高考数学仿真试题(一)
2023年全国新高考数学仿真模拟卷(一)数学试题
一、单选题1. 袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是A．B．C．D．2. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A．B．C．D．3. 如图所示，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）A．与平面所成角的正弦值是B．与平面所成角的正弦值是C．四棱锥的体积是D ．三棱锥的体积是4.我国智慧港口的建设飞速发展，作为智能化搬运设备的自动化引导车作用越发凸显.自重吨.再加上集装箱的重量，全车最重可达吨，但其停启位置十分精确，停车误差不超过厘米.码头地面埋设了几万个磁钉，车辆的位置由它们记录下来，传给后台，再由软件精确计算行驶路径，防止碰撞和刮擦.经统计，某港口某次运输中，有台的停车误差为厘米，有台的停车误差为厘米，有台没有停车误差，则该港口本次运输中所有的平均停车误差约为（ ）A．厘米B ．厘米C ．厘米D ．厘米5. 已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．6. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的是（ ）A．B．必为偶函数C．D ．若，则8.函数的图像大致为（ ）2023年全国新高考数学仿真模拟卷（一）数学试题2023年全国新高考数学仿真模拟卷（一）数学试题二、多选题三、填空题A．B．C．D．9. 对于直线.以下说法正确的有（ ）A．的充要条件是B．当时，C．直线一定经过点D ．点到直线的距离的最大值为510. 若､､是互不相同的空间直线，､是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是A ．若，，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则11. 圆与轴相切于点，与轴正半轴交于、两点，且，则（ ）A ．圆的标准方程为B．圆关于直线对称C ．经过点与圆相交弦长最短的直线方程为D ．若是圆上一动点，则的最大值为12. 已知为抛物线上的三个点，焦点F 是的重心．记直线AB ，AC ，BC 的斜率分别为，则（ ）A ．线段BC的中点坐标为B ．直线BC的方程为C．D．13. 已知二项式的展开式中第项与第项的项式系数之比是，则的系数为____________.四、解答题14.已知双曲线:的左、右焦点分别为，，设为双曲线右支上的一点，满足，且，，依次成等差数列，则双曲线的离心率为______．15.若展开式中的常数项为，则实数__________．16. 已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若方程有两个不相等的实数根，，证明：.17. 已知函数.(1)求时，在处的切线方程；(2)讨论在上的最值情况；(3)恒成立，求实数的取值范围.18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点．（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值．19.长方体中，，分别是，的中点，，．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)在线段上是否存在一点，使得二面角为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．20. 已知正项等比数列{a n }，满足a 2a 4=1，a 5是12a 1与5a 3的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设，求数列{b n }的前n 项和S n .21. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞.(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；(2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；(3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.。
2023年全国新高考数学仿真模拟卷(一)数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 设，，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知集合，则A．B．C．D．4. 已知i是虚数单位，若，则（ ）A ．1B．C ．2D ．45.设为坐标原点，为抛物线：的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）A ．2B．C．D ．46.已知实数满足，则的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．47. 随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有甲、乙、丙、丁4名运动员要与1个“冰墩墩”站成一排拍照留恋，已知“冰墩墩”在最中间，甲、乙、丙、丁4名运动员随机站于两侧，则甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率为（ ）A．B．C．D．8. 已知 ，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，θ可能的值为（ ）A．B．C．D．9.如图，已知长方形中，，，，则下列结论正确的是（）A ．当时，B．当时，C ．对任意，不成立D．的最小值为410. 设定义在R 上的函数与的导数分别为与，已知，，且的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ）A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．函数的一个周期为8D ．函数为奇函数2023年全国新高考数学仿真模拟卷（一）数学试题2023年全国新高考数学仿真模拟卷（一）数学试题三、填空题四、解答题11.已知点在直线上移动，圆，直线，是圆的切线，切点为，.设，则（ ）A ．存在点，使得B ．存在点，使得C．当的坐标为时，的方程为D ．点的轨迹长度是12. 已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（ ）A．的面积的最大值为B．直线被圆截得的弦长的最小值为C ．有且仅有一个点，使得为等边三角形D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线13. 的展开式中，常数项为________.14. 如图，在中，，，，为内的一点，且，，则________．15. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答）16. 已知为单调递增的等差数列，设其前项和为，，且，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求的最小值及取得最小值时的值．17. 已知，，函数的最小值为1.（1）求的值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.18. 已知函数．(1)若有3个零点，求a 的取值范围；(2)若，，求a 的取值范围．19. 今年上海疫情牵动人心，大量医务人员驰援上海．现从这些医务人员中随机选取了年龄（单位：岁）在内的男、女医务人员各100人，以他们的年龄作为样本，得出女医务人员的年龄频率分布直方图和男医务人员的年龄频数分布表如下：年龄（单位：岁）频数2020301515(1)求频率分布直方图中a的值；(2)在上述样本中用分层抽样的方法从年龄在内的女医务人员中抽取4人，从年龄在内的男医务人员中抽取2人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的年龄在内的概率．20. 已知函数.（1）若，求在定义域上的极值；（2）若，求的单调区间.21. 已知中，角，，所对的边分别为，，，满足.(1)求的大小；(2)如图，，在直线的右侧取点，使得，求为何值时，四边形面积的最大，并求出该最大值．。
2024年高考数学仿真模拟(一)含解析(题型同九省联考,共 19 个题)
2024年高考仿真模拟数试题（一） 试卷+答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （ ）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若789101120a a a a a ++++=，则17S =（ ） A ．150B ．120C ．75D ．68A ．672B ．864C ．936D ．1056说法正确的是（ ）（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．10．已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（ ）11．已知函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，()()()()()2f x y f x f y f x f y +++=⋅+；②若x y ≠，则A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2024年高考仿真模拟数试题（一）带答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7A ．150B ．120C ．75D ．68此时α与β可能平行或相交，故C 错误；对D 选项：若//l β，则必存在直线p β⊂，使//l p ， 又l α⊥，则p α⊥，又p β⊂，则αβ⊥，故D 正确.故选D.5．有7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式． A ．672 B ．864 C ．936 D ．1056A ．P 的轨迹为圆B ．P 到原点最短距离为1C ．P 点轨迹是一个菱形D ．点P 的轨迹所围成的图形面积为4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=答案 ABC解析 对于A ，令0x y ==，得()()23002f f =+ ，解得()01f =或()02f =， 若()01f =，令0y =，得()()212f x f x +=+，即()1f x ≡，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．O O 当外接球的球心O在线段12 =OO h四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）。
高考数学仿真试题(一)答案
年高考数学仿真试题(一)答案一、 二、.22.(，) ＜ .（223，＋∞）三、.解：(Ⅰ)∵ｚ＝－３θ＋２ｉθ ∴｜ｚ｜＝θθθ222cos 54)sin 2()cos 3(+=+- 分∵π≤θ≤23π，∴０≤２θ≤１ ∴２≤｜ｚ｜≤３ ∴复数ｚ的模的取值范围是［２，３］ 分 (Ⅱ)由ｚ＝－３θ＋２ｉθ，得（ｚ）＝－32θ ８分 而已知ｚ＝２π－31 ∴－32θ＝－31 ∴θ＝21分∴3211cos sin cos )4sin(212cos 22=+=+=+-θθθθπθθtg１２分.解：ｅ１２＝４，ｅ２＝１，ｅ１·ｅ＝２×１６０°＝１ 分∴(ｔｅ１＋ｅ)·(ｅ１＋ｔｅ)＝２ｔｅ１２＋（２ｔ２＋７）ｅ１·ｅ＋７ｔｅ２２＝ ２ｔ２＋１５ｔ＋７ 分∴２ｔ２＋１５ｔ＋７＜０ ∴－７＜ｔ＜－21８分设２ｔｅ１＋７ｅ＝λ（ｅ１＋ｔｅ）(λ＜０)14,21472722-=-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒λλλt t t t分∴ｔ＝－214时，２ｔｅ１＋７ｅ与ｅ１＋ｔｅ的夹角为π 分∴ｔ的取值范围是（－７，－214）∪（－214，－21） １２分.解：设容器的高为，则容器底面正三角形的边长为3ｘ 分∴Ｖ（ｘ）＝43ｘ·（－２3ｘ）２（０＜ｘ＜32a ） 分＝43·341·４3×（－２3ｘ）（－２3ｘ）≤54)3323234(16133a x a x a x =-+-+ 分当且仅当33,即a 183时， 543a分答：当容器的高为a 183时，容器的容积最大，最大值为543a . .（Ⅰ）证明：∵⊥底面，⊂平面，∴⊥，由＝，为的中点， 得⊥，又∩＝，∴⊥平面 分 又⊂平面，∴⊥，由已知⊥，∩＝， ∴⊥平面 分(Ⅱ)证明：由⊥平面，⊂平面，得⊥，由、分别为、的中点 ∴∥，又由已知⊥，∴⊥ 分 ∩＝，∴⊥平面，又⊂平面，∴平面⊥平面 分 (Ⅲ)解：设点和点到平面的距离分别为ｈ１和ｈ２ 则ｈ１∶ｈ２＝Ｅ∶＝２∶３ 分∴31232313121=∙=∙∙=--=--∆∆PBC PBF A E P P S h Sh PBC V PBF V ABC V EBF V 分 所以截面分三棱锥－所成两部分体积比为１∶２或（２∶１） 分.解：(Ⅰ)∵Ｋ０＝２ｘ０＝４，∴过点０的切线方程为４ｘ－ｙ－４＝０ 分 (Ⅱ)∵Ｋｎ＝２ｘｎ，∴过ｎ的切线方程为 ｙ－ｘｎ２＝２ｘｎ（ｘ－ｘｎ） 分 将ｎ＋１（ｘｎ＋１，０）的坐标代入方程得：－ｘｎ２＝２ｘｎ（ｘｎ＋１－ｘｎ） ∴ｘｎ＋１＝2121=⇒+n n n x x x 分故｛ｘｎ｝是首项为ｘ０＝２，公比为21的等比数列 ∴ｘｎ＝()·（21）ｎ，即()＝（21）ｎ－１分(Ⅲ)Ｓｎ＝)211(4211)211(211++-=⇒--n n n S∴∞→n lim ∞→n lim (121+n )分.(Ⅰ)证明：设()是()的图象上任意一点，关于（21，－21）对称点的坐标为（１－ｘ，－１－ｙ）由已知－333+x 则－１－ｙ＝－１＋333+x ＝－333+x x ()＝－3333331+-=+-xxx∴－１ｙ＝（１－ｘ），即函数ｙ＝（ｘ）的图象关于点（21，－21）对称. 分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)有()()即()()∴()()()()()()则()()()()()() 分(Ⅲ)证明：ｎ＝333)()1(⇒=-nn f n f ｎ＝３ｎ 分不等式3ｎ＞ｎ２即为３ｎ＞ｎ２下面用数学归纳法证明当时，左＝３，右＝１，３＞１不等式成立 当时，左＝９，右＝４，９＞４不等式成立令(≥２）不等式成立即３ｋ＞ｋ２则ｎ＝ｋ＋１时，左＝３ｋ＋１＝３·３ｋ＞３·ｋ２右＝（ｋ＋１）２＝ｋ２＋２ｋ＋１∵３ｋ２－（ｋ２＋２ｋ＋１）＝２ｋ２－２ｋ－１＝２（ｋ－21）２－23 当ｋ≥２，ｋ∈时，上式恒为正值则左＞右，即３ｋ＋１＞（ｋ＋１）２，所以对任何自然数，总有３ｎ＞ｎ２成立，即对任何自然数，总有3ｎ＞ｎ２成立分。
