江苏省南通市重点中学2010届高三数学联考试卷

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数学_2010年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷(一)(含答案)

2010年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷（一）一.填空题：本大题14小题，每小题5分，共70分.请将正确的答案填在答题纸上相应的横线上. 1. 复数(1−i 1+i)10的值是________． 2. 已知集合A ={y|y =12x, x ∈R}；B ={y|y =log 2(x −1), x ∈R}，则A ∩B =________．3. 在数列{a n }中，若a 1=1，a 2=12，2a n+1=1a n+1a n+2(n ∈N ∗)，则该数列的通项a n =________． 4. 已知sinα=4√37，其中α∈(0,π2)，则cos(α+π3)=________．5. 一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数的方差为________．6. 定义在R 上的偶函数f(x)在(0, +∞)上是增函数．若f(a)≥f(2)，则实数a 的取值范围是________．7. 函数f(x)=x α2−2α−3（常数α∈Z ）为偶函数，且在(0, +∞)上是单调递减函数，则α的值为________．8. 从集合A ={−1, 1, 2, 3}中任取两个元素m 、n(m ≠n)，则方程x 2m+y 2n=1所对应的曲线表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是________．9. 已知△ABC 的外接圆的圆心O ，BC >CA >AB ，则OA →⋅OB →，OA →⋅OC →，OB →⋅OC →的大小关系为________．10. 若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相切，则实数ab 的取值范围是________．11. 在△ABC 中，已知sinAsinBcosC =sinAsinCcosB +sinBsinCcosA ，若a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，则abc 2的最大值为________．12. 已知P 为抛物线y 2=4x 上一点，设P 到准线的距离为d 1，P 到点A(1, 4)的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为________．13. f(x)是定义在(0, +∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)−f(x)>0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则af(a)，bf(b)的大小关系为________．14. 设函数f(x)={21−x ，x ≤0f(x −1),x >0，方程f(x)=x +a 有且只有两不相等实数根，则实数a的取值范围为________．二.解答题：本大题6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB // DC ，△PAD 是等边三角形，已知AD =4，BD =4√3，AB =2CD =8．（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA // 平面MBD ？ 16. 在斜△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且b 2−a 2−c 2ac=cos(A+C)sinAcosA．(1)求角A ； (2)若sinB cosC>√2，求角C 的取值范围．17. 甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹． (1)求空弹出现在第一枪的概率； (2)求空弹出现在前三枪的概率；(3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔P ，Q ，R ，第四枪瞄准了三角形PQR 射击，第四个弹孔落在三角形PQR 内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率（忽略弹孔大小）． 18. 已知平面直角坐标系xOy 中O 是坐标原点，A(6,2√3)，B(8,0)，圆C 是△OAB 的外接圆，过点(2, 6)的直线l 被圆所截得的弦长为4√3．（1）求圆C 的方程及直线l 的方程；（2）设圆N 的方程(x −4−7cosθ)2+(y −7sinθ)2=1，(θ∈R)，过圆N 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点为E ，F ，求CE →⋅CF →的最大值．19. 已知函数f(x)=2x（1）试求函数F(x)=f(x)+af(2x)，x ∈(−∞, 0]的最大值；（2）若存在x ∈(−∞, 0)，使|af(x)−f(2x)|>1成立，试求a 的取值范围；（3）当a >0，且x ∈[0, 15]时，不等式f(x +1)≤f[(2x +a)2]恒成立，求a 的取值范围． 20. 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }的首项为b ，公比为a （其中a ，b 均为正整数）．（1）若a 1=b 1，a 2=b 2，求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）在（1）的条件下，若a 1，a 3，a n 1，a n 2，…，a n k ，…（3<n 1<n 2<...<n k <…）成等比数列，求数列{n k }的通项公式；（3）若a 1<b 1<a 2<b 2<a 3，且至少存在三个不同的b 值使得等式a m +t =b n (t ∈N)成立，试求a 、b 的值．三、附加题。

南通市2010届高三第三次模拟测试

南通市2010届高三第三次模拟测试讲评建议1．考查统计中总体分布的估计，容易题．考前要提醒学生注意回顾相关知识，不能造成考试中知识的盲点．2．考查充要条件及立几中直线与平面垂直的判定及性质，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，容易题．讲评时可提醒学生解此类立几问题时要有构建模型举反例的意识．3．考查复数的概念及集合的运算，容易题．A B ≠∅I ，则A 中的复数必须为实数，所以m=-2；实部恰为8．提醒学生在解决复数问题时，主要手段为对实、虚部的实数化计算．4．考查几何概型，容易题．讲解时可将几何概型的常见问题作简单小结，要注意维度的分析，主要是一维测度和二维测度．5．考查分段函数及对数、三角函数，容易题．()3π14f =-，则()3π2(2)14f f f ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦．此题还可以加大难度，将题目中的()f x 改成2tan 0(2)log ()0x x f x x x ⎧+=⎨-<⎩，≥，，，则()π2(2)24f f +-= 6．考查函数的性质及零点的概念，考查学生数形结合的数学思想，容易题．(0)()0f f a ⋅<且()y f x =在[]0a ，上是单调函数，则方程()0f x =在（0,a ）内有一实根7．考查算法中阅读流程图的能力，容易题．算法的考查形式不太多，要么阅读程序填结果、要么是分析结果补全程序，此类题目的讲解着重在对处理问题的逻辑顺序上给学生以启发．8．考查不等式的解法，中档题．可分类讨论0,0x x ><转化为解不等式组，也可移项通分转化为解高次不等式．9．考查三角函数的图像与性质及直线方程，考查学生的图形分析能力，中档题．先求出点(2,0),(3,1)A B ，再求得直线方程为20x y --=．10．考查双曲线的几何性质，中档题．法一：首先判断出点(5, 0)为右焦点，因为98a c +=>，所以点P 在双曲线右支上，再由双曲线定义得65164P x =-，解得8P x =．法二：设(,)P x y ，则22221,169(5)36,y x x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩解得88,(5x x ==-或舍去），所以P(8，±．现在考纲中对双曲线、抛物线的要求比较低，对圆锥曲线的定义及基本量的运算要重视，可适当补充关于椭圆、双曲线、抛物线的相关问题11．考查等差数列的相关内容，中档题．法一：分类讨论，0d >时，56560a a a a ->>⇒>；0d <时，56560a a a a >->⇒>；法二：55566611a a a a a a <-⇒>⇒⇒>．12．考查向量的数量积，中档题．讲评解决数量积问题的三种常用方法：法一：定义法，222cos 28CA AB AO AB AO AB OAC AO ⋅=-⋅=-⋅⋅∠=-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ;法二：建系设点进行坐标计算；法三：向量转化，222()0228CA AB AO AB AO OB OA AO OA AO ⋅=-⋅=-⋅-=+⋅=-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uu r uuu r ;另外还可利用由一般到特殊的思想方法，把菱形特殊化为正方形，解法更为简洁．13．考查直线方程、线性规划等相关知识，考查运动与变化，对学生数形结合能力、函数方程、转化和化归的意识考查要求较高，较难题．点00(,)M x y 在直线210x y ++=上，利用线性规划知识画出可行域为()00052103x y x ++=<-，可行域区域内的点与原点连线的斜率范围是()1125--，，此题中正确画出可行域是前提，明白0y x 的几何意义是关键． 14．考查数列、合情推理、三角函数的性质等相关内容，难题．采用特殊值法求出234,,a a a 分别为1,1,22-，由不完全归纳法得出n a 周期为3，再利用三角函数的图像与性质构造出()2ππ1332n a n =-+．答案不唯一，当2π2π()3k k N ω=+∈时，均可构造出相应的三角函数式；当ω值取定后A 、B 、ϕ的值唯一确定1π,A B ϕ===-． 15．本题是向量与三角结合的题型．以向量为背景，考查了两角和与差的正余弦公式、余弦定理、向量的运算、面积公式、基本不等式等知识点，考查学生的公式、定理的选用能力（运算方向、运算途径的确定）．第（1）小题要注意角的范围的判断；第（2）小题要注意等号成立的条件．近三年江苏高考解答题均没有在三角形背景下考查三角向量，对三角、向量、解三角形等知识联系起来命题的形式值得关注．16．本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明、锥体的体积公式等相关知识，考查空间想象能力．讲评时应强调立体几何中有关平行与垂直定理的符号语言表达，要求规范．第（2）小题求四面体体积时要注意等积转化，培养学生的转化意识．17．本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．古典概率是必修3概率部分的中心内容，以列举法为主．本题结合列举法，留给学生能力发挥的空间，可以列举36种基本事件，如果看问题深刻一些，只要列举6种基本事件，理科学生还可以用排列知识求解．也可以与几何概型链接：变题：田忌和齐王约定中午十二点到一点间到赛马场商定赛马事宜，求田忌在齐王前到但等候不超过一刻钟的概率．18．本题主要考查直线、圆、椭圆以及不等式等知识点，考查学生数形结合、函数与方程等思想的应用，以及学生分析问题与解决问题的能力．讲评时要强化解析几何的本质方法――解析法，从几何性质上分析，用代数的方法求解．第（1）小题求定点F 坐标时强调分离参数的意识；第（2）小题判断r 范围时也可联立方程组用代数法计算，在研究二元函数(,)f m n =范围时，法一：消元，转化为一元函数求值域，此时要注意定义域的影响；法二：数形结合，转化为研究椭圆2214m n +=上动点到原点距离的范围．另外， 19．本题主要考查数列的概念、等比数列、数列前n 项和的求法、不等式等知识，考查学生的分析问题与解决问题的能力及运算能力．讲评时第（1）小题要注意对公比q 的分类讨论；第（2）小题通过对通项分解，并利用数列前n 项的定义避免了利用等比数列求和时的分类讨论问题，问题化归为对关于q 的多项式的正负判断．此题还可以这样解：令f (q )=4q 3－15q 2＋12q ＋6，则2()123012f q q q '=-+，由2()123012f q q q '=-+=0，得q =12，q =2，所以f (q )在区间［0，+∞)上的最小值f min (q )=min{f (0)，f (2)}=2>0，即对q >0，T n －q 2S n =32(415126)15n S q q q -++≥2>0，所以T n >q 2S ．20．本题主要考查函数、导数、对数函数、三角函数等知识，考查函数与方程、数形结合、转化和化归、分类讨论等数学思想方法．第（1）小题评讲时主要讲清分类的标准和目的；第（2）小题，着重在正确审题，怎样将复杂的问题转化成简单的问题．方程0g =（*）无法直接求解，利用22()0,()0,g x g x =⎧⎨'=⎩得22222222ln 20,0.x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ 方程（*）其实是由此方程组消去2x 得到的，陷入绝境．我们转而消去参数a 可得222ln 10x x +-=，再利用函数与方程的有关知识解得x 2 = 1，即2 12ln1210a a --⨯=，解得21=a ．本次附加题考查内容尽量回避一模、二模所考内容，其中必做题考查了空间向量与复合函数的导数，没有考查抛物线、数学归纳法、计数原理、随机变量的概率分布，这些知识点希望在后期的复习中不可忽视．。

