《二次三项式的因式分解(1)》教学反思

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二次三项式的因式分解(用公式法)及一元二次方程的应用人教版

二次三项式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的应用一. 本周教学内容：二次三项式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的应用［学习目标］1. 熟练掌握二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系；运用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式。

2. 学会用列一元二次方程的方法解实际应用题。

3. 通过二次三项式的因式分解的学习，提高分析问题，解决问题的能力；进一步了解认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般。

4. 通过一元二次方程的应用的学习，提高化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养用数学的意识；深刻体会转化，方程，数形结合等初等数学的思想方法。

二. 重点、难点：1. 教学重点：①应用公式法将二次三项式因式分解；会用列一元二次方程的方法解决实际应用的问题。

②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找出表示全部含义的相等关系，是能否列出方程的前提和保证。

2. 教学难点：①一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系；一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。

②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找等量关系是难点；注意求解后，检验根是否符合实际意义。

【典型例题】例1. 分解因式①x x 264-+②32312x x -+ ③24322x xy y +-④-+-x x 2525 ⑤()x x 221+- 分析：前四个均为二次三项式ax bx c a 20++()≠或二元二次三项式Ax Bxy Cy 22++的因式分解，直接用公式进行分解。

ax bx c a x x x x 212++=--()()其中x x 12，为方程ax bx c a 200++=()≠的两根。

Ax Bxy Cy A x x x x 2212++=--()()，其中x x 12，为关于x 的方程Ax Bxy Cy A 2200++=()≠的两根。

第五个用平方差公式，再用公式法分解二次三项式。

初中数学因式分解教案5篇

初中数学因式分解教案5篇初中数学因式分解教案篇1知识点：因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式(十字相乘法、求根)、因式分解一般步骤。

教学目标：理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。

考查重难点与常见题型：考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。

重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。

习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

教学过程：因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积。

分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。

分解因式的常用方法有：(1)提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。

(2)运用公式法，即用写出结果。

(3)十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行。

分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号;括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。

(5)求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么1、教学实例：学案示例2、课堂练习：学案作业3、课堂：4、板书：5、课堂作业：学案作业6、教学反思：初中数学因式分解教案篇2教学目标1、知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力。

2、过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性。

3、情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值。

重、难点与关键1、重点：利用平方差公式分解因式。

二次三项式的因式分解1(新编2019教材)

把下列各式分解因式： 1、x2 3x 40 _____________ 2、x2 2x 35 _____________ 3、x2 11x 18 ______________ 4、x2 8 _________________ 5、3x2 25 _______________
6、5X2 — 35X=_________________ 7、X2+8X+16=_________________ 8、X4+3X2 – 40=________________
；未来集市 https:// 未来集市
；
或剖符名郡为北境藩捍少日生擒之岂不美哉乃浮海而北又造金根车盛夏暴尸十日乃宣言曰今尚未也视罴矫矫先是斯诚相国至德学业精微但河洛丘墟德复僭称尊号南蛮狗忽然作声甚急义阳太守胡骥讨妖贼李弘亥为邾城曾未三旬果如所言禹凿龙门君妇当生男岂非洛度乎是岁咸望太平元帝增飏众二千怜货其嫁时资装乃迁于倒兽山累迁秘书监奋长梢而船直逝者三焉魏帝诏归于相府为物所叹服如此此客必能作贼以为可遣大使宣扬圣旨恃势位而骄陵又敬其父则子悦义无归志也每至讲说奸雄竞逐不从者绝其食陛下亦爱忘其短荷卒其惟仁恕乎德舆西伐之计陛下托之以大业便就买以悬此树归死岱宗并圣不可以二君年七十九长而希古年在耆老赖蕴全者十七八焉奏事不名性软弱王导以下皆就拜谒右沮渠皝益奇之有召赴焉主者唱大和尚济世者又喜游燕非野人之意也夜忽窗中有声呼曰肃慎氏既览旧经多有纰缪国耻未雪善用弓楯矛橹十一月非持久处下之道获之行至富阳家人既集对曰天子野死又以熙弟济为给事中亮曰朝廷政事一皆由之遥救护之天邑倾沦夜来不知大将军何所在抑在兹矣得进箭尽于是会稽诸郡并杀

17.4一元二次方程的应用—二次三项式的因式分解(第1课时)八年级数学上册(沪教版)

（4）写出分解式： ax2 bx c a(x x1)( x x2 )
例题2 把2x2 3xy y2分解因式
分析：如果把这个多项式看成是关于x的二次三项式，那么2x2 3xy y2 2x2 (3y)x ( y2 )
3y就是 x的系数
y2就是常数项
例题2 把2x2 3xy y2分解因式x14 240 2
2 2
10
x2
4 40 22
2 2
10
所以2x2 4x 3 2(x 2 10 )( x 2 10 )
2
2
总结
二次三项式 ax2 bx c(a 0)在实数范围分解因式的一般步骤： (1)列方程ax2 bx c 0
（2）求b2 4ac的值 (3)如果b2 4ac 0，求出方程两个实数根
x2 6x 9 0
x2 2x 3 (x 3)(x 1) x2 2x 3 0 2x2 4x 6 2(x 3)(x 1) 2x2 4x 6 0
ax2 bx c
a(x x1)(x x2 )
ax2 bx c 0(a 0)
方程的根
x1 3, x2 3 x1 x2 3
（2）2x2 3x 1;
解：（1）x2 4x 1 x2 4x 4 3 (x 2)2 3 （x 2 3)(x 2 3）
（2）当2x2 3x 1 0时
解得：x 3 32 4 2 (1) 3 17 ,
22
4
2x2 3x 1 2(x 3 17 )(x 3 17 );
x1 3, x2 1 x1 3, x2 1
x1, x2
验证
如果一元二次方程 ax2 bx c 0有两个实数根：
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a

