Stancu-Kantorovich算子在Orlicz空间的逼近阶

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一类新型Kantorovich算子在Orlicz空间内的逼近逆定理

设Ｄ一［，］用Ｃ表示与ｆ，无关的常数，在Ｏ１，都但不同处表示不同的数值．本文得到如下结果．
定理１设ｆｏ，ＥＬ）则
本文在此基础上，利用带权光滑模和Ｋ＿函讨论泛
Ｋ（）Ｏｒｃ空间Ｌ［，］厂，在ｌｚｉ磊Ｏ１内的逼近逆问题．
ａ１ｊ［（］｝｛Ｊｄ～Ｄ＋Ｍ），，
式中
在可积函数空间内是不能作为逼近工具的．了讨为论可积函数空间内的逼近问题，献［］造了与文２构Ｂ厂）（，对应的新型Ｋａｔｒｖｃｎｏｏｉｈ算子：
Ｋ（一 ∑ （Ｉｆ），厂），（ｄ）ｔｔｎ＋２
并得到了Ｋ（）Ｏｒｃ间ＬＯ１内的逼厂，在ｌｚ空ｉ［，］近阶的估计：
Ｋ（，Ｍ— ｉｆ—ｇ。。ｌ）厂￡）ｎｌＭ＋￡ｌ，ｌＭ
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第２卷第２９期
Ｖｏ１２．９Ｎｏ．２
宁夏大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＮｉｇｉＵｎｖｒｉｙＮａｕａＳｉｎｅＥｄｔｎｏｒａｏｎｘａｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃｉｏ）ｉ
００１；２内蒙古师范大学数学科学学院，１０８．内蒙古呼和浩特００２）１０２
（．１内蒙古农业大学理学院，蒙古呼和浩特内

Stancu-Kantorovich算子的L＊M逼近阶

Stancu-Kantorovich算子的L＊M逼近阶
伍火熊
【期刊名称】《湘潭师范学院学报：社会科学版》
【年(卷),期】2000(021)003
【摘要】在Orlicz空间L*M中研究了Stancu—Kantorovich算子的有界性及其逼近问题，得到逼近阶的两种估计。

【总页数】5页(P34-38)
【作者】伍火熊
【作者单位】湖南郴州师范高等专科学校数学系，湖南郴州423000
【正文语种】中文
【中图分类】C811
【相关文献】
1.推广的Stancu-Kantorovich型算子在Orlicz空间的逼近阶 [J], 杨少卿;孙渭滨
2.Stancu-Kantorovich算子在Orlicz空间的逼近阶 [J], 杨少卿;孙渭滨;周志明
3.Stancu-Kantorovich算子在LBaM空间的逼近 [J], 刘小妍;吴嘎日迪
4.一类新型Stancu-Kantorovich算子在Orlicz空间的饱和性 [J], 孙渭滨
5.Bernstein算子的组合算子的逼近阶 [J], 陈进
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一类推广的Bernstein—Kantorovich算子在Orlicz空间内的逼近性质

Ｍ（ “ ）和Ｎ（）在文中表示互余的Ｎ函数，关于Ｎ函数的概念及有关性质见文献［６］，由Ｎ函数Ｍ（ “ ）生成的Ｏｒｌｉｃｚ空间Ｌ［一１，１］是指其Ｏｒｌｉｃｚ范数
ｌＩｌＭ— ｓｕｐｌ（Ｉ）（ｚ）ｄｘｌ
本文构造了另一类推广的Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ — Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ型算子
等
ｊ拿）ｄ ” ≥ ｌ，
其中ｐ（ｚ）一２（）（１＋ｚ）（１一ｚ）（一１ ≤ ｚ ≤ １），Ｓｎ一。．当ｓ一１时，Ｋ（ ’ ，１，ｚ）就是文献［２］
第４２卷第２期２０１３年３月
内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ＶｏＩ＿４２Ｎｏ．２
Ｍａｒ．２Ｏ１３
一
类推广的Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ — Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子在Ｏｒｌｉｃｚ空间内的逼近性质
海莲，吴嘎日迪
（内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特０１００２２）摘要：构造了一类推广的Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ — Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子，利用Ｃａｕｃｈｙ不等式、Ｊｅｎｓｅｎ不等式和Ｈａｒｄｙ－ＩｉｔｔｌＢｅｒｎｓｔｅｉｎ－Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子在Ｏｒｌｉｃｚ空间内的逼近性质

Bernstein-Kantorovich算子在Orlicz空间内的逼近

Ｉ，一ＤＮ）Ｎ（（）ｄ（ｚ）ｚ是（）于Ｎ（ｚ关）的模．由文献［］可知，ｌｚ数也可以用下式计算：２０ｒｃ范ｉ
１ａｏ＞口广１Ｊ－１
Ｉｌｎ（＋ＩＭ（ｕｚ）ｚ．ｆＩＭ：ｉｆ１ａ（）ｄ）２ ‘
摘
要：造了一类新型的Ｂｒｓｅ－ａｔｒｖｅ子，过Ｋ一泛函与光滑模的等价性，究该算子在构ｅｎｔｉＫｎｏｏｉｎｈ算通研
Ｏｒｅ空间内的逼近问题，到了逼近阶的两种估计．ｌｚｉ得
关键词：Ｋｎｏｏｉｈ型的算子；Ｏｒｃ空间；近ａｔｒｖｃｌｚｉ逼中图分类号：Ｏ１４４７．１文献标志码：Ａ文章编号：１０ — ７５２１）６Ｏ６一４０１８３（ＯＯＯ一５９Ｏ
・
５Ｏ・７
内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）
第３ Байду номын сангаас卷
兵中ＷＬ１１）（一，Ｊ吖为ＬＬ１１一，Ｊ的Ｓｂｌｖ至Ｉ即ｏｏｅ司，
Ｗ［１１）（一，］Ｍ一（ ∈ Ｌ矗：厂厂Ｈ ∈ Ａｃ［１１， ∽ ∈ Ｌ磊一１１）一，］ｆ［，］．为方便起见，本文总假定Ｃ为一个正常数且在不同处可以表示不同的值．
文中用Ｍ（）和Ｎ（表示互余的Ｎ函数，于Ｎ函数的定义可参考文献Ｅ］由Ｎ函数Ｍ（） “ ）关２．生成的

一种推广的Baskakov-Kantorovich算子在Orlicz空间内的逼近性质

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｂａｓｋａｋｏｖ—ＫａｎｔｏｒｏｖｉｃｈＯｐｅｒａｔｏｓ；Ｏｒｒｌｉｃｚｓｐａｃｅ；ｗｅｉｇｈｔｅｄａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ
１９５７年Ｂａｓｋａｋｏｖ在文献［６］中首次提出Ｂａｓｋａｋｏｖ算子：：ｃＥｏ， ∞］－－，ｃ［０，Ａ］，
Ｖｏ１．３６Ｎｏ．４
Ｊｕ１．２０１５
一
种推广的Ｂａｓｋａｋｏｖ—Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子在Ｏｒｌｉｃｚ空间内的逼近性质
张思丽，吴嘎日迪
（内蒙古师范大学数学科学学院，呼和浩特０１００２２）
中图分类号：０１７４．４１文献标志码：Ａ文章编号：１００９—３５７５（２０１５）０４— ０１６０— ４０
ＳＯＭＥＰＲＯＰＥＲＴｌＥＳＯＦＡＰＰＲＯＸｌＭＡＴｌＯＮＦＯＲＧＥＮＥＲＡＬｌＺＥＤ
ｏｎｅａｎｄｔｗｏｖａｒｉａｂｌｅｓｉｎＯｒｌｉｃｚｓｐａｃｅ．Ｕｎｄｅｒｔｈｅｍｏｄｕｌｅｓｏｆｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ，ｔｈｅｇｒｅａｔｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆＨａｒｄｙ—Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ，ｔｈｅｃｏｎｖｅｘｉｔｙｏｆＮ

