构想高三文科科一轮复习资料第十章统计概率1.10.1

(3)将 2 人，4 人，14 人的编号汇合在一起就取得了容量为 20 的样本．
点评：从例题看分层抽样是一种实用性、操作性强，应用 比较广泛的抽样方法，但必须保证每个个体等可能入样，所有 层中每个个体被抽到的可能性相同．
变式探究 3 某单位最近组织了一次健身活动，活动分为 登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活 动的职工中， 青年人占 42.5%， 中年人占 47.5%， 老年人占 10%. 1 登山组的职工占参加活动总人数的 4 ，且该组中，青年人占 50%， 中年人占 40%， 老年人占 10%.为了了解各组不同年龄层 次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活 动的全体职工中抽取一个容量为 200 的样本．试确定： (1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中， 青年人、 中年人、 老年人分别应抽取的人数．
题型二 系统抽样 例 2 某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2，„， 295，为了了解学生的学习情况，要按 1∶5 的比例抽取一个样 本，用系统抽样应该抽取的样本容量为 295÷ 5 ＝59，我们把 295 名同学分成 59 组，每组 5 人． 第 1 组是编号为 1～5 的 5 名学生， 2 组是编号为 6～10 第 的 5 名学生，依次下去，第 59 组是编号为 291～295 的 5 名学 生． 采用简单随机抽样的方法，从第 1 组 5 名学生中抽出一名 学生， 不妨设编号为 l(1≤l≤5)， 那么抽取的学生编号为 l＋5k(k ＝0，1,2，„，58)，得到 59 个个体作为样本，如当 l＝3 时的 样本编号为 3,8,13，„，288,293.
2．系统抽样 (1)一般地，假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的 样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：(1)先将总体的 N 个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、 准考证号、 门牌号等； (2)确定分段间隔 k， 对编号进行分段． 当 N n (n 是样本容量)是整数时，取 k＝⑥______；(3)在第 1 段用⑦ __________确定第一个个体编号 l(l≤k)； (4)按照一定的规则抽 取样本．通常是将 l⑧__________得到第 2 个个体编号(l＋k)， 再加 k 得到第 3 个个体编号⑨__________，依次进行下去，直 到获取整个样本．
变式探究 1 利用简单随机抽样， n 个个体中抽取一个 从 容量为 10 的样本．若第二个抽取时，余下的每个个体被抽到 1 的概率为3，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为 ( ) 1 5 1 10 A.3 B.14 C.4 D.27
9 1 10 5 解析：由题意知 ＝ ，∴n＝28.∴P＝28＝14. n－1 3 答案：B
解析：①中总体由差异明显的几部分构成，宜采用分层抽 样法，②中总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样法，故 选 B. 答案：B
2．有 20 位同学，编号从 1～20，现在从中抽取 4 人的作 文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为( ) A．5,10,15,20 B．2,6,10,14 C．2,4,6,8 D．5,8,11,14
(3)一般地，抽签法就是总体中的 N 个个体编号，把号码 写在号签上，将号签放在一个容器中，⑤__________后，每次 从中抽取一个号签，连续抽取 n 次，就得到一个容量为 n 的样 本． (4)随机数表法就是利用随机数表、 随机数骰子或计算机产 生的随机数进行抽样． (5)简单随机抽样有操作简便易行的优点， 在总体个数不多 的情况下是行之有效的．
点评：在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统 抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：①采用随机的方法 将总体中个体编号； ②将整体编号进行分段， 确定分段间隔 k(k ∈N*)；③在第 1 段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体 编号 l；④按照事先预定的规则抽取样本．
变式探究 2 某单位有在岗职工 624 人，为了调查工人用 于上班途中的时间，决定抽取 68 名工人进行调查．如何用系 统抽样方法完成这一抽样？
解析：在系统抽样中，需确定分段间隔 k，对编号进行分 N 段，k＝ n (N 为总体的容量，n 为样本的容量)， N 1 200 ∴k＝ n ＝ 30 ＝40. 答案：40
5．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽 取． 红星中学共有学生 1 600 名， 抽取一个容量为 200 的样本， 已知女生比男生少抽了 10 人，则该校有女生__________人．
•失误与防范 分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽 样方法， 进行分层抽样时应注意几点： ①分层抽样中分多少层、 如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要 小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；②为了保证每个 个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同；③ 在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽 样.
新题速递 1.(2012· 山东卷)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做 问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2，„，960，分组后在第 一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中， 编号落入区间[1,450]的人做问卷 A，编号落入区间[451,750]的 人做问卷 B，其余的人做问卷 C，则抽到的人中，做问卷 B 的 人数为( ) A．7 B．9 C．10 D．15
(2)游泳组中， 3 抽取的青年人数为 200×4×40%＝60 人； 3 抽取的中年人数为 200×4×50%＝75 人； 3 抽取的老年人数为 200×4×10%＝15 人.