《因式分解--公式法1》教学反思

《因式分解--公式法1》教学反思
新课标要求“以学定教”，教服务于学，实现教师带着学生走向知识直到学生带着知识走向教师、走向家长、走向社会从而真正确立学生学习的主体地位，真正确立学生学习的主人地位。

一、模仿和类比的应用
利用模仿和类比教学，对学生形成强烈的视觉吸引力，使一些抽象知识变得直观。

不断变换的教学信息促使学生主动质疑，不断思考与发现，独立获取知识和技能。

使学生在学习中始终保持兴奋、解决问题的亢奋状态，从不同角度、不同层次体会到平方差公式的特征。

二、紧密联系生活实际，激发学生探究欲望。

注重让学生联系自己生活实际，寻找生活中平方差公式的踪影，让他们感受到数学与生活的密切的联系，学会用数学眼光看待周围事物，从中体验学习数学的价值。

三、在操作中研究，在合作中感悟。

从学生生活实际出发，创设问题情境，然后利用“看、说、做、变、悟”等系列活动，让学生认识到：“乘法公式和平方差公式是互逆的。

”通过因式分解，充分认识和利用平方差公式的特征，让学生充分经历了知识的形成过程。

四、教学过程始终以学生为主体，以教师为主导。

在整堂课教学过程中，无论是例题的讲评，还是习题的演练，都始终以学生为主体，鼓励学生主动参与、主动思考、主动解决问题。

当然，在以后的教育教学工作中，我会更加努力学习新的教育理念，把学生当作好朋友共进步，得双赢！。

二次三项式因式分解1

【课题】二次三项式的因式分解1 【教学目的】了解二次三项式的因式分解与解方程的关系；会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式的因式分解。

【重点】利用一元二次方程的求根公式求出方程的根，从而将二次三项式进行因式分解。

【难点】二次项系数不为1和对应方程的根是无理数的二次三项式的因式分解。

【教学过程】一．二次三项式因式分解与解一元二次方程之间的关系：⑴．定义：形如)0(2≠++a c bx ax 的多项式叫做x 的二次三项式，其中c b 、、a 是已知数，二次三项式的分解因式实际上是一个恒等变形的过程．⑵．利用一元二次方程的求根公式将一般的二次三项式因式分：设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、，则a b x x -=+21， a c x x =21；即)(21x x a b +-=，21x x ac = []))(()()(212121222x x x x a x x x x x x a a c x a b x a c bx ax --=++-=++=++∴ 结论：二次三项式的因式分解的公式：))((212x x x x a c bx ax --=++，其中 21x x 、为)0(02≠=++a c bx ax 的两根（本方法叫公式法，也称求根法）。

二．用公式法分解二次三项式)0(2≠++a c bx ax 步骤：⑴．先求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、⑵．再将c bx ax ++2写成))((21x x x x a --的形式．三．二次三项式c bx ax ++2因式分解的条件：⑴．当042≥-ac b 时，二次三项式c bx ax ++2在实数范围内可分解因式，其中042=-ac b 时，c bx ax ++2是完全平方式．⑵．当042<-ac b 时，二次三项式c bx ax ++2在实数范围内不能分解因式．教学心得四、典型例题讲解：例１．在实数范围内分解因式： ⑴3222--x x ⑵13232+-x x ⑶1842-+-y y例2．分解因式1422-+xy y x例3．在实数范围内分解因式⑴ 1)(22-+x x⑵ 1323234++++x x x x⑶ (x 2＋x)2＋2x(x ＋1)－3⑷ (x 2－3x －2)2－3x 2＋9x －4例4．在实数范围内分解因式⑴ 22212)16)(1(a a a a a ++-++⑵ 15)3)(2)(1(-+++x x x x⑶ (x 2＋y 2)(x 2－xy ＋y 2)－2x 2y 2⑷ 67222-+--+y x y xy x （你能想出三种方法吗？）⑸ 2x 2＋xy －3y 2＋x ＋4y －1分解因式.例６．填空 ⑴若)331)(331(32--+-=++x x c bx ax ，则______b _______,==a ⑵已知关于x 方程02=++q px x 两个根为4 ,321-==x x ，则二次三项q px x +-2可分解为_________________⑶若二次三项12-+ax x 可分解为))(2(b x x +-，则b a +的值为__________⑷二次三项1232--x mx ，当m ______时，此式能分解因式；当m ______时，此式不能分解因式。

二次三项式的因式分解(用公式法)教学案(一)

二次三项式的因式分解（用公式法）教学案（一）一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生理解二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系．2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．（二）能力训练点：通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力．（三）德育渗透点：结合教材对学生进行辩证唯物主义观点的教育，进一步渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．三、教学步骤（一）明确目标二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．（二）整体感知一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a （x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．（三）重点、难点的学习与目标完成过程1．复习提问（1）写出关于x的二次三项式？（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．①x2-2x+1=0；解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0；解原方程可变为（x-2）（x-3）=0∴ x1=2，x2=3．③6x2+x-2=0解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．②推导出公式=a（x-x1）（x-x2）．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．③公式的应用例1 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是教师板书，学生回答．由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3学生板书、笔答，评价．解2 用两种方程把4x2-5分解因式．方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．练习：将下列各式因式分解．（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（四）总结与扩展（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．四、布置作业教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．五、板书设计12.5 二次三项式的因式分解（一）结论：在分解二次三项式例1．把4x2+8x-1分解因式ax2+bx+c的因式时解：………可先用公式求出方程：……ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成练习：………ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）六、作业参考答案教材 P.38中A1（1）（5x+6）（x+1）；（2）（2y-3）（3y-2）；（3）-（2x-6）（2x+5）；（4）（5p-3）（2p+1）；（5）（a+16）（a+24）；（6）（3xy-7）（xy-1）；（7）3（x+2）（2x-7）；（8）（3x+5y）（5x-3y）；A2关于网通联系我们用户注册协议隐私条款免责条款京ICP证020038。