一类Kantorovich型算子在Lp空间的逼近

Ｊｏ
足理１的证明首先把
（ｚ）成奇异积分，写
Ｐ（（ｌ￡￡ｆ（＋）ｋ）＋ｄ
（）舢￡一
Ｌ（，）一Ｉ（，ｆｔｄ，，ｔ（ｔＫ））
Ｋ（￡可测，，）若
１Ｉｌ（，ｌｔ） ≤Ｍ， ∈［，，ｅ，Ｋ）ｄ口６ａ＿］ＩＩｌ（，ｌｘＭ，ｔ口６，ｅ， ≤ Ｋ）ｄ ∈［，ａ＿］．
一
为（的Ｂｍｓｉ项式，中Ｐ（））ｅｔｎ多ｅ其一
（一１
ＩＩｆ）ｌ一（Ｉｆｌｌ，
定义Ｋ泛函和积分光滑模分别为
）．一关于Ｂｍｓｉｅｔｎ多项式的逼近性质已经有许多研ｅ究成果。讨论对空间的逼近时，们对Ｂｒｓｉ在人ｅｎｔｎｅ多项式作了如下变形（即著名的Ｋｎｏｏｉａｔｒｖｈ算子）ｃ：
Ｉ（一ｌ（） ∈ ，ｆ≤ ，ＮＰ）ｌ：去
式中Ｍ不依赖于的常数．是本文出现的常数Ｍ在不同的地方取值不同。
１引理
引理１］设ｆｐ１，［ｅＬ（ ≥ ）
Ｐ（一，）
式中（是通常意义下的连续模．，）文献［ｌ论了ｅ讨（）不连续函数的逼近，给出了逼近阶的估，对并计。但至今尚未见到该算子的任何积分型变形算子在Ｌ空间逼近的结果．讨论Ｌ在空间的逼近时，自然考虑（的如下Ｋａｔｒｖｃ，）ｎｏｏｉｈ变形：

Orlicz空间内有理插值型算子的逼近

Ｉ。ｘ（Ｉｃｍ［．ｆＥ ≤ 厂）ｌ一确ａ
）１．．ｊ
令厂）Ｌｌ，２有ｌ（Ｘ）ｌ＇ ≤ ｃ ∞ 厂（ ∈ ｌ＞，Ｉ厂，一ｆｌ１＿Ｌ］（，
令厂）∈ Ｌ１（（ｌ＞１，］）有
（）为Ｖｅｔｓ算子，１式ｒｉｅ记作Ｋ（，ｚ．－Ｘ，）厂
当Ｘ一｛｝时，ｈｐｒ算子的Ｊｃｓ定理在Ｃ］１ｊ．Ｓｅａｄａｋｏｎ［中成立．
＝０一
定理Ａ
令厂ｚ（）∈ Ｃ］则ｃ，
，
Ｏ（（，一），ｗｆ）
。
作Ｌ厂Ｘ，）如果ｙ（） ¨（，ｚ．ｚ一
（１ｇ＇）为ｈａ算，）ｔ（式Ｓｐｄ子记＞，￣ＩＪ／ｅｒ
∑ ｆ一ｚ
（＞１，（）ｓ）ｚ是＋ｌ阶拉格朗日插值的基本代数多项式，称则
∑ （）ｚｆ
内蒙古师范大学教授，要从事函数逼近论研究．主
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・４４・２
内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）
第３卷６
—
＾
Ｉ
＝ｃ
Ｌ（Ｘ，厂，）一
Ｋ（Ｘ，厂，）＝
＞２，
￣．（，１－ｆｆＬａｆＸ）Ｉｃ
出
＜ ≤ ２，
ｌｏｃ，
（忌＝０ｌ … ，１，，ｎ＋）时，文献［］给出３
出
ｃ。丌）

Kantorovich型Bernstein-Stancu算子的Voronovskaja型估计

在逼近论中起到重要作用，很多学者对此有很深的研究［１３］．关于犅狀（犳，狓）算子与犓狀（犳，狓）算子有许多
推广形式，例如，１９６８年，Ｓｔａｎｃｕ［４］首次提出了所谓的ＢｅｒｎｓｔｅｉｎＳｔａｎｃｕ多项式
∑ （）犅狀，α，β（犳，狓）＝
狀
犳
犽＝０
犽＋α 狀＋β
狆狀，犽（狓），
别定义如下：
∑ （） ∑ ∫ 犅狀（犳，狓）＝
狀
犳
犽＝０
犽狀
狆狀，犽（狓），犓狀（犳，狓）＝
狀
犽＋１
（狀＋１）狆狀，犽（狓）狀犽＋１犳（狊）ｄ狊，
犽＝０
狀＋１
（）狀
其中狆狀，犽（狓）：＝狓犽（１－狓）狀－犽，犽＝０，１，２，…，狀；狀＝１，２，…．犅狀（犳，狓）与犓狀（犳，狓）对连续函数的逼近犽
关键词：Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ型ＢｅｒｎｓｔｅｉｎＳｔａｎｃｕ型算子；Ｖｏｒｏｎｏｖｓｋａｊａ渐进估计；正定理中图分类号：Ｏ１７４．４１犕犛犆２０１０：４１Ａ２５，４１Ａ３５文献标志码：Ａ文章编号：１６７４２３２Ｘ（２０１９）０５０５３５０６
０引言
对任意的犳∈犆［０，１］，其相应的Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ算子犅狀（犳，狓）及Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ型Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ算子犓狀（犳，狓）分
犽＋α１＋１
（）狀，犽
狀＋β１＋１犽＋α１
（）ｄ，
犽＝０
狀＋β１＋１
其中狓∈犃狀，α犽，β犽（犽＝１，２）与狇狀，犽（狓）同式（１）中的定义．显然，当α１＝β１＝α２＝β２＝０时，犛狀，α，β（犳，狓）就是通
常的ＢｅｒｎｓｔｅｉｎＫａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子．Ｉｃｚ得到以下逼近阶估计．

Stancu - Kantorovich算子的L3M逼近阶X

Stancu-K antorovich算子的L3M逼近阶Ξ伍火熊(湖南郴州师范高等专科学校数学系,湖南郴州423000)摘　要:在Orlicz空间L3M中研究了Stancu-K antorovich算子的有界性及其逼近问题,得到逼近阶的两种估计。

关键词:Stancu-K antorovich算子;Orlicz空间;逼近中图分类号:O174141 文献标识码:A, 文章编号:1005-1287(2000)03-0034-05 1　引言有关N函数及Orlicz空间的概念见[1]。

设M(u)为N函数,L3M[0,1]为由M(u)而成的[0,1]上的Orlicz空间。

N函数被称为满足Δ2条件(简记作M(u)∈Δ2)是指:存在常数K,u>0使u0≥0时,M(2u)≤K M(u)。

由文[2]知M(u)∈Δ2时,L3M[0,1]是可分的。

对于f(x)∈L3M[0,1]和t>0,我们定义f(x)的∧阶,二阶积分光滑模分别为: ω1(f,t)M=sup0≤h≤t‖f(x+h)-f(x)‖M, ω2(f,t)M=sup0≤h≤t‖f(x+h)+f(x-h)-2f(x)‖M1所谓Stancu-K antorovich算子是指: Kn1s(f,x)=Σnk=0q n,k,s(x)(n+1)∫I k f(u)d u其中x∈[0,1],Ik=[kn+1,k+1n+1],0≤s<n2是整数,q n,k,s(X)=(n-sk)x k(1-x)n-s-k+1, 0≤k<s;(n-sk)x k(1-x)n-s-k+1+(n-sk-s)x k-s+1(1-x)n-k,　s≤k≤n-s;(n-sk)x k-s+1(1+x)n-k, n-s<k≤n1当s=0与s=1时,便是熟知的Bernstein-K antorovich算子,对于此特殊情形,盛在文[3] 43第21卷第3期2000年5月湘潭师范学院学报Journal of X iangtan Normal UniversityVol121No13May12000Ξ收稿日期:1999-11-03作者简介:伍火熊(1964-),男,湖南永兴人,硕士,副教授.中讨论了它在Orlicz 空间中的逼近问题,获得了有关逼近正定理与饱和性定理。

