3-1冲量动量、质心

dl
θ
y
x
yC
yC
ydm ydl m m
则： dm
dl
y R sin θ , dl Rdθ

π
0
R sin θ λ Rdθ m
2λ R 2 π Rλ
2 yC R π
例:求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
解： 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所 以质心位于此分角线上。 以此分角线为x轴，作坐标轴如图 在离原点x处取宽度为dx的面积元， 其面积 dS 2 ydx 2 xdx 设薄板质量的线密度为σ 则： dm σ dS 2 xσ dx
O
y
a
x x dx
xC
xdm m
2 a 1 2a cos a sin 3 2 4 4
0

2a / 2
2x 2 dx
例：确定半径为R的均质半球的质心位置。 y 解：已知薄圆盘的质心位于圆心， dy y z
O
r
R
建立如图所示坐标系
取厚度为dy的薄圆盘为质量元
x
对所有质点（N个）求和
N N
dp Fi f ij i i j dt
dpi
i 1 N
Fi fij
i 1 i 1 i j
dt
d N pi dt i 1
Fi fij
N N
其中： Fi F
yC
ydm
m
zC
对质量连续分布的物体：
如λ、σ和ρ分别为质量的线密度、面密度和体密度。 线分布： 面分布： 体分布：
d m dl
dm dS
d m dV
例：一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R ，求此半 圆形铁丝的质心。 y
C R
d
解:
由于半圆对y轴对称,所以质心应 该在 y轴上。 在铁丝上取一线元 dl 做为质量元 设铁丝质量的线密度为λ
o●
mx1 mx 2 x1 x2 xC 3m 3 my1 y1 ● yC （x2，o) x 3m 3
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
C dm rc r
xC xdm m
rC
分量式：
r dm
dm

r dm m zdm m
Iy


t2
t1
t2
Fx dt p2 x p1x
Fy dt p2 y p1 y
t1
Iz

t2
t1
Fz dt p2 z p1z
3、平均冲力 ——冲力对碰撞时间的平均。
F

t2
t1
Fdt
t 2 t1
p2 p1 F t 2 t1
例1：质量为m的垒球以v的速率沿水平飞向击球手， 被击后以相同速率沿θ 的仰角飞出，求垒球受棒的 平均打击力。设球和棒的接触时间为Δ t。
§3.4 质心
N个质点系统，可定义质量中心—质心 z
rc
C
mi y
ri
rC
mi ri
i 1 N
N
mi
i 1

mi ri
i 1
N
m
x
注意：1、质心位矢与坐标系的选择有关。
2、质点系内各质点相对位置不因坐标系的改变而改变，
3、质心相对于质点系的位置不因坐标系的改变而改变。
4、质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
利用质心位矢沿直角坐标系各坐标轴的分量， 可得质心坐标表示式如下：
xC
m x
i 1 i
N
i
m
yC
m
i 1
N
i
yi
zC
m z
i 1 i
N
i
m
m
例：任意三角形每个顶点有一质量为m的质点，求质心。
y 解： 建立如图的直角坐标系
（ x1，y1） ●
解： 1、用分量式求解
1、
2、直接用矢量式求解
p2 x p1x mv 2 x mv1x mv cos θ m(v) Fx t t t p2 y 0 m v2 y 0 mv sin θ Fy t t t
F
Fy
v2 x
θ
y v2
v2 x
v2
2 2 2 ρ π r dy d m ρ dV ρ π ( R y )dy
yC

ydm m
2

2R0来自y( R 2 y 2 ) d y 2R 3 / 3

3( R y
y
3
4R
3R 8 质心在距球心3R/8处
4
/ 2)
R 0
i 1 N
i 1 i j

dpi
i 1
N
dt
d N pi dt i 1
是系统所受合外力

i 1 i j N
i 1
i 1 N
f ij 0 系统内质点所受内力之矢量和
系统在某一时刻的总动量 ——质点系的动量定理
pi p
Fdt dP
α
mv1
θ
§3.2 质点系的动量定理
由相互作用的若干个质点组成的系统称为质点系。 系统内各质点间的相互作用 力称为内力，总是成对出现。
●
Fi Fi合
●
●
mi
●
●
●
p
●
f
f ij
f ji
●
●
系统外物体对系统内任意 质点作用力称为外力。
mj
●
i
●
对每个质点应用牛顿运动定律：
0 m1v1 m2v2 m3v3
m2v2
0 0
这三个动量必处于同一平面内 α 180 θ 135
( m3v 3 ) 2 ( m1v1 )2 ( m2 v 2 )2
m1 m2 m, m3 2m
1 1 2 2 2 2 v3 v1 v2 30 30 21.2m / s 2 2
Fdt dp

t2
t1
p2 Fdt dp p2 p1
p1
t2 I Fdt
t1
I p2 p1 p
合外力的冲量方向和质点的动量增量的方向 一 致，但不一定和质点的初动量和末动量的方向相同。 2.3动量定理的分量式
Ix
θ
v1
x
α
Fx
F F F
2 x
2 y
2mv cos t 2
tan α
Fy Fx
F
2、
mv2 mv 1 mv

2
Fy
mv sin θ 2mv cos α F t sin α
Ft mv 2
α
Fx
2mv F cos t 2
此撞击力约为垒球自重的数千倍。
当Fy 0时, p y mi viy 常量
i
当Fz 0时,
pz mi viz 常量
i
1. 合外力沿某一方向为零，则该方向总动量守恒； 2. 外力与内力相比小很多时，动量也守恒；
3. 动量守恒定律只适用于惯性系；
4. 动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本 的定律。
例:一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且 以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的 质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度 （大小和方向）。 m1v1 解：炸裂时爆炸力是物体内力， 它远大于重力，故在爆炸 前后，可认为动量守恒。 m3v3 即：
第三章 动量与角动量
§3.1 冲量与动量定理 §3.2 质点系的动量 §3.3 动量守恒定律
§3.5质心
§3.6 质心运动定理
§3.7 质点的角动量
§3.8 角动量守恒定律
§3.1 冲量与动量定理
1、冲量、动量
力对时间的积累用冲量表示，积累的效果等 于同一时间内物体动量的增量。
冲量是过程量，动量是状态量。 2、动量定理 2.1 动量定理的微分形式 2.2动量定理的积分形式
系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。
说明内力对系统总动量无贡献！
§3.3 动量守恒定律
质点系所受合外力为零（F＝0）时，这一质点系 的总动量不随时间改变。
P pi mi vi 常矢量
i i
分量式：
i
——动量守恒定律
当Fx 0时, px mi vix 常量