2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(一)
一、单选题1. 已知双曲线C：(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别为双曲线的左，右顶点，以AB 为直径的圆与双曲线C 的两条渐近线在第一，二象限分别交于P ，Q 两点，若OQ ∥PF (O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为（ ）A．B ．2C．D．2. 已知、是双曲线的左、右焦点，关于其渐近线的对称点为，并使得（为坐标原点），则双曲线的离心率（ ）A．B．C．D．3. 在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追溯到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知的正弦值为0.0384，的正弦值为0.5135，等等，则根据该表，的余弦值为（）0.000001750349001701920366003502090384005202270401007002440419008702620436010502790454012202970471014003140488015703320506017503490523……0.5000515052995446559250155165531454615606503051805329547656215045519553445490563550605210535855055650507552255373551956645090524053885534567851055255540255485693512052705417556357075135528454325577572151505299544655925736……A ．0.5461B ．0.5519C ．0.5505D ．0.57364. 在复平面内，复数和对应的点分别为，则（）A．B．C．D．5.已知函数，关于函数有下列四个命题：①；②的图象关于点对称；③是周期为的奇函数；④的图象关于直线对称．其中正确的是（ ）A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④6.已知复数，若，则的虚部为（ ）A ．2B ．1C．D ．-17. 已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥分别是棱的中点.设三棱锥的外接球为球2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(一)2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(一)二、多选题三、填空题，则下列结论正确的个数为（）①；②上存在点，使得平面；③当二面角为时，球的表面积为.④三棱锥的体积最大值为1.A ．1B ．2C ．3D ．48. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了A ．6里B ．12里C ．24里D ．96里9.已知是函数（且）的三个零点，则的可能取值有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310. 设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中是真命题的有（ ）A．B．C．D．11.若，且，，则（ ）A．B．C．D．12. 已知直线交抛物线于两点，且抛物线的焦点为，则（ ）A．的最小值为B ．若，则C．可能是直角D ．为定值13.已知正四面体的棱长为2，若球O 与正四面体的每一条棱都相切，点P 为球面上的动点，且点P 在正四面体面ACD 的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则的取值范围为______．14. 若函数的反函数为,则不等式的解集为______.15. 有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则四、解答题（1）取到次品的概率为____________；（2）若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为____________．16. 筒车（chinese noria ）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A （视为质点）的初始位置距水面的距离为．(1)盛水筒A经过后距离水面的高度为h （单位：m ），求筒车转动一周的过程中，h 关于t 的函数的解析式；(2)盛水筒B （视为质点）与盛水筒A 相邻，设盛水筒B 在盛水筒A 的顺时针方向相邻处，求盛水筒B 与盛水筒A 的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t ．（参考公式：，）17.已知数列满足，且．(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)求的前n 项和．18. 已知圆，点圆上一动点，，点在直线上，且，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)已知，过点作直线(不与轴重合)与曲线交于不同两点，线段的中垂线为，线段的中点为点，记与轴的交点为，求的取值范围.19. 甲､乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.假设两人射击是否击中目标，互不影响；每次射击是否击中目标，互不影响.(1)记甲击中目标的次数为X ，求X 的分布列；(2)在①甲恰好比乙多击中目标2次，②乙击中目标的次数不超过2次，③甲击中目标3次且乙击中目标2次这三个条件中任取一个，补充在横线中，并解答问题.求___________事件的概率.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）20. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，∠B ＝45°．(1)求边BC 的长以及三角形ABC 的面积；(2)在边BC 上取一点D，使得，求tan ∠DAC 的值．21.设数列的前项和为，且满足，.（1）求（用表示）；（2）求证：当时，不等式成立.。
【冲锋号考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷 01卷(新高考专用)(解析版)
【冲锋号·考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷01卷（新高考专用）（解析版）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，集合{3,10},02xA yy x x B x x ⎧⎫==-<<=≥⎨⎬+⎩⎭∣，则U A B ð等于（）A ．()2,0-B ．[)2,0-C ．()3,2--D ．(]3,2--【答案】B【解析】(){3,10}3,0A yy x x ==-<<=-∣，由02xx ≥+，得()2020x x x ⎧+≥⎨+≠⎩，解得0x ≥或<2x -，所以()[)0,20,2xB x x ∞∞⎧⎫=≥=--⋃+⎨⎬+⎩⎭，则[)2,0U B =-ð，所以[)2,0U A B -= ð.故选：B.2．已知()iR 1im z m +=∈-，z =，则实数m 的值为（）A ．3±B ．3C ．D【答案】C【解析】因为z z ==()()()()()()i 1i 11i i 11i 1i 1i 1i 222m m m m m m z ++-+++-+====+--+，，解得m =.故选：C.3．下列区间中，函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（）A ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,π2⎛⎫⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数π()3sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()ππ3π2π2πZ 262k x k k +≤+≤+∈，解得π4π2π2π(Z)33k x k k +<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递减区间为π4π,33⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B.4．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式为（）A ．2()e e x xx f x -=+B ．()3e e x xf x x -+=C ．2()e e x xx f x -=-D ．()2e e x xf x x -+=【答案】D【解析】由题图：()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，排除A ；当333e e e e e e (),()()()x x x x x x f x f x f x x x x ---+++=-==-=--，故3e e ()x xf x x-+=是奇函数，排除B.当()()()()222,e e e e e ex x x x x x x x x f x f x f x ----=-=-=----，故2()e e x x x f x -=-是奇函数，排除C.故选：D5．在ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u r u u u r，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（）A ．43B ．103C ．3D ．2【答案】C【解析】在ABC 中，E 为重心，所以21()32AE AB AC =⋅+ 1()3AB AC =+，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u r u u u r，（0x >，0y >）所以1AB AM x= ，1AC AN y =，所以111133AE AM AN x y =⋅+⋅ .因为M 、E 、N 三点共线，所以11133x y+=，所以11(4)33x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭4143333y x x y =+++533≥+=（当且仅当433y x x y =，即12x =，1y =时取等号）．故4x y +的最小值是3．故选：C ．6．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（）A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】A【解析】设成为等差数列的其中10层的塔数为：1210,,,a a a ，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为10a ；故()1101010881002a a ⨯+=-=，11020a a +=①；又由1019a a d -=②，0d >，且*d ∈N ，所以，①+②得，102209a d =+，得109102a d =+，由11020a a +=知1020a <，又因为*10N a ∈，观察答案，当且仅当2d =时，10a 满足条件，所以，1019a =；组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，则第11层的塔数为17.