二维拉普拉斯方程的边值问题
二维拉普拉斯方程的边值问题
小结 几种常见的固有函数系的形式
(1) u(0,t) 0, u(l,t) 0; (2) u(0,t) 0, ux (l,t) 0;
sin
nx
l
(n
1,
2,
);
sin
(2n
1)x
2l
(n
1,
2,
);
(3) ux (0,t) 0, u(l,t) 0;
cos
(2n
1)x
2l
'' 0. ( 2 ) ( ). (41)
2.当 0时，方程的通解为 0 ( ) A0 B0 ,
其中A0 , B0 是任意常数。只有当 A0 0 时，函数 0
才满足周期性条件。因此，当 0 时，问题
的解为
0 ( ) B0 .
(41)
再将 0 代入问题(42)中的方程 r 2R''rR'R 0,
(n 1, 2, )
7
二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题
考察一半径为 r0 的圆形模板稳恒状态下的温度
分布问题，设板的上下两面绝热，圆周边界上的 温度已知为 f () (0 2 ), 且 f (0) f (2 ).
试求稳恒状态下的温度分布规律。 由于稳恒状态下的温度满足拉普拉斯， 并且区 域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程 采用极坐标形式更方便。 我们用 u(r, )来表示圆形薄板内 (r, )点处的温度 则所述问题可以表示成下列定解问题：
二维拉普拉斯方程的边值问题
1
a1 0 ,
an 0, n 1,
因此解为 u , cos
0
例 一半径为 a 的半圆形平板,其圆周边界上的温度
保持 u(a, ) T ( - ), 而直径边界上的温度保持
为0度,板的侧面绝缘,试求稳恒状态下的温度分布
规律 u( , ). P54 (13)
提示: 定解问题
2u 1 u 1 2u
2 u(a, )
T
(
2 ),
2
0, 0
0 ,
a,
0
u( ,0) u(, ) 0, 0 a,
| u(0, ) | , 0 .
An
Bn
2 a
a 0
f
sin n
a
d
An
n
ea
b
Bn
e
n a
b
2 a
a 0
g
sin n d .
a
n 1, 2
由上式解出 An 和 Bn , 即得原方程的解。
练习：在矩形 (0 x a, 0 y b)中求解拉普拉斯 方程的定解问题 :
设u( x, y) X ( x)Y ( y), 且 u( x, y) 0, 代入方程
2.2二维拉普拉斯方程的边值问题
∂ R ∂R ρ +ρ − λR = 0 2 ∂ρ ∂ρ
2 2
Φ ' '+λΦ = 0
自然周期边界条件
u ( ρ , ϕ + 2π ) = u ( ρ , ϕ )
R( ρ )Φ (ϕ + 2π ) = R( ρ )Φ (ϕ )
或
Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ )
Φ ' '+λΦ = 0
ϕ
ρ
∞ m =1
ρ =a
⇒
A0 ∞ m f (ϕ ) = + ∑ a ( Am cos mϕ + Bm sin mϕ ) 2 m =1
2π
2 An = m πa 2 Bn = m πa
∫ f (ϕ ) cos mϕdϕ.(m = 0,1,2,− − −)
0
2π
∫ f (ϕ ) sin mϕdϕ.(m = 1,2,− − −)
⇒
Φ m (ϕ ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ
λ=m
2
m = 0,1,2, L
∂2R ∂R 2 ρ +ρ − λR = 0 2 ∂ρ ∂ρ
m=0
ρ
2
1 ∂2R ∂2R ∂R = − 2 , + ρ =0 ∂ρ 2 ρ ∂ρ 2 ∂ρ
求解二维拉普拉斯方程
我们要求解二维拉普拉斯方程。
二维拉普拉斯方程是一个偏微分方程，通常用于描述物理现象，例如温度分布、电场等。
二维拉普拉斯方程的一般形式是：
Δu = 0
其中，Δ 是拉普拉斯算子，定义为Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y²。
现在我们要来解这个方程，找出 u(x, y) 的形式。
解：
对于二维拉普拉斯方程Δu = 0，其通解为：
u(x, y) = f(x) + g(y)
其中 f(x) 和 g(y) 是任意可微函数。
这意味着 u(x, y) 可以表示为两个一维函数的和，其中每个函数仅依赖于 x 或 y 中的一个变量。
因此，二维拉普拉斯方程的解是无穷多的，每个解都可以由一个任意的一维函数来表示。
拉普拉斯方程的格林函数法
这 样 的 问 题 称 为 Laplace方 程 外 问 题 。
整理课件
4
注 ： 对 于 外 问 题 来 说 ， 求 解 通 常 都 是 在 无 界 区 域 上 ，
这 时 需 不 需 要 对 解 加 些 限 制 条 件 呢 ？ 看 下 面 一 例 子 。
u0,r1,
u 1 r1
其 中 rx2y2z2
n
整理课件
12
所以u(M0)41(un1r1r un)dS
1
4
u(M)nrM1M0
rM1M0
undS
注 ： 1 ） 上 式 表 明 对 于 具 有 一 阶 连 续 偏 导 的 调 和 函 数 u 而 言 ， 它 在 内
任 意 一 点 的 值 可 通 过 积 分 表 达 式 用 这 个 函 数 及 其 法 向 导 数 在 边 界 上
连 续 且 满 足 边 界 条 件 .
