第七章、匹配、色数问题及其它

m3
m4
m5
6
M={(f1,m2),(f2,m1),(f3,m4),(f4,m5)}
定义：若图G中每个顶点均被M许配时，称 ：若图G中每个顶点均被M M为G中的一个完备匹配。
f1 f2 f3 f4 f5
m1
m2
m3
m4
m5
M={(f1,m3), (f2,m1) ,(f3,m2) ,(f4,m5) ,(f5,m4)}
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
V1={x2},V2={} N(V1)={y2, y3}
23
（5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 =V1 ）若y 中必有(y,z) ；作【 解 ∪{z} ， V =V ∪ {y}； 转（4）】，否则【求一 {y}； 转（4 ，否则【 2 2 条从x 条从x0到y的可增广道路P，对之进行增广；转 的可增广道路P （2）】
f1 f2 f3 f4 f5
饱和的
m1
m2
m3
m4
m5 不饱和 的
9
M={(f1,m3), (f2,m1) ,(f3,m2) ,(f5,m5)}
定义：若M是图G的一个匹配，若从G中一 ：若M是图G的一个匹配，若从G
个顶点到另一个顶点存在一条道路，此路 径由属于M和不属于M 径由属于M和不属于M的边交替出现组成的， 则称此路径为交互道。
m1
m2
m3
m4
m5
M={(f2,m5), (f3,m2) ,(f4,m3) ,(f5,m4)} P=m1f2m5f4m3f1 是一条可增广道路。
11
f1
f2
f3
f4
f5
m1
m2
m3
m4
m5
M={(f2,m5), (f3,m2) ,(f4,m3) ,(f5,m4),(f5,m4)} 1 3 2 1 3 2 4 5)} P=m1f2m5f4m3f1 是一条可增广道路。
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x2,y3),(x3,y2),( x5,y5)}
V1={x4}；V2 ={} N(V1)={y3}
29
解
（5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 =V1 ）若y 中必有(y,z) ；作【 ∪{z} ， V2 =V2∪ {y}； 转（4）】，否则【求 {y}； 转（4 ，否则【 的可增广道路P 一条从x 一条从x0到y的可增广道路P，对之进行增广； 转（2 转（2）】
f1 f2 f3 f4 f5
m1
m2
m3
m4
m5
M={(f1,m3), (f2,m1) ,(f3,m2) ,(f5,m5)}
14
对称差：A、B是两个集合， A ⊕ B=(A∪B)-(A∩B) B=(A∪B)-
A
B
15
§2 Hall定理 Hall定理
设有m个人，n 设有m个人，n项工作，每个人会做其 中的若干项工作，能不能适当安排，使得 每个人都有工作做？
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x2,y3),(x3,y2),( x5,y5)}
V1={x4}；V2 ={}
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V1=V1∪{x2}={x4,x2}；V2=V2∪{y3} ={y3}
解
（4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点 ）若N(V y∈N(V1)-V2
应用篇
第七章 匹配理论和色数问题
§1 §2 §3 §4 §5 §6 最大匹配 Hall定理 Hall定理 匈牙利算法及例 最佳匹配 最佳匹配算法及例 色数问题
1
§1 最大匹配
匹配是图论中一个重要内容，它在所谓 “人员分配问题”和“最优分配问题”有 人员分配问题” 最优分配问题” 重要应用。
2
具体问题描述： 有n个女士和n个男士参加舞会，每位 个女士和n 女士与其中若干位男士相识，每位男士与 其中若干位女士相识，问如何安排，使得 尽量多配对的男女舞伴相识。
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x2,y3),(x3,y2),( x5,y5)}
V1={x4,x2,}；V2 ={y3 } ,}；
32
V1=V1∪{x3}={x4,x2 ,x3}；V2=V2∪{y2} ={y3,y2}
解
（4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点 ）若N(V y∈N(V1)-V2
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
V1={x2,x5}；V2={y3}；
26
V1=V1∪{x3}={x2,x5,x3}；V2=V2∪ {y5} ={y3,y5}
解
（4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点 ）若N(V y∈N(V1)-V2；
12
具体问题描述： 有n个女士和n个男士参加舞会，每位 个女士和n 女士与其中若干位男士相识，每位男士与 其中若干位女士相识，问如何安排，使得 尽量多配对的男女舞伴相识。
f1 f2 f3 f4 f5
m1
m2
m3
m4
m5
13
定理7.1(Berge 1957)：M为最大匹配的充要条 1957)：
件是：图G 不存在可增广道路。 件是：图G中不存在可增广道路。
f1 f2 f3 f4 f5
m1
m2
m3
m4
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5
定义：若M是图G=(V,E)的边子集，且M中 ：若M是图G=(V,E)的边子集，且M
的任意两条边在G中不相邻，则称M 的任意两条边在G中不相邻，则称M为G中 的一个匹配，M中的每条边的两个端点称为 在M中是配对的。
f1 f2 f3 f4 f5
m1
m2
f1 f2 f3 f4 f5
m1
m2
m3
m4
m5
M={(f1,m3),(f2,m1) ,(f3,m2) ,(f4,m5) ,(f5,m4)} P=f1m3f4m5f2m1f5m4
10
定义：若交互道的两个端点为关于M的不饱 ：若交互道的两个端点为关于M 和顶点时，称此交互道为可增广道路。
f1 f2 f3 f4 f5
7
定义：图G中边数最多的匹配M，称为G中 ：图G中边数最多的匹配M，称为G 的一个最大匹配。
f1 f2 f3 f4 f5
m1
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m5
M={(f1,m3), (f2,m1) ,(f3,m2) ,(f5,m5)}
8
定义：若匹配M的某边和顶点v关联，称v是 ：若匹配M的某边和顶点v关联，称v M-饱和的，否则就是M-不饱和的。
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x2,y3),(x3,y2),( x5,y5)}
V1={x4,x2,}；V2 ={y3 } ,}； N(V1)={y2,y3}
31
解
（5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 =V1 ）若y 中必有(y,z) ；作【 ∪{z} ， V2 =V2∪ {y}； 转（4）】，否则【求 {y}； 转（4 ，否则【 一条从x 一条从x0到y的可增广道路P，对之进行增广； 的可增广道路P 转（2 转（2）】
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
V1={x2},V2={}
24
V1=V1∪{x5}={x2,x5}；V2=V2∪ {y3} ={y3}
解
（4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点 ）若N(V y∈N(V1)-V2；
x1 x2 x3 x4 x5
x1
x2x3x4ຫໍສະໝຸດ x5y1y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x2,y3),(x3,y2),( x5,y5)} V1={x4,x2,x3}；V2={y3,y2} N(V1)={y2,y3,y5}
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解
（5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 =V1 ）若y 中必有(y,z) ；作【 ∪{z} ， V2 =V2∪ {y}； 转（4）】，否则【求 {y}； 转（4 ，否则【 一条从x 一条从x0到y的可增广道路P，对之进行增广； 的可增广道路P 转（2 转（2）】
20
例
用匈牙利算法求下图的最大匹配：
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
21
解
（1）任给一个初始匹配； （2）若X已经饱和，结束；否则转（3）； ）若X已经饱和，结束；否则转（3
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
22
）在X中找一个非饱和点x 解 （3）在X中找一个非饱和点x0，V1={x0}，V2={} （4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点y∈N(V1)-V2 ）若N(V 则停止，否则任选一点y
f1 f2 f3 f4 f5
m1
m2
m3
m4
m5
3
下图就是一种分配方法：
f1 f2 f3 f4 f5
m1
m2
m3