归纳总结 •方法与技巧 1．简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，是一种 等可能的抽样，由定义应抓住以下特点：①它要求总体个数较 少；②它是从总体中逐个抽取的；③它是一种不放回抽样． 2．系统抽样又称等距抽样，号码序列一确定，样本即确 定了，但要求总体中不能含有一定的周期性，否则其样本的代 表性是不可靠的，甚至会导致明显的偏向． 3．抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中的第一均衡 部分，可采用简单随机抽样．分层抽样中，若每层中个体数量 仍很大时，则可辅之以系统抽样．
题型三 分层抽样 例 3 某政府机关有在编人员 100 人，其中副处级以上干部 10 人，一般干部 70 人，工人 20 人．上级机关为了了解政府机 构改革意见，要从中抽取一个容量为 20 的样本，试确定用何 种方法抽取，请具体实施抽取．
解析：用分层抽样方法抽取．具体实施抽取如下： 10 70 20 (1)∵20∶100＝1∶5，∴ 5 ＝2， 5 ＝14， 5 ＝4. ∴从副处级以上干部中抽取两人，从一般干部中抽取 14 人，从工人中抽取 4 人． (2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按 1～ 10 编号与 1～20 编号，然后采用抽签法分别抽取 2 人和 4 人； 将一般干部编号为 00,01,02，„，69，然后用随机数表法抽取 14 人．
解析：因为 624＝68×9＋12，为了保证“等距”分段，应 先剔除 12 人． 第一步：将 624 名职工按随机方式进行编号； 第二步：从总体中剔除 12 人(剔除方法可用随机数表法)， 将剩下的 612 名职工重新编号(分别为 000,001,002，„，611)， 并分成 68 段； 第三步：在第 1 段 000,001,002，„，008 这 9 个编号中， 用简单随机抽样方法抽出一个， 不妨设编号为 k 作为起始号码； 第四步：在各段中抽取的职工编号为 k＋9l(l＝0,1,2，„， 67) ， 得 到 68 个 个 体 作 为 样 本 ， 如 k ＝ 003 时 样 本 为 003,012,021，„，606.
解析：将编号分成 4 个组，每组 5 个号，间隔等距离为 5. 答案：A
3． 某校共有学生 2 000 名， 各年级男、 女生人数如下表． 已 知在全校学生中随机抽取 1 名， 抽到二年级女生的概率是 0.19. 现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则应在三年级抽 取的学生人数为( ) 一年级 二年级 三年级 373 x y 女生 377 370 z 男生 A.12 B．16 C．18 D．24
答案：①不放回 ②都相等 ③抽签 ④随机数表 ⑤搅 N 拌均匀 ⑥ n ⑦简单随机抽样 ⑧加上间隔 k ⑨(l＋2k) ⑩系统抽样 ⑪差异明显 ⑫均等
考点自测 1.要完成下列两项调查： ①从某社区 125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95 户低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标； ②从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 人调查学习负担 情况．其中宜采用的抽样方法依次为( ) A．①简单随机抽样法，②系统抽样法 B．①分层抽样法，②简单随机抽样法 C．①系统抽样法，②分层抽样法 D．①②都用分层抽样法
解析：由已知可得二年级女生人数为 2 000×0.19＝380， ∴一、二、三年级学生总数分别为 750、750、500， ∴ 用 分 层 抽 样 法 在 全 校 抽 64 人 时 应 在 三 年 级 抽 取 500 64×2 000＝16(人)． 答案：B
4． 为了解 1 200 名学生对学校某项教改实验的意见， 打算 从中抽取一个容量为 30 的样本，考虑采取系统抽样，则分段 的间隔 k 为__________．
解析： (1)设登山组人数为 x，游泳组中，青年人、中年人、老年 人各占比例分别为 a、b、c， x· 40%＋3xb x· 10%＋3xc 则有 ＝47.5%， ＝10%， 4x 4x 解得 b＝50%，c＝10%. 故 a＝100%－50%－10%＝40%， 即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40%、50%、10%.
10．1 随机抽样
考纲点击 1.理解随机抽样的必要性和重要性． 2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本. 3.了解分层抽样和系统抽样方法．
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.简单随机抽样 (1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有 N 个个体， 从中逐个①______地抽取 n 个个体作为样本(n≤N)，如果每次 抽取时总体内的各个个体被抽到的机会②______，就把这种抽 样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样方法有两种——③______法和 ④______法．