第4章 连续信号与系统的复频域分析

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−β
O
σ
X
信号与系统
4.1 拉普拉斯变换
由上例可知，不同信号的双边拉氏变换可能相同(这时它们的 收敛域一定不同)，即信号和它的双边拉氏变换不是一一对应 的，而是和它的双边拉氏变换连同收敛域才是一一对应的。因 此双边拉氏变换必须要标出收敛域。 例4.4 求如下非时限双边信号的双边拉普拉斯变换。 α > 0, β > 0, β > α f 4 ( t ) = eα t ε ( t ) − e β t ε ( − t ) 解：其双边拉普拉斯变换为
t<0 0, =L f ( t ) = 1 σ + j∞ 原函数： st 2π j ∫σ − j∞ F ( s )e d s , t > 0 简记为： f(t) ⇔ F(s)
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−1
[ F ( s )]
X
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关于拉普拉斯变换：
4.1 拉普拉斯变换
∞ 0
F3b ( s ) = ∫ − e
−∞
0
− β t − st
e− ( s + β ) t e dt = (s + β )
0 −∞
1 = [1 − lim e − (σ +α ) t e − jω t ] t →∞ (s + α )
1 s + α , Re[ s ] = σ > −α = 不定 ， σ = −α 无界 ， σ < −α jω
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σ0 O σ
jω
X
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4.1 拉普拉斯变换

例1 求因果信号 f2(t)= e-α tε(t) (α >0)和反因果信号 f3(t)= -e-β tε(-t) (β >0)的双边拉普拉斯变换。
F2 b ( s ) = ∫ 解： 0
∞
e − ( s +α ) t − α t − st e e dt = −( s + α )
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α O
β
σ
X
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4.1 拉普拉斯变换
现实中的信号通常为有起始点的信号，不妨设起始点为 t =0。 这样，t<0时，f(t)=0。从而双边拉氏变换式写为
F ( s ) = ∫ − f ( t )e d t
− st 0
∞
考虑到 t=0时刻可能存在 奇异信号，下限定义为0-
上式称为单边拉普拉斯变换，简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]>α ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
4.1.3 单边拉氏变换
象函数：F ( s ) =
def
def
∫
∞
0−
f ( t )e − st d t = L [ f ( t )]
任意信号f(t) (包括 非因果信号)的单 边拉氏变换就是 f(t)ε(t)的拉氏变换
[ f (at )] = ∫0
∞
−
s )τ 1 ∞ 1 s −( a f ( at )e dt = ∫ − f (τ )e dτ = F ( ) 0 a a a
− st
τ = at
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X
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4.2 单边拉氏变换的性质
e− s 例1：如图信号 f(t)的拉氏变换 F ( s ) = 2 (1 − e − s − s e − s ) s 求图中信号 y(t)的拉氏变换Y(s)。 解： y(t)= 4 f(0.5t) Y(s) = 4×2 F(2s) 8e −2 s −2 s −2 s = − − (1 e 2 s e ) 2 ( 2s ) 2 e −2 s = 2 (1 − e −2 s − 2 s e −2 s ) s 3. 时移性质 若因果信号 f(t) ⇔ F(s) , Re[s]>σ0，且有实数 t0>0 , 则 f(t-t0)ε(t-t0) ⇔ e-st0F(s) , Re[s]>σ0
（3）拉普拉斯变换通常作为系统分析的数学工具，而较少作为 信号分析工具使用。
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X
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4.1 拉普拉斯变换
4.1.4 常用信号的单边拉氏变换
(1) 单位冲激信号 δ ( t ) ⇔ 1, Re[ s ] > −∞ 推论：δ ( n ) ( t ) ⇔ s n , Re[ s ] > −∞
例2：求如图所示信号的单边拉氏变换。 解： f1 ( t ) = ε ( t ) − ε ( t − 1), f 2 ( t ) = ε ( t + 1) − ε ( t − 1) 1 −s F ( s ) = L [ f ( t )] = (1 − e ) √ 于是 1 1 s 1 s 1 −s F2 ( s ) = L [ f 2 ( t )] = e − e × s s 正解： F2 ( s ) = L [ f 2 ( t )ε ( t )] = F1 ( s ) 例3：已知 f ( t )＝∑ δ ( t − nT ) T为周期，求F(s)。 解： F ( s ) = ∑ L [δ ( t − nT )] = ∑ e − nTs
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X
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傅里叶变换
F
4.1 拉普拉斯变换
傅里叶反变换
4.1.1 从傅氏变换到拉氏变换
[ f ( t )] = ∫−∞
+∞
f ( t )e
− jω t
dt
f ( t )e − σ t = F 1 = 2π 1 = 2π
-1
Fb ( s )
+∞ −∞ +∞ −∞
∞ n=0 ∞ n=0 n= 0 ∞
1
t
f2 (t )
1
-1
O
1
t
1 = 1+ e +L+ e +L = , Re[ s ] > 0 − Ts 1− e ∞ 1 δ ( t − nT ) ⇔ , Re[ s ] > 0 常用单边拉氏变换对 ∑ − Ts 1− e n= 0
− Ts − nTs
例4：求 f(t)= e-2(t-1) ε(t) ⇔ F (s)=?
