制土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问 (1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 假设击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m 表示长度单位米.)七 、(此题总分值12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(此题总分值12分)设函数()f x 连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性.(2) 证明当0t >时，).(2)(t G t F π>九 、(此题总分值10分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、(此题总分值8分)平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(此题总分值10分)甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数X 的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(此题总分值8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数()F x ;(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 假如用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.参考答案一、填空题 (1)【答案】【详解】方法1：求()lim ()v x u x 型极限，一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ，再回到指数上去．)1ln(12)(cos lim x x x +→=220ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxx x x e e→++→=,而2200ln cos ln(1cos 1)limlim ln(1)ln(1)x x x x x x →→+-=++20cos 1lim x x x→-=(等价无穷小交换ln(1)x x +) 220112lim 2x x x →-==-(等价无穷小交换211cos 2x x -) 故 原式=.121ee=-方法2：令21ln(1)(cos )x y x +=，有2ln cos ln ln(1)xy x =+，以下同方法1．(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与平面的法向量平行即可．平面042=-+z y x 的法向量：1{2,4,1}n =-；曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量：20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-00{2,2,1}x y =- 由于12//n n ，因此有00221241x y -==- 可解得，2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：2{2,4,1}n =-，故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数2()cos ()n n f x x a nx x ππ∞===-≤≤∑，其中⎰=ππcos )(2nxdx x f a n ．所以 x d x xdx x a 2sin 12cos 2222⎰⎰=⋅=ππππ201[sin 2sin 22]x xx xdx πππ=-⋅⎰1cos2xd x ππ=⎰001[cos2cos2]x x xdx πππ=-⎰1=(4)【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132【详解】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P =[121],,,-n ααα [],,,21n βββ ．根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(5)【答案】14． 【分析】此题为二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤．连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法(,)(,),yxF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤0(,)(,)g x y z f x y dxdy ≤=⎰⎰进展计算．【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有=≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰1220(612)x x dx =-⎰14=(6)【答案】)49.40,51.39(． 【分析】可以用两种方法求解：(1) 方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进展估计. 因为(,1)X N μ，设有n 个样本，样本均值11ni i X X n ==∑，那么1(,)XN n μ，将其标准化，~(0,1)X N 得：)1,0(~1N nX μ- 由正态分布分为点的定义αμα-=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+．(2)此题是在单个正态总体方差条件下，求期望值μ的置信区间问题．由教材上已经求出的置信区间22(x u x u αα-+，其中2{}1,(0,1)P U u UN αα<=-，可以直接得出答案．【详解】方法1：由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 此题16n =, 40=x .根据 1.96}0.95P <=，有 1.96}0.95P <=，即{39.5140.49}0.95P μ<<=，故μ的置信度为0．95的置信区间是)49.40,51.39(． 方法2：由题设，95.01=-α，22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu 将1σ=，16n =, 40=x代入22(x u x u αα-+得置信区间)49.40,51.39( 二、选择题(1)【答案】()Cy【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件断定． 【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数 不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，那么三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(2)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，那么lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确．方法2：排除法取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确；取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+222(,)(1)()f x y xy x y α⇒-=++，其中00lim 0x y α→→=． 由(,)f x y 在点(0,0)连续知，(0,0)0f =．取y x =，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=++>； 取y x =-，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=-++< 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选()A ． (极值的定义)(4)【分析】 此题为一般教材上均有的比拟两组向量个数的定理：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么当s r >时，向量组I 必线性相关． 或其逆否命题：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，那么必有s r ≤． 可见正确选项为(D)． 