推广的Stancu—Kantorovich型算子在Orlicz空间的逼近阶

・
收稿日期－０７—１ — ６＇０２１０
作者简介：少卿（９１，，南内乡人，大学数学计算机学院２０基础数学研究生，究方向：杨１一）男河８宁夏０５级研函数逼近论． Fra bibliotek维普资讯
Ｃ，＝ｎｓ）（厂，
Ｋ，，：：厂），（
厂（
），）中Ｓ为自数，当Ｐ（，｛一然列然ｎ其ｎＩ，｝显
（（）（：，））（ｆ篁（））
ｓ＝１（＝１２ …）时，厂，）＝Ｂ（，．ｎ，，Ｃ（ｓ，厂）
２４
绍兴文理学院学报（自然科学）
第２７卷
ｓｋｕ，称Ｊ函数（）足 △，件．Ｍ（）则７、ｒｕ满条表示在区间［，］０１上有Ｊ７ｖ函数Ｍ（）生成的Ｏｌｚ间．于厂∈ ・ｒｃ空ｉ对
ｌｒ１Ｉ
１引言及预备知识
设ｆ∈ Ｃｏ］ｆ的Ｂｒｓｉ项式为：。，Ｃ１ｅｎｔｎ多ｅ
加）ｋ＝
＝０
）告，）（１．厂）中（其＝一一
ｋ＋ｌ
令
）＝
＋１）
…
这就是著名的Ｋｎｏｏｉａｔｒｖｈ算子．Ｓａｃｃ而ｔｕ—Ｋｎｏｏｉｎａｔｒｖｈ算子是指：ｃ
本文构造与Ｃ（，，相应的Ｓａｃｆ）ｔｎｕ—Ｋｎｏｏｉａｔｖｃｒｈ型算子：

Baskakov-Kantorovich算子在紧圆盘上的同时逼近性质

其中
n + j − 1 j − n− j . [1]-[10] vn , j ( z ) = z (1 + z ) j
引理 1.1 [11]：[Cauchy 积分公式]设区域 D 的边界是周线(或复周线) C，函数 f ( z ) 在 D 内解析，在
D = D + C 上连续，则有
收稿日期：2018年5月3日；录用日期：2018年5月17日；发布日期：2018年5月25日
摘
要
本文根据Baskakov-Kantorovich算子在复空间的定义及性质研究Baskakov-Kantorovich算子在复空间的逼近性质，得到了Baskakov-Kantorovich算子在紧圆盘上的同时逼近性质。
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
Open Access
1. 引言
在复空间 C 上，令 DR := { z ∈ C : z < R, R > 1} ， H ( DR ) 表示 DR 上解析函数空间。函数 f : [ R, +∞ ) DR → C 在 [ R, +∞ ) DR 上连续，在 DR 上解析。若 f ∈ H ( DR ) ，对所有的 z ∈ DR ，
m =0
引理 2.2 [12]：设 f ∈ H ( DR ) 且有界于 [ 0, +∞ ) ， f ( z) =
∑ am z m , z ∈ DR ，若 1 ≤ r < 2 ，对任意

一类新型Stancu-Kantorovich算子在Bα空间的逼近

（～（ｚ ”ｓ志见：）一＜ ≤ 二一
当ｓ：１时
（ｆｚ）即为通常的Ｓａｃ卜ｎ，ｔｎ１Ｋａ —
则称ｆＥＢ（，Ｇ）定义为厂在。ｆＩ一的ｆａＪ厂ｌａ ≤ １（）ａ间｛：（，／）ｌｌＧＢｉ空ｎ）Ｂ
＋
Ｉ
Ｂ空间的Ｓｂｌｖ间为ｏｏｅ空
（一厂
＂
∑ ‰ ｚ厂刚（）（，
０ …
“
Ｕ＝｛ｇ∈ Ｂ，］ｇ绝对连续，０１：ｇ ∈ Ｂ，］ｇＯ１， ∈ Ｂ［，］．。Ｏ１）
引进Ｐｅｒ加权Ｋ泛函：ｅｔｅ
，，
孙渭滨
（宁夏大学数学计算机学院，夏银川７０２）宁５０１
摘要：造了一类新型Ｓａｃ— ｎｏｏｉ构ｔｎｕＫａｔｒｖｈ算子，ｃ讨论了该算子在Ｂ空间的逼近问题，到了逼近的正定理得
ｒ
２０年１月０８２
Ｄｅ．２８ｃ００
厂
口
文章编号：２３２２（０８０ — ３２００５ — ３８２０）４００ —４
一
∑一
ｎ
一
类新型Ｓａｃ— ａｔｒｖｃ子在Ｂ空问的逼近ｔｎｕＫｎｏｏｉｈ算口
ｍ
第２卷第４９期
Ｖｏ．９Ｎｏ４１２．
宁夏大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏｎｘａＵｎｖｒｉ（ｔｒｌｃｅｃｄｔｎｏｒａｆＮｉｇｉｉｅｓｔＮａｕａｉｎｅＥｉｉ）ｙＳｏ

Bernstein-Kantorovich算子线性组合同时逼近的等价定理

．
Ｚｈｊｎｉｅｓｔ（ｃｅｃｉｏ）００，７５：９ — ４６ｅｉｇＵｎｖｒｉＳｉｎｅＥｄｔｎ，２１３（）４３ａｙｉ９
Ａｂｓｒｃ：Ｔｈｑｕｖｌｎｈｏｒｍｓａｅｇｖｎｏｉｕｌａｎｏｕｐｐｒｉａｉｏｒｔｏｂｉｔｏｒｔｉ — ｎ— ｔａｔｅｅｉａｅｔｔｅｅｒｉｅｎｓｍｔｅｓａｏｘｍｔｏｎｆｈｅｃｍｎａｉｎｓｏｆＢｅｎｓｅｎＫａ
ｒ阶ＤｔｉｎＴｔｉａ — ｏｉ滑模定义为ｚｋ光
１引言及结果
设 ∈ ｃｏ１，ｅｎｔｉ— ｎｏｏｉｈ算子定［，］ＢｒｓｅｎＫａｔｒｖｃ
义为
ｎ ±
（，）ｓｐ厂一ｕ
Ｏ＾ｆ－（／）ｐ（Ｅ［，］＜ ≤ －ｒ２＾＾）Ｏ１ａ
ｉｌｏｉｅｓｉａｔｄＳａｓｎｖｔｇｅ．
Ｋｅｏｄｓ：ｓｍｕｌａｏｕｓａｙＷｒｉｔｎｐｐｒｉａｉｏｘｍｔｏｎ；ｍｏｄｕｌｏｍｏｈｎｅｓ；Ｂｅｎｔｉ — ａｏｏｃｐｅａｏｒｉｆｓｏｔｓｒｓｅｎＫｎｔｒｖｉｈｏｒｔｓ
ＣＨＥＮＧｉ（ｐａｔｎｆＭａｈｍａｉｓＬＤｅｒｍｅｔｔｅｔｃ，ＬｉｈｉＵｎｖｒｉｙ，Ｌｉｈｉ３３０，Ｚｅｉｎｏｉｃｏｓｕｉｅｓｔｓｕ２００ｈｊａｇＰｒｖｎｅ，Ｃｈｎ）ｉａ
Ｅｑｕｖｅｈｏｅｓｏｓｍｕｔｎｅｕａｒｘｍａｉｎｏｂｎｉｎｓｏｒｔｉ－ｉａｌｎｔｔｅｒｍｎｉｌａｏｓｐｐｏｉｔｏｂｙｃｍｉａｔｏｆＢｅｎｓｅｎＫａｎｔｒｖｃｏｒｔｒｏｏｉｈｐｅａｏｓＪｕｎｌｏｏｒａｆ