故答案选：A7．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线与C 的一个交点为P ，与C 的一条渐近线交于,Q O 为坐标原点，若1455OP OF OQ =+，则双曲线C 的离心率为（）A B ．2C ．53D ．54【答案】C【解析】因为1455OP OF OQ =+ ，所以()45OP OF OQ OF -=-，即45FP FQ = 45FP FQ ⇒=.又设(),0F c ，其中222c a b =+.则点P ，点Q 横坐标为c .又2222:1(,0)x y C a b a b-=>，则其中一条渐近线方程为：by x a =.得2,，,b bc P c Q c a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则由45FP FQ =可得245b bca a=⋅，即45c b =，所以221625c b =，所以()2221625c c a =-，即22259c a =，故53c e a ==.故选：C.8．对任意()0,2e ,ln e x x a x ∈-≤恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．()e,2e B ．3e ,2e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()e2e ,2e ln 2e ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．()e 2e ,2e ln 2e ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】当(]0,1x ∈时，ln 0x ≤，不等式显然成立；当()1,2e x ∈时，e eln e ln ln x a x x a x x x-≤⇔-≤≤+，令()()222e e ln e,1ln ln ln x x g x x g x x x x x x-=-'=+，令()2ln e p x x x =-，则()y p x =是()1,2e x ∈上的增函数且()e 0p =，当()1,e x ∈时()0p x <，此时()g x 递减，()e,2e x ∈时，()0p x >此时()g x 递增.故()g x 的最小值为()e 2e 2e g a =⇒≤，令()e ln h x x x =-，则()2e10ln h x x x=+>'，故()h x 是增函数，()h x 的最大值为()()e 2e 2e ln 2e h =-，故()e2e ln 2e a ≥-，综上所述，()e2e 2e ln 2e a -≤≤，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届河南省部分名校高三下学期高考仿真模拟考试数学试卷
2024届河南省部分名校高三下学期高考仿真模拟考试数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 若复数，则（）A．1B．C．D．(★★) 3. 在矩形中，，，则矩形的面积为（）A．5B．10C．20D．25(★★) 4. 6人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法有（）A．240种B．192种C．144种D．96种(★★★) 5. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，的平分线交边AC于点D，且，则（）A．B．C．6D．(★★) 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与的上、下底面及侧面均相切，则的体积为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．若，是关于x的方程在内的两个不同的根，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知函数，，若函数没有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 下列命题正确的是（）A．已知变量，的线性回归方程，且，则B．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11C．已知随机变量最大，则的取值为3或4D．已知随机变量，则(★★★) 10. 下列函数中，最小值为1的是（）A．B．C．D．(★★★★) 11. 在平面直角坐标系xOy中，为曲线上任意一点，则（）A．E与曲线有4个公共点B．P点不可能在圆外C．满足且的点P有5个D．P到x轴的最大距离为三、填空题(★★★) 12. 已知为R上的奇函数，且，当时，，则的值为 ______ ．(★★★) 13. 已知P，Q是抛物线上的两个动点，，直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为4，若直线PQ与直线平行，则直线PQ与之间的距离等于 ______ ．(★★★) 14. 如图，在平行四边形中，，，且交于点，现沿折痕将折起，直至折起后的，此时的面积为 ______ ．四、解答题(★★★) 15. 甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少打出8环.根据统计资料可知，甲打出8环、9环、10环的概率分别为，乙打出8环、9环、10环的概率分别为，且甲、乙两人射击的结果相互独立．(1)在一场比赛中，求乙打出的环数少于甲打出的环数的概率；(2)若进行三场比赛，其中场比赛中甲打出的环数多于乙打出的环数，求X的分布列与数学期望．(★★★)16. 如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.(1)证明：；(2)若，点满足，求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 17. 已知数列的前n项和为，，，(1)求；(2)若，求数列的前1012项和．(★★★★) 18. 已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为M，N，点是E上一点，且直线PM，PN的斜率之积为．(1)求的值；(2)过F且斜率为1的直线l交E于A，B两点，O为坐标原点，C为E上一点，满足，的面积为，求E的方程．(★★★★) 19. 已知函数．(1)若对恒成立，求的取值范围；(2)当时，若关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，求的取值范围，并证明：．。
高考数学仿真试题(一)-数学试题
高考数学仿真试题(一)-数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅰ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅰ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A或B)用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|mx+1=0}，若QP，则实数m可取不同值的个数是A.2B.3C.4D.52.已知方程log在（0，1）上有解，那么实数a的取值范围是A.a＞1B.a＞1或a＜0C. ＜a＜1D.0＜a＜13.a、b为互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β,那么下列各种情况中不可能出现的是A.aⅠβB.αⅠβC.αⅠβD.aⅠβ4.正数a、b、c、d满足a+d=b+c,|a-d|＜|b-c|，则A.ad=bcB.ad＜bcC.ad＞bcD.ad与bc大小不确定5.函数y=cosx+1(-π≤x≤0)的反函数是A.y=-arccos(x-1)(0≤x≤2)B.y=π-arccos(x-1)(0≤x≤2)C.y=arccos(x-1)(0≤x≤2)D.y=π+arccos(x-1)(0≤x≤2)6.一个迷宫中共有不同的出入大门五个，若这些门都相互连通，某人从一个门进去，从另一个门出去，不同的走法种数共有A.25B.20C.10D.97.函数f(x)=x|x|+px(p＞0)定义在R上，则f(x)A.既是奇函数又是增函数B.既是奇函数又是减函数C.既是偶函数又是增函数D.既是偶函数又是减函数8.球内接圆锥的底面半径是球半径的，则此圆锥的高是球半径的A. B.C.D.以上都不对9.已知椭圆的两条对称轴分别是x=5和y=3，有一个焦点在x轴上，则另一个焦点坐标是A.（5，6）B.（-5，6）C.（5，-3）D.（-5，3）10.二次函数y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1,n=1,2,3,4,…时，其图象在x轴上截得线段长度的总和是A.B.C.1D.以上都不对11.若(ax+1)9与（x+2a）8展开式中，x3的系数相等，则数列1+a+a2+a3+a4+…的值为A. B.C.D.以上都不对12.已知在ⅠABC中，BC=AC=，AB＞3,则C的取值范围是A.［,π］B.(π, )C.(,π)D.以上都不对第Ⅰ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅰ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.width=60 rowspan=2 valign=top >题号width=60 rowspan=2 valign=top >二width=360 colspan=6 valign=top >三width=60 rowspan=2 valign=top >总分width=52 valign=top >17width=64 valign=top >18width=64 valign=top >19width=64 valign=top > 20width=64 valign=top > 21width=53 valign=top > 22width=60 valign=top > 分数width=60 valign=top > width=52 valign=top > width=64 valign=top > width=64 valign=top > width=64 valign=top >width=64 valign=top >width=53 valign=top >width=60 valign=top >二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.不等式logx(5-x)＜logx(3x+1)的解是______.14.等差数列{an}中，a1＞0,S4=S9,则Sn取最大值时，n=______.15.双曲线（x-1）2-=1，其右焦点到渐近线距离是______.16.对任意角α，给出以下结论：①sinα·cosα=-;②tgα+ctgα=-;③若α,β是第二象限角，且sinα＞sinβ,则cosα＞cosβ;④若α,βⅠ(,π)，且tgα＜ctgβ,则α+β＜,其中可能成立的结论的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)设z=1-2i,求适合不等式log<s。
备战高考 高中数学文科 试卷习题 仿真模拟冲刺卷(一)