此题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】 用排除法：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，那么21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，那么21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．(5)【答案】(B)【分析】此题可找反例用排除法进展分析，但①、②两个命题的反例比拟复杂一些，关键是抓住③、④，迅速排除不正确的选项．【详解】假设0AX =与0BX =同解，那么它们的解空间中的根底解系所含向量个数一样，即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B )，命题③成立，可排除(A), (C)；但反过来，假设秩(A )=秩(B )，那么不能推出0AX =与0BX =同解，通过举一反例证明，假设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，那么秩(A )=秩(B )=1，但0AX =与0BX =不同解，可见命题④不成立，排除(D). 故正确选项为(B)．(6)【答案】(C)．【分析】求解这类问题关键在于理解产生2χ变量、t 变量、F 变量的典型形式．(1)2χ分布：设12,,,n X X X 互相独立且均服从标准正态分布，那么随机变量21ni i Z X ==∑服从自由度为n 的2χ分布．记做2().Zn χ(2)t 分布：设1(0,1)X N ，22~()X n χ，且12,X X 互相独立，那么随机变量Z =n 的t 分布．记做()Z t n(3)F 分布：设2212(),(),Xn Y n χχ且,X Y 互相独立，那么随机变量12X n Z Y n =服从F 分布，其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).ZF n n【详解】其实，由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得，(1) 假如统计量 ()T t n ，那么有2(1,)T F n ；(2) 假如统计量12(,)FF n n ，那么有211(,)F n n F．由以上两条性质可以直接得出此题的答案为(C)．先由t分布的定义知()X t n =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是 21XY ==122U n V U n V =，分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以)1(~22χU. 由F 分布的定义知~(,1).Y F n 故应选(C)．三【分析】圆锥体体积公式：213V r h π=⋅；旋转体的体积：(1) 连续曲线()y f x =，直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()ba V f x x dx π=-⎰(2) 连续曲线()x g x =，直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dcV g y y dy π=-⎰【详解】为了求D 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为0x ，那么曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是：).(1ln 000x x x x y -+= 切线的斜率为01x y x '=，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为.1x ey =(1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy βαϕψ=-⎰，得⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y (2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进展计算，为了帮助理解，可画一草图．切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为： 122101().3V e ey dy e ππ=-=⎰曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为：dy e e V y 212)(⎰-=π1220(2)y y e e e e dy π=-⋅+⎰12201(2)2yy e y e e e π=-⋅+211(2)22e e π=-+-因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考察间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用幂级数展开的情形．另外，由于函数展开成的幂级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有00()()n n n f x a x x ∞==-∑收敛区间为00(,)x R x R -+． 假如在0x x R =+处级数收敛，并且()f x (左)连续，那么展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处，在0x x R =-处亦有类似的结论，不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续．【详解】此题可先求导，()f x '()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x '-+---⎛⎫ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭根本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x=-+ 对于函数2114x +，可以利用我们所熟悉的函数x-11的幂级数展开： 2011(11)1nnn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑所以 2222001(4)(1)414114n n n nn n x x x x ∞∞===-=--<-<+∑∑ (把x 换成24x -) 有 22111()22(1)4,(,).1422n n n n f x x x x ∞='=-=--∈-+∑对上式两边求积分，得200()(0)()2(1)4xxn n n n f x f f t dt t dt ∞=⎛⎫'-==-- ⎪⎝⎭∑⎰⎰221000(1)4112(1)42,(,)2122n n x nnnn n n t dt x x n ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰，又因为04f π=（），所以()(0)()xf x f f t dt '=+⎰=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n nn π即 21012(1)411arctan 2,(,).1242122n n n n x x x x n π∞+=--=-∈-++∑ (*)在21=x 处，右边级数成为0(1)1212n n n ∞=-⋅+∑，收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数()f x 连续，所以成立范围可扩大到21=x 处．而在12x =-处，右边级数虽然收敛，但左边函数()f x 不连续，所以成立范围只能是11(,]22x ∈-．为了求∑∞=+-012)1(n nn ，令21=x 代入(*)得∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n n n n n n n f ππ,再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五【详解】(1) 方法1：用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰． 所以 ⎰⎰⎰--+=-Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin所以 ⎰⎰⎰+=---Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin因为积分区域D 关于y x =对称，所以sin sin sin sin ()()x y yxyx DDeedxdyee dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰与互换故 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--方法2：化为定积分证明左边sin sin yxLL xedy yedx -=-⎰⎰=dx edy exy⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x右边sin sin y x LLxe dy ye dx -=-⎰⎰=⎰⎰--ππππ00sin sin dx e dy ex y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x 所以 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--．