整理课件
6
§2 格林公式
高 斯 定 理 : 设 是 以 光 滑 或 者 分 片 光 滑 闭 曲 面 为 边 界 的 有 界 区 域 ,P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)在 上 连 续 ， 在 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,则
整理课件
15
（4）Laplace方程解的唯一性问题
定 理 ： 狄 氏 问 题 在 C 2 ( )C 1 ( ) 内 解 唯 一 ， 牛 曼 问 题 除 相 差 一 个
二维拉普拉斯方程的基本解
二维拉普拉斯方程的基本解
一、引言
二维拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，广泛应用于物理、工程等领域。本文将介绍二维拉普拉斯方程的基本解，包括定义、性质及求解方法。
二、定义
二维拉普拉斯方程是指以下形式的偏微分方程：
$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial
y^2}=0$$
其中，$u=u(x,y)$是未知函数，$x,y$是自变量。
三、性质
1. 线性性：二维拉普拉斯方程是线性偏微分方程，即满足叠加原理。
2. 均匀性：若$u=u(x,y)$是二维拉普拉斯方程的解，则
$cu=cu(x,y)$也是其解，其中$c$为任意常数。
3. 最大值原理：设$D$为平面上一个有界区域，如果在$D$内有一个点$(x_0,y_0)$使得在该点处的函数值最大（或最小），则该函数在整个区域内的函数值都不会超过（或低于）该点处的函数值。
4. 无穷远边界条件：当$x^2+y^2\rightarrow \infty $时，解趋近于常数。
四、求解方法
1. 分离变量法
假设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，则可以将二维拉普拉斯方程化为两个一维的常微分方程：
$$\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-\lambda$$
其中，$\lambda$为常数。然后分别解出$X(x)$和$Y(y)$，再将其乘起来即可得到原方程的解。
2. 用格林函数求解
格林函数是指满足以下条件的函数$G(x,y;x_0,y_0)$：
（1）在$x\neq x_0$或$y\neq y_0$时，它满足二维拉普拉斯方程；（2）在$x=x_0$且$y=y_0$时，它满足以下边界条件：
电磁场数值计算仿真实验设计
［收稿时间］2019-12-18
［基金项目］哈工大（威海）研究生教育教学改革研究项目（WH2019014）；哈工大研究生教改研究项目（JGYJ-2019036）。［作者简介］周洪娟（1980-），女，山东烟台人，博士，副教授，主要从事电磁理论方面的教学和研究工作。
［摘
要］电磁场边值问题的求解是电磁理论教学中的难点和重点。课题组以简单的静态二维电场边值问题为例，同时采用
解析法和数值法求解，基于Matlab 仿真平台编程实现，从解析法和数值法的结论互相呼应的角度来逐层次地设计实验，使学生对电磁场边值问题求解方法、抽象复杂的数学结论以及唯一性定理产生感性认识。
［关键词］电磁场边值问题；唯一性定理；解析法；数值法
［中图分类号］O411.1［文献标识码］A ［文章编号］2095-3437（2021）02-0004-04
2021年2University Education
“电磁场理论”或“电磁场与电磁波”是工科院校电子信息、无线电技术类专业的一门重要基础课，其涉及的矢量微积分公式繁多、概念抽象，需要学生具备较为扎实的数学和物理基础，学生普遍反映难度大。“电磁场理论”这门课的教学虽然要侧重电磁场、电磁波的基础理论，但也要注重与工程实践的结合，为工科院校的学生在相关课程以及方向的学习研究提供较为直接的理论指导。这其中，电磁场边值问题的求解就是联系电磁场麦克斯韦方程等基础理论与各种复杂工程实践，如天线设计、电磁干扰与电磁兼容以及雷达散射截面积等相关应用的桥梁[1-7]，但由于其涉及数理方程等复杂数学理论，使之成为本科教学中的难点。