仿真模拟冲刺卷(一)时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝x 12 ，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则A ∩B ＝( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．[0，＋∞)2．设复数z 满足z ·i ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( ) A ．2＋i B ．1 C ．5 D ．53．如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则(AC → －AD → )·AB →＝( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．14．如图是甲、乙两个商场统计同一时间段各自每天的销售额(单位：万元)的茎叶图，假设销售额的中位数为m ，平均值为x －，则下列正确的是( )A.m 甲＝m 乙，x 甲>x 乙 B ．m 甲＝m 乙，x 甲<x 乙 C ．m 甲>m 乙，x 甲>x 乙 D ．m 甲<m 乙，x 甲<x 乙5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥02x ＋y －3≤0y ≥1 ，则z ＝x ＋y －1的最大值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．抛物线y ＝6x 2的准线方程为( )A ．y ＝－124B ．y ＝－112C ．y ＝－6D ．y ＝－37．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为35、28，则输出的a ＝( )A ．1B ．14C ．7D ．28 8．函数f (x )＝cos x －x 2x的图象大致为( )9．正四棱锥S ABCD 的所有边长都相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为( )A ．13B ．12C ．33D ．3210．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第4个数应为( )A ．214B ．213C ．2313D ．241311．已知函数f (x )＝23 sin 2x －m cos 2x ，若对任意的x ≠k π2 ，k ∈Z ，f (x )＝2m 有解，则m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(0，2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，0)∪(0，2]12．截角八面体是由正四面体经过适当的截角，即截去正四面体的四个顶点处的小棱锥所得的八面体. 如图所示，有一个所有棱长均为a 的截角八面体石材，现将此石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面积为( )A ．πa 2B ．32 πa 2C ．53 πa 2D ．83πa 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．{a n }为等差数列，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝33，则S 9＝________． 14．“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将6罐“绿水”装成一箱，且每箱均有2罐可以中奖．若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为________．15．写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程：________． ①圆心在直线y ＝x ＋1上，②与y 轴相切．16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对于任意x 1≠x 2，必有f (x 1)≠f (x 2)，若函数F (x )＝f (x 2－m )＋f (3－2x )只有一个零点，则当x <2时，函数g (x )＝mx 2－62－x的最小值为________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos (π＋A )＋sin (π2 ＋2A )＋32＝0. (1)求角A ； (2)若c －b ＝33a ，求证：△ABC 是直角三角形． 18．(12分)党的十九大明确把精准扶贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为了坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位要开展精准扶贫，此帮扶单位为了了解某地区贫困户对其所提供帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如下：现用系统抽样法从40个贫困户满意度评分中抽取容量为10的样本，且在第一段内随机抽到的样本数据为92.(1)请你列出抽到的10个样本数据；(2)计算所抽到的10个样本数据的均值x －和方差s 2；(3)在(2)条件下，若贫困户的满意度评分在(x － －s ，x －＋s )之间，则满意度等级为“A 级”．试应用样本估计总体的思想，现从(1)中抽到的10个样本为“A 级”的贫困户中随机地抽取2户，求所抽到2户的满意度评分均“超过80”的概率(参考数据：30 ≈5.48，33 ≈5.74，35 ≈5.92).19.(12分)如图，在四棱锥B ACED 中，AD ∥CE ，且AD ＝23 CE ，F 是棱BE 上一点，且满足BF＝2FE .(1)证明：DF ∥平面ABC ；(2)若三棱锥B ADF 的体积是4，△ABC 的面积是22 ，求点F 到平面ABC 的距离．20．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，且点F 与圆M ：(x ＋4)2＋y 2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求C 的方程；(2)设点T (1，1)，过点T 且斜率存在的两条直线分别交曲线C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．21.(12分)已知函数f (x )＝x (ax －a ln x ＋1). (1)若x ＝1是f (x )的极值点，求a 的值； (2)若a ≤e －1，证明：f (x )≤e x .(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θy ＝sin θ (θ为参数)，正方形ABCD的顶点均在C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A (3，0).(1)求C 的普通方程及点B ，C ，D 的坐标；(2)设P 为C 内(包含边界)任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的最小值．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝2|x|＋|2x－1|，集合A＝{x|f(x)<3}．(1)求A；(2)若s，t∈A，求证|1－ts|<|t－1 s|.。
2023年河北新高考数学仿真卷(一)(原卷版)
备战2023年河北新高考数学仿真卷（一）一．选择题（共8小题 满分40分 每小题5分）1．（5分）已知集合32{|330}A x x x x =--+< 1{|||1}2B x x =+ 则( )A ．(AB =-∞ 3)(12-⋃ 3)B ．1(,1)[2A B =-∞- )+∞C ．(AB =-∞ 1)(1-⋃ 3)D ．(AB =-∞ 31][22- 3)2．（5分）已知复数132z =- 则20231i i z =∑的值为( )A ．132-B ．132-C ．0D ．13．（5分）在正方形ABCD 中 E 在CD 上且有2CE ED = AE 与对角线BD 交于F 则(AF = ) A ．1233AB AD +B ．3144AB AD + C ．1344AB AD + D ．13AD AB +4．（5分）设向量a 与b 的夹角为θ 定义|sin cos |a b a b θθ=+⊕．已知向量a 为单位向量 ||2b =||1a b -= 则(a b =⊕ ) A 2B 2C 10D ．235．（5分）351(1)x x+-的展开式中3x 的系数为( ) A ．5B ．5-C ．15D ．15-6．（5分）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子 每个格子染一种颜色 并且从左到右数 不管数到哪个格子 总有黑色格子不少于白色格?的染色方法种数为( )A ．6B ．10C ．16D ．207．（5分）在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 已知圆O 的半径为3 直线1l 2l 互相垂直 垂足为5)M 且1l 与圆O 相交于A C 两点 2l 与圆O 相交于B D 两点 则四边形ABCD 的面积的最大值为( )A ．10B ．12C ．13D ．158．（5分）黄金三角形有两种 一种是顶角为36︒的等腰三角形 另一种是顶角为108︒的等腰三角形．已知在顶角为36︒的黄金三角形中 36︒角对应边与72︒角对应边的比值为510.618-≈ 这个值被称为黄金比例．若51t -=22(24t t=- ) A 51+B 51-C ．12D ．14二．多选题（共4小题 满分20分 每小题5分） 9．（5分）关于函数13()2sin(2)4f x x π=-的图象 下列说法正确的是( ) A ．(8π0)是曲线()y f x =的一个对称中心B ．58x π=是曲线()y f x =的一个对称轴 C ．曲线2sin 2y x =向左平移58π个单位 可得曲线()y f x =D ．曲线2sin 2y x =向右平移58π个单位 可得曲线()y f x =10．（5分）已知符号函数1,00,01,0x sgnx x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩偶函数()f x 满足(2)()f x f x += 当[0x ∈ 1]时 ()f x x = 则下列结论不正确的是( ) A ．[()]0sgn f x >B ．2023()12f = C ．[(21)]1()sgn f k k Z +=∈D ．[()]||()sgn f k sgnk k Z =∈11．（5分）已知22(1)1x y += 则( ) A ．1xy <B ．212x y -C ．1x xy +D ．254x xy+ 12．（5分）记[]x 表示与实数x 最接近的整数 数列{}n a 的通项公式为*)[]n a n N n =∈ 其前n 项和为n T ．设[]k n = 则下列结论正确的是( )A 12n k =+B 12n k >-C ．2n k k +D ．2023438845T = 三．填空题（共4小题 满分20分 每小题5分） 13．已知(0,)θπ∈ 则221cos 2sin θθ-的最小值为______．14．4(32)x x ++的展开式中 含x 的项的系数为______．15．设1F 2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点 过点1F 的直线交E 于A B 两点．若113AF F B = 2AF x ⊥轴 则E 的离心率为________．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 23S = 且*1*1,21,,21,2,,n n n a n k k a a n k k +⎧+=-∈=⎨+=∈⎩N N 则16S =______． 四、解答题：本题共6小题 共70分。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(一)(含答案解析)
2023年普通高等学校招生全国统一考试�新高考仿真模拟卷数学（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}24xA x =<，{}1B =≤，则A B = （）A ．()0,2B ．[)1,2C ．[]1,2D ．()0,12．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-3．()()51223x x -+的展开式中，x 的系数为（）A ．154B ．162C ．176D ．1804．已知1tan 5α=，则2cos 2sin sin 2ααα=-（）A ．83-B ．83C ．38-D ．385．何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm ，上口直径约为28cm ，下端圆柱的直径约为18cm ．经测量知圆柱的高约为24cm ，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，403π1266≈，1944π6107≈）（）A ．312750cmB ．312800cmC ．312850cm D ．312900cm 6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()2f x f x =-，则()2022f =（）A ．2B ．1C ．1-D ．07．在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长为2的正方形，AP PD ==PAD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．136π9D ．68π38．已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上两点，记直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，直线AB 与x 轴的交点为P ，直线OA 、OB 与抛物线C 的准线分别交于点M ，N ，则△PMN 的面积的最小值为（）A B ．4C ．4D ．2二、多选题9．已知函数()()1cos 02f x x x ωωω=+>的图像关于直线6x π=对称，则ω的取值可以为（）A ．2B ．4C ．6D ．810．在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠= ，点E 为线段CD 的中点，AC 和BD 交于点O ，则（）A ．0AC BD ⋅= B ．2AB AD ⋅= C ．14OE BA ⋅=-D ．52OE AE ⋅=11．