(2) 方法1：用格林公式证明⎰⎰⎰--+=-Dxy x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy eDDx y⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin 利用轮换对称性=sin sin ()2x x DDe e dxdy dxdy -+≥⎰⎰⎰⎰22π=(因为0,0a b a b +≥>>)方法2：由(1)知，sin sin sin sin 0()2y x x x Lxe dy ye dx e e dx dx ππππ---=+≥⎰⎰⎰22π=六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x 轴正向，设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，汽锤所作的功等于克制阻力所做的功．121102x k W kxdx x ==⎰，2122221()2x x k W kxdx x x ==-⎰，3222332()2x x k W kxdx x x ==-⎰，1x a =从而 212332k W W W x ++=又 12rW W =，2321W rW r W ==， 从而222231231(1)(1)22k k x W W W r r W r r a =++=++=++于是 3x =(2) 第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ． 那么汽锤前n 次所功的和等于克制桩被打进地下n x m 所做的功．11210(1)nx n n kxdx W W W r r W -=+++=+++⎰而 2102a kW kxdx a ==⎰ 牛-莱公式 所以212(1)22n n k k x r r a -=+++从而 1n n x r-=++= 等比数列求和公式由于01r <<，所以1lim n n x +→∞=．七【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d x dy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dx dy 与22d ydx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有dy dx =y dxdy '=11，)(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-． 代入原方程，得 .sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21xxe C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=那么 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为 .sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．八【详解】(1) 首先对()F t 进展化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算．222222220()()()sin 2sin ()t tt f x y z dv d d f r r dr d f r r dr πππθϕϕπϕϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222002()cos 4()t tf r r dr f r r dr ππϕπ=⋅-=⎰⎰ (球面坐标)222220()()()2()t tD t f x y d d f r rdr f r rdr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰ (极坐标)所以222220000222()sin 4()()()2()ttttd d f r r drf r r drF t d f r rdrf r rdrπππθϕϕπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22022()()ttf r r drf r rdr=⎰⎰为了讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性，对()F t 求导：222222022()()()()()2[()]t ttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ⋅-⋅'=⎰⎰⎰22022()()()2[()]tttf t f r r t r drf r rdr ⋅-=⎰⎰由于()0,0,0f t r t r >>->，所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质：假设在区间[,]a b 上()0f x >，那么()0baf x dx >⎰. 所以()0F t '>，所以()F t 在区间),0(+∞内严格单调增加．(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进展证明即可． 因为 2220()2()2()ttttf x dx f x dx f r dr -==⎰⎰⎰，所以2222()0022200()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdr f r rdrG t f x dxf r drf r drσππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰要证明0t >时)(2)(t G t F π>，只需证明0t >时，0)(2)(>-t G t F π，即22200222()2()2()()()()t tttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drπ-=-⎰⎰⎰⎰()()()()()222222202()()()()()tt tttf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dr⎡⎤⋅-⎢⎥⎣⎦=⋅⎰⎰⎰⎰⎰令 ()()()22222()()()()tt tg t f r r dr f r dr f r rdr =⋅-⎰⎰⎰222222220222()()()()()2()()()()()0ttttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t '=+-=->>⎰⎰⎰⎰故()g t 在),0(+∞内单调增加，又因为(0)0g =，所以当0t >时，有()0)0g t g >=（， 从而0t >时，).(2)(t G t F π>九【分析】 法1：可先求出*1,A P -，进而确定P A P B *1-=及2B E +，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2：先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量． 【详解】方法1：经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，所以 P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ． 令 2900(2)274(9)(3)0225E B E λλλλλλ--+=-=--=-，故2B E +的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数．当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η，所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数． 方法2：设A 的特征值为λ，对应的特征向量为η，即ληη=A ．