多元Kantorovich算子在Orlicz空间中的逼近逆定理

Ⅳ （表示互余的Ⅳ－・）函数，表示Ⅳ．函数（・）成的Ｏｒｃ空间．于厂∈Ｌ（，生ｌｚｉ对ｈＴ）定义厂在￡中的Ｏｒｃ范数 ∞为ｌｚｉ
’
或与此等价地有
ＩＩ一厂
Ｉｌ —ｉ厂ｌ。ｎ
Ｉ（）ＩＪｚ（ｄ）ｚｚ厂
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内蒙古工业大学学报第ｚ６卷第１期
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＩＮＮＥＲＯＮＧＯＬＩＭＡＵＮＩＥＩＶＲＳＴＹ０ＦＴＥＣＨＮ０Ｌ０ＧＹ
Ｖｏ．ｉ１２ｆＮｏ１２００７
．
文章编号：０１１７２０）１００一５ｉ０ —５６（０７０～０５Ｏ
理．
关键词：ｒｃ空间；ｎ００ｉ算子；ＯｌｚｉＫａｔｒｖｈｃ逼近
中图分类号：７．１文献标识码：１４４Ａ
１弓言和结果Ｊ
－Ｋｎｒｉ算为Ｋ（，一∑ ）＋１ ”，）：ａｏｖｈ子￣ｔｏｃ，），（）：（ｄ（ｎｌ
．
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６
内蒙古工业大学学报
Ｚ０矩０７
我们先引进记号：Ｘ）毋（一体（一＾ｚ（－Ｘ）１Ｘ）、ｆ１／，
，ｊＸ）、ｚｚ，＜＿；一Ｄ“ 访（一＾ ’ｊ１／『Ｄ：
蠢，盯ＤＤ１；一：，ｌＤ；示内．（）１；一，ｊ ≤ Ｄ一，＜ＤＤ（＝ＤＤＤ… 表的部用・０Ｄｋ『）２和
多元Ｋｎｏｏｉａｔｒｖｈ算子在Ｏｌｚｃｒｃ空间中的ｉ

Kantorovich型Shepard算子在Orlicz空间内的逼近性质

¨
作为一种正线性插值算子，ｈｐｒ算子已经被应用于径向基逼近、Ｓｅａｄ图像处理等领域，因此Ｓｅａｄ子ｈｐｒ算
受到人们的广泛重视，它的研究也不断深入．了讨论在Ｌ［，］积函数空间的逼近性质，对卜为口６可文献［］１
定理２设厂ｚ（）∈ ＬＯ１，Ｉ（，）厂・ ≤ Ｃ（，Ｍ其中：［，］则『Ｌ厂・一（）Ｏ厂ｅ）．
￡一一ｌｇ，．一２，ｏ＝【
Ｉ，ｎ－ｉ
＞，２
第４卷０
数（）可由１还
Ｉｌｎ（＋ｌａｚｚ）ｘ “Ｍ—ｉｆ１（）ｄ）ＩＭ（ｚ计算，并且存在ａ０满足ＩｐａＩ（））ｄ＞，Ｎ（（ｚＩ）ｘ一１使得，
（）２
ＩＩ（＋ｆ（（））－ＭＩ一１。ｄ．Ｍ）ｚ
第４Ｏ卷第３期
２１０１年５月
内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）
ＪｕｎｌｆＩｎｒＭｏｇｌｒａＵｎｖｒｉ（ｔｒｌＳｉｎｅＥｉｏ）ｏｒａｎｅｎｏｉＮｏｍｌｏａｉｅｓｔＮａｕａｃｅｃｄｔｎｙｉ
Ｉ
Ｉ
Ｉｆ — ｓｐＩ甜ｚ口ｚｄｆＩＩＭｕ（）（）ｘＩ
，
（）１
ｒ１
的可测函数全体｛（），中ｐｖＮ）ｌｖｘ）ｘ是（）于Ｎ（） “ｚ）其（，一Ｎ（（）ｄ关ｖ的模．由文献［］可知，ｒｃ范２Ｏｌｚｉ

积分型拟Kantorovich算子在Bα空间的逼近

厂）（１ ∑Ｃ『，＝＋∑（Ｊ，）（ …
．
）ｐ（ｄ）ｕ）
其Ｉ，等且了０的性敛及性．中蒜讨其，有、性近论［界收逼质ｌ】中
Ｂ间是由我国学者丁夏畦引进的一种十分重要的函数空间．设Ｂ＝
ｕａｃｅｃｒｌｉｎｅＥｄｔｎＳｉｉｏ
ｌｉ
Ｎ。２０２ｖ０
’ ｕ厶ｕｕ厶
文章编号：１０－８３２０）４０３．４０３２４（０２０．４９０
积分型拟Ｋａｔｒｖｃ算子在Ｂ空间的逼近ｎｏｏｉｈ
， …
广… 一Ｅｅｅ空｝ｍｅｓ类是ｂｕｇ
间，ｌ１ …．＝，．是Ｐ＞（，２），，，非负实 …）数列，厂）义在欧氏内界闭（为定空间ｄ有集Ｇห้องสมุดไป่ตู้上的测函可
数・若对／∈ ，存在实数０使ｌ，＝Ｉ三 ∞ 则称ｆＢ（，ｎ，（ ∑口＜，ｆ））且定义ｅＧ
收稿日期：２０．３１０２０．８作者简介：刘国军（９８）男，宁夏大学数学与电算工程系硕士研究生１７－，
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西南民族学院学报・自然科学版
第２卷８
对Ｂ［】＞，于ｅ，和ｆ０定义厂）一阶连和二阶模分０１的续模连续别为
刘国军
（宁夏大学数学与电算工程系，银川７０２）５０１
摘要：【讨积型Ｋｔ。ｃ子【中逼，究分型Ｋｎｒｉ算Ｋ：）子Ｂ［】丈论了分拟．。ｖｈ在ｃＩ的近阶研积拟ａ。Ｖｈ子（算在，空】蚰ｒｉ算０ｌＩｔ。ｃ０１