2010年南通高三数学模拟试卷28份含答案文科卷

高三数学调研检测(文科)一.填空题：本大题共14小题，每小题5分,共70分,不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1 •已知数列｛a n｝为等差数列，且a g -2a5 = -1,a3 =0，则公差d = ▲.2. 若不等式ax2bx -1 0的解集为｛x |1 ：：： x ：：： 2｝，则a b= ▲ .3. ___________________________________________________________________________ 数列｛a n｝满足递推关系式a n 2^a n 1■ 2a n, n • N ”且印=a2=1则a5工▲_______________________________ .44. 函数f (x)二x ,x • [1,6]的值域为[m, n],则n - m 二▲.x5. 设等比数列｛a n｝是公比q =3，前n的和为S n，则色= ▲.a226. 在各项均不为零的等差数列｛a n｝中，若a n 1 -a n • a nd =0(n - 2)，则S?.」-4n = ▲.7. 若f (x) = ■ kx^2kx 2k 3的定义域为R，则实数k的取值范围是▲.1 a4 +a5&各项都是正数的等比数列｛a n｝中，a2、—a3、印成等差数列，则----------- =▲.2 a<^a49.集合A 二｛x| x2「3x「4 ：：：0｝, B 二｛x | x2：：：p｝( p 0),若A，则实数p 的取值范围是▲.10 .设正数x、y满足2x讨二2^. 2,则lg x lg y的最大值为▲.11.不等式x—2(x—1)c2的解集是▲.12.已知f (x) = 2(x-a)(x-b) —3 其中(a：：：b),m、n 是f (x)的零点，且m：：：n,则实数a—b—m—n 的大小关系是(从小到大排列)▲高三文科数学第1页(共2页)a+b= ▲ _____________14.设集合A ={(x, y) I y 兰x —2 ,x 兰0}, B ={(x, y) | y 兰—x + b}, A" ,若(x, y)^ A C\ B,且x + 2y 的最大值为11,则b的值是▲ 二.解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本题满分14分)等比数列｛a n｝中，已知a i =2,a4 =16• •(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若a3,a5分别为等差数列｛b n｝的第3项和第5项，问a9是不是数列｛0｝中的项，如果是求出是第几项；如果不是说明理由.16. (本题满分14分)数列｛a n｝为等差数列，S n为其前n项和，已知a^7,S4 =24(1)求数列｛a n｝的通项公式和前n项和公式；1⑵若p,q为正整数試比较S pq和-(S2p S2q)的大小.117. (本题满分15分)已知等比数列｛a n｝的前n项和为S(n) = ( )n-c，数列｛b n｝ (b n ■ 0)的首项为c ,且3前n 项和T(n)满足T(n) -T( n- 1)=、讥帀、T(n -1) ( n_2).(1)设d n ，求证数列｛d n｝为等差数列，并求其通项公式；(2)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；1 1000(3)若数列｛——｝前n项和为P(n)，问P")〉1000的最小正整数n是多少?b n b h+ 200918. (本题满分15分)已知关于x的不等式(2x-1)2:: a2x2(a_0)(1) 求此不等式的解集；(2) 若不等式的解集中整数恰好有3个，求正实数a的取值范围.19. (本题满分16分)某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m _ 0)满足x = k •( k、b为常数)，如果不搞促销活动，则该m + 1产品的年销售量只能是1万件，如果投入1万元搞促销活动，则该产品的年销售量是2万件.已知2010年生产该产品的固定投入为4万元，每生产1万件该产品需要再投入36万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1. 5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用). (1)将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；高三文科数学第2页(共2页)(2)该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20. (本题满分16分)设数列｛a n｝为等差数列首项为a1,公差d，数列｛b m｝定义如下：对于正整数m , b m 是使得a n - m成立的所有n中的最小值.1 1(1)若a1，d ，求b3；6 2(2)若a1 =1，d = 2，求数列｛b m｝的前2m项的和；高三文科数学第1页(共2页)。

江苏省南通市2010届高三数学十校联考调研检测测试苏教版新课标

南通市2010届高三十校联考调研检测数学试题一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．如图1所示，U 是全集，A 、B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是_ _▲______．2．函数2()lg(1)1f x x x=+-的定义域为 ___▲ ． 3．设,A B 是非空集合,定义:{|}A B x x AB x A B ⊗=∈∉且．已知{1,2,3,4,5}A =,{4,5,6}B =，则A B ⊗为__▲___．4．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是2y x =+，则(1)(1)f f '+= ▲ ．5．函数59323+--=x x x y 的单调递减区间是______▲________．6．若函数()22lg 2+-⋅=x a x x f 在区间()2,1内有且只有一个零点,那么实数a 的取值范围是 ▲_.7．已知函数()x x x f ln 22-=,则)(x f 的最小值为 ▲ ．8．已知函数22,0,()3,0,2x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨+-<⎪⎩若1()2f x >，则x 的取值范围是 ▲ ． 9．把函数()y f x =的图像向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为29y x =+函数()y f x =的解析式为_______▲______．10.设函数()f x 定义在实数集上，它的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则(2),(0),(3)f f f -从小到大的顺序是_ ▲____ _.11．已知函数[]2()68,1,f x x x x a =-+∈，并且函数()f x 的最小值为()f a ，则实数a 的取值范围是 ▲．12．若函数()42x f x k -⋅在(],2-∞上有意义，则实数k 的取值范围是___▲___． 13．某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．已知某天0点到6点进行机组试运行，且该水池的蓄水量与时间（时间单位：小时）的关系如图丙所示：乙甲给出以下三个判断:①0点到3点只进水不出水；②3点到4点，不进水只出水；③4点到6点不进水不出水,④单位时间内每个进水口进水量是每个出水口出水量的两倍．则上述判断中一定正确的是_ ▲____．14．对于在区间[a，b]上有意义的两个函数)()(xnxm与，如果对于区间[a，b]中的任意x 均有1|)()(|≤-xnxm，则称)()(xnxm与在[a，b]上是“密切函数”， [a，b]称为“密切区间”，若函数43)(2+-=xxxm与32)(-=xxn在区间[a，b]上是“密切函数”，则b a-的最大值为▲ .二．解答题:本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（本题满分14分）设命题21:01xpx-<-，命题2:(21)(1)0q x a x a a-+++≤，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16（本题满分14分）已知函数()f x＝x＋ax(x>0)， a为常数,且a≠0．（1）研究函数y＝()f x的单调性，并说明理由；（2）如果函数y＝()f x的值域为[6，＋∞)，求a的值.17（本题满分15分）已知定义域为R 的函数3()3x x bf x a+=+是奇函数．(1)求,a b 的值；(2)讨论函数()y f x =的单调性；（3）若对任意的[3,3]t ∈-,不等式22(24)()0f t t f k t ++-<恒成立，求实数k 的取值范围．18（本题满分15分）某车间有200名工人，要完成6000件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成．每个工人每小时能加工5个A 型零件或者1个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件．设加工A 型零件的工人人数为x 名（x N *∈）．（1）设完成A 型零件加工所需时间为()x f 小时，完成B 型零件加工所需时间为()g x 小时,写出()x f ,()g x 的解析式；(2)当A 、B 两种零件全部加工完成,就算完成工作．全部完成工作所需时间为()H x 小时,写出()H x 的解析式;（3）为了在最短时间内完成工作，x 应取何值？19（本题满分16分）已知函数2()f x x k =+（1）1k =-时,设,求2()[()]6()h x f x f x =-，[2,1]x ∈-的最大值.（2）若函数()()x e g x f x =，且()g x 在区间(2,3)上不单调,求实数k 的取值范围．20（本题满分16分）已知函数222()ln ,()(0)a f x x g x a x==>，设)()()(x g x f x F +=。

数学_2010年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷(2)(含答案)

2010年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷（2）一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分） 1. 复数i 2(1+i)的虚部是________．2. 已知α∈(−π2，0)，sinα=−35，则cos(π−α)=________．3. 若曲线f(x)=x 4−x 在点P 处的切线平行于直线3x −y =0，则点P 的坐标为________．4. 如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．5. 设f(x)={x 2−2x −1x ≥0−2x +6x <0，若f(t)>2，则实数t 的取值范围是________．6. 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为________． 7. 如图伪代码的输出结果为________．8. 公差为d(d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20−S 10，S 30−S 20，S 40−S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q(q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有________．9. 将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2+bx +c =0有相等实根的概率为________．10. 将正奇数排列如下表其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N ∗, j ∈N ∗)，例如a 32＝9，若a ij ＝2009，则i +j ＝________．11. 已知点O 为△ABC 的外心，且|AC →|=4,|AB →|=2，则AO →⋅BC →=________．12. 在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是________．13. 对于函数f(x)，在使f(x)≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数f(x)的“下确界”，则函数f(x)=x2+1(x+1)2的下确界为________．14. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1, 2]，y∈[2, 3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”．乙说：“不等式两边同除以x2，再作分析”．丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 已知向量a=(sin(π2+x)，√3cosx)，b=(sinx, cosx)，f(x)=a⋅b．（1）求f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）如果三角形ABC中，满足f(A)=√32，求角A的值．16. 已知函数f(x)=x2−x+alnx（1）当x≥1时，f(x)≤x2恒成立，求a的取值范围；（2）讨论f(x)在定义域上的单调性．17. 即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．（注：营运人数指火车运送的人数）18. 已知函数f(x)=2a+1a −1a2x，常数a>0．（1）设m⋅n>0，证明：函数f(x)在[m, n]上单调递增；（2）设0<m<n且f(x)的定义域和值域都是[m, n]，求常数a的取值范围．19. 已知数列{a n}中，a1=1，且点P(a n, a n+1)(n∈N∗)在直线x−y+1=0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若函数f(n)=1n+a1+1n+a2+1n+a3+⋯+1n+a n(n∈N，且n≥2)，求函数f(n)的最小值；（3）设b n=1a n，S n表示数列{b n}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得S1+ S2+S3+...+S n−1=(S n−1)⋅g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．20. 已知函数f(x)=x+tx(x>0)，过点P(1, 0)作曲线y=f(x)的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（1）当t=2时，求函数f(x)的单调递增区间；（2）设|MN|=g(t)，试求函数g(t)的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2,n+64n]内，总存在m+1个数a1，a2，…，a m，a m+1，使得不等式g(a1)+g(a2)+...+g(a m)<g(a m+1)成立，求m的最大值．2010年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷（2）答案1. −12. −453. (1, 0)4. 1−π45. (−∞, 0)∪(3, +∞)6. 25√57. 268. T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为q1009. 11810. 6011. 612. (16, 5 6 )13. 0.514. [−1, +∞)15. 解：（1）f(x)=sinxcosx+√32+√32cos2x=sin(2x+π3)+√32T=π，2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，最小周期为π，单调增区间[kπ−5π12, kπ+π12]，k∈Z（2）由sin(2A+π3)=0，π3<2A+π3<7π3．所以，2A+π3=π或2π，所以，A=π3或5π6．16. 解：（1）由f(x)≤x2恒成立，得：alnx≤x在x≥1时恒成立当x=1时a∈R当x>1时即a≤xlnx ，令g(x)=xlnx，g′(x)=lnx−1ln2xx≥e时g′(x)≥0，g(x)在x>e时为增函数，g(x)在x<e时为减函数∴ g min(x)=e∴ a≤e（2）解：f(x)=x2−x+alnx，f′(x)=2x−1+ax =2x2−x+ax，x>0（1）当△=1−8a≤0，a≥18时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0, +∞)上为增函数．（2）当a<18时①当0<a<18时，1+√1−8a4>1−√1−8a4>0，f(x)在[1−√1−8a4，1+√1−8a4]上为减函数，f(x)在(0,1−√1−8a4]，[1+√1−8a4,+∞)上为增函数．②当a=0时，f(x)在(0, 1]上为减函数，f(x)在[1, +∞)上为增函数③当a<0时，1−√1−8a4<0，故f(x)在(0, 1+√1−8a4]上为减函数，f(x)在[1+√1−8a4, +∞)上为增函数．17. 每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15840人．18. 任取x1，x2∈[m, n]，且x1<x2，f(x1)−f(x2)=1a2⋅x1−x2 x1x2，因为x1<x2，x1，x2∈[m, n]，所以x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在[m, n]上单调递增．因为f(x)在[m, n]上单调递增，f(x)的定义域、值域都是[m, n]⇔f(m)＝m，f(n)＝n，即m，n是方程2a+1a −1a2x=x的两个不等的正根⇔a2x2−(2a2+a)x+1＝0有两个不等的正根．所以△＝(2a2+a)2−4a2>0，2a2+aa2>0⇒a>1219. 解：（1）由点P(a n, a n+1)在直线x−y+1=0上，即a n+1−a n=1，且a1=1，数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列a n=1+(n−1)⋅1=n(n≥2)，a1=1同样满足，所以a n=n（2）f(n)=1n+1+1n+2+⋯+12nf(n+1)=1n+2+1n+3+⋯+12n+2f(n+1)−f(n)=12n+1+12n+2−1n+1>12n+212n+2−1n+1=0所以f(n)是单调递增，故f(n)的最小值是f(2)=712（3）b n=1n ，可得S n=1+12+13++1n，S n−S n−1=1n(n≥2)∴ nS n −(n −1)S n−1=S n−1+1，∴ (n −1)S n−1−(n −2)S n−2=S n−2+1 …2S 2−S 1=S 1+1∴ nS n −S 1=S 1+S 2+S 3+...+S n−1+n −1∴ S 1+S 2+S 3+...+S n−1=nS n −n =n(S n −1)，n ≥2 ∴ g(n)=n故存在关于n 的整式g(x)=n ，使得对于一切不小于2的自然数n 恒成立．20. 解：（1）当t =2时，f(x)=x +2x ，f′(x)=1−2x 2=x 2−2x 2>0解得x >√2，或x <−√2． ∵ x >0∴ 函数f(x)有单调递增区间为[√2，+∞) （2）设M 、N 两点的横坐标分别为x 1、x 2， ∵ f′(x)=1−t x 2，∴ 切线PM 的方程为：y −(x 1+t x 1)=(1−tx 12)(x −x 1)．又∵ 切线PM 过点P(1, 0)，∴ 有0−(x 1+t x 1)=(1−tx 12)(1−x 1)．即x 12+2tx 1−t =0．（1）同理，由切线PN 也过点(1, 0)，得x 22+2tx 2−t =0．（2）由（1）、（2），可得x 1，x 2是方程x 2+2tx −t =0的两根，∴ {x 1+x 2=−2t ⋅(∗)|MN|=√(x 1−x 2)2+(x 1+t x 1−x 2−t x 2)2=√(x 1−x 2)2[1+(1−t x 1x 2)2]=√[(x 1+x 2)2−4x 1x 2][1+(1−t x 1x 2)2] 把(∗)式代入，得|MN|=√20t 2+20t ，因此，函数g(t)的表达式为g(t)=√20t 2+20t(t >0) （3）易知g(t)在区间[2,n +64n]上为增函数，∴ g(2)≤g(a i )(i =1, 2, m +1)．则m ⋅g(2)≤g(a 1)+g(a 2)+...+g(a m )．∵ g(a 1)+g(a 2)++g(a m )<g(a m+1)对一切正整数n 成立， ∴ 不等式m ⋅g(2)<g(n +64n)对一切的正整数n 恒成立m√20×22+20×2<√20(n +64n)2+20(n +64n)，即m<√16[(n+64n)2+(n+64n)]对一切的正整数n恒成立∵ n+64n≥16，∴ √16[(n+64n)2+(n+64n)]≥√16[162+16]=√1363．∴ m<√1363．由于m为正整数，∴ m≤6．又当m=6时，存在a1=a2=a m=2，a m+1=16，对所有的n满足条件．因此，m的最大值为6．。