由于07≠=A ，所以.0≠λ所以 ***()()A A A E A A A E A A A E ηηηη=⇒=⇒=***()AA A A A A ληηληηηηλ⇒=⇒=⇒=，于是 11*11()()()AB P P A P P P ηηηλ----==，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为2B E +的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于)7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为1231,7λλλ===当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP ．因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数．十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性〞. 设三条直线321,,l l l 交于一点，那么线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b c a b c b c a c a b A bc a b c a c a bcab-++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b -=++-=-++-16()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c --=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++----- 2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不一样，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性〞. 由0=++c b a ，那么从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．方法2：“必要性〞设三直线交于一点),(00y x ，那么⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=--2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性〞：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组．(1) 方法1：X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333kkC C -种；样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C ．所以有，X 的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P201 209 209 201 因此，由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑易得 19913()0123.202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法2：此题对数学期望的计算也可用分解法：设0, ,1,i i X i ⎧=⎨⎩从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品. 那么i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21 .3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以由数学期望的线性可加性，有()()()()1233.2E X E X E X E X =++= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品〞，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===⋅=⋅=∑∑ ()1131.6624E X ==⋅=十二【分析】此题外表上是一数理统计问题，实际上考察了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点．将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式．求分布函数()F X 是基此题型：求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维互相独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立．【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义，有.,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) 由题给).,,,min(ˆ21nX X X =θ，有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ 121{min(,,,)}n P X X X x =->121{,,,}n P X x X x X x =->>> 1[1()]n F x =--2(),1,.0,n x x e x θθθ-->⎧-=⎨≤⎩(3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dx x dF x f x n因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx θθθθ+∞+∞---∞==⎰⎰12nθθ=+≠， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性．。
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案
2003年全国硕士研究生入学统一测试数学一试题解析一、填空题(此题共6小题,每题4分,总分值24分.)12~71 2Tln(1 x )(1)㈣(cos x) =.1【答案】【考点】两个重要极限【难易度】★【详解】此题涉及到的主要知识点：- lim对于1型不定式,可以采取lim(1 ) lim(1 ) e x 0( 0, ),进而转化为0 ,0,—,通过等价无穷小或洛必达法那么来计算.1x21 1 1 cosx 1 q 1--- 丁 ---- - (cosx1) 亍lim2 lim_2_ _ln(1 x2) cosx 1 ln(1 x2) x 01n(1 x2) x 0 x2 2 解析：1im o(cosx) (1im(1 cosx 1) () e () e x e 22 2,(2)曲面z x y与平面2x 4y z 0平行的切平面的万程是 .【答案】2x 4y z 5【考点】曲面的切平面【难易度】★★【详解】解析：令F(x, y,z) z x2 y2,贝U F x2x , F y 2y , F z 1 .设切点坐标为小.力...),那么切平面的法矢量为{ 2X O, 2y0,1},其与平面2x 4y z 0平行,因此有30 30 —,可解得X O1, y0 2,相应地有Z O x2 y2 5.2 4 1故所求的切平面方程为2(x 1)4(y 2) (z 5) 0,即2x 4y z 5.(3)设x2a n cosnx(冗x 力,那么a2 =【考点】函数在［0,1］上的余弦级数 【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点:将f(x)( x )展开为余弦级数f(x) a n cosnx( x ),其系数计算公式 n 042为 a n — ° f (x) cos nxdx .解析：根据余弦级数的定义,有= -[x 2sin2x0 Sin2x 2xdx【考点】向量空间及其相关概念 【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点:a 2 - x 2 cos2xdx 212 ,x dsin2xo(4)从R 2到基-xdcos2x -[xcos2x到基 ° cos2xdx]的过渡矩阵为n 维向量空间中,从基2,n 到基n 的过渡矩阵P 满足n ］P,因此过渡矩阵P 为:P=[ 1, 2 , , n ] [ 1 , 2 ,,一 ___ 一.1 11解析：根据7E 义,从 R 的基12到基10 ,1 11 的过渡矩阵为22]11 11 11.=112 0(5)设二维随机变量(X ,Y)的概率密度为f (x, y)6x, 0 x y 1, 0,其他,那么P{ X Y 1} =.