python有限元框架fenics教程及例子
一、简介
1.1 什么是有限元分析
1.2 python有限元框架fenics概述
二、安装
2.1 fenics安装步骤
2.2 安装过程中可能遇到的问题解决
三、基本操作
3.1 创建网格
3.2 定义变分问题
3.3 求解
四、一维热传导方程的有限元解析
4.1 问题描述
4.2 fenics实现步骤
4.3 结果分析
五、二维拉普拉斯方程的有限元解析
5.1 问题描述
5.2 fenics实现步骤
5.3 结果分析
六、结语
一、简介
1.1 什么是有限元分析
有限元分析是一种数值计算方法，用于求解连续介质的边界值问题。
通过将问题的求解域离散化为有限个单元，建立局部微分方程，再经过组装和求解，得到整个域的近似解。有限元分析广泛应用于结构力学、热传导、流体力学等领域。
1.2 python有限元框架fenics概述
FEniCS是一个用于求解偏微分方程的自由软件，它提供了一套完整的有限元求解器，并支持高层次的问题描述语言。FEniCS使用Python进行开发和调用，使得使用者可以轻松地建立复杂的有限元模型，并对其进行求解和后处理。在科学计算和工程仿真领域，FEniCS 已成为一个备受推崇的工具，为用户提供高效、精确的数值解。
二、安装
2.1 fenics安装步骤
a.下载fenics软件包
b.安装依赖库
c.编译和安装fenics
2.2 安装过程中可能遇到的问题解决
a.安装依赖库时出现缺少依赖项的情况
b.编译出现错误提示
c.其他可能出现的安装问题
三、基本操作
3.1 创建网格
在FEniCS中，可以通过内置的网格生成工具或者自定义网格生成
《数学物理方程》往年考题参考解答(3)格林函数法和分离变量法解拉普拉斯方程和泊松方程的边值问题
解：在半平面 y 0 上点 M 0 ( x0 , y0 ) 处放置一单位正电荷，在其关于边界 y 0 的对称点 M 1 ( x0 , y0 ) 处放 置一单位负电荷，两电荷在直线 y 0 上电势相互抵消，设 M ( x, y ) 是上半平面内任意一点，于是得 到半平面 y 0 上的 Green 函数：
z 0
G n
z 0
G z
z0 1 2 2 3/ 2 2 [( x x0 ) ( y y0 ) 2 z 0 ]
原问题的形式解为： u ( x0 , y0 , z 0 ) u ( M 0 )
f (M ) n dS 2
G
z0
2
u u xx u yy 0 u (0, y ) 0 u ( x,0) f ( x) x 0, y 0 ，其中 f ( x) 为已知连续函数，且 f (0) 0 。 y0 x0
解：在区域 {( x, y ) x, y 0} 上点 M 0 ( x0 , y0 ) 处放置一单位正电荷，在其关于边界 y 0 和 x 0 的对称 点 M 1 ( x0 , y0 ) 和 M 2 ( x0 , y0 ) 处各放置一单位负电荷，在其关于原点的对称点 M 3 ( x0 , y0 ) 也放置一 单位正电荷，四电荷在直线 y 0 和 x 0 上电势相互抵消，设 M ( x, y ) 是区域 内任意一点，于是 得到 x, y 0 区域上的 Green 函数：
第五章-边值问题
通常变量ϕ的变化范围为0 2 ，那么位函数随ϕ的变化一定是以
c
边界条件： r a, U r b, 0
b
r c,1 2 r c,
1
1
r
2
2
r
分离变量法
分离变量法
将多变量函数写成多个单变量未知函数的乘积（分离变 量），从而将原微分方程写成多个更简单的只含一个自 变量的常微分方程；
解常微分方程，根据边界条件确定待定系数。
2
2
x 2
2
y 2
2
导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化；