数学_2010年江苏省南通市某校高三学情分析数学试卷(理科)(含答案)

2010年江苏省南通市某校高三学情分析数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 若集合A ={x|x ≤2}，B ={x|x ≥a}满足A ∩B ={2}，则实数a =________．2. 函数y =1−sin 2(x −π6)的最小正周期是________．3. 如图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为________；方差为________．4. 某算法的伪代码如图：则输出的结果是________．5. 若复数z(1−i)=a +3i （i 是虚数单位，a 是实数），且z =z ¯（z ¯为z 的共轭复数），则a =________．6. 已知1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1+a 2b 2=________．7. 已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________．8. 已知抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2=1交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是________． 9. 函数y ＝x +2cosx 在区间[0,π2]上的最大值是________． 10. 在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB→|AB →|+AC →|AC →|)⋅BC →=0且AB→|AB →|⋅AC→|AC →|=14，若△ABC 的面积是2√15，则BC 边的长是________．11. 设f(x)=|2−x 2|，若0<a <b ，且f(a)=f(b)，则ab 的取值范围是________． 12. 抛掷一颗骰子的点数为a ，得到函数f(x)=sinaπ3x ，则“y =f(x)在[0, 4]上至少有5个零点”的概率是________．13. 对于定义在R 上的函数f(x)，有下述命题：①若f(x)是奇函数，则f(x −1)的图象关于点A(1, 0)对称；②若函数f(x −1)的图象关于直线x =1对称，则f(x)为偶函数； ③若对x ∈R ，有f(x −1)=−f(x)，则f(x)的周期为2；④函数y =f(x −1)与y =f(1−x)的图象关于直线x =0对称．其中正确命题的序号是________．14. 已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l1和l2上，且BC=3√2，过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为________．二、解答题（共10小题，满分90分）15. 在△ABC中，角A的对边长等于2，向量m→=(2,2cos2B+C2−1)，向量n→=(sin A2，−1)．（1）求m→⋅n→取得最大值时的角A的大小；（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值．16. 如图，已知三棱锥A−BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：DM // 平面APC；（2）求证：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D−BCM的体积．17. 已知以点P为圆心的圆过点A(−1, 0)和B(3, 4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|=4√10．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程；（3）设点Q在圆P上，试探究使△QAB的面积为8的点Q共有几个？证明你的结论．18. 如图，设椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的右顶点与上顶点分别为A、B，以A为圆心，OA为半径的圆与以B为圆心，OB为半径的圆相交于点O、P．（1）若点P在直线y=√32x上，求椭圆的离心率；（2）在（1）的条件下，设M是椭圆上的一动点，且点N(0, 1)到椭圆上点的最近距离为3，求椭圆的方程．19. 水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9100万亩坡度为25∘以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%．（1）试问，从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？（2）为支持退耕还林工作，国家财政每年补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？20. 已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a≠0, b<1)，在区间[2, 3]上有最大值4，最小值1，设f(x)=g(x)x．（1）求a，b的值；（2）不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1, 1]上恒成立，求实数k的范围；（3）方程f(|2x−1|)+k(2|2x−1|−3)=0有三个不同的实数解，求实数k的范围．21. 已知矩阵A=[12−14]，向量a→=[74]．（1）求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量α1→、α2→；（2）求A5α→的值．22. 已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于A，B两点．(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长度．23. 如图，在四棱锥p−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB // CD，∠BAD=90∘，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．（1）求证：BD⊥PC；（2）求二面角B−PC−A的余弦值．24. （1）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？（2）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．求恰有两个区域用红色鲜花的概率；2010年江苏省南通市某校高三学情分析数学试卷（理科）答案1. 22. π3. 85,854. 95. −36. 527.y 264+x 248=18. √6 9. π6+√3 10. 2√6 11. (0, 2) 12. 2313. ①②③ 14. 18π15. 解：(1)m →⋅n →=2sin A2−(2cos 2B+C 2−1)=2sin A2−cos(B +C)．因为A +B +C =π，所以B +C =π−A ，于是m →⋅n →=2sin A2+cosA =−2sin 2A2+2sin A2+1=−2(sin A2−12)2+32．因为A2∈(0,π2)，所以当且仅当sin A2=12，即A =π3时，m →⋅n →取得最大值32．故m →⋅n →取得最大值时的角A =π3；（2）设角、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c 由余弦定理，得b 2+c 2−a 2=2bccosA 即bc +4=b 2+c 2≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b =c =2时取等号．又S △ABC =12bcsinA =√34bc ≤√3．当且仅当a =b =c =2时，△ABC 的面积最大为√3．16. （II ）∵ △PMB 为正三角形，D 为PB 的中点∴ MD ⊥PB ，∴ AP ⊥PB 又∵ AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ∴ AP ⊥面PBC∵ BC ⊂面PBC∴ AP ⊥BC 又∵ BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A∴ BC ⊥面APC ， ∵ BC ⊂面ABC∴ 平面ABC ⊥平面APC（III ）由题意可知，三棱锥A −BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．MD ⊥面PBC ，BC ＝4，AB ＝20，MB ＝10，DM ＝5√3，PB ＝10，PC =√100−16=2√21，∴ MD 是三棱锥D −BCM 的高，S △BCD =12×4×2√21×12=2√21， ∴ V M−DBC =13Sℎ=13×5√3×2√21=10√7．17. 解：（1）∵ k AB =1，AB 的中点坐标为(1, 2)∴ 直线CD 的方程为：y −2=−(x −1)即x +y −3=0；（2）设圆心P(a, b)，则由P 在CD 上得a +b −3=0 ①又直径|CD|=4√10，∴ |PA|=2√10 ∴ (a +1)2+b 2=40 ②①代入②消去a 得b 2−4b −12=0，解得b =6或b =−2当b =6时a =−3，当b =−2时a =5 ∴ 圆心P(−3, 6)或P(5, −2)∴ 圆P 的方程为：(x +3)2+(y −6)2=40 或(x −5)2+(y +2)2=40；（3）∵ |AB|=√42+42=4√2，∴ 当△QAB 面积为8时，点Q 到直线AB 的距离为2√2，又圆心到直线AB 的距离为4√2，圆P 的半径r =2√10，且4√2+2√2>2√10，∴ 圆上共有两个点Q ，使△QAB 的面积为8． 18. 解：（1）因OP 是圆A 、圆B 的公共弦，所以OP ⊥AB ，即k AB ⋅k OP =−1，所以k AB =√3，又k AB =−ab，所以b 2=34a 2，所以a 2−c 2=34a 2⇒e =ca =12；（2）由（1）有b 2=34a 2，所以此时所求椭圆方程为y 2a 2+4x 23a 2=1，设M(x, y)是椭圆上一点，则|MN|2=x 2+(y −1)2=34a 2−34y 2+y 2−2y +1=14(y −4)2−3+34a 2，其中−a ≤y ≤a ，1∘若0<a <4时，则当y =a 时，|MN|2有最小值a 2−2a +1，由a 2−2a +1=9得a =−2或a =4（都舍去）； 2∘若a ≥4时，则当y =4时，|MN|2有最小值34a 2−3，由34a 2−3=9得a =±4（舍去负值）即a =4；综上所述，所求椭圆的方程为y 216+x 212=1．19. 到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付约570亿元．20. 解：(1)(1)g(x)=a(x −1)2+1+b −a当a >0时，g(x)在[2, 3]上为增函数故{g(3)=4g(2)=1⇒{9a −6a +1+b =44a −4a +1+b =1⇒{a =1b =0 当a <0时，g(x)在[2, 3]上为减函数故{g(3)=1g(2)=4⇒{9a −6a +1+b =14a −4a +1+b =4⇒{a =−1b =3 ∵ b <1∴ a =1，b =0（2）由（1）即g(x)=x 2−2x +1.f(x)=x +1x −2．方程f(2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +12x−2≥k ⋅2x1+(12x )2−212x≥k ，令12x =t ，k ≤t 2−2t +1∵ x ∈[−1, 1]∴ t ∈[12，2]记ϕ(t)=t 2−2t +1 ∴ φ(t)min =0 ∴ k ≤0（3）方程f(|2x −1|)+k(2|2x −1|−3)=0化为|2x −1|+1+2k|2x −1|−(2+3k)=0|2x −1|2−(2+3k)|2x −1|+(1+2k)=0，|2x −1|≠0令|2x −1|=t ，则方程化为t 2−(2+3k)t +(1+2k)=0(t ≠0) ∵ 方程|2x −1|+1+2k |2x −1|−(2+3k)=0有三个不同的实数解，∴ 由t =|2x −1|的图象知，t 2−(2+3k)t +(1+2k)=0有两个根t 1、t 2，且0<t 1<1<t 2或0<t 1<1，t 2=1 记ϕ(t)=t 2−(2+3k)t +(1+2k)则{ϕ(0)=1+2k >0ϕ(1)=−k <0或{ϕ(0)=1+2k >0ϕ(1)=−k =00<2+3k2<1∴ k >0．21. 解：（1）矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−4|=λ2−5λ+6，令f(λ)=0，得λ1=2，λ2=3，当λ1=2时，得α1→=[21]，当λ2=3时，得α2→=[11]．（2）由α→=mα1→+nα2→得{2m +n =7m +n =4，得m =3，n =1．∴ A 5α→=A 5(3α1→+α2→)=3(A 5α1→)+A 5α2→=3(λ15α1→)+λ25α2→=3×25[21]+35[11]=[435339]． 22. 解：(1)曲线C 2:θ=π4(ρ∈R)，表示直线y =x ，曲线C 1:ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，所以x 2+y 2=6x 即(x −3)2+y 2=9； (2)∵ 圆心(3, 0)到直线的距离d =3√22， r =3所以弦长AB =2√r 2−d 2=3√2．∴ 弦AB 的长度3√2．23.证明：（1）以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B(0, 1, 0)，C(−2, 4, 0)，D(−2, 0, 0)，P(0, 0, 4)， ∴ PC →=(−2,4,−4)，BD →=(−2,−1,0)， ∴ PC →⋅BD →=0 所以PC ⊥BD ．（2）易证BD →为面PAC 的法向量，设面PBC 的法向量n =(a, b, c)， PB →=(0,1,−4)，BC →=(−2,3,0) 所以{n →⋅BC →=0˙⇒{b =4ca =6c所以面PBC 的法向量n =(6, 4, 1)，∴ cosθ=√265．因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，所以二面角B−PC−A的余弦值为√265．24. 解：（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：4×3×2×2=48种．（2）设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如下图，①当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3=180种；②当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种．（由于只有A、D，B、E可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为A53+2A54+A55=420种）它们是等可能的．又因为A、D为红色时，共有4×3×3=36种；B、E为红色时，共有4×3×3=36种；因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种．所以，P(M)=72420=635．。