Orlicz空间内的Muntz有理函数的逼近

应用数学MATHEMATICA APPLICATA 2020,33(3):614-619Orlicz 空间内的M¨u ntz 有理函数的逼近王亚茹,吴嘎日迪(内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古呼和浩特010022)摘要：本文研究了Orlicz 空间内M¨u ntz 有理函数逼近问题,相比于前人对同类问题的研究,本文改进了系指数{λn }∞n =1所满足的条件,利用H¨o lder 不等式、Hardy-Littlewood 极大函数、K -泛函、连续模、N 函数的凸性等技巧,得到逼近的Jackson 型定理.由于Orlicz 空间的拓扑结构比连续函数空间和Lp 空间复杂,所以本文的结果具有一定的拓展意义.关键词：M¨u ntz 有理函数;Orlicz 空间;逼近;Jackson 型定理中图分类号：O174.41AMS(2000)主题分类：41A20;41A25文献标识码：A 文章编号：1001-9847(2020)03-0614-061.引言设C [0,1]空间是[0,1]区间上的全体连续函数,给定任意非负且严格递增的实数序列Λn ={λk }n k =1.令R n (Λ)={P (x )Q (x ):P (x ),Q (x )∈span {x λk },λk ∈Λn ,Q (x )≥0},R n (f,Λ)=inf r ∈R (Λ)∥f −r ∥,其中,span {x λk }为{x λk }的线性组合的全体所构成的集合.当Q (0)=0时,我们认为P (0)Q (0)=lim x →0+P (x )Q (x )存在且有限.在1941年M¨u ntz [1]考虑M¨u ntz 系统{x λn }∞n =1在C :[0,1]空间的稠密性之后,有许多学者对各类M¨u ntz 多项式和M¨u ntz 有理函数讨论了稠密性问题.随着研究的深入,对M¨u ntz 有理函数的速度刻画成为了有趣而困难的课题,唐秀娟在文[2]中给出J.Bak 的一个开创性结果:定理A [2]设f (x )∈C [0,1],给定A >0,若对所有的n ≥1有λn +1−λn ≥An ,则存在r n (x )∈R n (Λ)和仅依赖于A 的正常数C A 使得∥f (x )−r n (x )∥≤C A ω(f,1n),这里ω(f,t )表示f (x )通常的连续模.文[2]减弱了系指数{λn }∞n =1满足的条件,给出定理B [2]设f (x )∈L P [0,1],若对所有的n ≥1有λn +1−λn ≥An α(12≤α<∞),则存在一个依赖于M 的正常数C M 使得R n (f,Λ)L P [0,1]≤C A ω(f,1n )L P [0,1].∗收稿日期：2019-06-04基金项目：国家自然科学基金资助项目(11761055),内蒙古自然科学基金资助项目(2017MS0123)作者简介：王亚茹,女,汉族,吉林人,研究方向：函数逼近论.通讯作者：吴嘎日迪.第3期王亚茹等：Orlicz 空间内的M¨u ntz 有理函数的逼近615本文将定理B 的结论推广到Orlicz 空间.另一方面,注意到多项式倒数逼近也是有理逼近的重要组成部分.许贵桥在文[3]中用Bernstein 多项式对连续函数进行倒数逼近.多项式倒数逼近为许多学者所研究,并得到很多好的结果,见文[4-6]本文在Orlicz 空间内,更深一步地研究有理逼近问题.根据文[2]构造的Kantorovich-M¨u ntz 算子K ∗n (f,x )=n n ∑k =1r k (x )∫k n k −1nf (t )d t.或K ∗n (f,x )=n ∫10Q (x,t )f (t )d t,这里Q (x,t )=r k (x ),k −1n≤t ≤kn .本文记∆λk =λk −λk −1,k =2,3,···.再写x j :=j n ,0≤j ≤n,P j (x )=x λjj∏l =1x −∆λl l,r k =P k (x )∑n j =1P j (x ).用M (u )和N (v )表示互余的N 函数,关于N 函数的定义及其学者见文[7],由N 函数M (u )生成的Orlicz 空间L ∗M [0,1]是指具有有限的Orlicz 范数∥u ∥M =sup ρ(v,N )≤1|∫1u (x )v (x )d x |的可测函数u (x )的全体,其中ρ(v,N )=∫10N (v (x ))d x 是v (x )关于N (v )的模.由文[7]知,Orlicz 范数还可由∥u ∥M =inf β>01β(1+∫10M (βu (x ))d x )计算,并且存在β>0满足∫10N (p (β|u (x )|))d x =1,使得∥u ∥M =1β(1+∫1M (βu (x ))d x ),这里p (u )是M (u )的右导数.对于f ∈L ∗M [0,1],定义K -泛函和连续模如下:K (f,t )M =inf g ∈AC [0,1],g ′∈L ∗M [0,1]{∥f −g ∥M +t ∥g ′∥M };ω(f,t )M =sup 0≤h ≤t∥f (·+h )−f (·−h )∥M .由文[8]有K (f,t )M ∼ω(f,t )M .本文的主要结果是定理1.1设f (x )∈L ∗M [0,1],若对所有的n ≥1,有λn +1−λn ≥An α(12≤α<∞),则存在一个依赖于A 的正常数C A 使得∥f −r ∥M ≤C A ω(f,1n )M .定理1.2设{λn }满足定理1.1的条件,则对于在区间[0,1]上非负且不恒为零的f (x )∈L ∗M [0,1],存在[0,1]上的可测函数g (x )满足∥f −1K ∗n (g −1)∥M ≤C A ω(f,1n)M .注文中C A 表示仅与A 有关的正常数,在不同的地方取不同的值,以下同.2.若干引理引理2.1[2]设x ∈[x j −1,x j ],则对一切k =0,1,···,j −2,j +1,···,n 均有r k (x )≤C A e−A |√j −√k |.引理2.2K ∗n (f )是一致有界的正线性算子,则有∥K ∗n (f )∥M ≤C A ∥f ∥M .616应用数学2020证由文[2]知,对任意的k =0,1,···,n ,均有∫10r k (x )d x ≤C An.故由N 函数M (u )凸性与Jensen 不等式可以推出∥K ∗n (f,x )∥=inf β>01β(1+∫1M (βK ∗n (f,x ))d x )=inf β>01β(1+∫10M (βn n ∑k =1r k (x )∫k n k −1n f (t )d t )d x )≤inf β>01β(1+∫10n∑k =1r k (x )M (n∫k n k −1nβf (t )d t )d x )=inf β>01β(1+∫10r k (x )d x n ∑k =1M (n∫k n k −1n βf (t )d t ))≤C A inf β>01β(1+1n n∑k =1n ∫k n k −1nM (βf (t ))d t )≤C A inf β>0(1+∫1M (βf (t ))d t )≤C A ∥f ∥M .引理2.3[2]对于任意的x ∈[0,1],下式成立|K ∗n (|t −x |,x )|≤C n .引理2.4[9]设f ∈L ∗M [0,1],θf (x )为f 的Hardy-Littlewood 极大函数θf (x )=sup h>0|1h ∫hf (x +u )d u |,则∥θf ∥M≤C ∥f ∥M .引理2.5[10]设B n =C n {[sinn (t −δn)2sin t −δn 2]4+[sin n (t +δn )2sin t +δn 2]4}是修正的Jackson 核,这里δn=π2n,C n 满足∫π−πB n (t )d t =1.若f ∈L ∗M [0,1],f (x )≥0,f (x )不恒为零,定义Λn (f,x )=∫π−πf (x +s )B n (s )d s ,那么∥f −Λn (f )∥M ≤Cω(f,1n )M ,ω(Λn (f ),t )M ∼Cω(f,t )M ,sup −π≤x ≤πΛn (f,x )Λn (f,x +t )≤C (1+n |t |)4.引理2.6[11]设f ∈L ∗M [0,1],把F n (x )∈L ∗M [−1,2],即F n (x )= n ∫1n 0f (t )d t,x ∈[−1,0]f (x ),x ∈[0,1]n ∫11−1nf (t )d t,x ∈[1,2],则ω(F n ,1n)M [−1,2]∼Cω(f,1n )M [0,1].引理2.7设x ∈[x j −1,x j ],则对一切k =0,1,···,j −2,j +1,···,n.均有|x −x k |≤|j −k |n.证1)如果x k ≤x j −1,则|x −x k |≤|x j −x k |=|j −k |n.2)如果x j ≤x k ,则|x −x k |≤|x j −1−x k |,证明过程与1)相似.3.定理的证明定理1.1的证明当f ∈L ∗M [0,1]时,显然K ∗n (f,x )∈R n (Λ),令r (x )=K ∗n (f,x ),对于满足g ∈AC [0,1],g ′∈L ∗M [0,1]的任意g ,由K -泛函与连续模的等价性及引理2.2知∥K ∗n (f )−f ∥M ≤∥K ∗n (f )−K ∗n (g )∥M +∥K ∗n (g )−g ∥M +∥f −g ∥M(3.1)第3期王亚茹等：Orlicz空间内的M¨u ntz有理函数的逼近617≤C A∥f−g∥M+∥K∗n(g)−g∥M.(3.2)下面我们来估计∥K∗n(g)−g∥M.由极大函数定义知|K∗n(g,x)−g(x)|≤nn∑k=1r k(x)∫knk−1n|g(t)−g(x)|d x≤θg′(x)K∗n(|t−x|,x),再由引理2.3,2.4知|K∗n (g,x)−g(x)|≤C Anθg′(x)≤C A n∥g′∥M,故∥K∗n(g,x)−g(x)∥M=supρ(v,N)≤1|∫1(K∗n(g,x)−g(x))v(x)d x|(3.3)≤supρ(v,N)≤1|∫1(K∗n(g,x)−g(x))|v(x)d x≤C An∥g′∥M.