一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A “这3个球都是红球”，事件B “这3个球中至少有1个红球”，事件C “这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（）A ．事件A 发生的概率为15B ．事件B 发生的概率为310C ．事件C 发生的概率为335D ．1(|)31P A B =12．对于函数()()32,f x x x cx d c d =+++∈R ，下列说法正确的是（）A ．若0d =，则函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 有极值的充要条件是13c <C ．若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，则4412281x x +>D ．若2c d ==-，则过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条三、填空题13．已知样本数据1-，1-，2，2，3，若该样本的方差为2s ，极差为t ，则2s t=______．14．已知圆O ：221x y +=与直线l ：=1x -，写出一个半径为1，且与圆O 及直线都相切的圆的方程：______．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，过F 作x 轴的垂线在x轴上方交椭圆于点B ，若直线AB 的斜率为32，则该椭圆的离心率为______．16．已知f （x ）是偶函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则满足()2f x x>的实数x 的取值范围是______．四、解答题17．已知数列{}n a 是等差数列，1324,,a a a a +成等比数列，56a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：()221n n S n +<+．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin cos c B a A b C =-．(1)判断ABC 的形状；(2)若a =，D 在BC 边上，2BD CD =，求cos ADB ∠的值．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是AB 、1BB 的中点，12AA AC CB ==，AB =．(1)求证：1//BC 平面1ACD ；(2)若1BC =，求四棱锥1C A DBE -的体积；(3)求直线1BC 与平面1A CE 所成角的正弦值．20．新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的80名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在[]50,100内，按区间分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．(1)求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望．21．已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左、右焦点，(P 在双曲线上，且124PF PF ⋅=．(1)求此双曲线的方程；(2)若双曲线的虚轴端点分别为12,B B （2B 在y 轴正半轴上），点,A B 在双曲线上，且()22B A B B μμ=∈R ，11B A B B ⊥，试求直线AB 的方程．22．已知函数()()211e 12x f x a x a ax a =---+++，()R a ∈．(1)当1a =时，求f （x ）的单调区间；(2)当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：函数f （x ）有3个零点．参考答案：1．B【分析】化简集合A 和B ，即可得出A B ⋂的取值范围.【详解】解：由题意在{}24xA x =<，{}1B =≤中，{}2A x x =<，{}12B x x =≤≤∴{}12A B x x ⋂=≤<故选：B.2．D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.3．C【分析】根据二项式定理可求得()523x +展开式通项，由此可确定12,T T ，结合多项式乘法运算进行整理即可确定x 的系数.【详解】()523x + 展开式的通项公式为：()55155C 2323C rr r r r r rr T x x --+=⋅⋅=⋅；当1r =时，412523C 240T x x =⨯=；当0r =时，51232T ==；x ∴的系数为24023224064176-⨯=-=.故选：C.4．A【分析】利用二倍角公式化简为正、余弦的齐次分式，分式上下同除2cos α，代入1tan 5α=可得答案.【详解】2222cos 2cos sin sin sin 2sin 2sin cos αααααααα-=--22111tan 825123tan 2tan 255ααα--===---,故选：A.5．C【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.【详解】下端圆柱的体积为：224π91944π⋅=6107≈3cm ，上端圆台的体积为：()22116π1414993⨯+⨯+16π4033=⨯1612663≈⨯6752=3cm ，所以该何尊的体积估计为61076752+=128593cm .因为12850最接近12859，所以估计该何尊可以装酒128503cm .故选：C 6．D【分析】根据函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-得出函数()f x 是周期为4的周期函数，进而求解.【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-，所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =，因为()()2f x f x =-，所以(2)(0)0f f ==，又因为202245052=⨯+，所以(2022)(2)0f f ==，故选：D .7．C【分析】将该四棱锥的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球体表面积公式计算即可.【详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中，如图①所示：取AD 的中点H ，连接PH ，连接,AC BD 交于1O ，由AP PD ==，则在等腰PAD 中有：PH AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD=AD ，则PH ⊥平面ABCD ，又112AH AD ==，所以在Rt PAH △中，3PH =，由底面为正方形ABCD ，所以它的外接圆的圆心为对角线的交点1O ，连接1O H ，则1PH O H ⊥，PAD 外接圆的圆心为2O ，且在PH 上，过点1O ，2O 分别作平面ABCD 与平面PAD 的垂线，则两垂线必交于点O ，点O 即为四棱锥P ABCD -外接球的球心，且1OO ⊥平面ABCD ，又PH ⊥平面ABCD ，即2O H ⊥平面ABCD ，所以1OO ∥PH ，所以四边形12OO HO 为矩形.如图②连接2AO ，则22AO PO =，在2Rt AO H 中，22223O H PH PO PH AO AO =-=-=-，所以()2222222213AO AH HO AO =+=+-，解得253AO =，所以254333O H =-=，所以1243OO O H ==，在图①中连接OB ，由112O B BD ==，所以在1Rt OO B中，OB ====即四棱锥P ABCD-外接球的半径为3R OB ==，所以四棱锥P ABCD-外接球的表面积为：221364πR 4ππ9S ==⨯=⎝⎭，故选：C.8．D【分析】设出A 、B 的坐标，由1212k k =-解得12y y 的值，再分别求出点M 、点N 的坐标，求得||MN 的式子，研究AB l 恒过x 轴上的定点可得点P 的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.【详解】设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则114k y =，224k y =，∴12121612k k y y ==-∴1232y y =-，∴设OA l ：14y x y =，令=1x -得：14y y =-，∴14(1,M y --，同理：24(1,N y --∴12121212||44||||4||8y y y y MN y y y y --=-+==，设AB l ：x my t =+，221044x my t y my t y x=+⎧⇒--=⎨=⎩20m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t =-，又∵1232y y =-，∴432t -=-，解得：8t =，∴AB l ：8x my =+恒过点(8,0)，∴AB l 与x 轴交点P 的坐标为(8,0)，即：(8,0)P ，∴点P 到准线=1x -的距离为8+1=9.方法1：1211||1321||||2888y y MN y y -==+≥⨯，当且仅当1||y =.∴19||9||222PMN S MN MN =⨯=≥△，∴△PMN的面积的最小值为2.方法2：12||||8y y MN -====∵20m ≥∴||MN ≥=m =0时取得最小值.∴19||9||222PMN S MN MN =⨯=≥△，∴△PMN的面积的最小值为2.故选：D.9．AD【分析】首先将函数()f x 化成一个三角函数，然后根据对称轴公式求得ω的表达式，对整数k 赋值求得结果.【详解】()()1cos sin 26f x x x x ωωωπ=+=+，因为函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，所以662k ωπππ+=+π，k ∈Z ，解得26k ω=+，因为0ω>，所以当0k =时，2ω=；所以当1k =时，8ω=.故选：AD.10．ABD【分析】以O 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.【详解】 四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，则以O 为坐标原点，,OC OD正方向为,x y轴，可建立如图所示平面直角坐标系，2AB AD == ，60DAB ∠= ，2BD ∴=，OA OC ==()0,0O ∴，()A ，()0,1B -，()0,1D，12E ⎫⎪⎪⎝⎭，对于A ，AC BD ^ ，0AC BD ∴⋅=，A 正确；对于B，)1AB =-，)AD =，312AB AD ∴⋅=-=，B 正确；对于C，12OE ⎫=⎪⎪⎝⎭，()BA = ，31122OE BA ∴⋅=-+=- ，C 错误；对于D，12OE ⎫=⎪⎪⎝⎭，12AE ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，915442OE AE ∴⋅=+= ，D 正确.故选：ABD.11．ABC【分析】根据题意求出基本事件总数、满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式及条件概率公式求解即可.【详解】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：37C 35=这3个球都是红球的基本事件数为：33C 1=，所以事件A 发生的概率为：1()35P A =，故A 错误，这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：1221334343C C C C +C 1812131⋅+⋅=++=，所以事件B 发生的概率为：31()35P B =，故B 错误，这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：123344C C C 18422⋅+=+=，事件C 发生的概率为22()35P C =,故C 错误，因为1()()35P AB P A ==，所以由条件概率公式得：1()135(|)31()3135P AB P A B P B ===，故D 正确，故选：ABC.12．BCD【分析】对于A ：利用奇偶性的定义直接判断；对于B ：利用极值的计算方法直接求解；对于C ：先求出13c <，表示出244122161692781c x x c +=-+，即可求出；对于D ：设切点()00,x y ，由导数的几何意义得到3200025460x x x --+=.设()322546g x x x x =--+，利用导数判断出函数()g x 有三个零点，即可求解.【详解】对于A ：当0d =时，()32f x x x cx =++定义域为R .因为()()()()()3232f x x x c x x x cx f x -=-+-+-=-+-≠-，所以函数()f x 不是奇函数.故A 错误；对于B ：函数()f x 有极值⇔()f x 在R 上不单调.由()32f x x x cx d =+++求导得：()232f x x x c =++'.