3江苏省苏泰州南通2010届高三第三次数学模拟考试word版

南通市2010届高三第三次调研测试数学参考答案及评分建议必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 有一容量为10的样本：2，4，7，6，5，9，7，10，3，8，则数据落在[)5.5,7.5内的频率为 ▲ .2. 已知直线l ，m ，n ，平面α，m α⊂，n α⊂，则“l α⊥”是“,l m l n ⊥⊥且”的 ▲ 条件.（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一）3. 已知集合{}274(2)i A m m =-++，，（其中i 为虚数单位，m ∈R ），{83}B =，，且A B ≠∅，则m 的值为 ▲ .4. 在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根的概率为 ▲ .5. 若函数2tan 0()log ()0x x f x x x ⎧=⎨-<⎩，≥，，，则()()3π24f f = ▲ .6. 在区间[](0)a a a ->，内不间断的偶函数()f x 满足(0)()0f f a ⋅<，且()f x 在区间[]0a ，上是单调函数，则函数()y f x =在区间()a a -，内零点的个数是 ▲ . 7. 执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ▲ .8. 不等式21x x<-的解集是 ▲ .9. 如图，点A 、B 在函数()ππtan 42y x =-的图象上,则直线AB 的方程为 ▲ .BAy x1 O（第9题）（第7题）输出n0S ←开始6n ←S <15 NY1n n ←-S S n ←+结束10. 双曲线221169y x -=上的点P 到点(5, 0)的距离是6，则点P 的坐标是 ▲ . 11. 已知数列{}n a 为等差数列，若561aa <-，则数列{}n a 的最小项是第 ▲ 项.12. 在菱形ABCD 中，若4AC =,则CA AB ⋅= ▲ .13. 已知点P 在直线210x y +-=上,点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点为00(,)M x y ,且002y x >+,则y x 的取值范围是____▲____. 14. 数列{}n a 满足：11121(234)n n a a n a -==-=⋅⋅⋅，，，，，若数列{}n a 有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++的通项公式，其中A B ωϕ、、、均为实数，且π002A ωϕ>><，，，则n a = ▲ .（只要写出一个通项公式即可）【填空题答案】1．0.3 2．充分不必要 3．－2 4．125．16．2 7．3 8．{}201x x x <-<<或 9．20x y --= 10．(8，± 11．612．－8 13．()1125--， 14()2ππ1332n -+二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）已知向量()1sin 2A =，m与()3sin A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 【解】（1）因为m //n ,所以3sin (sin )02A A A ⋅+-=. ………………………2分所以1cos 232022A A -+-=，12cos 212A A -=， …………3分即 ()πsin 216A -=. …………………………………………………4分ABCD EF（第16题）G O因为(0,π)A ∈ , 所以()ππ11π2666A -∈-，. …………………………………5分故ππ262A -=，π3A =. ………………………………7分（2）由余弦定理，得 224b c bc =+-. ……………………………………8分又1sin 2ABC S bc A ∆==， ……………………………………9分而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c=时等号成立） …………11分所以1sin 42ABC S bc A ∆===. ………………………12分当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形.…14分16. （本题满分14分）如图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE =EB =BC =2, F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . （1）求证：AE //平面BDF ；（2）求三棱锥D －ACE 的体积. 【证明】（1）设ACBD G=，连结GF .因为BF ⊥面ACE ,CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥.因为BE BC =,所以F 为EC 的中点. ……………………………3分在矩形ABCD 中，G 为AC 中点，所以//GF AE . ………………5分因为AE ⊄面BFD ,GF ⊂面BFD ，所以//AE 面BFD . ………………7分（2）取AB 中点O ，连结OE .因为AE EB =,所以OE AB ⊥. 因为AD ⊥面ABE ,OE ⊂面ABE ,所以OE AD ⊥,所以OE ⊥面ADC . ……………………………………………9分因为BF ⊥面ACE ,AE ⊂面ACE ，所以BF AE ⊥. 因为CB ⊥面ABE ,AE ⊂面ABE ,所以AE BC ⊥. 又BFBC B=，所以AE ⊥平面BCE . ……………………………11分又BE⊂面BCE ,所以AEEB ⊥.所以AB ==,12OE AB ==…………12分故三棱锥E ADC -的体积为111423323D AECE ADC ADC V V S OE --∆==⋅=⨯⨯⨯=. …………………14分17 . （本题满分15分）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的3匹马分别为A 、B 、C ，田忌的3匹马分别为a ，b ，c ，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A ，a ，B ，b ，C ，c . 两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜. （1）如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；（2）颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A 马. 那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？【解】记A 与a 比赛为（A ，a ），其它同理．（l ）（方法1）齐王与田忌赛马，有如下6种情况：（A ，a ）,（B ，b ）,（C ，c ）；（A ，a ）,（B ，c ）,（C ，b ）；（A ，b ）,（B ，c ）,（C ，a ）；（A ，b ）,（B ，a ）,（C ，c ）；（A ，c ）,（B ，a ）,（C ，b ）；（A ，c ），（B ，b ），（C ，a ）. ……………2分其中田忌获胜的只有一种：（A ，c ）,（B ，a ）,（C ，b ）. ……………………4分故田忌获胜的概率为16P =. …………………………………7分（方法2）齐王与田忌赛马对局有6种可能： A B Ca b c a c b b a c b c a c a bc b a ……………………………………………………………2分其中田忌获胜的只有一种：（A ，c ）,（B ，a ）,（C ，b ）. ………………4分若齐王出马顺序还有ACB , BAC , BCA ，CAB ，CBA 等五种；每种田忌有一种能够获胜．故田忌获胜的概率为61666P ==⨯． ……………………………………7分（2）已知齐王第一场必出上等马A ，若田忌第一场必出上等马a 或中等马b ，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c ．……9分后两场有两种情形：①若齐王第二场派出中等马B ，可能的对阵为：（B ，a ）,（C ，b ）或（B ，b ）,（C ，a ）．田忌获胜的概率为12. ……………………………………………………11分②若齐王第二场派出下等马C ，可能的对阵为：（C ，a ）,（B ，b ）或（C ，b ）,（B ，a ）．田忌获胜的概率也为12． ……………………………………………………13分所以，田忌按c , a , b 或c , b , a 的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大12…14分答：（l ）田忌获胜的概率16．（2）田忌按c , a , b 或c , b , a 的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大为12……15分18. （本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知对于任意实数k，直线)((130x k y k ++-=恒过定点F . 设椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F ，且椭圆C 上的点到F的最大距离为2+.（1）求椭圆C 的方程；（2）设（m ，n ）是椭圆C 上的任意一点，圆O ：222(0)x y r r +=>与椭圆C 有4个相异公共点，试分别判断圆O 与直线l 1：mx +ny =1和l 2：mx +ny =4的位置关系. 【解】（1）)((130x k y k ++-=)(30y k x ⇔+-+=, …1分解30,0,y x +-=-=⎪⎩得)0F . ……………………………………3分设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ，2b ，2c ，则由题设，知2c a c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 于是a =2，b 2=1. ………………………………5分所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += …………………………………………6分（2）因为圆O ：222(0)x y r r +=>与椭圆C 有4个相异公共点，所以b r a <<，即1 2.r << …………………………………8分因为点（m ，n ）是椭圆2214x y +=上的点，所以221224m n m +=，且-≤≤.[12]，. ………………………………………10分于是圆心O 到直线l 1的距离11d r <，……………………………12分圆心O 到直线l 2的距离22d r >. ……………………………14分故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离.……………………………………15分19. （本题满分16分）设数列{a n }是由正数组成的等比数列，公比为q ，S n 是其前n 项和．（11n S +<；（2）设31442,1555n n n n b a a a ++=++记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较q 2S n 和T n 的大小.【证明】（1）由题设知a 1>0，q >0． ………………………………………1分(i)当q =1时，S n =na 1，于是 S n ·S n +2－21n S +=na 1·(n +2)a 1－(n +1)221a =－21a <0， …3分 (ii)当q ≠1时，()111n n a q S q-=-，于是S n ·S n +2－21+n S ()()()()()22221112211111n n n a q q a q q q ++---=---=210n a q -<． …………7分由(i)和(ii)，得S n ·S n +2－21n S +<0．所以S n ·S n +2<21n S +1n S +． ……………8分 (2) 方法一：331442442,15551555n n n n n n n b a a a a q a q a ++=++=++ …………11分T n =3113442442()15551555k k k nnk n n k k n b q a q a q a q S S S ==+==+++∑∑，T n －q 2S n =32(415126)15nS q q q -++， …………………………………13分＝22(4(2)(2)2)15nS q q q -+-+≥2>0， …………………………………15分所以T n >q 2S ． …………………………………………………………16分方法二：T n =3113442442()15551555k k k nnk n n k k n b q a q a q a q S S S ==+==+++∑∑， ………11分由24421555nn T q q S q =++， …………………………………………………13分因为0q >，所以44155q q +≥44155q q =，即q ==”号），215>，所以21nnTq S>，即T n>q2S. ……………………………16分20．（本题满分16分）已知函数2*()2cosπln(f x x a k x k=-⋅∈N，a∈R，且0a>）．（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若2010k=，关于x的方程()2f x ax=有唯一解，求a的值.【解】（1）由已知得x＞0且2()2(1)k af x xx'=--⋅．当k是奇数时，()0f x'>，则f(x)在(0,+∞)上是增函数;……………3分当k是偶数时，则2()2af x xx'=-. ……………………5分所以当x∈(时，()0f x'<，当x∈(),a+∞时，()0f x'>.故当k是偶数时，f (x)在(上是减函数，在(),a+∞上是增函数．………………7分（2）若2010k=，则2*()2ln()f x x a x k=-∈N.记g (x) = f (x) – 2ax = x2– 2 a x ln x – 2ax, 222()22()ag x x a x ax ax x'=--=--, 若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；…………………………9分令()0g x'=,得20x ax a--=.因为0,0a x>>，所以1x=<（舍去），2x. ……………………11分当2(0,)x x∈时，()0g x'<，()g x在2(0,)x是单调递减函数；当2(,)x x∈+∞时，()0g x'>，()g x在2(,)x+∞上是单调递增函数．当x=x2时,2()0g x'=，min2()()g x g x=. …………………………12分因为()0g x=有唯一解，所以2()0g x=.则22()0()0g xg x=⎧⎨'=⎩，，即22222222ln20x a x axx ax a⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，…………………………13分两式相减得22ln0a x ax a+-=，因为a>0，所以222ln10 (*)x x+-=.……14分设函数()2ln1h x x x=+-，因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解．因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得12a =…………16分附加题部分21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.【证明】连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°．所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°． ………………………5分所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ．因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ．所以DE 2=DB ·DA ． ……………10分B. 选修4－2：矩阵与变换求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量. 【解】特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--， …………3分由()0f λ=，解得121,3λλ==. ………………………………………6分将11λ=代入特征方程组，得0,00x y x y x y --=⎧⇒+=⎨--=⎩. 可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量． …………………………8分将23λ=代入特征方程组, 得0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩. 可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于23λ= 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………………………………10分C. 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.【解】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=. ……………………2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===,所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=. ………………………4分（2）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3y x =--.…………………6分令0y =,得2x =,即M 点的坐标为(2,0).又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径1r =，则MC =…………8分（第22题）BACA 1B 1C 1所以1MN MC r +=≤． (10)分D ．选修4－5：不等式选讲设123a a a ，，均为正数，且123a a a m ++=，求证1231119.a a a m ++≥【证明】因为123111()m a a a ++123123111()()a a a a aa =++++9≥，当且仅当1233m a a a ===时等号成立．又因为1230m a a a =++>，所以1231119.a a a m++≥ ……………10分22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使AP =1P AB A --的平面角的余弦值．【解】（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则 ()()()()11200020022042C B A B ，，，，，，，，，，，， ()1022AA =，，，()11220BC B C ==-，，．1111cos 28AA BC AA BC AA BC⋅-〈〉===-⋅，，故1AA 与棱BC 所成的角是π3． ………………………4分（2）设()111220B P B C λλλ==-，，，则()2422P λλ-，，．于是12AP λ==（32λ=舍去），则P 为棱11B C 的中点，其坐标为()132P ，，． …………6分设平面1P AB A --的法向量为n 1(),,x y z =，则110320220.0.0AP x y z x z y y AB ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎩⎩⎪⎩，，，n n 故n 1()201=-，，．……………………………………8分而平面1ABA 的法向量是n 2=(1,0,0)，则121212cos ,⋅〈〉===⋅n n n n n n故二面角1P AB A --．……………10分23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+，2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--．（1）证明：当(0)x ∈+∞，时，()0g x <；（2）求函数()f x 的的极值．【解】（1）2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2g x x x '=+-. 令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211x h x x x -'=-=++. ……………1分当10x -<<时，()0h x '>， ()h x 在(1,0)-上为增函数.当x ＞0时，()0h x '<，()h x 在(0)+∞，上为减函数. ……………………3分所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0，所以()0(0)g x x '<≠，C 1函数g (x )在(0)+∞，上为减函数. …………………………………………4分当x ＞0时，()(0)0g x g <=． ………………………………………5分（2）函数()f x 的定义域是(1)-+∞，，22222ln(1)2(1)ln(1)22()1(1)(1)x x x x xx x f x x x x +++--+'=-=+++， ……………………6分由（1）知，当10x -<<时，2()2(1)ln(1)2(0)0g x x x x x g =++-->=，当x ＞0时，()(0)0g x g <=，所以，当10x -<<时，()0f x '>()f x 在（－1，0）上为增函数.当x ＞0时，()0f x '<,()f x 在(0)+∞，上为减函数. ……………………8分故函数()f x 的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为(0)+∞，. 故x =0时()f x 有极大值0． ………………………10分。