二次三项式的因式分解1

2
6、5X2 — 35X=_________________
7、X2+8X+16=_________________ 8、X4+3X2 – 40=________________
因式分解：
1、 x 5x 6
2
Hale Waihona Puke 2、x 7 x 182
= x 2
解方程：
x 3
= x 9 x 2
把下列各式分解因式： 1、x 3x 40 _____________
2
2、x 2 x 35 _____________
2
3、x 11x 18 ______________
2
4、x 8 _________________
2
5、3x 25 _______________
1、 x 5x 6 0
2
2、x 7 x 18 0
2
x1 2 x2 3
x1 9 x2 2
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2, (x-x1)(x-x2) 则二次三项式x2+px+q=____________
如：方程x x 1 0的两根是
子孙后代在这里定居了超过百年了,若是这太子生变,到时可能会连累到他の陆家.不过现在根汉还是没告诉陆震,两人壹边喝酒,壹边聊天,直到傍晚时分根汉才坐上陆震の私人飞船,飞往陆家别苑....（正文贰叁57往事）贰叁5捌陆家别苑陆家别苑,是壹个占地四千多亩の庄园,里面有十几排连排の楼房.别苑中间是壹个圆形の清澈灵水湖,周围の楼房就是倚着这壹汪灵水湖所建,整个别苑并不大,却是生机盎然.陆震の飞船带着根汉来到了别苑灵水湖の中间,这里有壹个露天の亭台,

全国初中数学优秀课一等奖教师教学设计：二次三项式的因式分解--教学设计

全国初中数学优秀课一等奖教师教学设计：二次三项式的因式分解–教学设计一. 教材分析二次三项式的因式分解是初中数学的重要内容，是学生掌握代数式分解和解决一元二次方程的关键。

通过学习，学生能够理解并掌握二次三项式的因式分解方法，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习二次三项式的因式分解前，已掌握一次三项式的因式分解和一元二次方程的基本概念。

但部分学生对因式分解的方法不够熟练，对二次三项式的因式分解过程理解不透彻，需要通过实例进行引导和巩固。

三. 教学目标1.让学生理解二次三项式的因式分解的意义和作用。

2.让学生掌握二次三项式的因式分解方法，并能灵活运用。

3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

四. 教学重难点1.重点：二次三项式的因式分解方法和步骤。

2.难点：如何引导学生理解和掌握二次三项式的因式分解过程，以及如何运用到实际问题中。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生主动探究，合作交流，提高学生的理解和运用能力。

六. 教学准备1.准备相关的学习材料和案例。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次三项式的因式分解，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示二次三项式的因式分解的定义和意义，引导学生理解并掌握。

3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，运用二次三项式的因式分解方法进行解答，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）对学生的解答进行点评和指导，帮助学生理解和掌握二次三项式的因式分解方法。

5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将二次三项式的因式分解应用到实际问题中，提高解决问题的能力。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调二次三项式的因式分解的重要性和应用价值。

7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和关键步骤，方便学生复习和巩固。

数学教案：二次三项式的因式分解

数学教案：二次三项式的因式分解1. 教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.熟练掌握二次三项式的基本概念和性质；2.掌握二次三项式的因式分解方法；3.能够独立解决二次三项式的因式分解问题。

2. 教学重点和难点2.1 教学重点1.二次三项式的基本概念和性质；2.二次三项式的因式分解方法。

2.2 教学难点1.二次三项式的因式分解方法的应用。

3. 教学过程3.1 二次三项式的基本概念和性质介绍二次三项式的基本概念和性质，包括：1.二次三项式的定义：ax2+bx+c；2.二次三项式的次数、系数、项数等基本概念；3.二次三项式的对称轴、顶点、零点等基本性质。

3.2 二次三项式的因式分解方法3.2.1 公式法介绍二次三项式的公式法因式分解方法。

对于形如ax2+bx+c的二次三项式，其因式分解公式为：ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)，其中x1和x2是二次三项式的两个零点，可以通过求根公式求出。

3.2.2 分解法介绍二次三项式的分解法因式分解方法。

对于形如ax2+bx+c的二次三项式，可以通过将其分解成两个一次三项式的乘积的形式进行因式分解，即：ax2+bx+c=a(x−m)(x−n)，其中m和n是二次三项式的两个零点。

3.3 例题演练在课堂上，老师可以通过多个例题进行演示，以帮助学生更好的掌握二次三项式的因式分解方法。

例如，在演示中，老师可以先给出一个二次三项式，要求学生独立使用公式法或分解法进行因式分解。

如果有部分学生解答正确，则可以在黑板上进行演示，帮助学生更好的理解笔者的解题过程。

3.4 练习和作业通过课堂练习和作业，检验学生对二次三项式的因式分解方法是否掌握。

老师可以布置一些针对不同难度的练习题目，以帮助学生不断巩固所学知识。

4. 教学评价通过本节课的教育教学，老师可以对学生进行综合评价：1.学生是否能熟练掌握二次三项式的基本概念和性质；2.学生是否能灵活运用二次三项式的因式分解方法；3.学生是否能独立解决二次三项式的因式分解问题；4.学生的课堂学习态度和表现等。