➢ 此时求解圆形区域的Laplace方程是研究场量和模式
x 的重要手段。
r
z
y
柱坐标系的拉普拉斯
1 r
r
r
u r
1 r2
2u
2
2u z 2
0
➢ 电位只与 r 有关 ➢ 电位只与 r、z 有关 ➢ 电位只与 r、 有关
xr
z y
电位只与 r、z 有关
nb
a
U 0
n1
An
sin
nx
a
sinh
nb
a
为确定常数An ，将 U 0在区间(0, a) 数，即
上按s
in
nx
a
U 0
n1
fn sin
二次拉普拉斯方程边值问题本质特点探讨
二次拉普拉斯方程边值问题本质特点探
讨
引言：
在数学和物理学领域中，拉普拉斯方程广泛应用于描述众多自然现象。在许多实际问题中，我们经常遇到需要求解二次拉普拉斯方程边值问题的情况。通过研究这类问题的本质特点，我们可以更好地理解拉普拉斯方程的性质，为实际应用提供指导。
本文将探讨二次拉普拉斯方程边值问题的本质特点。我们将从两个方面进行讨论：边值条件的影响和解的唯一性。
一、边值条件的影响
二次拉普拉斯方程边值问题的解依赖于所给定的边界条件。我们将通过以下几个方面来分析边值条件对问题解的影响。
1. 定解性
二次拉普拉斯方程边值问题是一个定解性问题，即当边界条件和方程形式都给定时，解法是唯一确定的。这一特点使得边值问题可以应用到实际问题中，并提供准确的解析解。
2. 边界条件的类型
二次拉普拉斯方程边值问题的边界条件可以分为三类：第一类边界条件为Dirichlet边界条件，即给定函数在边界上的值；第二类边界条件为Neumann边界条件，即给定函数在边界上的法向导数的值；第三类边界条件为Robin边界条件，即给定函数在边界上的线性组合。
这些边界条件的不同类型将直接影响问题的解的性质。例如，Dirichlet边界条件会导致解在边界上有特定的函数值，而
Neumann边界条件则决定了解在边界上的斜率。这些特定的边界条件可以约束解的形态，使得问题有明确的解析解。
3. 边界条件的光滑性
边界条件的光滑性也会对问题的解产生影响。如果边界条件是光滑的，并且在边界上的一阶导数满足某种条件，那么问题的解也会光滑。这种光滑性可以使得边界周围的解具有良好的物理性质，并且更易于用数值方法求解。而如果边界条件不光滑，解可能会在边界附近出现奇异性，这对于实际问题的建模和求解会带来一定的挑战。
在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的二维边值问题
在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的二维边值问题
作者：陈小斌
作者单位：中国地震局地质研究所,北京,100029
刊名：
地球物理学报
英文刊名：CHINESE JOURNAL OF GEOPHYSICS
年，卷(期)：2001,44(z1)
1.Ogunade S O;Dosso H W The response of a horizontal conducting cylinder embeded in a uniform earth for uniform and line current sources[外文期刊] 1981(01)
2.Ramaswamy V;f H w The response of a conducting cylinder to the inducing fields of various sources 1977
3.张秋光;屈超群考虑地面影响时均匀外场中的无限长水平导电圆柱 1983(01)
4.李金铭;陈兆洪埋藏柱体上激电时间谱的理论研究 1987(04)
5.斯特莱顿J A;何国瑜电磁理论 1985
6.梁昆淼数学物理方法 1978
7.纳米吉安米萨克N;赵经祥;王艳君勘查地球物理:电磁法 1992
8.邹凤梧积分表汇编 1992
1.李建映处理静电问题的几种方法[期刊论文]-广西师范学院学报（自然科学版）2008,25(2)