−∞ +∞
两端同乘以eσ t
=∫ =∫
+∞ −∞ +∞ −∞
f ( t )e
− (σ + jω ) t
dt
f ( t )e − st dt
1 +∞ (σ + jω ) t f (t ) = F ( σ ω ) e dω + j b ∫ −∞ 2π 1 σ + j∞ st ( ) = F s e ds b ∫ σ − j ∞ 2π j
F4b ( s ) = ∫
f 4 (t ) eα t ε ( t ) t
−1
∞
0
1 1 f 4 ( t )e d t = + (s − α ) (s − β )
− st
α < Re[ s ] < β
jω
1
O
− e β tε (− t )
仅当β >α 时，其收敛域 为 α <Re[s]<β的一个带 状区域，如图所示。
− st
0
1 = s +α
Re[ s ] > −α
X
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第4章 连续信号与系统的复频域分析
4.2 单边拉氏变换的性质
单边拉氏变换的性质与傅里叶变换性质有许多相似之处，大部分可相 互转换，注意类比学习。
1. 线性性质 若 f1(t) ⇔ F1(s) Re[s]>σ1 , f2(t) ⇔ F2(s) Re[s]>σ2 则 a1 f1(t)+a2 f2(t) ⇔ a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(σ1,σ2) 例如：δ (t) + ε (t) ⇔ 1 + 1/s， Re[s]> 0 2. 尺度变换 若 f(t) ⇔ F(s) , Re[s]>σ0，且有实数a >0 ， 1 s f ( at ) ⇔ F ( ), Re[s ] > aσ 0 则 a a 证明：L
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X
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第4章 连续信号与系统的复频域分析
第4章 连续信号与系统的复频域分析
频域分析以虚指数信号e jω t为基本信号，任意信号可分解为 众多不同频率的虚指数分量之和，使响应的求解得到简化。物 理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε (t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决 这些问题。 本章引入复频率 s=σ + jω，以复指数函数est为基本信号，任 意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统 分析的独立变量是复频率 s ，故称为s 域分析。所采用的数学工 具为拉普拉斯变换。
e2 , Re[ s ] > −2 s+2
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X
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4.2 单边拉氏变换的性质
4. 复频移性质 若 f(t) ⇔ F(s) , Re[s]>σ1，且有复常数 s0=σ0+jω0 , 则 es t f(t) ⇔ F(s-s0) , Re[s]>σ0+σ1 s 例5：已知因果信号 f(t)的象函数 F ( s ) = 2 ， s +1 t 求e f(3t -2)的象函数。 2 − ( s + 1) s s 1 + 1 1 s −2 −t 3 e f (3t − 2) ⇔ F ( )e 3 f (3 t − 2) ⇔ F ( ) e 解：由 得 3 3 3 3 2 − ( s + 1) 1 s + 3 e L [e − t f (3t − 2)] = ( s + 1)2 + 9