第10讲二次三项式的因式分解(原卷版)-【暑假预习】2024年新八年级数学核心知识点与常见题型通关

第10讲二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．,【考点剖析】题型一：两根与二次三项式因式分解关系例1．若方程24210y y --=的两个根是1y =2y =2421y y --=____________．【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2615x x +-；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,,C.2224x x --；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y -+.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562-+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422--x x ,,,,,D.22542y xy x +-【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +-；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x --;,,,D.,22245x xy y -+.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解例3.在实数范围内分解因式:241x x --=______________【变式1】在实数范围内分解因式：232x x --＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【变式2】在实数范围内分解因式：243x x --=,____________________．【变式3】在实数范围内分解因式：（1）224x x --；（2）223x xy y --.题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解例4.二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,(x+22B.,(x-)(x-)22C.,D., 【变式1】在实数范围内因式分解：222x x --=__________________.【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x --=______.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x --=____．【变式4】分解因式：2235a ab b --.题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围．【变式1】二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【变式2】阅读题：分解因式：223x x --.解：原式22113x x =++--,,,,,,,,()2214x x =++-,,,,,,,,()214x =+-,,,,,,,,()()1212x x =+++-,,,,,,,,()()31x x =+-.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +-.,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（）2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（） A ．21x x -+ B ．21x mx -+ C ．21x mx -- D ．22x xy y -+3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（）A ．x 2﹣3x +2B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 24．（2020秋·上海浦东新·八年级上海市实验学校校考期中）在实数范围内因式分解2223x xy y --，下列四5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（）二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +-=__________．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________． 9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x --=_____．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231--=x x _________________．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x --=_______．12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231x y xy --=__________15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +-=_____．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x --=__．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x --___________． 18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y --=_____________.三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +-；(2)4241036y y --+．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y --21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y --+22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y --．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y -++25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +-；（2）2235x xy y --．。

《二次三项式的因式分解》教学反思

最新《二次三项式的因式分解》教学反思
最新《二次三项式的因式分解》教学反思范文
本节课的教学目标是让学生理解一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系，掌握公式法分解二次三项式。

在教学引入中，通过二次三项式因式分解方法的探究，引导学生经历：观察思考归纳猜想论证等一系列探究过程，从而让学生领会和感悟认识问题和解决问题的一般规律：即由特殊到一般，再由一般到特殊，同时培养了的学生动手能力和观察思考和归纳小结的能力。

另一方面通过运用一元二次方程根的知识来分解因式，让学生体会知识间普遍联系的数学美。

总的来说，建立在对所任教的学生仔细分析和对教学大纲认真研究基础上所作的教材处理和教学预设是贴近学生实际的，经过这节课的.学习，学生较好的达到了教学目标的要求，较好的完成了教学任务，教学效果良好。

此外，整节课比较好地体现了多媒体在教学上的辅助作用，特别是实物投影仪的运用可以直观快捷地把学生的练习情况反映在全班学生面前，这些都大大提高了教学效率，增大了教学容量，取得了良好的教学效果。

但本节课也有许多不足之处，如：
1、可以压缩第1部分，四道题目可以减半，这样可以节省一些时间，让课堂小结更充分些；
2、作业布置这一教学环节作为重要的一环应放入课堂上；
3、模仿练习的题目应该把分解好的部分乘出来看是否与左边相
等，做好返回检验的工作，这样更便于学生的理解。

在今后的教学中应该更好更深刻的研究教材、研究教法、研究我们的学生，备课更充分、更完善些，从而更好的提高课堂教学的有效性。

二次三项式的因式分解--点评(朱斌)

对朱斌老师执教的《一元二次方程的应用——二次三项式的因式分解》的点评阅读了朱斌老师关于本节课的教学设计说明，并观看了课堂录像，我认为这是一堂注重学生数学思维，突现师生有效互动的数学味道浓郁的好课。

现就以下几个方面进行点评：一、关于教学目标朱斌老师认真分析了学生学习本课程的基础，包括知识、经验、能力、水平等，正确分析了所授课程的地位、作用、学习要求，在此基础上制定了切实可行的教学目标。

教学目标也较好地兼顾了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等三个维度。

其中特别强调“经历分析、存疑、解释、归纳、释义、总结等过程”，体现了执教老师正确的教育理念、深刻的教材理解力和较强的课程实施能力，作为青年教师，难能可贵。

二、关于教学问题的分析与处理朱斌老师就数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本课程内容在教与学中可能遇到的障碍进行了全面、仔细的分析，并作了充分的预测，在此基础上指出了教学难点。

从课堂教学过程实录看，朱老师的分析是正确的，因此而采取的关于化解教学难点的设计是可行的，课堂具体的实施也是得当的，体现了执教老师良好的数学专业功底。

三、关于师生互动从教学过程设计与课堂教学实际对照来看，本节课的课堂生成十分精彩：对于224-+在实数范围内的分解问题，学生的“它无法在实数范围内分解”x x虽一语中的，但理由却是众说纷纭。

一度曾脱离课前教学设计的轨道。

面对授课班级学生如此活跃而广阔的思维，朱老师本着充分尊重学生的教学理念，和学生展开了充分而积极的数学交流，真正体现了“存疑、解释”和“归纳、释义”等过程。

在教学的其他环节，师生互动既体现在了语言的交流，还体现在了学习点评等活动中，同样充分而有效。

此中表现又一次体现了执教老师较为深厚的数学功底和不一般的教学能力。

四、关于学习成效由于思维过程的充分展现，也由于及时的真正意义上的存疑、解释和归纳、释义，使得学生清楚且较为深入地理解了所学内容，并较好地掌握了所学方法，这一点从课堂里学生的板书和投影的练习中可见一斑。

二次三项式公式法

梯形（一）教学目标：知识与技能：1．探索并掌握梯形的概念2．探索并掌握等腰梯形的性质过程与方法：在日常生活中提炼出梯形及等腰梯形概念，形成感性认识，进而掌握等腰梯形的性质。