江苏南通2010一模--数学(含答案)

当m<0时，由，列表：
x
－
0
＋
减
极小
增
……………………8分
所以若，恒成立，则实数m的取值范围是 .
故使成立，实数m的取值范围．………………10分
（3）因为对，所以在内单调递减.
于是
…………………12分
记，
则
所以函数在是单调增函数，…………………14分
所以，故命题成立.…………………16分
又因为CA平分∠BAF，所以∠OAC=∠FAC，
于是∠FAC=∠OCA，所以OC//AD.
又因为CD⊥AF，所以CD⊥OC，
故DC是⊙O的切线．…………………10分
B．选修4—2矩阵与变换
变换T是绕坐标原点逆时针旋转的旋转变换，求曲线在变换T作用
下所得的曲线方程．
【解】变换T所对应变换矩阵为，设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，即，代入，
南通市2010届高三第一次调研测试
数学参考答案及评分建议
必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.已知集合U={1,2,3,4}，M={1,2}，N={2,3}，则 (M∪N)=▲．
2．复数（i是虚数单位）的虚部为▲．
3．设向量a，b满足：，，则 ▲．
4．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线互相垂直的充要条件是m=▲．
14．在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆相切，其中m，，若函数的零点，则k=▲．
【填空题答案】
1．；2． ;3．2；4．；5．；
6．；7．；8．90；9．10；10．①③④；
11．；12．4；13．；14．0．

数学_2009-2010学年江苏省南通市高三(上)期末数学模拟试卷(含答案)

2009-2010学年江苏省南通市高三（上）期末数学模拟试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 设集合A ={(x, y)|4x +y =6}，B ={(x, y)|3x +2y =7}，则满足C ⊆(A ∩B)的集合C 的个数是________．2. 若f(x)=asinx +3cosx 是偶函数，则实数a =________．3. 已知命题p:∃x ∈R ，sinx >1，则﹁p 为________．4. 过点(1, 0)且与直线x −2y −2=0平行的直线方程是________．5. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 ________．6. 已知tanα=12，则sinαcosα−2sin 2α=________．7. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边，设向量m →=(b −c, c −a)，n →=(b, c +a)，若向量m →⊥n →，则角A 的大小为________．8. 已知函数y =f(x)，x ∈[0, 2π]的导函数y =f′(x)的图象，如图所示，则y =f(x)的单调增区间为________．9. 过点P(−4, 3)作圆x 2+y 2−2x −24=0的切线，则切线方程是________．10. 已知a →=(1, sin 2x)，b →=(2, sin2x)，其中x ∈(0, π)，若|a →⋅b →|=|a →|⋅|b →|，则tanx 的值等于________．11. 已知f(x)是定义在[−2, 2]上的函数，且对任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，且f(x)的最大值为1，则满足f(log 2x)<1的解集为________． 12. 设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 若对任意自然数n 都有S n T n=2n−34n−3，则a 9b 5+b 7+a 3b8+b 4的值为________．13. 已知函数f(x)=|x −a|x +b(a, b ∈R)，给出下列命题：（1）当a =0时，f(x)的图象关于点(0, b)成中心对称；（2）当x >a 时，f(x)是递增函数；（3）当0≤x ≤a 时，f(x)的最大值为a 24+b ．其中正确的序号是________．14. 对于任意的x ∈(π4, π2)，不等式psin 4x +cos 6x ≤2sin 4x 恒成立，则实数p 的取值范围为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 设函数f(x)=a →⋅b →，其中向量a →=(m, cos2x)，b →=(1+sin2x, 1)，x ∈R ，且y =f(x)的图象经过点(π4, 2)（1）求实数m 的值；（2）求f(x)的最小正周期．（3）求f(x)在[0, π2]上的单调增区间．16. 已知集合A ={y|y =−2x , x ∈[2, 3]}，B ={x|x 2+3x −a 2−3a >0}．（1）当a =4时，求A ∩B ；（2）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．17. 已知数列{a n }与圆C 1:x 2+y 2−2a n x +2a n+1y −1=0和圆C 2:x 2+y 2+2x +2y −2=0，若圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点且这两点平分圆C 2的周长．（1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）若a 1=−3，则当圆C 1的半径最小时，求出圆C 1的方程．18. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数P 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0, 14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14, 40]时，曲线是函数y =log α(x −5)+83(a >0且a ≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数P 大于等于80时听课效果最佳．（1）试求P =f(t)的函数关系式；（2）老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．19.将数列{a n }中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数a 1，a 4，a 8，…，构成数列{b n }．（1）设b 8=a m ，求m 的值；（2）若b 1=1，对于任何n ∈N ∗，都有b n >0，且(n +1)b n+12−nb n 2+b n+1b n =0．求数列{b n }的通项公式；（3）对于（2）中的数列{b n }，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q(q >0)的等比数列，且a 66=25，求上表中第k(k ∈N ∗)行所有项的和s(k)．20. 已知函数f(x)=ax+lnx，x∈(1, e)，且f(x)有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）求函数f(x)的值域；（3）函数g(x)=x3−x−2，证明：∀x1∈(1, e)，∃x0∈(1, e)，使得g(x0)=f(x1)成立．2009-2010学年江苏省南通市高三（上）期末数学模拟试卷答案1. 22. 03. ∀x∈R，sinx≤14. x−2y−1=05. x225+y216=1或x216+y225=16. 07. π38. [0, π]9. x=−4或8x−15y+77=010. 111. [14, 4)12. 194113. （1）（3）14. (−∞,32]15. 解：（1）f(x)=a⋅b=m(1+sin2x)+cos2x，∵ 图象经过点(π4, 2)，∴ f(π4)=m(1+sinπ2)+cosπ2=2，解得m=1；（2）当m=1时，f(x)=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1，∴ T=2π2=π；（3）x∈[0, π2]，2x∈[0, π]，∴ 2x+π4∈[π4, 5π4]由π4≤2x+π4≤π2，得0≤x≤π8∴ f(x)在[0, π2]上的单调增区间为[0, π8]． 16. 解：（1）A =[−8, −4]当a =4时，B ={x|x 2+3x −28>0}={x|x <−7或x >4}， ∴ A ∩B =[−8, −7)（2）B ={x|(x −a)(x +a +3)>0}①当a =−32时，B ={x|x ∈R,x ≠−32}，∴ A ⊆B 恒成立；②当a <−32时，B ={x|x <a 或x >−a −3} ∵ A ⊆B ，∴ a >−4或−a −3<−8 解得a >−4或a >5（舍去）所以−4<a <−32③当a >−32时，B ={x|x <−a −3或x >a}∵ A ⊆B ，∴ −a −3>−4或a <−8（舍去）解得−32<a <1综上，当A ⊆B ，实数a 的取值范围是(−4, 1)． 17. 解：（1）圆C 1:x 2+y 2−2a n x +2a n+1y −1=0转化为：(x −a n )2+(y +a n+1)2=a n 2+a n+12+1，圆心坐标为：(a n , a n+1)，半径为：√a n 2+a n+12+1，圆C 2，(x +1)2+(y +1)2=4，圆心坐标为：(−1, −1)，半径为2，圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点且这两点平分圆C 2的周长．则：|C 1C 2|2+r 22=r 12，即：(a n +1)2+(a n+1−1)2+4=a n 2+a n+12+1，求得：a n+1−a n =52（常数），所以：数列{a n }是等差数列，（2）由于a 1=−3，根据（1）的结论求得：a n =52n −112，r =√a n 2+a n+12+1=12√50n 2−170n +161，当n =2时，r 最小，所得的圆的方程为：x 2+y 2+x +4y −1=0．18. 解：（1）t ∈(0, 14]时，设p =f(t)=c(t −12)2+82(c <0)，将(14, 81)代入得c =−14t ∈(0, 14]时，p =f(t)=−14(t −12)2+82t ∈(14, 40]时，将(14, 81)代入y =log a (x −5)+83，得a =13∴ p =f(t)={−14(t −12)2+82，t ∈(0,14]log 13(t −5)+83，t ∈(14,40]．（2）t ∈(0, 14]时，−14(t −12)2+82≥80 解得12−2√2≤t ≤12+2√2， ∴ t ∈[12−2√2, 14]t ∈[14, 40]时，log 13(t −5)+83≥80解得5<t ≤32，∴ t ∈[14, 32]，∴ t ∈[12−2√2, 32]，即老师在t ∈[12−2√2, 32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳． 19. 解：（1）由题意，m =3+4+5+6+7+8+9+1=43，（2）由(n +1)b n+12−nb n 2+b n+1b n =0，b n >0，令t =b n+1b n得t >0，且(n +1)t 2+t −n =0即(t +1)[(n +1)t −n]=0，所以b n+1b n=nn+1因此b2b 1=12，b3b 2=23，…，b nbn−1=n−1n将各式相乘得b n =1n（3）设上表中每行的公比都为q ，且q >0．因为3+4+5+...+11=63，所以表中第1行至第9行共含有数列b n 的前63项，故a 66在表中第10行第三列，因此a 66=b 10⋅q 2=25．又b 10=110，所以q =2．则S(k)=b k (1−q k+2)1−q=1k (2k+2−1)．k ∈N ∗20. 解：（1）由f(x)=ax +lnx 求导可得：f′(x)=a +1x ．令f′(x)=a +1x =0，可得a =−1x∵ x ∈(1, e)，∴ −1x ∈(−1,−1e )∴ a ∈(−1,−1e ) 又因为x ∈(1, e)所以，f(x)有极值所以，实数a 的取值范围为(−1,−1e )．（2）由(I)可知f(x)的极大值为f(−1a )=−1+ln(−1a )又∵ f(1)=a，f(e)=ae+1由a≥ae+1，解得a≤11−e 又∵ −1<11−e<−1e∴ 当−1<a≤11−e时，函数f(x)的值域为(ae+1, −1+ln(−1a)]当11−e <a<−1e时，函数f(x)的值域为(a, −1+ln(−1a)]．（3）证明：由g(x)=x3−x−2求导可得g′(x)=3x2−1令g′(x)=3x2−1=0，解得x=±√33令g′(x)=3x2−1>0，解得x<−√33或x>√33又∵ x∈(1,e)⊆(√33，+∞)∴ g(x)在(1, e)上为单调递增函数∵ g(1)=−2，g(e)=e3−e−2∴ g(x)在x∈(1, e)的值域为(−2, e3−e−2)∵ e3−e−2>−1+ln(−1a)，−2<ae+1，−2<a∴ (ae+1,−1+ln(−1a)]⊆(−2,e3−e−2)，(a,−1+ln(−1a)]⊆(−2,e3−e−2)∴ ∀x1∈(1, e)，∃x0∈(1, e)，使得g(x0)=f(x1)成立．。