2.马为.陈小斌.赵国泽.MA Wei.CHEN Xiao-bin.ZHAO Guo-ze大地电磁测深二维正演中辅助场的新算法[期刊论文]-地震地质2008,30(2)
数学物理方法考试试题3
课程试卷库测试试题（编号：3 ）
一、判断题（对的打“√”, 错的打“×”，共5题，每题4分） 1、在复数领域，函数Z a -是一个多值函数。√
2、若函数()f z 在闭单通区域B 内存在奇点，则一般来讲，()f z 沿B 境界线的积分不等于零。√
3、若()f x 的傅里叶变换像函数是()F ω，则0()
i x
e
f x ω的像函数是0()F ωω-。√
4、复变函数
2
1
()(2)f z Z =
+在上半平面的二阶极点是2。×
5、一端固定，另一端自由的均匀细杆的纵振动，其边界条件属于第一类齐次边界条件。× 二、填空题（共5题，每题4分）
1、c osix 的模为
2
x
x
e e
chx
--=
2、在
00
Z =，s inZ
Z 的洛朗级数为
2
4
1113!5!
z z -
+
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3、c t
e os t ω-的拉普拉斯变换函数为(
)2
2
1
1p p ω
+++
4、三维扩散方程可写为
2
t u a u -∆=
5、扩散流强度q 的物理意义是单位时间内通过单位横截面积的原子或分子数。 三、选择题（共5题，每题4分）
1、复变函数的回路积分2
1
cos Z Z dZ
Z
=⎰
的积分值为3
⑴ i ， ⑵ i -， ⑶ 0， ⑷ 2i π。
2、复变函数
2
()(1)(2)Z
f z Z Z =
--的极点和留数问题，正确的说法是：1
⑴ 单极点1，留数1 ；二阶极点2，留数为1-； ⑵ 二阶极点1，留数为1 ；二阶极点2，留数为1-； ⑶ 一阶极点1，留数为1- ；二阶极点2，留数为1-；，
⑷ 一阶极点1，留数为1-；二阶极点2，留数为1；
拉普拉斯(Laplace)方程
数u(x, y, z)使得(i)它在Γ的外部区域Q内满足Laplace方程；(ii)在Q ∪ Γ上连续；(iii)满足
衰减性条件(1.18)；(iv)在Γ上满足
u|Γ = g.
(1.19)
Neumann外问题 在光滑的闭曲面Γ上给定连续函数g，求解这样的一个函数u(x, y, z)使
得(i)它在闭曲面Γ的外部区域Q 内满足Laplace方程；(ii)在Q ∪ Γ上连续；(iii)满足衰减
性条件(1.18)；(iv)在Γ上的任意一点沿着区域Q的单位外法向量n˜(指向曲面Γ的内部)的
法向导数
∂u ∂n˜
存在且满足
∂u ∂n˜
Γ
=
g.
(1.20)
5
注 记1.2 为 了 和 外 问 题 区 别 起 见 ， 我 们 有 时 也 把 第 一 、 二 边 值 问 题 分 别 称 为Dirichlet内问题和Neumann内问题。
区域Ω外部流场的速度分布。如果所考虑的流体是位势流，即流场是有势的，换句话
4
说，u = ∇ϕ，其中u是流体的速度函数，ϕ 是其速度势，而且所考察的流体是不可压
缩的，那么速度势ϕ在Ω的外部满足三维的Laplace方程(1.1) (其中n = 3)，并且在绕流
物体的边界∂Ω上满足
∂ϕ ∂n
∂Ω
=
0.这样，决定Ω外部流场的速度分布问题就归结为一个
二维椭圆型方程边值问题的有限元解法
二维椭圆型方程边值问题的有限元解法
摘要：现代科学、技术工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述,而更多数学模型本身就是偏微分方程的定解问题,如弹性力学的平衡问题,稳定流速场等等都可用椭圆型方程的定解问题来描述,当定解区域和边值条件复杂时,解析解极难寻找.可以利用偏微分方程的数值解及定解问题的有限元解法来解决区域不规则的二维椭圆型方程的边值问题,要用有限元法来解决,有限元法包括变分原理、剖分插值、边界条件的处理,涉及到Ritz-Galerkin方法,区域剖分及基函数的性质,之后再对有限元方程的进行求解.