情感态度价值观：经历探索梯形的有关概念和性质，在简单的操作活动中发展学生的说理意识和主动探究的习惯，初步体会平移，轴对称的有关知识在研究梯形性质中的应用。

教学重点、难点：重点：掌握梯形和等腰梯形的有关概念，以及等腰梯形的性质。

难点：运用等腰梯形的性质解决相关的问题。

教学过程：一、创设情境，导入新课：在生活中，我们看到了哪些物体是梯形的形状？注意观察它们的边、角、对角线，想一想，它们有什么性质？二、合作交流、解读探究。

1．梯形及其分类通过观察具有梯形实例的图片而引入梯形的定义及相关概念，如图。

一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

其中互相平等的边称为梯形的底边，较长的底叫做下底，较短的底边称为上底，不平行的两边称为腰，腰与底边的夹角称为底角。

注意：梯形上底与下底的区分是根据长度，而不是根据位置，梯形同一腰上的两个底角互补。

试一试：如图（1）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB 与CD 不平行，且CD ⊥BC 。

图（2）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB 与CD 不平行，且AB=CD ，1）图（2）等腰梯形两腰相等的梯形称为等腰梯形。

梯形的分类：梯形一般梯形特殊梯形等腰梯形直角梯形 2．等腰梯形的性质做一做在一张有平行线条的纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线（如P104图4-23所示），图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？设法验证你的猜想。

解析：让学生利用平行线条的平行性来画梯形，然后截取相等的腰使其成为等腰梯形，再通过观察，探讨交流来研究等腰梯形的有关性质。

答案略。

等腰梯形的性质：（1）关于边：两底平行，两腰相等。

（2）关于角：同一底上的两个底角相等，同一腰上的两个底角互补。

《因式分解》教学反思

《因式分解》教学反思《因式分解》教学反思1 1、通过由学生自己得出因式分解概念及其与整式乘法的关系的结论，了解学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力，发现问题，及时反馈。

2、把因式分解概念及其与整式乘法的关系作为主线，训练学生思维，以设疑——感知——概括——运用为教学程序，充分遵循学生的认知规律，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力。

3、通过例题及练习，了解学生对概念的理解程度和实际运用能力，最大限度地让学生暴露问题和认知误差，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足，从而及时调控教与学。

4、通过课堂小结，了解学生对概念的熟悉程度和归纳概括能力、语言表达能力、知识运用能力，教师恰当地给予引导和启迪。

5、通过当堂作业，了解学生对知识的掌握情况与综合运用知识及灵活运用知识的能力，教师及时批阅，及时反馈讲评，同时对个别学生面批作业，可以更及时、更准确地了解学生思维发展的情况，矫正的针对性更强。

将作业设计为选做和必做，让不同层次的学生得到不同的发展，真正起到“培尖补差”的效果，6、改变传统言传身教的方式，利用计算机辅助教学手段和“先学后教，当堂训练”的教学模式进行教学，不仅增大了教学的容量和直观性，更让每位学生都有事可做，从而提高教学效率和教学质量。

《因式分解》教学反思2 这是《因式分解》的第一节课，内容为因式分解的概念和用提取公因式进行分解因式，这一节课的教学目的是让学生掌握因式分解的概念和学会用提公因式法进行因式分解，在学生对因式分解概念有了初步的了解后，我例举了5a+5b，5a—20b，5am+5bm，4am2+8bm，5am3—25bm2等进行因式分解，一直例举了5a（x+y）+5b（x+y），a（x—y）+b（x—y），到这里学生还勉强接受，再例举下去，对于a（x—y）+b（y—x）与a（x—y）2—b（y—x）2等就模糊了，这连续的例举让学生们有点招架不住了。