- 1【答案】14【考点】二维连续型随机变量【难易度】★【详解】此题涉及到的主要知识点:二维随机变量(X, Y)的概率密度f(x, y),求满足一定条件的概率P{g(X,Y) z0},一般可转化为二重积分P{g(X,Y) z o}= f(x, y)dxdy进行at算.g(x,y) Z01 1 (1 x 一2 1解析：P{X Y 1} f(x, y)dxdy ： dx * 6xdy= 2 (6x 12x )dx .4x y 1(6)一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N( ,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm),那么的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)【答案】(39.51,40.49)【考点】区间估计的概念【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点：X①方差___________________,1 ,对正态总体的数学期望进行估计,可根据—-------- N(0,1),由nu } 1 确定临界值u ,进而确定相应的置信区间.万万②在单个正态总体方差条件下,求期望值的置信区间为 & u /2-j=其中P{U u } 1 ,U : N(0,1). 万解析：方法1：由题设,1 0.95,可见0.05.查标准正态分布表知u 1.96.此题2二、选择题(此题共 6小题,每题4分,总分值24分.每题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)内连续,其导函数的图形如下图,那么 f(x)有()(A) 一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点. 【答案】C【考点】函数的极值 【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点： ①根据导函数的符号,确定原函数的单调性； ②可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点；解析：根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有 3个,而x 0那么是导数不存在的点.三 个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致, 必为极值点,且两个极小值点,一个极大值 点；在x 0左侧一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见 x 0为极大值点,故f(x)共有 两个极小值点和两个极大值点.⑵设a n , b n , g 均为非负数列,且lim a n 0,limb n 1,limg ,那么必有() n nnn 16, X 40,因此,根据 P{ 1.96} 0.95,有0.95,即 P{39.51,40.49} 0.95 ,故的置信度为0.95的置信区间是 (39.51,40.49).方法2: 由题设,0.95,P{U u } P{ u22(u ) 1 0.95,2(u ) 0.975查得 u 1.96.221, n 16, x 40代入(xu2「n ,x u得置信区间(39.51,40.49).(1)设函数f (x)在(【考点】数列极限的性质 【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点:①极限只研究n 时的情况,前面的情况不能确定;根据所给条件无法判断点 (0,0)是否为f(x, y)的极值点.【考点】多元函数的极值 【难易度】★★(4)设向量组I: 1, 2,, 「可由向量组II : 1, 2,, s 线性表示,那么()(A)当r s 时,向量组II 必线性相关. (B)当r s 时,向量组II 必线性相关. (C)当r s 时,向量组I 必线性相关.(D)当r s 时,向量组I 必线性相关.D(A) a n b n 对任意n 成立. (B) b n C n 对任意n 成立.(C)极限lim a n c n 不存在.n(D)极限lim b n C n 不存在.n②类似函数极限,不定式的结果是不确定的, 常见不定式包括：0,—,0 0解析：由知识点①知, A, B 不正确,由知识点②知, C 不正确,应选,1 ,D .(3)函数f (x, y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且limx 0 y 0f(x,y) xy22、2(x y )1,那么((A) 点(0,0)不是f(x, y)的极值点. (B) 点(0,0)是f (x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f (x,y)的极小值点.,00;(D) 【详解】解析：由 xlim y f(x, y) xy0 / 22\2(x y )1知, 分子的极限必为零,从而有f(0,0) 0,且f(x, y)xy : (x 2y 2)2 (x,y 充分小时),于是 f(x, y) f(0,0) : xy可见当y x 且x 充分小时,f (x, y) f (0,0)2 一 4 一 ... ...... x 4x 0 ；而当yx 且x 充分小时,f(x, y) 一一一2f(0,0) : x 4x 4 0.故点(0,0)不是f (x, y)的极值点【考点】向量组的秩、向量组的线性相关【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点：① r(A m n) m,r(A m n) n ,类似地,向量组的秩不大于向量的个数或维数；②向量组的秩<向量的个数向量组线性相关解析：由题干易知：r(I) r,r(II) s,由于向量组I可由向量组II线性表示,所以r(I) r(II) s(A)当r s时, r(II) s；(B)当r s时, r(II) s(C)当r s时, r(I) r ；(D)当r s时,r(I) r(II) s r r(I) r( 5)设有齐次线性方程组Ax 0和Bx 0,其中A,B 均为m n 矩阵,现有4个命题：①假设Ax 0的解均是Bx 0的解,那么秩(A);^<(B)；②假设秩(A) n秩(B),那么Ax 0的解均是Bx 0的解；③假设Ax 0与Bx 0同解,那么秩瓜)=秩(8)；④假设秩6)=秩(8),那么Ax 0与Bx 0同解.以上命题中正确的选项是( )(A)①②.(B)①③.(C)②④.(D)③④【答案】B【考点】线性方程组的公共解、同解【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点：①齐次线性方程组Ax 0解向量的秩为n r(A) ；②向量组A可由向量组B表示,那么有r(A) r(B)；③向量组等价,即向量组的极大无关组等价,有r(A) r(B).解析：①假设Ax 0的解均是Bx 0的解,即方程组Ax 0的解向量可由方程组Bx 0的解向量表示,所以n r(A) n r(B),即秩(A) ＞秩(B),反之不一定成立;③假设Ax 0与Bx 0同解,即方程组 Ax 0的解向量与方程组 Bx 0的解向量等价,所 〜一——一 一一、,1 以n r(A) n r(B),即秩(A)=秩(B),反之不一定成立；如A那么秩(A 尸秩(B )=1 ,但AX 0与BX 0不同解.(1)求D 的面积A;(2)求D 绕直线x e 旋转一周所得旋转体的体积V .【考点】平面曲线的切线、定积分的几何应用 【难易度】★★ 【详解】解析:(6) 设随机变量X ~ t(n)(n(A)2(n) .(B)2(n 1).(C) Y~ F(n,1). (D) Y~ F(1,n) .【考点】2分布、F 分布【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点:① x 2 x 22 2,x n ~ (n),其中 x i (i 1,2, ,n)~ N(0,1)且相互独立;② F (m, n)2(m)m 2(n) n解析：由题设知,X —U =,其中U ~ N(0,1),V2(n),于是Y 」Y I 2 X 2% U 2这里U 2 ~212(1),根据F 分布的定义知Y —X 2F(n,1).故应选(C).、(此题总分值10分)过坐标原点作曲线 y lnx 的切线,该切线与曲线y lnx 及x 轴围成平面图形(1)设切点的横坐标为 X o ,那么曲线y ln x 在点(x o , ln X o )处的1 . ——(XX o ).由该切线过原点知X o1 2x ................................. arctan 展开成x 的帚级数,并求级数 1 2x【考点】初等函数的骞级数展开式、简单骞级数的和函数的求法 【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点: ①哥级数展开一般通过适当的恒等变形、 求导或积分等,转化为可利用哥级数展开的情形.11②函数的哥级数展开1 X x 2x n1 X1 X2 1 1解析：由于 f(x)22 ( 1)n 4n x 2n ,x (1,1).又 f(0)-,1 4x2 no2 24X X _所以 f (x) f (0) f (t)dt 2 [( 1)n 4n t ]dt 04n 0n n(1) 4 2n 1---------- X , X n o 2n 1切线方程是y ln X oIn X o 10 ,从而 X o e.所以该切线的方程为(2)切线y1 ____ _ ______ 1 yy -x.