2003年考研数学试题及答案

2003年考研数学（二）真题评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1） 若0→x 时，1)1(4

12

--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .

（2） 设函数y=f(x)由方程4

ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .

（3） x

y 2=的麦克劳林公式中n

x 项的系数是 .

（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θ

ρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的

一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .

（5） 设α为3维列向量，T

α是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则

ααT = .

（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B .

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞

→n n a ,1lim =∞

→n n b ,∞=∞

→n n c lim ,则必有

(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.

(C) 极限n n n c a ∞

→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞

→lim 不存在. [ ]

（2）设dx x x

a n n n

n n +=⎰+-12310

1

, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(2

3++e . (B) 1)1(2

31-+-e .

(C) 1)1(2

3

1++-e . (D) 1)1(2

3-+e . [ ]

（3）已知x

x

y ln =

是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为

（A ） .22

x

y - (B) .22x y

(C) .22

y

x - (D) .22y x [ ]

（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有

(A) 一个极小值点和两个极大值点.

(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.

(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]

（5）设⎰

=

40

1tan π

dx x

x I ,dx x x

I ⎰=402tan π

, 则

(A) .121>>I I (B) .121I I >>

(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] （6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.

(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]

三 、（本题满分10分）

设函数 ,

0,0,0,4sin

1,6,arcsin )

1ln()(2

3>=<⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧

--+-+=x x x x

x ax x e x

x ax x f ax

问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？

四 、（本题满分9分）

设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=⎰+t du u e y t x t u

所确定，求.9

22

=x dx y d

五 、（本题满分9分） 计算不定积分

.)

1(2

32

arctan dx x xe x ⎰

+

六 、（本题满分12分）

设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.

(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (3

2

2=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微

分方程；

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件2

3

)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）

讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4

ln 4+=的交点个数. 八 、（本题满分12分）

设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)2

1

,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.

(1) 求曲线 y=f(x)的方程；

(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）

有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以min /33

m 的速率向容器内注入液体时，

液面的面积将以min /2

m π的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）.

(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.