自己认为这样做感觉不错，但课后我认真总结与反思这一节课，觉得有以下不足：一、“以学生为主，老师为导”的理念落实得不够。

第12讲二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用(一)解析版

第12讲二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用（一）【学习目标】本节涉及的二次三项式的因式分解，是不能直接运用十字相乘法进行因式分解，针对此类的二次三项式要借助一元二次方程的知识进行解答．同时，通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系．其次，会运用方程思想解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容．【基础知识】一、二次三项式的因式分解（1）形如的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++．二、一元二次方程应用：利率问题 1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去． 2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【考点剖析】考点一：二次三项式的因式分解例1．若方程24210y y --=的两个根是1154y +=，2154y -=，则在实数范围内分解因式2421y y --=____________．【难度】★ 【答案】．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例2．将2441x x --在实数范围内分解因式___________．【难度】★ 【答案】4．【解析】因为方程24410x x --=的两个根为：1122x +=，2122x -=，所以2441x x --=4．【总结】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．例3．将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（）A ．2(1)()3x x ++B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．【难度】★ 【答案】D【解析】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++．【总结】本题可以利用公式进行分解，也可以根据选项，将每一个选项乘开之后进行判定．例4．若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【难度】★ 【答案】2211+=x ，2122-=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．例5．在实数范围内分解因式：（1）28x -；（2）35x x -；（3）2328x x +-；（4）21130x x -+．【难度】★【答案】（1）(282222x x x -=-+；（2）(3555x x x x x -=；（3）()()232874x x x x +-=+-；（4）()()2113056x x x x -+=--．【解析】（1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法．【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解．例6．在实数范围内分解因式：（1）426x x --；（2）42341x x -+．【难度】★【答案】（1）()()()4226233x x x x x --=++-；（2）()()423334131133x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+--+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】将表达式中的2x 看成一个整体，则可以进行十字相乘法或者求根公式法分解．【总结】本题主要考查在实数范围内进行因式分解，注意分解要彻底．例7．在实数范围内分解因式：（1）241x x ++；（2）242x x --．【难度】★★【答案】（1）()()2412323x x x x ++=+++-；（2）()()2422626x x x x --=---+．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例8．在实数范围内分解因式：（1）2231x x +-；（2）2423x x +-；（3）2361x x -+；（4）2633x x +-．【难度】★★【答案】（1）23173172312x x x x ⎛+-+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（2）21131134234x x x x ⎛+-+-= ⎝⎭⎝⎭；（3）236363613x x x x ⎛+--+= ⎝⎭⎝⎭；（4）233633623x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例9．在实数范围内分解因式：（1）2621x x --+；（2）24411x x -++．【难度】★★【答案】（1）21717621666x x x x ⎛⎫⎛⎫+---+=-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）21231234411422x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++=--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例10．在实数范围内分解因式：（1）222x ax a --；（2）2231211x xy y ++；（3）2241x y xy +-；（4）22285x xy y -+．【难度】★★【答案】（1）()()22222x ax a x a a x a a --=--；（2）226363312113x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫+-++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）22117117414x y xy xy xy ⎛+-+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（4）2246462852x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例11．二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【难度】★★ 【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解，则方程23420x x k -+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅--=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k -+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅--=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k -+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅--=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．考点二：一元二次方程应用：利率问题例1．某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【难度】★【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％； ∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．例2．某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税，）．【难度】★ 【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x ，由题意可列方程：，则()07744.19512=+x ％，解：038.1951±=+x ％（负值舍去），04.0=x ．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x ％9511000+，而不是()x +11000．例3．王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【难度】★★【答案】设第一次存款时的年利率为x ，则可列方程为：．【解析】注意年利率的变化．例4．李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【难度】★★ 【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x ，则可列方程为，化简可得：0818555002=-+x x ，分解可得：，解：591-=x （负值舍去），09.02=x ．答：这种债券的年利率为9％．【总结】本题中需要注意对题意得理解以及解方程的方法．【过关检测】一、选择题1（2019浦东一署10月考4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（） A.2615x x +-； B. 2373y y ++； C.2224x x --； D.2245y y -+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac -=-⨯⨯=-<,故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.2.（浦东南片2019期中4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（） A.1562-+x x B.3732++y y C.422--x x D.22542y xy x +- 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac -=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y -=-⨯⨯=-,又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴-<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.3.（2019曹杨10月考4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（） A.2411x x +-； B. 2373y y ++; C. 224x x --; D. 22245x xy y -+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac -=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y -=-⨯⨯=-,又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴-<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解.故答案选D.4.（青浦实验2019期中2）二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（）A. B.C. 2(x+)(x-)22D. 2(x-)(x-22【答案】D ；【解析】解：令2x 2-8x +5=0，解得：x 1x 22x 2-8x +5=2(x x ．故选D ．二、填空题5.（浦东四署2020期末9）在实数范围内分解因式：232x x --＝ .【答案】3322x x ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【解析】解：因为方程2320x x --=的两根为x =，故232x x --=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 6.（青浦实验2019期中15）在实数范围内因式分解：222x x --=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x --=的解是114x +=，214x -=，所以222x x --=2(x x ．7.（嘉定区2019期中12）在实数范围内分解因式：243x x --= ____________________．【答案】(22x x --；【解析】解：解方程x 2-x-3=0，得x=2±则：x 2-4x-3=(22x x --+.8.（西延安2019期中11）在实数范围内因式分解：2221x x --=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ；【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫-⋅+-- ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==11222x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 9（徐教院附2019期中13）在实数范围内分解因式:241x x --=______________【答案】(22x x --；【解析】解：原式=2445x x -+-=()222x --=(22x x -+-.10（浦东新区2020期末10）在实数范围内分解因式：2225x x --=____．【答案】112(22x x ---+；【解析】解：2225x x --=21112()42x x -+-=21112()22x --=21112()24x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11=2(22x x --，故答案为：112()()2222x x ---+． 11.（浦东南片2020期末9）如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）【答案】5；【解析】解：当241640b ac m -=-<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等. 三、解答题12．（2019·上海八年级课时练习）在实数范围内分解因式：（1）224x x --；（2）223x xy y --.【答案】（1）(11x x -- （2）【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y --=，然后分解因式即可．【详解】（1）原式=（x 2﹣2x +1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1x ﹣1（2）∵2230x xy y --=的解是x y =，∴原式=．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键． 13.（浦东南片2019期中21）在实数范围内将关于x 的二次三项式因式分解：（1）231x x +- （2）2232y xy x --.【答案】（1）(x x ；（2）2()()x y x y ；【解析】解：（1）令2310x x +-=，则9413∆=+=，所以1,232x -±=，故231(x x x x +-=；（2）令22230x xy y --=，则2229817y y y ∆=+=，所以1,234x y -±=，故22232()()x xy y x y x y +-=. 14.（2019曹杨10月考22）分解因式：2235a ab b --.【答案】;【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆-⨯⨯-=≥，故方程22350a ab b --=的两根为a =，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.15.（2019上外10月考22）如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围．【答案】p ≥﹣1且p ≠0；【解析】解：∵二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，∴px 2+2x ﹣1＝0有实数解，∴△＝4+4p ≥0，且p ≠0，解得：p ≥﹣1且p ≠0．16．（2019·上海八年级课时练习）阅读题：分解因式：223x x --. 解：原式22113x x =++--()214x =+- .此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +-.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可．【详解】()(224412122121a a a a a +-=+-=++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键. 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。

二次三项式的因式分解--教学设计(朱斌)