平面图形D 的面积 Ao(e y ey)dye“1-X 与X 轴及直线X e 所围成的三角形绕直线 Xe e 旋转所得的圆锥体 旋转体体积为 e 2.曲线y Inx 与x 轴及直线x e 所围成的图形绕直线x e 旋转所得的1V 2 o (e e y ) dy,因此所求旋转体的体积为V V 1 V 2四、(此题总分值 1 2e312分)(e e y )2dy -(5e 2 12e 3).将函数f (x)o 羽的和•,1 ................................... 在X 一处右边级数成为由于级数21)n n o2n 1 1%收敛,左边函数f(x)连续,所以成立范围sin ysinxsin ysin x ।白xe y dy ye dx 臼xe dy ye dx;L L sin ysinx2(2)oxe dy ye dx 2 冗L【考点】第二类曲线积分的计算、格林公式 【难易度】★★★ 【详解】 解析:方法1 :一」sin ysinxsinx sinx 、(1)左边=0 e dy e dx =0 (e e )dx ,0 sin ysin xsin x sin x 、右边=0 e dy e dx =(e e )dx,sin ysin xsin ysin x ।所以；xe dy ye dx ：xedy ye dx .(2)由于 e s1nx e sinx 2,故由(1)得sin ysin x sin x sin x 2\xedy ye dx 0 (e e )dx 2 .方法2:(1)根据格林公式,得sin y sin x sin y sin x 、 °Lxe dy ye dx (e e )dxdy, D sin ysin xsin ysin x 、xe dy ye dx (e e )dxdy .D由于D 具有轮换对称性,所以sin y sin x sin ysin x 、(e e )dxdy = (e e)dxdy,m11可扩大到x —处.而在x—处,右边级数虽然收敛,但左边函数2 2,,-1 1立范围只能是x (--].2’2f (x)不连续,所以成,1 1 令 x 一,得 f (一)22_ 2 [( 1)4n 1 ] _ ( 1)n4 n 0 2n 1 22n 14 n o 2n 1一 , 1 ( 1)n 1 再由 f (-) 0,得■(一)- — f (-)—.2no2n 1424五、(此题总分值10分)平面区域D (x,y)0 x ,0 y山为D 的正向边界.试证:故xe sin y dy ye sin x dx xe siny dy ye sinx dx.(2)由(1)知sin y sin x sin y sin x、L xe dy ye dx (e e )dxdyDsin y sinx=e dxdy e dxdyD D=e sinx dxdy e sinx dxdy (利用轮换对称性)D Dsin x sin x 2= (e e ) dxdy 2dxdy 2 .D D六、(此题总分值10分)某建筑工程打地基时, 需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k 0),汽锤第一次击打将桩打进地下a(m) .根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0 r 1).问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深？(2)假设击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深？( 注：m表示长度单位米.)【考点】定积分的物理应用、数列极限的定义及其性质【难易度】★★★【详解】解析：(1)设第n次击打后,桩被打进地下x n,第n次击打时,汽锤所作的功为W n(n 1,2,3,).由题设,当桩被打进地下的深度为x时,土层对桩的阻力的大小为kx ,xx2) ;2(x f a2).1 k 2k 2&k 2所以皿° kxdx —x1 —a , W2 x kxdx —(x2由川2 rW1 可彳x x2 a2 ra2即x2 (1 r)a2.W3 x'kxdx ^(x12x2) ；[x2 (1 r)a2]. 由川3 rW2 r2W1 可得x； (1 r)a2 r2a2,从而x3 V1 r r2a,即汽锤击打3次后,可将桩打进地下W r r2am.(2)由归纳法,设x n V1 r r2r n 1a,那么x n 1k 2 2k 2n 1 2W nix kxdx -(X 21 xn2) =-[x 2i (1 r r )a 2]. x n2 2由于 W n 1rW n r 2W n 1r n W 1,故得 x 2 1 (1 r r n1)a 2 r n a 2,---------------------------- n1 r n 1从而 x n 1.. 1 r r a ----------------------- a.:1 r于是lim x 11L a ,即假设击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下J —a m .n 11 r . 1 r七、(此题总分值12分) )内具有二阶导数,且 y 0,x x(y)是y y(x)的反函数.j d 「, 、 、▼ d 2x (1)试将x x( y)所满足的微分方程d-4 ( y dy 2分方程;3(2)求变换后的微分万程满足初始条件 y( 0) 0, y (0)-的解.【考点】反函数的求导法那么、简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：2dx 11d xd ,dx 、 d , 1、dxy 1y ①一 二=一,—r——(——)=一(—)—=2-dy dyy dy dy dy dx y dy y y(y)dx②二阶常系数非齐次线性微分方程y py q f(x)的通解为：二阶常系数齐次线性微分方程y py q 0的通解加二阶常系数非齐次线性微分方程 解.一 , ........ ........ ,, dx 1 一, 解析：(1)由反函数的求导公式知 dx 工,于是有dy y代入原微分方程得 y y sin x.设函数y y(x)在(dx osin x)(——)0&i 换为dyy y(x)满足的微y py q f(x)的特d 2x dy 2dy(dy)嗫中dx dyy (y)3.(2)方程(* )所对应的齐次方程y y0的通解为Y xC2 eC〔e x*1设方程〔* 〕的特解为y Acosx Bsinx,代入方程〔* 〕,求得A 0, B故y *1 . … -sinx ,从而 y y2 …、_. . . . _ _ * _ V _sinx 的通解是 y Y y C 1e C 2e 2,一一 sinx. 2X⑼e y 由 x ey12分) 2c, 11c得31.故所求初值问题的解为 八、〔此题总分值 设函数f 〔x 〕连续且恒大于零, F(t)f(x 2 Q(t) 其中 (t) (x,y,z)x 2 (1) 讨论F 〔t 〕在区间〔0, (2) 证实当t 0时,F 〔t 〕【考点】二重积分的计算、 【难易度】 ★★★★ 解析:〔1〕 F (t) 所以在〔0, (2) 要证实ty 2 z 2)dV 2—2 --------------------- ,G(t) f(x y )d D(t)f(x 2 y 2)dD(t) t 2 t f(x 2)dx t 2 ,D(t) (x,y)x 2 〕内的单调性. 2 -G(t).冗 t 2重积分的计算、积分上限的函数及其导数 2d 由于F(t) — d 0_ 2 d. 2t . 2tf(t 2) 0 f(r 2)r(t r)dr t 2 2 [0 f (r )rdr ] -2 2f (r )r sin dr_ t _2 22 ° f(r )r dr-2f(r )rdr-2f (r )rdr)± F (t) 0,故 F(t)在(0, 〕内单调增加._ 2 f (r )rdr - 2f(r )dr2 _ 一0时F(t) —G(t),只需证实t一 一 2 一 一.0时,F(t) —G(t) 0,即-2 2 t - 2 t -2f (r )r dr f (r )dr [ f (r )rdr]20.入t 2 2t _ 2 令 g(t) 0 f(r )r dr 0 f (r )drt L 22[0f(r )rdr],那么 g (t) f(t 2) f(r 2)(t r)2dr 0,故 g(t)在(0,由于g(t)在t 0处连续,所以当 t 0时,有g(t))内单调增加g(0) .又g(t) 0,故当 t 0 时,g(t) 0,因此,当t 0时,F(t) 2 -G(t). 九、(此题总分值 10分) 设矩阵A 向量,其中A 为A 的伴随矩阵, P ,求B 2E 的特征值与特征E 为3阶单位矩阵 【考点】矩阵的特征值的计算、矩阵的特征向量的计算【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点: 设B P 1AP, 假设是A 的特征值,对应特征向量为 B 与A 有相同的特征值,但对应特征向量不同, B 对应特征值的特征向量为解析:方法1: 经计算可得 A* 2EE (B 2E) 9)2(3)故B 2E 的特征值为29, 3.121当12 9时,解〔9E A 〕x 0 ,得线性无关的特征向量为k 1 *2是不全为零的任意常数.