()f x 在R 上不单调⇔()f x '在R 上有正有负⇔4430c ∆=-⨯>⇔13c <.故B 正确.对于C ：若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，必满足0∆>，即13c <.此时1x ，2x 为2320x x c ++=的两根，所以1212233x x c x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以()22212121242293c x x x x x x +=+-=-.所以()()222244222212121242216162293992781c c c x x x xx x c +=+-=--=-+对称轴164272329c -=-=⨯，所以当13c <时，()224412216162116116292781932738181c x x +=-+>⨯-⨯+=.即4412281x x +>.故C 正确；对于D ：若2c d ==-时，()3222f x x x x =+--.所以()2322f x x x '=+-.设切点()00,x y ，则有：()3200002000002203222y x x x y f x x x x ⎧=+--⎪-⎨=+-=⎪-⎩'，消去0y ，整理得：3200025460x x x --+=不妨设()322546g x x x x =--+，则()26104g x x x '=--.令()0g x '>，解得：2x >或13x <-；令()0g x '<，解得：123x -<<.所以()g x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.所以()()()()()32111119254660333327g x g =-=-----+=>极大值，()()322225242660g x g ==⨯-⨯-⨯+=-<极小值.所以作出的图像如图所示：因为函数()g x 有三个零点，所以方程3200025460x x x --+=有三个根，所以过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条.故D 正确.故选：BCD.13．710##0.7【分析】根据极差的定义可得()314t =--=，先求出平均数，再从方差，从而可求2s t.【详解】极差()314t =--=，平均数为()()1122315-+-+++=，故方差()()()()()222222114111*********s ⎡⎤=--+--+-+-+-=⎣⎦.所以21475410s t ==.故答案为:710.14．()2221x y +-=(答案不唯一)【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可.【详解】设圆心C 为()00,x y ,由已知圆C 与直线l ：=1x -相切,圆C 与圆O ：221x y +=相切,可得0112x ⎧--==,即得0002x y =⎧⎨=⎩或0002x y =⎧⎨=-⎩或0020x y =-⎧⎨=⎩,且已知半径为1,所以圆的方程可以为:()2221x y +-=或()2221x y ++=或()2221x y ++=故答案为:()2221x y +-=(答案不唯一)15．12##0.5【分析】由题意设(),0A a -，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由232AB b a k c a -==-+结合222a b c =+，即可得出答案.【详解】由题意可得，(),0A a -，(),0F c -，令椭圆()222210x y a b a b +=>>中x c =-，解得：2b y a =±，所以2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而2032AB b a k c a -==-+，则2232a c a c a c a a -+==-+，解得：12e =.故答案为：12.16．()(),01,-∞⋃+∞【分析】利用奇偶性和函数的单调性解不等式.【详解】当0x ≥时，()()2log 1f x x =++，函数在[)0,∞+上单调递增，∴()(0)0f x f ≥=，又()f x 是偶函数，所以()f x 的值域为[)0,∞+.当0x ≥时，()()2log 1f x x =++，不等式()2f x x >()22log 1x x +>，即()22log 10x x+->，设()22()log 1g x x x =++-，由函数y =()2log 1y x =+，2y x=-在()0,∞+上都是增函数，得()g x 在()0,∞+上是增函数，由(1)0g =，则()0(1)g x g >=解得1x >；当0x <时，由函数值域可知()0f x >，此时20x<，所以()2f x x >恒成立；综上可知，满足()2f x x>的实数x 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞.故答案为：()(),01,-∞⋃+∞17．(1)1n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列定义和等差数列通项公式可构造方程组求得1,a d ，进而确定n a ；（2）利用裂项相消法可求得n S ，整理即可证得结论.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1324,,a a a a + 成等比数列，()23124a a a a ∴=+，即()()2111224a d a a d +=+，又5146a a d =+=，则由()()2111122446a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩得：121a d =⎧⎨=⎩或163a d =-⎧⎨=⎩，当16a =-，3d =时，30a =，不满足1324,,a a a a +成等比数列，舍去；12a ∴=，1d =，()211n a n n ∴=+-=+.（2）由（1）得：()()111111212n n a a n n n n +==-++++，1111111111233445112n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112222n n n =-=++，()221n n S n n ∴+=<+.18．(1)直角三角形(2)0【分析】（1）根据正弦定理的边角互化，即可得到结果；（2）由（1）中结论即可得到cos B ∠，从而得到AD 的值，然后在ABD △中结合余弦定理即可得到结果.【详解】（1）因为cos sin cos c B a A b C =-，由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin C B B C A+=即()2sin sin B C A+=所以()2sin sin ,0,πsin 1A A A A =∈⇒=且()0,πA ∈，所以π2A =即ABC 是直角三角形.（2）在直角ABC 中，有22223b c a b +==，即222c b =，所以c ，又因为2BD CD =，所以23BD BC ==且cos cB a ==在ABD △中，由余弦定理可得，222222423cos 23b b AD AB BD AD B AB BD +-+-∠==⋅解得AD =，在ABD △中由余弦定理可得，22222224233cos 0233b b b AD BD AB ADB AD BD +-+-∠=⋅19．(1)证明见解析(2)235【分析】（1）连接1AC 交1AC 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点，利用中位线的性质可得出1DF //BC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ，证明出CM ⊥平面11AA B B ，计算出CM 的长以及四边形1A DBE 的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥1C A DBE -的体积；（3）设1BC =，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面1A CE 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：连接1AC 交1AC 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点，因为D 、F 分别为AB 、1AC 的中点，则1DF //BC ，因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，1//BC ∴平面1ACD .（2）解：因为1BC =，则122AA AC CB ===，AB ==222AC BC AB ∴+=，即AC BC ⊥，过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ，因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，1CM AA ∴⊥，又因为CM AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB 、1AA ⊂平面11AA B B ，CM ∴⊥平面11AA B B ，由等面积法可得5AC BC CM AB ⋅==，因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，1AA AB ∴⊥，又因为11//AA BB 且11AA BB =，故四边形11AA B B 为矩形，所以，1111111212AA D A B E AA B B A DBE S S S S ⎫=--=+=⎪⎪⎝⎭△△矩形四边形111123353C A DBE A DBE V S CM -∴=⋅=⨯=四边形.（3）解：不妨设1BC =，因为AC BC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,2C 、()12,0,2A 、()0,1,1E ，设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z = ，()12,0,2CA = ，()0,1,1CE = ，则12200n CA x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,1,1n =- ，因为()10,1,2BC =-，则111cos ,BC nBC n BC n⋅<>==--⋅，因此，直线1BC 与平面1A CE20．(1)73.5(2)分布列见解析；期望()910E X =【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定10名学生中优秀学员的人数，由此可得X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得X 每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望.【详解】（1）80名学生的平均成绩为()550.01650.03750.03850.025950.00510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=73.5.（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为()0.0250.005100.3+⨯=，则非优秀学员对应的频率为10.30.7-=，∴抽取的10名学生中，有优秀学生100.33⨯=人，非优秀学生100.77⨯=人；则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()37310C 3570C 12024P X ====；()1237310C C 63211C 12040P X ====；()2137310C C 2172C 12040P X ====；()33310C 13C 120P X ===；X ∴的分布列为：X123P72421407401120∴数学期望()721719012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.21．(1)22145x y-=(2)2y x =2y x =-【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得22,a b 的值，由此可得双曲线方程；（2）由2,,A B B 三点共线可设:AB y kx =，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得k 的值，由此可得直线AB 方程.【详解】（1）设()1,0F c -，()()2,00F c c >，则(1PF c =-- ，(2PF c =-，212854PF PF c ∴⋅=-+=，解得：3c =，229a b ∴+=；又P 在双曲线上，则22851a b-=，24a ∴=，25b =，∴双曲线的方程为：22145x y -=.