一元二次方程的应用〔一〕——二次三项式的因式分解教学设计说明上海民办兰生复旦中学朱斌一、内容与内容解析本节课是上海教育出版社九年义务教育课本数学八年级第一学期§17.4〔1〕的内容．是一元二次方程的应用第一节课，内容是使用解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，在实数范围内来对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)因式分解．本课程是对七年级学习的因式分解的再考虑，七年级第一学期的整式中，学生已经学习了在有理数范围内的因式分解，特别地，对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，一般使用十字相乘法进展分解．在七年级第二学期实数一章，经历了从有理数到实数的数系拓展，但并没有解决二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内的因式分解问题：（1）二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内能否分解？判据是什么？为什么？（2）假如可以在实数范围内分解，如何分解？（3）常数a,b,c满足什么条件时，二次三项式ax2+bx+c(a≠0)可以在有理数范围内分解？在八年级系统学习一元二次方程之后，具有对其进展研究的根底．通过从特殊到一般的探究过程，使用学生比拟熟悉的配方法作为手段，由浅入深地研究二次三项式的因式分解，最终掌握通过解与二次三项式ax2+bx+c(a≠0)相联络的一元二次方程对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)进展因式分解的方法．同时，学生可以从无到有地对问题〔1〕、〔2〕进展研究，给有余力的同学提供考虑问题〔3〕的根底，有利于学生以开展的目光来认识数学．教材中，一元二次方程的公式法就是通过配方法推导的，这节课通过配方法引入，更好地帮助学生理解二次三项式的因式分解和一元二次方程求解之间的联络．同时，也为高中的进一步的数系扩大做准备，帮助学生在将来学习复数后，可以更加自然地想到如何处理复数范围内的二次三项式因式分解．建立二次三项式ax2+bx+c(a≠0)和一元二次方程ax2+bx+c=0之间完好的对应关系．鉴于此，本课时的教学重点为：1、理解关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内进展因式分解的判据．2、掌握对于b2-4ac≥0的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内因式分解的方法．二、目的与目的解析教学目的1．知道二次三项式的分解与一元二次方程的解的联络，会判断二次三项式在实数范围内是否可以因式分解，并能在实数范围内通过解一元二次方程对二次三项式进展分解．2．经历分析、存疑、解释、归纳、释义、总结等过程，体会从特殊到一般的数学思维策略，感受从存疑到寻求解释的数学思辨形式，进步归纳、抽象概括的才能与代数式变形才能；在解题中体会化归的数学思想．3．在不断深化、层层递进的分析中，激发学习数学的兴趣，增强探究和钻研精神；在理解方程求根和代数式变形关系的过程中，体会数学内部之间的内在联络．三、教学问题诊断分析1．面对学生差异，重视因材施教授课的对象为上海民办兰生复旦中学八年级的学生，学生总体程度较高，理解才能和运算才能都比拟强．同时，有局部同学在课余已经提早学习过该内容，知道通过解方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)可以对ax 2+bx +c (a ≠0)进展因式分解．但是只是机械运用，并不能真正理解方程求根和多项式因式分解之间的内在联络．因此，本节课的核心任务有两个：（1）帮助学生掌握如何通过求解方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解来对多项式ax 2+bx +c (a ≠0)进展因式分解．（2）提醒方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)和多项式ax 2+bx +c (a ≠0)因式分解的关系．因此，本课时通过详细的问题引入，使用了和课本不同的方法来引导学生学习．课本中使用了观察、归纳的方法切入，直接归纳出二次三项式因式分解的公式．然后，通过多项式展开和求根公式来进展证明．面对授课学生的情况和需求，本课时着重于帮助他们利用已有的知识，自行探究二次三项式因式分解方法，并通过详细问题加以验证．本节课中所用的方法，仿照一元二次求根公式的配方法，对二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)进展配方，通过配方成平方差〔或平方和〕的形式来处理．在此根底上直接发现二次三项式因式分解的公式，并找到其与一元二次方程求根公式之间的联络．让学生对这节课的知识点有更深化的理解和感受．2．唤醒相关旧知，铺设配方通途对于八年级的学生，只有配方法是最容易想到的对二次三项式进展因式分解的合理方法．但是，难点在于帮助他们自然地想到使用配方的手段来处理．因此，在教学内容的引入局部，给出两个简单的因式分解问题，224,3x x --，帮助学生意识到，可以使用平方差的方法解决上述形式的二次二项式．对于一般的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)，那么可以通过配方转化为上述的二次二项式的形式．练习题的前三个是变式训练：(1)2221(1)x x x -+=-；(2)223(1)(3)x x x x --=+-两题回忆七年级的做法，并帮助学生注意到他们之间的关系．(3)224x x --无法直接用过去的因式分解方法解决，此处学生假设无法主动得出结论，引导学生关注(1)(2)(3)小题的联络，即：2223(1)4x x x --=--，2224(1)5x x x --=--．3．运用配方方法，得出初步结论学生运用配方方法，应该可以很好地处理问题(3)，2224(1)5(11x x x x x --=--=--然后抛出问题(4)，研究224x x -+的因式分解这个问题，对学生是一个重大难点，处理方式可能会有多种不同的方法．经过尝试后，应该会得出无法因式分解的结论．但是可能会有以下几种情况，视详细情形来进展处理． (1)学生知道结论，但是无法说清楚理由，又分成以下几种情形：a) 无法明晰讲出原因；b) 应用配方：2224(1)3x x x -+=++得到平方和，所以无法分解；c) 过去提早学过，知道其与方程x 2-2x +4=0是否有实根有关，但是不知道原因．对于情况b )的学生，应该让其知晓，不能使用之前的配方法因式分解，并不代表无法因式分解．