(3.4)从而运用K-泛函与连续模的等价关系即可证明∥K∗n(f)−f∥M≤C A(∥f−g∥M+1n∥g′∥M).由g的任意性我们得出∥K∗n(f)−f∥M≤C A K(f,1n)M≤C Aω(f,1n)M.定理得证.定理1.2的证明因为f∈L∗M[0,1]在区间[0,1]上不变号,不妨假设f(x)≥0且不恒等于非零的常数C(否则,若f(x)≡C,C=0,则令g(x)=f(x)即可则知结论成立).把f(x)按引理2.6的方法延拓成F n(x)∈L∗M[−1,2],对任意的ε>0记˜g(x)=ˆF n(x)+ε,很显然,由f(x)≥0知˜g(x)≥ε,这里ˆF n(x)是F n(x)是二阶Steklov平均函数,记ˆFn(x)=(F n(x))hh,(F n(x))hh=1h∫x+h2x−h2(F n(u))h d u.对于x∈[−1,2],取x=3cosθ+12,|θ|≤π,˜G(θ)=˜g(3cosθ+12),定义g(x)=Λn(˜G,θ)=∫π−π˜g(3cos(θ+s)+12)B n(s)d s.由g(x)≥0知,g(x)则满足引理2.5的条件,再由文[7]的定理1.1的证明有ω(ˆF n,1n)M≤ω(F n,1n)M[−1,2]≤ω(f,1n)M[0,1],∥g−˜g∥M≤ω(f,1n)M.对于正线性算子K∗n (f,x)=nn∑k=1r k(x)∫knk−1nf(t)d t,则根据Cauchy-Schwarz不等式得K∗n (g,x)K∗n(g−1,x)≥K∗n(1,x)=1.因此1K∗n (g−1,x)≤K∗n(g,x).对区间[0,1]划分为E1,E2两部分.令E1={x∈[0,1]:g(x)≤1K∗n(g−1,x)},E2=[0,1]\E1.618应用数学2020对于x ∈E 1,由定理1.1有∥g −1K ∗n (g −1)∥M (E 1)≤∥K ∗n (g )−g ∥M (E 1)≤∥K ∗n (g )−g ∥M ≤C A n∥g ′∥M .对于x ∈E 2,由1K ∗n(g −1,x )≤g (x ),得|g (x )−1K ∗n (g −1,x )|=|g (x )K ∗n (g −1,x )(K ∗n (g −1,x ))−1g (x )|=|g (x )K ∗n (g −1,x )K ∗n (1g (t )−1g (x ),x )|=|g (x )K ∗n (g −1,x )n n ∑k =1r k (x )∫k n k −1n(1g (t )−1g (x ))d t |≤|g 2(x )n n ∑k =1r k (x )∫k n k −1n (g (x )−g (t )g (t )g (x ))d t |≤n n ∑k =1r k (x )∫k n k −1n (|g (x )−g (t )|)g (x )g (t )d t.由g (x )的定义及引理2.5得|g (x )−1K ∗n (g −1,x )|≤C A n n ∑k =1r k (x )∫k n k −1n |g (x )−g (t )|[1+n (|x −t |)]4d t≤C A n n ∑k =1r k (x )∫k nk −1n|∫x tg ′(u )d u |[1+n (|x −t |)]4d t,由引理2.1,2.4,2.7有|g (x )−1K ∗n (g −1,x )|≤C A n n ∑k =1r k (x )∫k n k −1n |∫xtg ′(u )d u |[1+n max(|x −x k |,|x −x k −1|)]4d t≤C A n n ∑k =1r k (x )∫k n k −1nθg ′(x )|x −t |d t [1+n max(|x −x k |,|x −x k −1|)]4≤C A nn ∑k =1r k (x )θg ′(x )1n max(|x −x k |,|x −x k −1|)[1+n max(|x −x k |,|x −x k −1|)]4≤C A n n n∑k =1r k (x )θg ′(x )max(|j −k |n ,|j −k +1|n )[1+n max(|j −k |n ,|j −k +1|n )]4≤C A n n n∑k =1e −A |√j −√k |θg ′(x )max(|j −k |,|j −k +1|)[1+n max(|j −k |,|j −k +1|)]4≤C A n n n∑k =1e −A |√j −√k |θg ′(x )[1+max(|j −k |,|j −k +1|)]5≤C A nnθg ′(x ).所以∥g −1K ∗n (g −1)∥M (E 2)≤C A n ∥θg ′∥M (E 2)≤C A n∥g ′∥M .因此∥g −1K ∗n (g −1)∥M ≤∥g −1K ∗n (g −1)∥M (E 1)+∥g −1K ∗n (g −1)∥M (E 2)≤C A n∥g ′∥M .第3期王亚茹等：Orlicz 空间内的M¨u ntz 有理函数的逼近619从而运用K -泛函与连续模的等价关系即可证明∥f −1K ∗n (g −1)∥M ≤∥f −g ∥M +∥g −1K ∗n (g −1)∥M≤C A (∥f −g ∥M +1n∥g ′∥M )≤C A K (f,1n )M ≤C A ω(f,1n)M .定理得证.参考文献：[1]MUNTZ C M.Uber den Approximation von Weierstrass[M].SCHWARZ H A F.Berlin:MathmatischeAbhandlungen,1941.[2]唐秀娟.Lp 空间上的Muntz 有理逼近[J].公安海警学院学报,2015,12(2):37-40.[3]许贵桥.利用正系数多项式的倒数逼近非负连续函数的一个收敛估计[J].工程数学学报,1996,13(4):112-116.[4]ZHAO Yi,ZHOU Songping.Approximation by reciprocals of polynomials with positive coeﬃcientsin Lp spaces[J].Acta Math.Hungar,2001,92(3):205-217.[5]梅海峰.Lp[−1,1](1≤p <∞)空间中复系数多项式的倒数逼近[J].工程数学学报,2003,20(1):111-114.[6]CAO Feilong.Pointwise and globai estimates for reciorocal approximation of polynomials with positivecoeﬃcients[J].Mathematica Applicate,2003,16(1):65-69.[7]吴从炘,王延辅.奥尔里奇空间及其应用[M].哈尔滨:黑龙江科学技术出版社,1983.[8]WU Garidi.On approximation by polynomials in orlicz spaces[J].Approximation Theory And ItsApplications,1991,7(3):97-110.[9]谢敦礼.连续正算子L ∗M 逼近的阶[J].杭州大学学报,1981,8(2):142-146.[10]DEVORE R A,LEVIATAN D,XIANG Ming Yu.Approximation by reciprocals trigonometric andalgebraic polynomials[J].Canada Math Bull,1990(33):460-469.[11]吴嘎日迪,海莲.Orlicz 空间内的Muntz 有理逼近[J].应用数学,2014,27(1):44-49.[12]RAMAZANOV A R K.On approximation by polynomials and rational functions in orlicz spaces[J].Analysis Mathematica,1984,10(2):117-132.Rational Approximation of Muntz in Orlicz SpacesWANG Yaru ,WU Garidi(School of Mathematical Science,Inner Mongolia Normal University,Huhhot 010022,China )Abstract:In this paper,we study Muntz rational approximation problems in Orlicz spaces,comparewith previous studies on similar problems and tries to improve the index {λn }∞n =1meet the ing the H¨o lder inequality,Hardy-Littlewoods maximal function,K -functional continuous modulus and convexity of N -function techniques,the Jackson type theorem of approximation is obtained.Since Orlicz space’s topological structure is more complex than continuous function space and Lp spaces,the results of this paper have certain expansion signiﬁcance.Key words:Muntz rational approximation;Orlicz space;Approximation;Jackson theorem。