关键词：椭圆型方程;变分原理;边值问题;有限元解法;区域剖分
1引言
工程技术中的大量数学模型都可以用微分方程来描述,如弹性力学的平衡问题,解决这类方程的最主要的数值方法是有限元法,有限元法在数值求解各种实际问题方面表现出极大的优越性和生命力,有限元方法是逼进论、微分方程和泛函分析等的巧妙结合,它是一个发展着的体系,使有限元广泛地应用于工程技术和各类物理场中,有限元方法包括变分原理、剖分插值、边界条件的处理,涉及到Ritz-Galerkin方法,区域剖分及基函数的性质,传统的里茨－加廖金方法的发展,并融会
了差分方法的优点,处理上统一,适应能力强.让数学和许多自然现象,工程技术和其它许多学科相互联系,相互渗透,用数学理论、方法、技巧去解决许多工程问题.现在有限元方法已广泛地有效地应用于实际问题的数值研究中.
2二维二阶线性偏微分方程的分类及边值问题的提法
2.1二维二阶线性偏微分方程的分类
二维二阶线性偏微分方程的一般形式为
数学物理方程：附A 三类定解问题及其解的比较
附录数学物理方程求解方法讨论（选读）
附A 三类定解问题及其解的比较
本节讨论：①定解问题的共性，②提法的比较，③解的性质的比较,④一般性总结
⒈定解问题的共性
它们都是线性方程线性方程有许多好的性质，它为定解问题的求解带来了方便。
首先，叠加原理的使用使得许多问题的求解成为可能；其次，正是由于定解问题的线性性质，非齐次边界条件或非齐次方程的齐次化方法成为可能；另外，也是由于定解
问题的线性性质，分离变量法成为数学物理方程甚至数学物理学中基本方法之一。
它们都是常系数方程常系数方程反映了物理问题的均匀性、各向同性和一定的对称性质。它也为问题的求解带来了方便，即①任何一个充分光滑解的（偏）导数也是原方程的解，②一定存在着指数函数解。另外常系数的方程都对坐标平移具有不变性，并且其空间部分的u
对坐标的旋转更是具有不变性。它表明该物理现象不因坐标系的选择而有所改变。
它们都是二阶方程除了二阶方程具有对空间坐标的正交变换的不变性外，二阶方程还具有惯性定理、极值性质等等。
除了以上共性外，三类方程还有如下各自的特点。
⒉定解问题提法的比较
操华胜：数学物理方程
- 236 - 前面讨论了三类（双曲型、抛物型、椭圆型）定解问题：
200,tt t t t n S u a u f u u u u g ϕψαβ==⎧=∆+⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎩ 20t t n S u a u f u u u g ϕαβ=⎧=∆+⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩
n S u f u u g αβ∆=⎧⎨+=⎩ (10.1.1) 式中：(,)f f t x =、()x ϕϕ=、()x ψψ=、()g g t =，一般而言α、β为常数，n u u n
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(40) 0 在极坐标
r
x2 y2 ,
y . x
y r sin ,
u
r
x
y
arctan
u x ur rx u x
u y ur ry u y
u xx (urr rx ur x ) rx ur rxx (u r rx u x ) x u xx
2
13
' ' 0.
( 2 ) ( ).
(41)
3.当 0 时， 方程的通解为 ( ) A cos B sin , 其中 A, B 是任意常数。 由于 ( 2 ) ( ), A cos B sin Acos ( 2 ) B sin ( 2 ) A cos cos2 A sin sin2 B sin cos2 B cos sin2 比较系数得
n ( ) An cosn Bn sin n .