（2）由（1）得：(10,B，(2B ，()22B A B B μμ=∈R，2,,A B B ∴三点共线，直线AB斜率显然存在，可设:AB y kx =，()11,A x y ，()22,B x y ，由22145y kx x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得：()2254400k x ---=，()22540Δ801040k k ⎧-≠⎪∴⎨=->⎪⎩，即252k <且254k ≠，12x x ∴+=1224054x x k =--，11B A B B ⊥，110B A B B ∴⋅=，又(111,B A x y =，(122,B B x y =，()1112121212125B A B B x x y y x x y y y y ∴⋅=+=+++(()1212125x x kx kx k x x =++++()()()222121222401801202005454k k k x x x x k k+=++++=-++=--，解得：2k =±，满足252k <且254k ≠，∴直线AB方程为：2y x =+2y x =.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量垂直关系的坐标表示来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的形式，从而解方程求得变量的值.22．(1)函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1).(2)证明过程见详解【分析】(1)因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x x =--++，对函数求导，利用导函数的正负来判断函数的单调性即可求解；(2)对函数进行求导，求出导函数的零点，根据条件可得：函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，然后利用零点存在性定理即可证明.【详解】（1）因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x =--++，所以()e (2)e 1(1)(e 1)x x x f x x x x '=+--+=--，当1x >或0x <时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；综上：函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1).（2）因为函数()()211e 12x f x a x a ax a =---+++，所以()e (1)e ()e ()()(e 1)x x x x f x a a x a x a a x a x a x a a '=+---+=---=--，令()0f x '=可得：x a =或ln x a =-，因为310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ln 3a ->，当x a <或ln x a >-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当ln a x a <<-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；所以函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，故当x a =时，函数取极大值()()22e 10102aaf a a a f a =-+++>=->，因为当2x =-时，221(2)(3)10ef a a a -=-+--<；所以0(2,)x a ∃∈-，使得0()0f x =；当ln x a =-时，函数取极小值，ln 2211(ln )(ln 1)e (ln )ln 1ln ln (ln )22a f a a a a a a a a a a a a --=-----++=---1ln (1ln )02a a a =-++<，（因为ln 3a ->，所以13ln 22a <-，因为3110e 2a <<<，所以312a +<，也即11ln 02a a ++<）所以0(,ln )x a a '∃∈-，使得0()0f x '=；又当x →+∞时，()f x →+∞，所以0(ln ,)x a ''∃∈-+∞，使得0()0f x ''=；故当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 有3个零点.【点睛】函数零点的求解与判断方法：答案第17页，共17页(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用导数求出函数的极值点,再利用零点存在性定理进行判断零点的个数．。
高中数学仿真试题及答案
高中数学仿真试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1 = 2an + 1，求a5的值。
A. 9B. 17C. 33D. 653. 一个圆的直径是10cm，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π4. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[1, 3]上的最小值是？A. -2B. 0C. 1D. 35. 一个等差数列的前三项分别是1，4，7，那么它的第五项是多少？A. 10B. 13C. 16D. 196. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，求向量a与向量b的点积。
A. 10B. 11C. 12D. 147. 一个等比数列的前三项分别是2，6，18，那么它的公比是多少？A. 2B. 3C. 4D. 58. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的最大值是？A. √2B. 2C. √3D. √59. 已知一个三角形的两边长分别是3和4，第三边长x满足x^2 - 10x + 16 = 0，那么x的值是多少？A. 2B. 4C. 6D. 810. 一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(-1, 2)，那么它的一般式方程可以是？A. y = (x + 1)^2 + 2B. y = (x - 1)^2 + 2C. y = (x + 1)^2 - 2D. y = (x - 1)^2 - 2二、填空题（每题5分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x - 5，求f(3)的值。
2. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求它的通项公式。
3. 已知一个圆的半径是7cm，求它的周长。
4. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[0, 2]上的最大值是。
5. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (-4, 6)，求向量a与向量b的向量积。
2020年高考数学仿真卷01(解析版)
2020年高考数学仿真卷01（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合}{2,1,0=A ，}{11<<-=x x B ，则=⋂B A ______． 【答案】{0}【解析】由交集的定义可知{0}.2.已知复数z 1＝1－2i ，z 2＝a ＋2i （其中i 为虚数单位，a ∈R ）．若z 1z 2是纯虚数，则a 的值为______． 【答案】-4【解析】(1－2i)(a ＋2i)=a+4+(2-2a )i,因为z 1z 2是纯虚数，所以a=-4. 3. 如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为_______. 【答案】8【解析】按照程序框图运行程序，输入i=1，S=0 i=1不是偶数，则S=1，i=2<4，循环 i=2是偶数，则i=1，S=5，i=3<4，循环 i=3不是偶数，则S=8，i=4≥4，输出结果：S=8. 4.函数)67lg(2x x y -+=的定义域是_______. 【答案】（-1，7）【解析】由对数的意义知：7+6x -x 2>0,得x 2-6x -7<0知-1<x<7.5.若一组样本数据6，7，x ，8，9,10的平均数为8，则该组样本数据的方差为 . 【答案】35第3题图【解析】由平均数的定义得x =8，故方差为s 2=61[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=35. 6.从1,3,5,7这五个数中任取两个数，则这两个数之和是奇数的概率为_________. 【答案】53【解析】利用枚举法可知：从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数共有10种基本事件，其中和为奇数包含6种基本事件，故概率为53. 7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与准线的一个交点坐标为(13) ，，则双曲线的焦距为 . 【答案】4【解析】由题意知：点(13) ，代入x aby =得a b 3=，又12=c a ，联立解得c=2，故2c=4. 8.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列，a 1＝1，则S 7＝ ． 【答案】127【解析】因为4a 1，2a 2，a 3成等差数列，a 1＝1，所以4a 1+a 3＝2a 2，即q=2，所以S 7＝qq a --1)1(71=127.9.3，母线与底面所成角为3π，则圆锥的表面积是_______．【答案】3π【解析】Q 3，母线与底面所成角为3π，∴如图，设圆锥底面半径AO OB r ==，则母线长2l SA r ==，高3SO r =，213333V r r π∴==，解得1r =，2l SA ∴==，3SO =∴该圆锥的表面积为223S rl r πππππ=+=+=．10.函数223)1(x x x y +-=的最大值是______.【答案】41【解析】222111x x x x y +-•+=，令αtan =x ，则ααα2sin 412cos 2sin 21==y ，故41max=y . 11.已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________． 【答案】(,2)(2,)-∞-+∞U【解析】f ′（x ）＝3x 2﹣3＝3（x ﹣1）（x +1）， f '（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜-1；f '（x ）＜0⇒-1＜x ＜1，∴f （x ）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减，∴()()()12()12f x f c f x f c ==-+=-=+极小极大，，函数f （x ）恰有一个零点，可得2c -+>0或2c +<0，解得c ＜-2或c 2＞．可得c 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞U .12.,10=若平面上点P 满足对于任意R t ∈,3≥-则•的最小值为______.【答案】-16,3≥-所以P 到AB 的距离为3.设AB 的中点为O ，则[][]1610)2(41)()(412222-≥-=--+=•，故•的最小值为-16. 13.已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【解析】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=()cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 24442πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭()222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos 22cos sin αααααααααα-+=-+=⨯+221tan 2tan 1tan ααα-+=+ 当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭+当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 14．设直线12,l l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l 与2l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是_______. 