一类推广的Bernstein-Kantorovich算子的点态逼近

一类推广的Bernstein-Kantorovich算子的点态逼近刘国芬【摘要】讨论Bernstein-Kantorovich 算子的一种推广形式的逼近性质，运用插项的方法证明了逼近正定理，并证明了逆定理，得到了逼近等价定理。

完善了算子在逼近性质方面的结果。

%We study the properties of approximation for a generalization of Bernstein-Kantorovich operators and prove the direct approximation theorem by the means of inserting term and the inverse theorem, namely the equivalence theorem. The results of the properties of approximation for this kind of operators are perfected.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】8页(P32-39)【关键词】Bernstein-Kantorovich型算子;光滑模;K-泛函;逼近正逆定理【作者】刘国芬【作者单位】河北师范大学数学与信息科学学院，河北石家庄 050024; 河北省计算数学与应用重点实验室，河北石家庄 050024【正文语种】中文【中图分类】O174.41对于f∈C[0,1],Bn(f,x)表示Bernstein-Kantorovich算子,定义[1]其中文献[2]中讨论了这类算子线性组合的逼近性质.而它的Sikkema-B´ezier变形为:这里,是B´ezier基算子,sn是一个自然数序列并且对于Sikkema算子[3]和B´ezier算子[4-7]许多学者都有一定的研究,对Bernstein-Sikkema-B´ezier算子的点态逼近性质进行了讨论[8],证明了其逼近的等价定理.本文将对Bernstein-Kantorovich的Sikkema-B´ezier变形算子的逼近性进行讨论,给出并证明该算子逼近的正逆定理和等价定理,其中主要结论叙述如下.定理1设则下面两个陈述是等价的:文中用到光滑模和K-泛函的等价性,它们的定义分别为:这里,其中a～b表示存在一个常数c>0,使得文中C表示与n和x都无关的常数,不同位置的数值可能是不一样的.为了证明定理1,需要几个引理.为了利用插项的方法,首先给出Bernstein-Kantorovich-B´ezier算子的逼近度,定义为引理2.1设证明由与光滑模之间的等价关系,对于固定的n,x和λ,可以选择适当的g=gn,x,λ,使得注意到|Bn,α(f)|≤α∥f∥,只需估计上式中的第二项.利用g(t)得到利用不等式,就有当−u≤2(0≤u≤1)时,和|.结合注意到0<Jn,k(x)≤1,再利用可推出[1]:利用(2.2)-(2.4)和(2.7)式,引理2.1得证.引理2.2下面关于Sn,1(f,x)的矩的估计:证明经过简单的计算就可得到Sn,1(1,x)=1,利用题设中的对于固定的x,只要取充分大的n,使得成立.于是(2.8)式得证.引理2.3设则有进一步,当f∈Wλ时,证明首先证明(2.9)式.这里利用1=Jn,0>Jn,1>···>Jn,n>0和当x∈注意到pn,n+1(x)=0,pn,−1(x)=0,结合,有由于=0,当x∈时,当x∈En时,δn(x)～φ(x),和于是当x∈En时,结合(2.11)和(2.12)式,证明了(2.9)式.下面证明(2.10)式. 由于Sn,α(1,x)=1,显然f(x)S′n,α(1,x)=0.当f∈Wλ时,有于是由(2.6)式,可得注意到pn,−1(x)=0,当时,这里对于K1,有(当x=0时,K1=0),另一方面,如果有|t−x|≤1,(1−x)n−1≤n1−n,K2≤C,于是K1+K2≤C.类似地,当x∈时,I2≤C.下面考虑I1,当x∈时,当x∈时,对于x∈En,δn(x)～φ(x),显然对于x∈En(2.14)式的推导过程也是适用的,I1≤C.于是当x∈En时,有由(2.15)和(2.16),(2.10)式成立.这样引理2.3得证.引理2.4当0时,不等式证明对于(2.17),利用H¨older不等式只需证明:借用(2.5)式的推导过程易得上面的不等式.结合(2.18)式成立.这一部分将对定理1进行证明.对于(1.2)⇒(1.1)式,由引理2.1,再由文献[1]中的(3.1.5)得到,于是(1.1)式成立.另一方面,利用引理2.3和引理2.4并借助文献[9]中定理1关于“⇒”的方法就可以证明(1.1)⇒(1.2)式,这里不再叙述细节.【相关文献】[1]Ditzian Z,Totik V.Moduli of Smoothness[M].New York:Springer-Verlag,1987.[2]程丽.Bernstein-Kantorovich算子线性组合同时逼近的正逆定理[J].纯粹数学与应用数学,2011,27(1):56-62.[3]Cao J D.A Generalization of the Bernstein polynomials[J].J.Math.Anal.andAppl.,1997,209:140-146.[4]Chang G Z.Generalized Bernstein-B´ezier polynomial[J]put.Math.,1983,1(4):322-327.[5]Liu Z X.Approximation of continuous by the generalized Bernstein-B´ezier polynomials[J].Approx.Theory Appl.,1986,4(2):105-130.[6]Zeng X M,Piriou A.On the rate of convergence of two Bernstein-B´ezier type operators for bounded variation functions[J].J.Approx.Theory,1998,95:369-387.[7]Guo S S,Qi Q L,Liu G F.The central approximation theorem for Baskakov-B´ezier operators[J].J.Approx Theory,2007,147:112-124.[8]刘国芬.Bernstein-Sikkema-B´ezier算子的点态逼近[J].数学的实践与认识,2013,43(1):199-204.[9]Guo S S,Liu L X,Qi Q L.Pointwise estimate for linear combinations of Bernstein-Kantorovich operators[J]. J.Math.Anal.Appl.,2002,265:135-147.。