2 n 再将 代入问题(42)中的方程 r 2 R' 'rR'R 0, 2 2 r R ' ' rR ' n R 0, 得欧拉(Euler)方程 Rn (r ) Cn r n Dn r n . 其通解为
(0 2 ),
由傅里叶级数理论，知
2 a r 2
n n 0
2
0
f ( ) cos nd
(n 0, 1, 2, ),
2 br 2
n n 0
2
0
2
f ( ) sin nd (n 1, 2, ),
f ( ) cosnd (n 0, 1, 2, ),
A A cos2 B sin2
sin2 0.
B A sin2 B cos2
cos2 1,
14
n2
(n 1, 2, ),
' ' 0.
( 2 ) ( ).
(41)
3.当 0 时， 方程的通解为 ( ) A cos B sin , 其中 A, B 是任意常数。 由于 ( 2 ) ( ), 此时问题(41)中的方程的解可表示成
n 1
1 u (r , ) a0 (an cosn bn sin n )r n . 2 n 1
(43)
(0 2 ),
16
1 u (r0 , ) a0 (a n cosn bn sin n )r0n f ( ), 2 n 1
| R(0) | .
11
这样，我们就得到两个常微分方程的定解问题 ' ' 0. (41) ( 2 ) ( ).
r 2 R' 'rR'R 0, | R(0) | .
(42)
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我们先从问题(41)入手，对 分三种情形讨论： 1.当 0 时，方程的通解为 ( ) Ae Be , 其中A, B 是任意常数。 由于这样的函数不满足周期 性条件，因此 不能取负值。
问题：求满足如下欧拉(Euler)方程的函数 R(r )
r 2 Rrr rRr n 2 R 0,
t 解 作变换 r e
(n 1, 2, )
t ln r
则有
1 1 1 1 1 1 Rr Rt , Rrr ( Rtt ) Rt ( 2 ) 2 Rtt 2 Rt , r r r r r r
f ( ) sin nd
1 an n r0
2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题
对于某些特殊区域上的拉普拉斯方程边值问题， 也可以应用分离变量法来求解。 一、矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 考察一矩形薄板稳恒状态时的温度分布问题。 设薄板上下两面绝热，板的两边 ( x 0, x a) 始终保持0度，另外两边 ( y 0, y b) 的温度分别 为 f ( x) 和 g ( x). 求板内稳恒状态下的温度分布规律。 我们用 u ( x, y ) 来表示板上点 ( x, y ) 处的温度，即
代入原方程有
Rtt Rt Rt n 2 R 0
Rtt n 2 R 0
Rn Cn e nt Dn e nt .
再将 t ln r 代入还原得
(n 1, 2, )
7
原方程通解为
Rn (r ) Cnr n Dnr n .
二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题 考察一半径为 r0 的圆形模板稳恒状态下的温度 分布问题，设板的上下两面绝热，圆周边界上的 温度已知为 f ( ) (0 2 ), 且 f (0) f (2 ). 试求稳恒状态下的温度分布规律。 由于稳恒状态下的温度满足拉普拉斯，并且区 域是圆形的， 为了应用分离变量法，拉普拉斯方程 采用极坐标形式更方便。 我们用 u (r , )来表示圆形薄板内 (r , )点处的温度 则所述问题可以表示成下列定解问题：
X ' ' ( x) X ( x) 0,
由齐次边界条件 u(0, y) 0, u(a, y) 0
X (0) X (a) 0,
下面求解常微分方程边值问题 X ' ' ( x) X ( x) 0, X (0) X (a) 0, (36) 的非0解。 (1)当 0 时，问题(36)没有非平凡解。 (2)当 0 时，问题(36)也没有非平凡解。
(35)
将 n 代入方程(35)可得 其通解为
Y ( y ) Cne
n y a
Dne
n y a
(n 1, 2, ).
4
这样我们就可以得到方程(30)满足齐次边界 条件(32)的一系列特解
un ( x, y ) (ane
n y a n y a
bne
n ) sin x (n 1, 2, ), a
(31)
5
则有关系式
n (an bn ) sin x f ( x ), a n 1
n n b a
(a e
n 1
bne
n b a
n ) sin x g( x ), a
利用傅里叶系数公式得
2 a n an bn f ( x ) sin xdx, 0 a a
an e
n b a
bne
n b a
2 a n g( x ) sin xdx, 0 a a
(n 1, 2, ).
