二维拉普拉斯方程的边值问题

X ' ' ( x) X ( x) 0,
由齐次边界条件 u(0, y) 0, u(a, y) 0
X (0) X (a) 0,
下面求解常微分方程边值问题 X ' ' ( x) X ( x) 0, X (0) X (a) 0, (36) 的非0解。 (1)当 0 时，问题(36)没有非平凡解。 (2)当 0 时，问题(36)也没有非平凡解。
n 1
1 u (r , ) a0 (an cosn bn sin n )r n . 2 n 1
(43)
(0 2 ),
16
1 u (r0 , ) a0 (a n cosn bn sin n )r0n f ( ), 2 n 1
2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题
对于某些特殊区域上的拉普拉斯方程边值问题， 也可以应用分离变量法来求解。 一、矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 考察一矩形薄板稳恒状态时的温度分布问题。 设薄板上下两面绝热，板的两边 ( x 0, x a) 始终保持0度，另外两边 ( y 0, y b) 的温度分别 为 f ( x) 和 g ( x). 求板内稳恒状态下的温度分布规律。 我们用 u ( x, y ) 来表示板上点 ( x, y ) 处的温度，即
an e
n b a
bne

n b a
2 a n g( x ) sin xdx, 0 a a
(n 1, 2, ).
Hale Waihona Puke 由上式解出 an , bn , 代回(37)式即得问题(30)-(32) 的解。
6
补充知识点： 欧拉(Euler)方程的一般形式
x n y( n) P1 x n1 y( n1) Pn1 xy' Pn y f ( x). 其中 P1 Pn 是常数， f ( x) 是已知函数。
u yy (urr ry ur y ) ry ur ryy (u r ry u y ) y u yy
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1 1 u rr u r 2 u 0 (0 r r0 ), r r
(39)
(40)
u |r r0 f ( ).
| R(0) | .
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这样，我们就得到两个常微分方程的定解问题 ' ' 0. (41) ( 2 ) ( ).
r 2 R' 'rR'R 0, | R(0) | .
(42)
我们先从问题(41)入手，对 分三种情形讨论： 1.当 0 时，方程的通解为 ( ) Ae Be , 其中A, B 是任意常数。 由于这样的函数不满足周期 性条件，因此 不能取负值。
设方程(39)的解为
u(r, ) R(r )( ),
代入方程(39)得 分离变量则有
1 1 R' ' R' 2 R' ' 0 r r
r 2 R' ' rR' ' ' R
其中比值 为常数。
10
由此可得两个常微分方程 r 2 R' 'rR'R 0, ' ' 0. 由于温度函数 u (r , ) 是单值的，所以当 从 变到 2 时，u(r , 2 ) u(r , ) 成立， 从而有 ( 2 ) ( ). 同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度 应该是有界的，因而 | u(0, ) | 成立，由此知 R(r )应满足条件
(40) 0 在极坐标
r
x2 y2 ,
y . x
y r sin ,
u
r

x
y
arctan
u x ur rx u x
u y ur ry u y
u xx (urr rx ur x ) rx ur rxx (u r rx u x ) x u xx
(31)
5
则有关系式
n (an bn ) sin x f ( x ), a n 1

n n b a
(a e
n 1
bne

n b a
n ) sin x g( x ), a
利用傅里叶系数公式得
2 a n an bn f ( x ) sin xdx, 0 a a
(35)
将 n 代入方程(35)可得 其通解为
Y ( y ) Cne
n y a
Dne

n y a
(n 1, 2, ).
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这样我们就可以得到方程(30)满足齐次边界 条件(32)的一系列特解
un ( x, y ) (ane
n y a n y a
bne

n ) sin x (n 1, 2, ), a
3
(3)当 0 时，问题(36)有非平凡解。
此时 对应的
n 2 n ( ) , a nx X n ( x) Bn sin (n 1, 2, ). a
接着考虑方程
Y ' ' ( y) Y ( y) 0,
n 2 Y ' ' ( y ) ( ) Y ( y ) 0, a
代入原方程有
Rtt Rt Rt n 2 R 0
Rtt n 2 R 0
Rn Cn e nt Dn e nt .
再将 t ln r 代入还原得
(n 1, 2, )
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原方程通解为
Rn (r ) Cnr n Dnr n .
二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题 考察一半径为 r0 的圆形模板稳恒状态下的温度 分布问题，设板的上下两面绝热，圆周边界上的 温度已知为 f ( ) (0 2 ), 且 f (0) f (2 ). 试求稳恒状态下的温度分布规律。 由于稳恒状态下的温度满足拉普拉斯，并且区 域是圆形的， 为了应用分离变量法，拉普拉斯方程 采用极坐标形式更方便。 我们用 u (r , )来表示圆形薄板内 (r , )点处的温度 则所述问题可以表示成下列定解问题：
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1 1 u rr u r 2 u 0 (0 r r0 ), r r
(39)
1 1 系下的形式为 u rr r u r r 2 u 0
练习：验证拉普拉斯方程 u xx u yy 提示： 作极坐标变换
x r cos ,
u |r r0 f ( ).
n2
(n 1, 2, ),
为了保证 | R(0) | , 只有取 Dn 0 (n 1, 2, ), 所以 Rn (r ) Cn r n . (n 1, 2, ),
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2 (n 1, 2, ), 时，我们得到方程(39) n 那么，当 的一系列特解 un (r, ) (an cosn bn sin n )r n (n 1, 2, ),
1
解下列定解问题： u xx u yy 0 (0 x a, 0 y b), u ( x,0) f ( x), u ( x, b) g ( x), u (0, y ) 0, u (a, y ) 0.
(30) (31) (32) (33)
应用分离变量法，设 u( x, y) X ( x)Y ( y),
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' ' 0.
( 2 ) ( ).
(41)
2.当 0 时， 方程的通解为 0 ( ) A0 B0 , 其中A0 , B0 是任意常数。 只有当 A0 0 时，函数 0 才满足周期性条件。因此，当 0 时，问题(41) 0 ( ) B0 . 的解为 2 r 0 再将 代入问题(42)中的方程 R' 'rR'R 0, R0 (r ) C0 ln r D0 , 其通解为 其中C0 , D0 是任意常数。只有当 C0 0 时，函数 R0 | R(0) | . 才满足有界性条件 因此，当 0 时，问题(42) 的解为 R0 (r ) D0 . 1 从而得原方程(39)的一个非0解 u 0 (r , ) B0 D0 a0 .
n y a
由于方程(30)和边界条件(32)是齐次的，因此
u( x, y ) (ane
n 1 n y a
bne
n ) sin x a
(37)
仍然满足方程和齐次边界条件(32). 再应用非齐次边界条件 u( x,0) f ( x), u( x, b) g ( x),
f ( ) sin nd
1 an n r0
2
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' ' 0.
( 2 ) ( ).
(41)
3.当 0 时， 方程的通解为 ( ) A cos B sin , 其中 A, B 是任意常数。 由于 ( 2 ) ( ), A cos B sin Acos ( 2 ) B sin ( 2 ) A cos cos2 A sin sin2 B sin cos2 B cos sin2 比较系数得
A A cos2 B sin2
sin2 0.
B A sin2 B cos2
cos2 1,
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n2
(n 1, 2, ),
' ' 0.
( 2 ) ( ).
(41)
3.当 0 时， 方程的通解为 ( ) A cos B sin , 其中 A, B 是任意常数。 由于 ( 2 ) ( ), 此时问题(41)中的方程的解可表示成