江苏省南通市2010届高三期中考试数学试卷

B（第13题）江苏省南通市2010届高三期中考试数学试卷2009.11一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在答题卡相应位置上． 1．已知集合M ＝{1，2，3，4，5}，N ＝{2，4，6，8，10}，则M ∩N ＝ ▲ ． 2．复数i·(1+2 i) (i 是虚数单位)的虚部为 ▲ ．3．已知a ，b ∈(0，+∞)，a +b =1，则ab 的最大值为 ▲ ． 4．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第 ▲ 象限． 5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若向量m a +n b 与向量a －2b 共线，则mn＝ ▲ ． 6．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x ，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是 ▲ ．7．若实数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则b 的值为 ▲ ．8．若双曲线焦点为，渐近线方程为2xy =±，则此双曲线的标准方程为 ▲ ．9．将一颗骰子（一个六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体）先后抛掷两次，向上的点数分别记为a ，b ，则a +b 为3的倍数的概率是 ▲ ．10．函数π2sin()3y x ω=+的图象与直线2y =-的公共点中，相邻两点之间的距离为π，则正数ω＝ ▲ ．11．若关于x 的不等式2x 2－3x +a ＜0的解集为( m ，1)，则实数m ＝ ▲ ． 12．如图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．13．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC （包括边界）内任一点．则AN MP ⋅的取值范围为 ▲ ． 14．若函数3||()2x f x kx x =-+有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请（第12题）BADCFE（第16题）在答题卡指定区域内作答. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知4cos 5A =，3sin()5B A -=，求sin B 的值．16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．17．（本小题满分15分）已知等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d 为整数．．，且满足a 1+3＜a 3，a 2+5＞a 4，数列{b n }满足11n n n b a a +=⋅，其前n 项和为S n ．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若S 2为S 1，S m (m ∈N *)的等比中项，求m 的值．18．（本小题满分15分）如图，已知圆O ：x 2+y 2=2交x 轴于A ，B 两点，点P (－1,1)为圆O 上一点．曲线C 是以AB的椭圆，点F 为其右焦点．过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的右准线l 于点Q ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与圆O 相切．19．（本小题满分16分）（第18题）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a 元（1≤a ≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为x 元（8≤x ≤9）时，一年的销售量为(10－x )2万件．（1）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式L (x )（销售一件商品获得的利润l ＝x －(a +4)）；（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L 最大，并求出L 的最大值M (a )．20．（本小题满分16分）已知函数12()416mx f x x =+，||21()()2x m f x -=，其中m ∈R ．（1）若0<m ≤2，试判断函数f (x )=f 1 (x )+f 2 (x )()[2,)x ∈+∞的单调性，并证明你的结论；（2）设函数12(),2,()(), 2.f x x g x f x x ⎧=⎨<⎩≥ 若对任意大于等于2的实数x 1，总存在唯一的小于2的实数x 2，使得g (x 1) = g (x 2) 成立，试确定实数m 的取值范围．高三期中考试数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{2，4} 2．1 3．14 4．二 5．12- 6．1 7．2 8．2214x y -= 9．13 10．211．12 12．20 13．33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．{k |2732k <-或k >0}二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）解：在△ABC 中，cos A =45，∴sin A =35．又sin(B －A )=35，∴ 0＜B －A ＜π． ∴cos(B －A )=45，或cos(B －A )=45-． ………………………6分若cos(B －A )=45，则sin B =sin[A +(B －A )]=sin A cos(B －A )+cos A sin(B －A )252453545453=⋅+⋅=． ………………………12分若cos(B －A )=45-，则sin B =sin[A +(B －A )]=sin A cos(B －A )+cos A sin(B －A )05354)54(53=⋅+-⋅=（舍去）．综上所述，得sin B =2425． ………………………14分（注：不讨论扣2分） 16．（本小题满分14分）（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE ．∵AD ∥BC ，则BC ⊥AE ． ………………………3分又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AE ．∵BC ∩BF =B ，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥BE ． ……………………… 7分（2）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．而BC=BE ，∴F 是EC 中点． …………………10分在△ACE 中，FG ∥AE ，∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD ． ………………………14分 17．（本小题满分15分）解：（1）由题意，得111132,53,a a d a d a d +<+⎧⎨++>+⎩解得32< d <52． ………………………3分又d ∈Z ，∴d = 2．∴a n =1+(n －1)⋅2=2n －1． ………………………6分（2）∵111(21)(21)n n n b a a n n +==⋅-+111()22121n n =--+，∴111111[(1)()()]23352121n S n n =-+-+⋅⋅⋅+--+11(1)22121nn n =-=++．11分 ∵113S =，225S =，21m m S m =+，S 2为S 1，S m (m ∈*N )的等比中项， ∴221m S S S =，即2215321m m ⎛⎫=⋅⎪+⎝⎭， ………………………14分解得m =12． ………………………15分18．（本小题满分15分）解：（1）由题意，得ae，∴c =1，∴b 2=1．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ……………………… 6分（2）∵P (－1，1)，F (1，0)，∴12PF k =-，∴2OQ k =．所以直线OQ 的方程为y =2x ． ……………………… 10分又椭圆的右准线方程为x =2，所以Q (2，4)，所以4112(1)PQ k -==--．又1OP k =-，所以1PQ OP k k ⋅=-，即OP ⊥PQ ．故直线PQ 与圆O 相切． ……………………… 15分19．（本小题满分16分）G BADCFE解：（1）该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为L (x )= (x －4－a )(10－x )2，x ∈[8,9]．………………………4分（2）2()(10)2(4)(10)L x x x a x '=----- =(10－x )(18+2a －3x )， …………6分令()0L x '=，得x =6+23a 或x =10（舍去）． ∵1≤a ≤3，∴203≤6+23a ≤8． ………………………10分所以L (x )在x ∈[8,9]上单调递减，故L max =L (8)=(8－4－a )(10－8)2=16－4a ．即M (a ) =16－4a ． ………………………15分答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L 最大，最大值为16－4a 万元． ………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）f (x )为单调减函数． ………………………1分证明：由0<m ≤2，x ≥2，可得12()()()f x f x f x =+=21()4162x m mx x -++=212()4162mx mx x +⋅+．由 2224(4)11()2()ln (416)22m x m x f x x -'=+⋅=+222(4)12()ln 2(28)2mx m x x --⋅+，………………4分且0<m ≤2，x ≥2，所以()0f x '<．从而函数f (x )为单调减函数． ……………5分（亦可先分别用定义法或导数法论证函数12()()f x f x 和在[2,)+∞上单调递减，再得函数f (x )为单调减函数．）（2）①若m ≤0，由x 1≥2，111121()()0416mx g x f x x ==+≤，x 2＜2，2||2221()()()02x m g x f x -==>，所以g (x 1) = g (x 2)不成立． ………………………7分 ②若m ＞０，由x ＞2时，2122(4)()()0(28)m x g x f x x -''==<+，所以g (x )在[2,)+∞单调递减．从而11()(0,(2)]g x f ∈，即1()(0,]16m g x ∈． ……………………9分（a ）若m ≥2，由于x ＜２时，||2111()()()()()2222x m m x m x g x f x --====⋅，所以g (x )在(－∞,2)上单调递增，从而22()(0,(2))g x f ∈，即221()(0,())2m g x -∈．要使g (x 1) = g (x 2)成立，只需21()162m m -<，即21()0162m m --<成立即可．由于函数21()()162m m h m -=-在[2,)+∞的单调递增，且h (4)=0，所以2≤m ＜4． ………………………12分（b ）若0＜m ＜2，由于x ＜2时，||21(),,12()()()12(), 2.2m xx m x m x m g x f x m x ---⎧<⎪⎪===⎨⎪<⎪⎩≤ 所以g (x )在(,]m -∞上单调递增，在[,2)m 上单调递减．从而22()(0,()]g x f m ∈，即2()(0,1]g x ∈．要使g (x 1) = g (x 2)成立，只需21,161()162mmm -⎧<⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤成立，即21()162m m -≤成立即可．由0＜m ＜2，得2111,()16824m m -<>．故当0＜m ＜2时，21()162m m -≤恒成立． ……………………15分综上所述，m 为区间（0，4）上任意实数． ………………………16分2010年南通高三期中考试数学讲评建议第2题:讲评时强调复数a +b i(a ,b ∈R )和实部为a ，而虚部为b ，不是b i 。

南通市2010届高三第三次模拟测试

南通市2010届高三第三次模拟测试讲评建议1．考查统计中总体分布的估计，容易题．考前要提醒学生注意回顾相关知识，不能造成考试中知识的盲点．2．考查充要条件及立几中直线与平面垂直的判定及性质，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，容易题．讲评时可提醒学生解此类立几问题时要有构建模型举反例的意识．3．考查复数的概念及集合的运算，容易题．A B ≠∅I ，则A 中的复数必须为实数，所以m=-2；实部恰为8．提醒学生在解决复数问题时，主要手段为对实、虚部的实数化计算．4．考查几何概型，容易题．讲解时可将几何概型的常见问题作简单小结，要注意维度的分析，主要是一维测度和二维测度．5．考查分段函数及对数、三角函数，容易题．()3π14f =-，则()3π2(2)14f f f ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦．此题还可以加大难度，将题目中的()f x 改成2tan 0(2)log ()0x x f x x x ⎧+=⎨-<⎩，≥，，，则()π2(2)24f f +-= 6．考查函数的性质及零点的概念，考查学生数形结合的数学思想，容易题．(0)()0f f a ⋅<且()y f x =在[]0a ，上是单调函数，则方程()0f x =在（0,a ）内有一实根7．考查算法中阅读流程图的能力，容易题．算法的考查形式不太多，要么阅读程序填结果、要么是分析结果补全程序，此类题目的讲解着重在对处理问题的逻辑顺序上给学生以启发．8．考查不等式的解法，中档题．可分类讨论0,0x x ><转化为解不等式组，也可移项通分转化为解高次不等式．9．考查三角函数的图像与性质及直线方程，考查学生的图形分析能力，中档题．先求出点(2,0),(3,1)A B ，再求得直线方程为20x y --=．10．考查双曲线的几何性质，中档题．法一：首先判断出点(5, 0)为右焦点，因为98a c +=>，所以点P 在双曲线右支上，再由双曲线定义得651645P x =-，解得8P x =．法二：设(,)P x y ，则22221,169(5)36,y x x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩解得88,(5x x ==-或舍去），所以P(8，±．现在考纲中对双曲线、抛物线的要求比较低，对圆锥曲线的定义及基本量的运算要重视，可适当补充关于椭圆、双曲线、抛物线的相关问题11．考查等差数列的相关内容，中档题．法一：分类讨论，0d >时，56560a a a a ->>⇒>；0d <时，56560a a a a >->⇒>；法二：55566611a a a a a a <-⇒>⇒⇒>． 12．考查向量的数量积，中档题．讲评解决数量积问题的三种常用方法：法一：定义法，222cos 28CA AB AO AB AO AB OAC AO ⋅=-⋅=-⋅⋅∠=-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ;法二：建系设点进行坐标计算；法三：向量转化，222()0228CA AB AO AB AO OB OA AO OA AO ⋅=-⋅=-⋅-=+⋅=-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uu r uuu r ;另外还可利用由一般到特殊的思想方法，把菱形特殊化为正方形，解法更为简洁．13．考查直线方程、线性规划等相关知识，考查运动与变化，对学生数形结合能力、函数方程、转化和化归的意识考查要求较高，较难题．点00(,)M x y 在直线210x y ++=上，利用线性规划知识画出可行域为()00052103x y x ++=<-，可行域区域内的点与原点连线的斜率范围是()11--，，此题中正确画出可行域是前提，明白00y x 的几何意义是关键． 14．考查数列、合情推理、三角函数的性质等相关内容，难题．采用特殊值法求出234,,a a a 分别为1,1,22-，由不完全归纳法得出n a 周期为3，再利用三角函数的图像与性质构造出()2ππ1332n a n =-+．答案不唯一，当2π2π()3k k N ω=+∈时，均可构造出相应的三角函数式；当ω值取定后A 、B 、ϕ的值唯一确定1π,23A B ϕ===-． 15．本题是向量与三角结合的题型．以向量为背景，考查了两角和与差的正余弦公式、余弦定理、向量的运算、面积公式、基本不等式等知识点，考查学生的公式、定理的选用能力（运算方向、运算途径的确定）．第（1）小题要注意角的范围的判断；第（2）小题要注意等号成立的条件．近三年江苏高考解答题均没有在三角形背景下考查三角向量，对三角、向量、解三角形等知识联系起来命题的形式值得关注．16．本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明、锥体的体积公式等相关知识，考查空间想象能力．讲评时应强调立体几何中有关平行与垂直定理的符号语言表达，要求规范．第（2）小题求四面体体积时要注意等积转化，培养学生的转化意识．17．本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．古典概率是必修3概率部分的中心内容，以列举法为主．本题结合列举法，留给学生能力发挥的空间，可以列举36种基本事件，如果看问题深刻一些，只要列举6种基本事件，理科学生还可以用排列知识求解．也可以与几何概型链接：变题：田忌和齐王约定中午十二点到一点间到赛马场商定赛马事宜，求田忌在齐王前到但等候不超过一刻钟的概率．18．本题主要考查直线、圆、椭圆以及不等式等知识点，考查学生数形结合、函数与方程等思想的应用，以及学生分析问题与解决问题的能力．讲评时要强化解析几何的本质方法――解析法，从几何性质上分析，用代数的方法求解．第（1）小题求定点F 坐标时强调分离参数的意识；第（2）小题判断r范围时也可联立方程组用代数法计算，在研究二元函数(,)f m n 研究椭圆2214m n +=上动点到原点距离的范围．另外， 19．本题主要考查数列的概念、等比数列、数列前n 项和的求法、不等式等知识，考查学生的分析问题与解决问题的能力及运算能力．讲评时第（1）小题要注意对公比q 的分类讨论；第（2）小题通过对通项分解，并利用数列前n 项的定义避免了利用等比数列求和时的分类讨论问题，问题化归为对关于q 的多项式的正负判断．此题还可以这样解：令f (q )=4q 3－15q 2＋12q ＋6，则2()123012f q q q '=-+，由2()123012f q q q '=-+=0，得q =12，q =2，所以f (q )在区间［0，+∞)上的最小值f min (q )=min{f (0)，f (2)}=2>0，即对q >0，T n －q 2S n =32(415126)n S q q q -++≥2>0，所以T n >q 2S ． 20．本题主要考查函数、导数、对数函数、三角函数等知识，考查函数与方程、数形结合、转化和化归、分类讨论等数学思想方法．第（1）小题评讲时主要讲清分类的标准和目的；第（2）小题，着重在正确审题，怎样将复杂的问题转化成简单的问题．方程0g =（*）无法直接求解，利用22()0,()0,g x g x =⎧⎨'=⎩得22222222ln 20,0.x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ 方程（*）其实是由此方程组消去2x 得到的，陷入绝境．我们转而消去参数a 可得222ln 10x x +-=，再利用函数与方程的有关知识解得x2 = 1，即2 12ln1210a a --⨯=，解得21=a ．本次附加题考查内容尽量回避一模、二模所考内容，其中必做题考查了空间向量与复合函数的导数，没有考查抛物线、数学归纳法、计数原理、随机变量的概率分布，这些知识点希望在后期的复习中不可忽视．。