左拟中插式Gamma算子在Orlicz空间中的逼近性质

左拟中插式Gamma算子在Orlicz空间中的逼近性质韩领兄【摘要】为了得到更快的逼近速度,人们开始研究算子的拟中插式的逼近性质.在Orlicz空间中讨论左拟中插式Gamma算子的逼近性质,利用了Ditzian-Totik模与K-泛函的等价性、HSlder不等式、Cauchy-Schwarz不等式和Laguerre多项式等等工具得到了逼近的正、逆和等价定理,推广了左拟中插式Gamma算子在Lp 空间中的逼近结果,改进了Gamma算子在Orlicz空间的逼近性质.%In order to reach better approximation degree,people start to study the quasiinterpolants of operators.In this paper,approximation properties of left quasi-interpolants Gamma operators are discussed by the tools of Ditizan-Totik modulus,K-functional,H(o)lder's inequality,Cauchy-Schwarz's inequality and Laguerre polynomials and so on.Then we obtain the direct,inverse and equivalence theorems which generalize the results of left quasi-interpolants Gamma operators in Lp space and improve the approximation properties of Gamma operators in Orlicz spaces.【期刊名称】《华东师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(000)002【总页数】10页(P31-40)【关键词】左拟中插式Gamma算子;K-泛函;连续模;等价定理【作者】韩领兄【作者单位】内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽028043【正文语种】中文【中图分类】O174.410 引言近年来人们对Orlicz空间感兴趣,因为Lp空间提供的活动天地和度量标准只适合于处理线性的和充其量是多项式型的非线性问题.随着越来越多非线性问题的出现,从Lp空间过渡到Orlicz空间已成为历史的必然,这正是研究Orlicz空间的意义所在.下面介绍Orlicz空间L∗Φ(0,∞)(见文献[1]).定义0.1 设Φ(t)为定义在区间(0,∞)上的凸连续函数,若Φ(t)满足则称Φ(t)为Young函数.Young函数Φ(t)的互余Young函数记为Ψ(t).由Young函数Φ(t)的凸性得到定义0.2设Φ(t)为Young函数.若存在常数t0＞0和C≥1,使得当t≥t0时,有则称Young函数Φ(t)满足Δ2-条件(记为Φ∈Δ2).定义0.3设Φ(t)为Young函数.Orlicz类LΦ(0,∞)为使有限积分存在的在区间(0,∞)上可测的函数u(x)的全体.Orlicz空间L∗Φ(0,∞)为赋予Luxemburg范数的Orlicz类LΦ(0,∞)的线性包.有如下性质.(1)Orlicz空间L∗Φ(0,∞)是Banach空间且成立如下的不等式(2)L∗Φ(0,∞)空间的Orlicz范数定义为它与Luxemburg范数等价,即对于f∈L∗Φ(0,∞),加权函数φ(x)=x的K-泛函与Ditzian-Totik模的定义[2]为我们在文献[2]中得到了如下的连续模与K-泛函的等价性定理.定理0.1[2] 设f∈L∗Φ(0,∞),则存在常数C和t0,使得当0＜t≤t0时,有本文中C表示正常数,不同的场合其值有所不同.Orlicz空间L∗Φ(0,∞)具有Hardy-Littlewood性质[3]. 对于函数f∈L∗Φ(0,∞)的Hardy-Littlewood函数为如果f∈L∗Φ(0,∞)时总有θ(f,x) ∈L∗Φ(0,∞)，则称L∗Φ(0,∞)具有Hardy-Littlewood性质(简记为L∗Φ(0,∞)∈HLP).由文献[3]的性质2.1、性质2.2直接得到下面的性质.性质0.1 对于f∈L∗Φ(0,∞),若Ψ ∈ Δ2,则Orlicz空间L∗Φ(0,∞)∈HLP,且Gamma算子Gn有两种定义.设f(x)为(0,∞)上的可积函数,则在文献[4]中介绍过这些Gamma算子.随后在文献[2-3,5-13]中研究了Gamma算子的逼近性质.我们在文献[2-3]中分别研究了Gamma算子在Orlicz空间L∗Φ(0,∞)中同时逼近的强逆不等式和加Jacobi权同时逼近的强逆不等式,得到如下结果.定理A[2] 设f∈L∗Φ(0,∞),n＞1,Ψ∈Δ2,φ(x)=x,则存在常数 K＞1,当l≤Kn时,有其中C是与n和x无关的正常数.定理B[3] 设wf(s)∈L∗Φ(0,∞),s∈N,n＞s+1,a≥ s−2,a+b≥ s−2,Ψ ∈ Δ2,则存在常数K＞1,当l≥Kn时,有其中φ(x)=x,w(x)=xa(1+x)b.为了得到更好的逼近性质,Sablonni`ere在文献[14]中引进了一类所谓的拟中插式算子.从而开始研究算子的拟中插式的逼近性质.设Πn表示次数至多为n的多项式空间,若Bn和An=B−1n是Πn中的线性自同构算子,并且能够表示成带有多项式系数的微分算子则一类拟中插式算子定义如下这里有的P∈Πn,有B(r)nP=P.对于f∈L∗Φ(0,∞),左拟中插式Gamma算子为在文献[15]中给出了左拟中插式Gamma算子,且在Lp空间中研究了其逼近性质.我们在文献[16]中研究了拟中插式Bernstein-Durrmeyer算子在Orlicz空间L∗M[0,1]中的逼近性质,并得到了等价定理.在文献[2-3,16]的研究基础上,本文继续在由Young函数构成的Orlicz空间L∗Φ(0,∞)中研究左拟中插式Gamma算子的逼近性质,并得到了正定理、逆定理和等价定理.1 正定理为了证明正定理,需要给出下面几个引理.引理1.1[15] 对于j∈N0,n≥j,x∈(0,∞)有其中C为只与j有关的正常数.引理1.2[15] 对于m,n,l∈N0,n≥m,x∈(0,∞),定义其中C为只与m有关的正常数.引理1.3[3] 设则存在常数C≤1,使得引理1.4 对于k∈N0,n≥max{2,k},f∈L∗Φ(0,∞),φ(x)=x,有证明由文献[2]知利用式(1.1)、(1.2)和(1.4),得到利用引理1.3,式(0.1)、(1.6)、(1.7),不等式和Cauchy-Schwarz不等式得到结合式(1.5)和式(1.8)就能得到定理1.1(正定理) 对于n≥4r,f∈L∗Φ(0,∞),有其中C为只与r有关的正常数.证明设公式展开得其中注意到左拟中插式Gamma算子的定义,式(1.2)及αn0=1,αn1=0,就能得到先估计.由文献[11]知当u在x与t之间时有不等式其中C为只与m有关的正常数.利用式(1.11),Cauchy-Schwarz不等式和Gn(t−2,x)≤Cx−2,得到再由式(0.1),式(0.3)和式(1.12)得再估计利用式(1.6)可以得到由Cauchy-Schwarz不等式,式(1.3),式(1.7),得结合式(0.3),式(1.9),式(1.13)–(1.16),得到对于任何g∈W2rΦ,由引理1.4,式(1.17)、(0.2)得2 等价定理引理2.1 设r,m∈N0,φ(x)=x,I=(0,∞),U:=U2rp(φ,I):={g:g(2r−1)∈A.C.loc(I),g(2r),φ2rg(2r)∈L∗Φ(I)}为L∗Φ(I)的一个线性流形,则对于f∈U,n ≥ 2r+m,有其中C为只与r,m有关的正常数.证明当m=0时由式(1.8)知式(2.1)成立.当m＞0时,由文献[15]知利用不等式,引理1.3及Cauchy-Schwarz不等式,得引理2.2 对于φ(x)=x,n≥4r,有证明先证式(2.2).由式(1.2)和式(1.8)得再证式(2.3).由式(2.1)得定理2.1(逆定理) 设f∈L∗Φ(0,∞),φ(x)=x,n≥ 4r,0＜α＜r,且O(n−α)(n→∞),则证明由式(2.2),式(2.3),‖G(2r−1)n f−f‖Φ =O(n−α),得由Berens-Lorentz引理及K-泛函与光滑模的等价性便得到利用定理1.1和定理2.1,就能得到如下等价定理.定理2.2(等价定理) 设f∈L∗Φ(0,∞),φ(x)=x,n≥4r,Ψ∈Δ2,0＜α＜r,则注2.1 定理2.2的逼近结果比定理A和定理B的结果好.这表明拟中插式Gamma 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