当3 3时,解〔3E A 〕x 0 ,得线性无关的特征向量为31 1所以属于特征值 33的所有特征向量为k 3 3卜3 1 ,其中k 30为任意常数1方法2：设A 的特征值为,对应特征向量为,即 A0.又因A* A AE,故有A*一,,1、 1.,1、 A,1、1A 于是有 B(P ) P A*P(P ) —(P ), (B 2E)P(— 2)P因此,四 2为B 2E 的特征值,对应的特征向量为 P3 2 223 2 ( 1)2( 7), 223故A 的特征值为121,3 7.1 21时,对应的线性无关特征向量可取为当37时,对应的一个特征向量为31 .所以属于特征值29的所有特征向量为k 1 1 k 21k 1 1 02 k 2 0 ,其中 1由于A 7 0 ,所以由于 E A1全为零的任意常数;十、(此题总分值8分)平面上三条不同直线的方程分别为11 : ax 2by 3c 0, l 2：bx 2cy 3a 0, l 3:cx 2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b c 0.【考点】线性方程组有解和无解的判定 【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点: 三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯一解ax 2by3 c, 解析:方法1：必要性：设三条直线11,12,13交于一点,那么线性方程组bx 2cy 3a, (*) cx 2ay 3b,a 有唯一解,故系数矩阵 Abc 2ba 2b 2c 与增广矩阵Ab 2c 2ac 2a3c2223a 6( a b c)[a b c ab ac bc] 3b3(a b c)[( a b)2 (b c)2 (c a)2] 0,0,那么a b c,三条直线相同,故 a b c 0.0,得 P 1 11 因此,B 2E 的三个特征值分别为 9, 9, 3.对应于牛I 征值9的全部特征向量为 k 1P k 2P k 1k 2 1,其中k 1,k 2是不1对应于牛I 征值3的全部特征向量为k 3 1 1其中 k 3是不为零的任意常数3c3a 的秩均为2,于是 3ba 2b A| b 2c c 2a假设(a b)2 (b c)2 (c a)2…a2b 22123 2 由于2(ac b )2[a(a b) b ] = 2[(a 一 b) —b [ 0,b 2c24故秩(A) 2.于是,秩(A 尸秩(A) =2.因此方程组(*)有唯一解,即三直线11,12,13交1 点.X oax 2by 3c,充分性：考虑线性方程组bx 2cy 3a, cx2ay3b,将方程组(*)的三个方程相加,并由 a b c0.可知,方程组(*)等价于方程组22222[a(a b) b ] =- [a b (a b) ] 0,故方程组(* *)有唯一解,所以方程组(*)有唯一解,即三直线l i 」2/3交于一点.卜一、(此题总分值10分)有3件合格品.从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数 X 的数学期望；充分性：由a b c 0,那么从必要性的证实可知,0,故秩(A) 3. 方法2:必要性：设三直线交于一点(x o ,y .),那么y .为AX 0的非零解,其中a 2b 3c A b 2c 3a. c2a 3b a 2b 3c于是A b 2c 3a c2a 3b6( a bc)[ a 2 b 2 c 2 ab ac bc]3( a bc )[( a b )2 (b c )2 (c a)2] 0,假设(a b)2(b c)22(c a) 0 ,那么 ab c,三条直线相同,故 a bc 0.ax 2by3G bx 2cy3a.(* *)(*)由于 a 2b 2(ac b 2)甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【考点】随机变量的数学期望、离散型随机变量的概率分布【难易度】★★★解析：(1)X的可能取值为0, 1, 2, 3,X的概率分布为因此(2 ){Xk 3 kP{X k} C7VC6EXc 1/ 9 c 9 c 10——1——2——3——20202020k=0,1,2,3.设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品〞3｝构成完备事件组,因此根据全概率公式,有3P(A) P{Xk 0k}P{AX3k}= P{Xk 0,由于｛X0},{X 1} ,{X 2},3kP{X k}k 01EX6十二、(此题总分值8分)设总体X的概率密度为2e 2(xf(x)0,其中0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X i,X2,(1)(2)(3)min( X i,X2, ,X n)求总体X的分布函数F (x)；求统计量的分布函数F?(x)；如果用作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.【考点】连续型随机变量分布函数的计算、随机变量的分布函数的概念、估计量的无偏性【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点:作为无偏性估计量就是E()x 1 e 2(x) x解析：(1) F(x) f(t)dt , '0, x .(2) F?(x) P{? x} P{min(X i,X2, ,XJ x}=1 P{min(X「X2, ,X n) x)=1 P{X i x,X2 x, ,X n x)=1 [1 F(x)]n2n(x )e ,x0, x一、dF?(x) 2ne2n(x),x ,f ?(x)dx 0, x .由于E? xf ?(x)dx 2nxe 2n(x)dx= —2n 所以？作为的估计量不具有无偏性。
{考研数学】2003年数一真题标准答案及解析
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
(1)乙箱中次品件数的数学期望；
(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二、（本题满分8分）
设总体X的概率密度为
其中 是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本 ，记
[ ]=[ ]P，因此过渡矩阵P为：P=[ [ .
【详解】根据定义，从 的基 到基 的过渡矩阵为
P=[ [ .
=
（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
则 .
【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率 ，一般可转化为二重积分 = 进行计算.
【详解】由题设，有
=
y
将函数 展开成x的幂级数，并求级数 的和.
五、（本题满分10分）
已知平面区域 ，L为D的正向边界.试证：
(1) ;
(2)
六、（本题满分10分）
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问
(注：标准正态分布函数值
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设函数f(x)在 内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有
(A)一个极小值点和两个极大值点.
(B)两个极小值点和一个极大值点.
2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案.doc
【 分析 】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：
若向量组 I： 1 , 2 , , r
可由向量组 II ： 1 , 2 , , s 线性表示，则当 r s 时，向量组 I 必线性相关 . 或其逆否命
题：若向量组 I ： 1, 2, , r 可由向量组 II ： 1, 2, , s 线性表示，且向量组 I 线性无 关，则必有 r s . 可见正确选项为 (D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案 .
（ 4）从 R2 的基 1
1
, 0
2
1
到基
1
1
1
, 1
2
1
的过渡矩阵为
2
x ) ，其 23
.
12
【 分析 】 n 维向量空间中，从基 1, 2 , , n 到基 1 , 2, , n 的过渡矩阵 P 满足
[
1 , 2 , , n ]=[
1, 2, , n ]P ， 因 此 过 渡 矩 阵 P 为 ：
x=0 为极大值点，故
f(x) 共有两个极小值点和两个极大值点，应选 (C).
（ 2） 设 { a n}, { bn }, { cn } 均为非负数列，且
lim
n
an
0
,
lim
n
bn
1,
lim
n
cn
,则必有
(A) an bn 对任意 n 成立 .
(B) bn cn 对任意 n 成立 .