由上式解出 an , bn , 代回(37)式即得问题(30)-(32) 的解。
6
补充知识点： 欧拉(Euler)方程的一般形式
x n y( n) P1 x n1 y( n1) Pn1 xy' Pn y f ( x). 其中 P1 Pn 是常数， f ( x) 是已知函数。
将(33)代入方程(30),分离变量得
X '' ( x) Y '' ( y) X ( x) Y ( y)
其中 是常数。 因此我们得到两个常微分方程
2
X ' ' ( x) Y ' ' ( y) X ( x) Y ( y)
(34) Y ' ' ( y) Y ( y) 0, (35) (32)
8
1 1 u rr u r 2 u 0 (0 r r0 ), r r
(39)
1 1 系下的形式为 u rr r u r r 2 u 0
练习：验证拉普拉斯方程 u xx u yy 提示： 作极坐标变换
x r cos ,
u |r r0 f ( ).
u yy (urr ry ur y ) ry ur ryy (u r ry u y ) y u yy
9
1 1 u rr u r 2 u 0 (0 r r0 ), r r
(39)
(40)
u |r r0 f ( ).
n2
(n 1, 2, ),
为了保证 | R(0) | , 只有取 Dn 0 (n 1, 2, ), 所以 Rn (r ) Cn r n . (n 1, 2, ),
15
2 (n 1, 2, ), 时，我们得到方程(39) n 那么，当 的一系列特解 un (r, ) (an cosn bn sin n )r n (n 1, 2, ),
1
解下列定解问题： u xx u yy 0 (0 x a, 0 y b), u ( x,0) f ( x), u ( x, b) g ( x), u (0, y ) 0, u (a, y ) 0.
(30) (31) (32) (33)
应用分离变量法，设 u( x, y) X ( x)Y ( y),
设方程(39)的解为
u(r, ) R(r )( ),
代入方程(39)得 分离变量则有
1 1 R' ' R' 2 R' ' 0 r r
r 2 R' ' rR' ' ' R
其中比值 为常数。
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由此可得两个常微分方程 r 2 R' 'rR'R 0, ' ' 0. 由于温度函数 u (r , ) 是单值的，所以当 从 变到 2 时，u(r , 2 ) u(r , ) 成立， 从而有 ( 2 ) ( ). 同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度 应该是有界的，因而 | u(0, ) | 成立，由此知 R(r )应满足条件
3
(3)当 0 时，问题(36)有非平凡解。
此时 对应的
n 2 n ( ) , a nx X n ( x) Bn sin (n 1, 2, ). a
接着考虑方程
Y ' ' ( y) Y ( y) 0,
n 2 Y ' ' ( y ) ( ) Y ( y ) 0, a
其中 an AnCn , bn BnCn 是任意常数。 由于方程(39)是线性齐次的，利用叠加原理，可 得到该方程满足单值性和有界性的级数解为 为了确定系数an , bn ,由边界条件(40)即 u |r r0 f ( ). 得 1 n
u (r0 , ) 2 a0 (a n cosn bn sin n )r0 f ( ),
n y a
由于方程(30)和边界条件(32)是齐次的，因此
u( x, y ) (ane
n 1 n y a
bne
n ) sin x a
(37)
仍然满足方程和齐次边界条件(32). 再应用非齐次边界条件 u( x,0) f ( x), u( x, b) g ( x),
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' ' 0.
( 2 ) ( ).
(41)
2.当 0 时， 方程的通解为 0 ( ) A0 B0 , 其中A0 , B0 是任意常数。 只有当 A0 0 时，函数 0 才满足周期性条件。因此，当 0 时，问题(41) 0 ( ) B0 . 的解为 2 r 0 再将 代入问题(42)中的方程 R' 'rR'R 0, R0 (r ) C0 ln r D0 , 其通解为 其中C0 , D0 是任意常数。只有当 C0 0 时，函数 R0 | R(0) | . 才满足有界性条件 因此，当 0 时，问题(42) 的解为 R0 (r ) D0 . 1 从而得原方程(39)的一个非0解 u 0 (r , ) B0 D0 a0 .