2010年南通高三数学模拟试卷28份含答案高三试题答案

江苏省海门市2009-2010学年度第一学期期末考试高三数学参考答案15.解：（I ）m n =sinA cosB+sin B cosA = sin （A+B ） .................................对于 L ABC , A B =二一 C,0 ：： C ：：二.sin （ A B ） = sin C.m n = sin C............................ （1■ ■. sin 2C =sinC,cosC ,C .又 m n 二 sin 2C ,23............................. （（n ）由 sin A,sin C,sin B 成等差比数列,得2sin C =sin A sin B由正弦定理得2c 二a ，b.......................... （ 9分）CA （AB-AC ） =18, CACB=18 ,即 ab cosC =18,ab =36......................... （ 12 分）2 2 2 2由余弦弦定理 c a b -2abcosC = （a b ） -3ab2 2 2二 c =4c -3 汇36, c =36，二 c=6.................... （ 14 分）16.证:（I ）连接AG 交BE 于D ,连接DF , EG .••• E,G 分别是AA 1,BB 1的中点，••• AE // BG 且AE =BG ,「.四边形AEGB 是矩形.••• D 是AG 的中点 ..................................................... （3 分）又••• F 是AC 的中点，• DF // CG ......................................................... （5分）则由 DF 面 BEF , CG 二面 BEF ,得 CG / 面BEF ............................................... （7 分）（注：利用面面平行来证明的，类似给分）（n ） •••在直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中，GC 丄底面 A 1B 1C 1, • GC 丄 A 1C 1.又A 1C 1B 1 - - ACB -90 ,即 C 1B 1 丄 A 1C 1, • AG 丄面 BGCB ............................... （9分）1. （0,4] ;2.-.2 ； 3. a c b ; 4.-7 ； 5. 20; 6.3 ;7. 10; 8.甲；9.、,3—1 ;14 10. ; 11.253x 4y 5 - 0 ； 12.13•丄 a3； 14.- 4 .34242分）而CG 面BGCB,「. A1C1 丄CG ................................. （1 1 分）又CG 丄GG ,由（I）DF // CG，二AC1 丄DF ,D F 丄GG••• DF —平面AC1G .................................................... （13 分）:DF 二平面 BEF ,•••平面 BEF _ 平面 AC i G ...................................17.在△ AOB 中，设 OA=a , OB=b.因为AO 为正西方向, 则|AB|2=a 2+b 2— 2abcos135° =a 2+b 2+ ■. 2 ab........................... （3分） >2ab+ .. 2 ab=（2+ .2）ab ，.......................... （ 6 分）p 1 I1 o 又一 AB 10 =—absin135，2 2.ab =10.2 AB ,........................ （ 9 分）二 AB 2 310^2（2+A /2）AB ，二 |AB ^20（（2+1） , ...................... （ 12 分）当 a =b =10..4 • 2.2 时，取等号................ （14 分）所以把A 、B 分别设在公路上离中心 O 都是10, 4 2 2 Km 才能使|AB 最短，其最短距离为（15 分）18•解：(I)设圆 M 的半径为r ，易知圆心 M(1,m)到点A(2,0)的距离为、、2r ,• ^一2)%’*......................................................................... 4 分2 2 2、(1+2) +m =(2+r)解得 r =2 且 m =77 •••圆 M 的方程为(X _1)2 ■ (y _ . 7)2 = 4 ............................... 7 分 (n)当a =-1时，设圆C 的圆心为C , h 、J 被圆C 所截得弦的中点分别为 E,F ,弦长分别为d 「d 2，因为四边形 AECF 是矩形，所以CE 2，CF 2二AC 2 =1,即从而 d 1 d^ 2d-|2 d 2 =2,14，等号成立二 d^ d^ 14 ,d^d^ >14 时，.（d 1 d 2）max =2 14 , 即h 、12被圆C 所截得弦长之和的最大值为 2. 14此时d^ J4，显然直线h 的斜率存在，设直线 h 的方程为：y = k(x • 1)，则古…(冷，2，二直线h 的方程为：X -y • 1 =0或X y 0（4分）OB 为东北方向，所以/ AOB=13520（ ■. 2 1）Km10分13分15分化简得1 11 (n _1) =n ，即 a n2 . ........................... ( 4分).a nn因为 S n2 —(、2 1)n2n 2 (1 2)n , 2 a n22当 n =1 时，S =b 二 2 1,当 n 一2时，0 =S n -=1 n ,所以 bn = . 2 n 1(n N *)............................. (6分)又因为 b 4 b 6 =4「2 1 6,2 1 =10.2 2, 所以令 b t =10.2 2(t N *)，则 10 .2 2 =、,2t 1得到t =102与r N *矛盾，所以b 4 b 6不在数列⑴中•..... ( 8分)2(n)充分性：若存在整数 m _ -1，使G = md . 设C r ,C t 为数列中不同的两项，则c r q = c 1 (r - 1)d c 1 (t -1)d =c 1 (r ■ m t - 2)d(r m t -1) -1 】d .又 r t 一3且m 一 -1,所以 r m t -1 一1. 即c r c t 是数列：c n *的第r m t -1项............... (11分)必要性：若数列心匚中任意不同两项之和仍为数列 'q 』中的项，则c^c 1 (s -1)d , c^ = ci (t -1)d , ( s , t 为互不相同的正整数)则 c s c t = 2c 1 (st -2)d ，令 c s q二C | ,得到 2c 1 (s t -2)d (l -1)d (n,t,s N *),所以 q =(l -s -t 1)d ，令整数 m = I -s -t 1，所以 c^ md . ……(14 分)下证整数m - -1若设整数m ：：： -1,则-m - 2.令k - - m , 由题设取 C 1,q 使 & • C k = c r (r -1)19.解: ⑴因为石“点：「1，二1即 c ' c 1 (k -1)d =c ) (r -1)d ，所以 md (-m -1)d = (r -1)d 即rd = 0与r _1,d = 0相矛盾，所以m _ -1.综上，数列：c n ［中任意不同两项之和仍为数列〈c n ?中的项的充要条件是存在整数m _ -1，使(16 分)20. (1 )当 a =2时,2 当x_e 时，f(x)=2x 0恒成立，故f(x)在［e 「：)内单调递增；x■ f (x)的单调增区间为(1,=)。

南通市2010届高三第三次模拟测试

南通市2010届高三第三次模拟测试讲评建议1．考查统计中总体分布的估计，容易题．考前要提醒学生注意回顾相关知识，不能造成考试中知识的盲点．2．考查充要条件及立几中直线与平面垂直的判定及性质，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，容易题．讲评时可提醒学生解此类立几问题时要有构建模型举反例的意识．3．考查复数的概念及集合的运算，容易题．A B ≠∅I ，则A 中的复数必须为实数，所以m=-2；实部恰为8．提醒学生在解决复数问题时，主要手段为对实、虚部的实数化计算．4．考查几何概型，容易题．讲解时可将几何概型的常见问题作简单小结，要注意维度的分析，主要是一维测度和二维测度．5．考查分段函数及对数、三角函数，容易题．()3π14f =-，则()3π2(2)14f f f ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦．此题还可以加大难度，将题目中的()f x 改成2tan 0(2)log ()0x x f x x x ⎧+=⎨-<⎩，≥，，，则()π2(2)24f f +-= 6．考查函数的性质及零点的概念，考查学生数形结合的数学思想，容易题．(0)()0f f a ⋅<且()y f x =在[]0a ，上是单调函数，则方程()0f x =在（0,a ）内有一实根7．考查算法中阅读流程图的能力，容易题．算法的考查形式不太多，要么阅读程序填结果、要么是分析结果补全程序，此类题目的讲解着重在对处理问题的逻辑顺序上给学生以启发．8．考查不等式的解法，中档题．可分类讨论0,0x x ><转化为解不等式组，也可移项通分转化为解高次不等式．9．考查三角函数的图像与性质及直线方程，考查学生的图形分析能力，中档题．先求出点(2,0),(3,1)A B ，再求得直线方程为20x y --=．10．考查双曲线的几何性质，中档题．法一：首先判断出点(5, 0)为右焦点，因为98a c +=>，所以点P 在双曲线右支上，再由双曲线定义得651645P x =-，解得8P x =．法二：设(,)P x y ，则22221,169(5)36,y x x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩解得88,(5x x ==-或舍去），所以P(8，±．现在考纲中对双曲线、抛物线的要求比较低，对圆锥曲线的定义及基本量的运算要重视，可适当补充关于椭圆、双曲线、抛物线的相关问题11．考查等差数列的相关内容，中档题．法一：分类讨论，0d >时，56560a a a a ->>⇒>；0d <时，56560a a a a >->⇒>；法二：55566611a a a a a a <-⇒>⇒⇒>．12．考查向量的数量积，中档题．讲评解决数量积问题的三种常用方法：法一：定义法，222cos 28CA AB AO AB AO AB OAC AO ⋅=-⋅=-⋅⋅∠=-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ;法二：建系设点进行坐标计算；法三：向量转化，222()0228CA AB AO AB AO OB OA AO OA AO ⋅=-⋅=-⋅-=+⋅=-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uu r uuu r ;另外还可利用由一般到特殊的思想方法，把菱形特殊化为正方形，解法更为简洁．13．考查直线方程、线性规划等相关知识，考查运动与变化，对学生数形结合能力、函数方程、转化和化归的意识考查要求较高，较难题．点00(,)M x y 在直线210x y ++=上，利用线性规划知识画出可行域为()00052103x y x ++=<-，可行域区域内的点与原点连线的斜率范围是()1125--，，此题中正确画出可行域是前提，明白00y x 的几何意义是关键． 14．考查数列、合情推理、三角函数的性质等相关内容，难题．采用特殊值法求出234,,a a a 分别为1,1,22-，由不完全归纳法得出n a 周期为3，再利用三角函数的图像与性质构造出()2ππ1332n a n =-+．答案不唯一，当2π2π()3k k N ω=+∈时，均可构造出相应的三角函数式；当ω值取定后A 、B 、ϕ的值唯一确定1π,23A B ϕ===-． 15．本题是向量与三角结合的题型．以向量为背景，考查了两角和与差的正余弦公式、余弦定理、向量的运算、面积公式、基本不等式等知识点，考查学生的公式、定理的选用能力（运算方向、运算途径的确定）．第（1）小题要注意角的范围的判断；第（2）小题要注意等号成立的条件．近三年江苏高考解答题均没有在三角形背景下考查三角向量，对三角、向量、解三角形等知识联系起来命题的形式值得关注．16．本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明、锥体的体积公式等相关知识，考查空间想象能力．讲评时应强调立体几何中有关平行与垂直定理的符号语言表达，要求规范．第（2）小题求四面体体积时要注意等积转化，培养学生的转化意识．17．本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．古典概率是必修3概率部分的中心内容，以列举法为主．本题结合列举法，留给学生能力发挥的空间，可以列举36种基本事件，如果看问题深刻一些，只要列举6种基本事件，理科学生还可以用排列知识求解．也可以与几何概型链接：变题：田忌和齐王约定中午十二点到一点间到赛马场商定赛马事宜，求田忌在齐王前到但等候不超过一刻钟的概率．18．本题主要考查直线、圆、椭圆以及不等式等知识点，考查学生数形结合、函数与方程等思想的应用，以及学生分析问题与解决问题的能力．讲评时要强化解析几何的本质方法――解析法，从几何性质上分析，用代数的方法求解．第（1）小题求定点F 坐标时强调分离参数的意识；第（2）小题判断r 范围时也可联立方程组用代数法计算，在研究二元函数(,)f m n 法一：消元，转化为一元函数求值域，此时要注意定义域的影响；法二：数形结合，转化为研究椭圆221m n +=上动点到原点距离的范围．另外， 19．本题主要考查数列的概念、等比数列、数列前n 项和的求法、不等式等知识，考查学生的分析问题与解决问题的能力及运算能力．讲评时第（1）小题要注意对公比q 的分类讨论；第（2）小题通过对通项分解，并利用数列前n 项的定义避免了利用等比数列求和时的分类讨论问题，问题化归为对关于q 的多项式的正负判断．此题还可以这样解：令f (q )=4q 3－15q 2＋12q ＋6，则2()123012f q q q '=-+，由2()123012f q q q '=-+=0，得q =12，q =2，所以f (q )在区间［0，+∞)上的最小值f min (q )=min{f (0)，f (2)}=2>0，即对q >0，T n －q 2S n =32(415126)15n S q q q -++≥2>0，所以T n >q 2S ． 20．本题主要考查函数、导数、对数函数、三角函数等知识，考查函数与方程、数形结合、转化和化归、分类讨论等数学思想方法．第（1）小题评讲时主要讲清分类的标准和目的；第（2）小题，着重在正确审题，怎样将复杂的问题转化成简单的问题．方程0g =（*）无法直接求解，利用22()0,()0,g x g x =⎧⎨'=⎩得22222222ln 20,0.x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ 方程（*）其实是由此方程组消去2x 得到的，陷入绝境．我们转而消去参数a 可得222ln 10x x +-=，再利用函数与方程的有关知识解得x 2 = 1，即2 12ln1210a a --⨯=，解得21=a ．本次附加题考查内容尽量回避一模、二模所考内容，其中必做题考查了空间向量与复合函数的导数，没有考查抛物线、数学归纳法、计数原理、随机变量的概率分布，这些知识点希望在后期的复习中不可忽视．。