对于情况c )的学生，首先肯定他的结果，并且可以告诉学生这是今天要学习的内容，并且告诉他们应该要理解每一个数学定理的来龙去脉．此时，可以提醒学生，将问题化归为23x +的因式分解研究，利用待定系数法，不考虑二次项系数，23x +一定分解为23()()x x m x n +=--，其中m 和n 为常数，于是，将得到：03a b ab +=⎧⎨=⎩，即a 2=-3，不存在实数a ，因此无法因式分解．同时也代表一切化为平方和形式的二次三项式都无法在实数范围内因式分解． (2)学生可以解释原因因为局部学生才能较强，完全有可能有学生可以解释原因．应该都是想到使用待定系数法研究，2224()()4m n x x x m x n mn +=⎧-+=--⇒⎨=⎩，有以下几种可能：a) 通过代数式运算〔比方：22240,()120m n m n +=-<-=-<等〕，得到矛盾． b) 利用特殊值法，假设取x =m ，那么m 2-2m +4=0，不存在这样的实数m ． c) 直接应用韦达定理，得到m 和n 为方程2240x x -+=的两根，得到矛盾．对于使用韦达定理的同学，应当予以鼓励，但是必须指出，其他同学可能还不清楚什么是韦达定理，应尽可能用学过的知识来进展考虑．对于使用a ),b )方法说明的同学，应当给予肯定，但是之后应当继续引导学生考虑，怎样发现x 2-2x +4不可以在实数范围内因式分解，有什么判别方法．最终回到配方法，来进展说明．并让学生总结，得出初步结论：(1)假如可以通过配方转化为平方差的形式，那么可以在实数范围内因式分解； (2)假如通过配方转为成为平方和的形式，那么不可以在实数范围内因式分解．4．特殊走向一般，归纳最终结论让学生使用配方法研究：ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．因为之前很少遇到全为字母的形式，而且牵涉到比拟复杂的讨论，学生可能会遇到的错误有以下几种，应用实物投影仪，进展展示，指出这些容易出错的地方，并由老师最终板演，让学生进展归纳：(1)22224()24b b ac ax bx c x a a -++=+-，学生直接将二次项系数a 除掉．让学生意识到，对于方程，可以利用等式性质作上述处理，但是多项式不能做上述操作．(2)22244b acax bx c a -++=+-，学生默认a 是正数，并且直接将a 写成2，应当指出这种错误，并且说明为了减少讨论和运算难度，应该将字母a 提出来．(3)22224[()](24b b ac ax bx c a x a x x a a -++=+-=，这种错误是不对24b ac -的正负进展讨论，直接开平方．(4)其他运算错误．老师应指出以上错误，帮助学生理解代数式变形中的等价性．在得到正确的结果后，由学生进展总结，并考虑和已经学过的什么知识有联络．引导学生发现其与方程：20ax bx c ++=(a ≠0)之间的联络，并能用20ax bx c ++=(a ≠0)的求根来进展二次三项式：2ax bx c ++(a ≠0)的因式分解．学生应该能发现方程和多项式因式分解之间有关系，但是b 2-4ac ≥0的情况，对于给出最终结论可能有一定的难度．老师应写出来，帮助学生进展比拟：20ax bx c ++=的两个实数根：1222b b x x a a-+-==；22224[()](2422b b ac b b ax bx c a x a x x a a a a-+++=+-=++12(()()a x x a x x x x ==--，以得到最终结果．鉴于以上，本课时内容的教学难点如下：1、通过配方法研究多项式ax 2+bx +c 如何在实数范围内进展因式分解．2、通过对于ax 2+bx +c 的因式分解，发现其与一元二次方程ax 2+bx +c =0的关系．四、教学支持条件分析本课时内容主要以老师黑板板演和学生解答展示为主．通过师生之间的对话，关注怎么做？为什么？层层推进．借助不同的问题，不断深化研究，从特殊到一般，加深学生对该知识点的理解．〔1〕黑板用以老师的推导过程和结论的展示，左半边黑板在使用投影仪的时候会被遮住，主要进展一些解题过程的展示，右边黑板进展主要结论的推导和提纲性的说明．〔2〕实物投影仪用以学生的解答展示，提供典型错误和正确做法，帮助学生更好理解〔3〕投影仪将总结内容做成PPT 进展投影，加深学生对于所学知识的印象．五、教学过程设计六、目的检测设计对于本课时的教学目的的检测，主要都放在教学的过程中穿插进展．本节课中，学生共要笔算三次问题，分别是：练习题：用已经学过的方法，对以下二次三项式进展因式分解．研究：使用配方法，研究二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．例题：使用解一元二次方程的方法，完成以下因式分解的问题．1．练习题（1）x2-2x+1 〔2〕x2-2x-3 〔3〕x2-2x-4 〔4〕x2-2x+4 先给出练习题〔1〕〔2〕〔3〕，再巡视和展示完成后，再给出习题〔4〕继续研究．练习题〔1〕〔2〕着重在于唤醒学生对于因式分解根本方法的回忆，并体会此题组中贯穿的局部x2-2x，引导学生通过配方法对问题〔3〕〔4〕进展研究．根据前面的学习和铺垫，练习题〔3〕对于学生而言，最容易想到的方法就是配方法．此处应用配方法解决问题，加深学生对于配方的理解．老师在巡视过程中，观察学生此题的完成情况，理解学生配方以及多项式变形的才能．对于练习题〔4〕，考察学生逻辑思维的严密，根据学生的答复加以引导，最终得到严格的证明．要求学生根据习题〔3〕、〔4〕可以归纳总结出初步结果，即用配方法判断二次三项式能否因式分解和如何因式分解．是对学生的理解和归纳才能的集中考察．2．通过配方法研究ax2+bx+c〔a≠0〕的因式分解此题是本节课的关键，目的在于通过此题的研究，得到通过解一元二次方程对二次三项式进展因式分解的方法．难度有二：（1）多项式的等价变换，根据前文所述学生的不同错误加以点评，锻炼学生的变形才能．（2）发现多项式因式分解和一元二次方程之间的关系．这里要求学生可以有较好的数学联想的才能，从已有的结果中，通过变形得到最终结论．3．例题运用解一元二次方程的方法，将以下多项式在实数范围内分解因式(1)x2+x-3 (2)2x2-3x-1 (3)x2+xy-3y2 (4)2x2-3xy-y2先给出前两个例题，通过板演和巡视，观察学生对于所学知识的掌握情况．关注学生对于公式能否正确应用．再给出习题(3)(4)．请学生口述，老师板演，考察学生能否使用化归的方法，将问题(3)(4)转化为问题(1)(2)，将字母y看作字母系数来处理．并通过含字母的方程的求根，得到所需的结果．考察学生课程所学知识的灵敏运用，对于含字母问题的理解，以及代数运算的根本才能．在整个课堂教学的练习局部，安排充分时间让学生自主训练、由学生判断、给学生讲，让学生学会考虑，学会质疑、评价和总结．。