(C)
极限
lim
可排除 (A),(C) ；但反过来， 若秩 (A)= 秩(B) ， 则不能推出 Ax=0 与 Bx=0 同解，如 A
10
，
00
00
2003考研数学一真题及答案解析(统编)
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim 20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .【评注】 本题属基本题型。
2003年考研数学一真题及答案详解
(A) an bn 对任意 n 成立 (C)极限 lim a n c n 不存在
n
(B) bn cn 对任意 n 成立 (D)极限 lim bn cn 不存在
n
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(3)已知函数 f ( x, y) 在点 (0, 0) 的某个邻域内连续,且 lim
x 0
1 lim ln( 1 x 2 ) x 0
1 2 x 1 2 ， 2 2 x
所以
原式= e
1 e
.
【评注】 本题属常规题型 （ 2 ） 曲 面 z x 2 y 2 与 平 面 2x 4 y z 0 平 行 的 切 平 面 的 方 程 是
2x 4 y z 5 .
L
x esin y dy y e sin x dx
L
x e sin y dy y esin x dx .
L
x esin y dy y e sin x dx 2 2 .
六 、(本题满分 10 分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层 .汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力 而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为 k .k 0 ).汽锤 第一次击打将桩打进地下 a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打 时所作的功之比为常数 r (0 r 1) .问 (1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.) 七 、(本题满分 12 分) 设函数 y y ( x) 在 (,) 内具有二阶导数 , 且 y 0, x x( y ) 是 y y ( x) 的反函 数.
2003年考研数学一真题
2
P{ X Y 1}
x y 1
f ( x, y)xdy
1 1 2 (6 x 12 x2 )dx . 0 4
（6） 已知一批零件的长度 X (单位： cm)服从正态分布 N ( ,1) ， 从中随机地抽取 16 个零件， 得到长度的平均值为 40 (cm)，则 的置信度为 0.95 的置信区间是 _______ (注：标准正态分布函数值 (1.96) 0.975, (1.645) 0.95.) 【分析】本题考查分位数概念及置信区间的求法。 已知方差
x 0, y 0
f ( x, y) xy 1 ，则 (x2 y 2 )2
(A) 点 (0,0) 不是 f ( x, y ) 的极值点. (B) 点 (0,0) 是 f ( x, y ) 的极大值点. (C) 点 (0,0) 是 f ( x, y ) 的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点 (0,0) 是否为 f ( x, y ) 的极值点. 【分析】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新， 有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。 由题设，容易推知 f (0, 0) 0 ，因此点 (0, 0) 是否为 f ( x, y ) 的极值，关键看在点 (0, 0) 的 充分小的邻域内 f ( x, y ) 是恒大于零、恒小于零还是变号.
2 x 4 y z 0 平行，因此有
可解得
2 x0 2 y 0 1 ， 2 4 1
2 2 y0 5. x0 1, y0 2 ，相应地有 z 0 x0
故所求的切平面方程为 （3） 设 x
2
2( x 1) 4( y 2) ( z 5) 0 ，即 2 x 4 y z 5 .
2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案 .doc
2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππcos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1. （4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ C ]【分析共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).（6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21X Y =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C).三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy ee V y212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四 、（本题满分12分）将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。
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2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1))1ln(1
2
)(cos lim x x x +→ = .
(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 0
2
ππ≤≤-=
∑∞
=x nx a
x n n
,则2a = .
(4)从2
R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ββ的过渡矩阵为 .
(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =
60x 01
x y ≤≤≤其它
,则=≤+}1{Y X P . (6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .
(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有
(A)一个极小值点和两个极大值点
(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点
(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞
→n n a ,1lim =∞
→n n b ,∞=∞
→n n c lim ,则必有
(A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立 (C)极限n n n c a ∞
→lim 不存在
(D)极限n n n c b ∞
→lim 不存在
(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim
2
220
,0=+-→→y x xy
y x f y x ,则
(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点
(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα 可由向量组II:12,,,s βββ 线性表示,则
(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关 (C)当s r <时,向量组I 必线性相关 (D)当s r >时,向量组I 必线性相关 (5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是 (A)①②
(B)①③
(C)②④
(D)③④
(6)设随机变量21
),1)((~X
Y n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ-
(C)~(,1)Y F n
(D)~(1,)Y F n
三、(本题满分10分)
过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .
(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .
四、(本题满分12分)
将函数x x
x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞
=+-01
2)1(n n n 的和.
五 、(本题满分10分)
已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证:
(1)sin sin sin sin e e e e y x y x
L
L
x dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰ .
(2)
sin sin 2e
e 2.y
x L
x dy y dx π--≥⎰
六 、(本题满分10分)
某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对
桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问
(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?
(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)
七 、(本题满分12分)
设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.
(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx
x y dy
x d 变换为()y y x =满足的微分方程.
(2)求变换后的微分方程满足初始条件2
3
)0(,0)0(='=y y 的解.
八 、(本题满分12分)
设函数()f x 连续且恒大于零,
⎰⎰⎰⎰⎰+++=
Ω)
(2
2
)
(2
22)()()(t D t d y x
f dv z y x f t F σ
,⎰
⎰⎰
-+=
t
t D dx
x f d y x f t G 1
2
)
(22)()()(σ
,
其中}),,{()(2
2
22t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=
(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2
)(t G t F π
>
九 、(本题满分10分)
设矩阵322232223⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=
B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.
十 、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为
:1l 032=++c by ax ,
:2l 032=++a cy bx ,
:3l 032=++b ay cx .
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a
十一 、(本题满分10分)
已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:
(1)乙箱中次品件数的数学期望.
(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二 、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为
()f x =
2()
2e 0
x θ-- 0x x θ>≤ 其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21n
X X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x .
(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆ
x F θ. (3)如果用θ
ˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.。