江苏密卷2010届3月高三大联考试题(数学)

图1江苏密卷2010届3月高三大联考试题（数学）A ．正题部分注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．1. 已知全集R U =，集合}2221(|{},0lg |{≥=<=x x N x x M ，则=N M C U )(______▲_______．2. 设1z i =-（i 是虚数单位），则22z z +=______▲_______． 3. 已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a ______▲_______．4. 函数32()31f x x x =-+的单调递减区间是______▲_______． 5. 阅读如图1，所示的程序框图，若输出y 的值为0，则输入x 的值的集合为______▲_______．6. 已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的面积为 ______▲_______．7. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是______▲_______．8. 把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为______▲_______．9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图2所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为______▲_______．10. 已知抛物线)0(22>=p px y 焦点F 恰好是双曲线22221x y a b -=的右焦点，且双曲线过点（2232,a b p p ），则该双曲线的渐近线方程为______▲_______．11. 已知函数22log (1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩ 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是______▲_______．12. 当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是______▲_______．13. 首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n a a n N ++=+∈,若对一切n N +∈都有1n n a a +>，则1a 的取值范围是______▲_______． 14．已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为______▲_______．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知A B C 、、为ABC ∆的三个内角，且其对边分别为a b c 、、，且22cos cos 02+=AA ．（1）求角A 的值；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．16. （本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=1，AD=3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）求三棱锥E －PAD 的体积；（2）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；（3）证明：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF ．17. （本小题满分15分）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为2k ⎤+⎥⎣⎦元。

数学_2010年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)(含答案)

2010年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 若集合A={x|2x≥4}=[a, +∞)，则a=________．2. 已知复数z1=2+ai，z2=2−i，若|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是________．3. 为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是________．4. 已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则a1+a2b2=________．5. 抛掷一颗骰子的点数为a，得到函数f(x)=sin aπ3x，则“y=f(x)在[0, 4]上至少有5个零点”的概率是________．6. 如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36∘，∠D=117∘，△ABC∽△DAC．（1）求AB的长；（2）求CD的长；（3）求∠BAD的大小．7. 若对于x∈(0,π2)，不等式1sin2x+mcos2x≥9恒成立，则正实数m的取值范围为________．8. 如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC=2，CD=1，∠ABD=45∘，则AD=________．9. 如图是由所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列{n2+4n}(n∈N∗, n≤2009)的项，则所得y值中的最小值为________．10. 已知直线y =x +b 是曲线y =lnx −1的一条切线，则b =________．11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，PF 1⋅PF 2=4ab ，则双曲线的离心率是________．12. 在周长为16的△PMN 中，MN =6，则PM →⋅PN →的取值范围是________． 13. 设函数f(x)=x(12)x +1x+1，A 0为坐标原点，A n 为函数y =f(x)图象上横坐标为n(n ∈N ∗)的点，向量a n =∑A k−1A k →n k=1，向量i =(1, 0)，设θn 为向量a n 与向量i 的夹角，则满足∑tan n k=1θk <53的最大整数n 是________．14. 已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC =3√2，过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 已知α∈(0,π2)，β∈(π2，π)，cos2β=−79，sin(α+β)=79．（1）求cosβ的值；（2）求sinα的值．16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA =PD =√22AD ，若E ，F 分别为PC ，BD 的中点．求证：(1)EF // 平面PAD ； (2)EF ⊥平面PDC ．17. 已知等差数列{a n }满足：a 1=8，a 5=0．数列{b n }的前n 项和为S n =2n−1−12(n ∈N ∗)（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n =2a n ，试问：是否存在正整数n ，使不等式b n c n +1>b n +c n 成立？若存在，求出相应n 的值；若不存在，请说明理由．18. 图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为√3，设AB =2x ，BC =y ．（1）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；（2）求当x取何值时，凹槽的强度最大．19. 如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴AB长为4，离心率e=√32，O为坐标原点，过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明Q点在以AB为直径的圆O上；（3）试判断直线QN与圆O的位置关系．20. 已知f1(x)=|3x−1|，f2(x)=|a⋅3x−9|(a>0)，x∈R，且f(x)={f1(x)，f1(x)≤f2(x)，f2(x)，f1(x)>f2(x).(1)当a=1时，求f(x)在x=1处的切线方程；(2)当2≤a<9时，设f(x)=f2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m, n]的长度定义为n−m），试求l的最大值；(3)是否存在这样的a，使得当x∈[2, +∞)时，f(x)=f2(x)？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2010年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）答案1. 22. −1<a<13. 484. 525. 236. （1）AB的长是3；（2）CD的长是83；（3）∠BAD是153∘．7. m≥48. 59. 1710. −211. √312. [7, 16)13. 314. 18π15. 解：（1）因为β∈(π2，π)，cosβ<0又cos2β=2cos2β−1=−79，所以cosβ=−13（2）根据（1），得sinβ=√1−cos2β=2√23而α+β∈(π2，3π2)，且sin(α+β)=79，所以cos(α+β)=−√1−sin2(α+β)=−4√29故sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)cosβ−cos(α+β)sinβ=79×(−13)−(−4√29)×2√23=1316.证明：(1)连接AC，在矩形ABCD中，F是BD的中点则F是AC的中点，又E是PC的中点，在△CPA中，EF // PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴ EF // 平面PAD.(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，∴ CD⊥PA，∵ EF//PA，∴ CD⊥EF，又PA=PD=√22AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=π2，即PA⊥PD，又EF//PA，∴ PD⊥EF，而CD∩PD=D，CD⊂平面PDC，PD⊂平面PDC，∴ 所以EF⊥平面PDC.17. 解：（1）设数列{a n}的公差为d，由a5=a1+4d1，得d1=−2，得a n=−2n+10．由数列{b n}的前n和为S n=2n−1−12(n∈N∗)可知，当n=1时，b1=S1=12，当n≥2时，b n=S n−S n−1=2n−2，b n=2n−2当n=1时，得b1=12，故数列{a n}的通项公式为a n=−2n+10，{b n}的通项公式为b n=2n−2．（2）假设存在正整数n使不等式b n c n+1>b n+c n成立，即要满足(c n−1)(b n−1)>0，由c n=2a n=210−2n=45−n，b n=2n−2，所以数列{c n}单调减，数列{b n}单调增，①当正整数n=1，2时，2n−2−1≤0，所以b n c n+1>b n+c n不成立；②当正整数n=3，4时，c n−1>0，b n−1>0，所以b n c n+1>b n+c n成立；③当正整数n≥5时，c n−1≤0，b n−1>0，所以b n c n+1>b n+c n不成立．综上所述，存在正整数n=3，4时，使不等式b n c n+1>b n+c n成立．18. 当x=44+3π时，凹槽的强度最大．19. 解：（1）由题设可得2a=4,ca =√32，解得a=2,c=√3，∴ b=1．∴ 椭圆C的方程为x24+y2=1．（2）设P(x0, y0)，则x024+y02=1．∵ HP =PQ ，∴ Q(x 0, 2y 0)．∴ OQ =√x 02+(2y 02)=2．∴ Q 点在以O 为圆心，2为半径的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．（3）设P(x 0, y 0)(x 0≠±2)，则Q(x 0, 2y 0)，且x 024+y 02=1．又A(−2, 0)，∴ 直线AQ 的方程为y =2y 0x 0+2(x +2)．令x =2，得M(2,8y 0x+2)．又B(2, 0)，N 为MB 的中点，∴ N(2,4y 0x0+2)．∴ OQ →=(x 0,2y 0)，NQ →=(x 0−2,2x 0yx 0+2)． ∴ OQ →⋅NQ →=x 0(x 0−2)+2y 0⋅2x 0y 0x 0+2=x 0(x 0−2)+4x 0y 02x 0+2=x 0(x 0−2)+x 0(4−x 02)x 0+2=x 0(x 0−2)+x 0(2−x 0)=0．∴ OQ →⊥NQ →．∴ 直线QN 与圆O 相切．20. 解：(1)当a =1时，f 2(x)=|3x −9|．因为当x ∈(0, log 35)时，f 1(x)=3x −1，f 2(x)=9−3x ，且f 1(x)−f 2(x)=2⋅3x −10<2⋅3log 35−10=2⋅5−10=0，所以当x ∈(0, log 35)时，f(x)=3x −1，且1∈(0, log 35) 由于f ′(x)=3x ln3，所以k =f ′(1)=3ln3，又f(1)=2，故所求切线方程为y −2=(3ln3)(x −1)，即(3ln3)x −y +2−3ln3=0；(2)因为2≤a <9，所以0<log 39a ≤log 392，则 ①当x ≥log 39a 时，因为a ⋅3x −9≥0，3x −1>0，所以由f 2(x)−f 1(x)=(a ⋅3x −9)−(3x −1)=(a −1)3x −8≤0，解得x ≤log 38a−1，从而当log 39a≤x ≤log 38a−1时，f(x)=f 2(x)；②当0≤x <log 39a 时，因为a ⋅3x −9<0，3x −1≥0，所以由f 2(x)−f 1(x)=(9−a ⋅3x )−(3x −1)=10−(a +1)3x ≤0，解得x ≥log 310a+1，从而当log 310a+1≤x <log 39a时，f(x)=f 2(x)；③当x <0时，因为f 2(x)−f 1(x)=(9−a ⋅3x )−(1−3x )=8−(a −1)3x >0，从而f(x)=f 2(x)一定不成立.综上得，当且仅当x ∈[log 310a+1,log 38a−1]时，f(x)=f 2(x)，故l =log 38a−1−log 310a+1=log 3[45(1+2a−1)]，从而当a =2时，l 取得最大值为log 3125;(3)“当x ∈[2, +∞)时，f(x)=f 2(x)”等价于“f 2(x)≤f 1(x)对x ∈[2, +∞)恒成立”，即“|a ⋅3x −9|≤|3x −1|=3x −1(∗)对x ∈[2, +∞)恒成立” ①当a ≥1时，log 39a ≤2，则当x ≥2时，a ⋅3x−9≥a ⋅3log 39a−9=0，则(∗)可化为a ⋅3x −9≤3x −1，即a ≤1+83x，而当x ≥2时，1+83x>1，所以a ≤1，从而a =1适合题意 ②当0<a <1时，log 39a >2．(i)当x >log 39a时，(∗)可化为a ⋅3x −9≤3x −1，即a ≤1+83x，而1+83x>1，所以a ≤1，此时要求0<a <1;(ii)当x =log 39a时，(∗)可化为0≤3x −1=9a−1，此时只要求0<a <9;(iii)当2≤x <log 39a 时，(∗)可化为9−a ⋅3x ≤3x −1，即a ≥103x−1，而103x−1≤19，所以a ≥19，此时要求19≤a <1，由(i)(ii)(iii)，得19≤a <1,符合题意要求．综合①②知，满足题意的a 存在，且a 的取值范围是19≤a ≤1.。

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