【答案】（0，1）【解析】由题意可知，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<()1,011,1x xf x x x⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩ 111l k x ∴=-，221l k x = 1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+ ()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x - ()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++ 121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈Q 且1y x x =+在()0,1上单调递减111112x x ∴+>+=01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A =，cos A = （1）求角B 的值； （2）若a =△ABC 的面积．【解析】（1）在△ABC中，因为cos A =，0πA <<，所以sin A==因为cos cosa B A=，………………2分由正弦定理sin sina bA B=，得sin cos cosA B B A=．所以cos sinB B=．若cos=0B，则sin=0B，与22sin cos1B B+=矛盾，故cos0B≠．………………4分于是sintan1cosBBB==．又因为0πB<<，所以π4B=．………………6分（2）因为a=sin A=1）及正弦定理sin sina bA B==，………………8分所以b=又()()sin sinπsinC A B A B=--=+=sin cos cos sinA B A B+22==………………12分所以△ABC的面积为116sin22264S ab C++===.………………14分16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平面ABD；（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．【解析】（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，………………4分所以BD ∥EF ．因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．………………8分 （2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AE ⊥CD ．………………10分因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ．又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ．………………14分17.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点()61 2，，其离心率等于22．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，且MA 交椭圆E 于点P ，求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r 为定值.【解析】(1）由题得223121 2 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，………………2分所以椭圆E 的方程为22142x y +=．………………4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ABCFED（第16题）AOBPQMN（第18题）直线MA 的方程为0042y y y x =+，代入椭圆得()2222000140822y y y x x +++-=，………………6分由()201204828y x y --=+得()20120288y x y --=+，012088y y y =+，………………10分 所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，，()22002200488488y y y y --=+=++．………………14分 18．（本小题满分16分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区．（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r at =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．【解析】（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系．则由题设得A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，． 03361010x +=03x =，所以()3 3Q ，． 故直线AQ 的方程为()6y x =--，………………4分由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故()2236992AB =--+答：水上旅游线AB 的长为92．………………6分（2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处，则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )． 若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， 当t ＝0时，上式成立，………………12分当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上． 答：喷泉的水流不会洒到观光车上．………………16分 19．（本小题满分16分）已知函数x xnmx x f ln )(--=，R n m ∈,. （1）若函数)(x f 在（2，f （2））处的切线与x -y=0平行，求实数n 的值；（2）试讨论函数)(x f 在区间[]+∞,1上的最大值；（3）若1=n 时，函数)(x f 恰有两个零点21,x x （210x x <<）,求证：221>+x x . 【解析】（1）122)2(,)(22=-='-='n f x x n x f ，得n=6.………………4分 （2）n x x f n x x f x xxn x f <>'><'>-='时，时，0)(;0)(),0()(2，所以当 )(1x f n 时，≤在[]+∞,1上单调减，故n m y -=max ；当)(1x f n 时，>在[]n ,1上单调增，在),(+∞n 上单调减故n m y ln 1max --=.………………8分（3）函数)(x f 恰有两个零点21,x x （210x x <<），则0ln 1)(1111=--=x x mx x f ，0ln 1)(2222=--=x x mx x f ，可得2211ln 1ln 1x x x x m +=+=于是2112x x x x -=1212ln ln ln x x x x =-，令112>=x x t ，则11ln tx t t -=，tt t x ln 11-=，于是 )1(121+=+t x x x ，所以tt t t x x ln )ln 21(22221--=-+.………………12分 令t t t t h ln 21)(2--=，因为02)1()(22>-='t t t h ，所以)(t h 在),1(+∞上递增.又0)1()(,1=>>h t h t ，又 112>=x x t ，0ln >t ，又0ln ,1>>t t ，故221>+x x .………………16分 20．（本小题满分16分）已知数列{a n }前n 项和为S n ，数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足S 5＝2a 4＋a 5，a 9＝a 3＋a 4．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值；（3）是否存在正整数m ，使得122+m mS S 恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．【解析】（1）设12531,,,,-k a a a a Λ的公差为d ，k a a a a 2642,,,Λ的公比为q ，则d a d d a a q q a a 41,1,291324+=+=+===由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧++=+=⇒⎩⎨⎧+=+=322421134439545q d q d a d a S a a a a a a S ，………………2分 所以⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-为偶数为奇数n n n a n n ,32,12．………………4分 （2）若)(12*∈-=N k k m ，则1221321232)12(11-+=⋅⇒+=⋅⋅---k k k k k ，因为132-⋅k 为正整数，所以122-k 为正整数， 即1112=⇒=-k k ，此时3320≠⋅，不成立，舍去．………………6分若)(2*∈=N k k m ，则1312=⇒=+k k ，2=m ，成立， 综上，2=m ．………………8分（3）若122-m m S S 为}{n a 中的一项，则122-m m S S为正整数， 因为)()(2242123112---+++++++=m m m a a a a a a S ΛΛ1313)13(22)121(211-+=--+-+=--m m m m m ，………………10分所以313)1(2321212212122≤-+--=+=----m m S a S S S m m m m m m ， 故若122-m mS S 为}{n a 中的某一项，只能为321,,a a a ．………………12分 ①若φ∈⇒=-+---m m m m 113)1(23212， ②2013213)1(2321212=⇒=-+⇒=-+----m m m m m m ， ③11313)1(232212=⇒=⇒=-+---m m m m m ，………………15分 综上，1=m 或2=m ．………………16分数学Ⅱ（附加题）（满分：40分考试时间：30分钟）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值λ＝2，其对应的一个特征向量是11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵M 的另一个特征值以及它的逆矩阵．【解析】由题意，λ＝2是矩阵M 的一个特征值，所以2=M αα，所以0112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，………………2分 所以2a b ==，………………4分由方程22()402f λλλλ-==-=-．所以2λ=或2λ=-，所以M 的另一个特征值－2．………………6分 又因为02240-⨯=-≠，所以矩阵M 的逆矩阵为1102102M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．………………………10分 B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数. (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值.【解析】(1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4，………………2分圆心到直线的距离d ＝12，故AB ＝2r 2－d 2＝14.………………4分(2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4，直线l ：x ＋y －1＝0，………………8分 由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2.………………10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥． 【解析】因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，…………………3分又⋅++)(133221x x x x x x 2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭≥，…………………8分所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号．………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）将4名大学生随机安排到A ，B ，C ，D 四个公司实习． （1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X 表示分到B 公司的学生的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）． 【解析】（1）将4人安排四个公司中，共有44＝256种不同放法．记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A ，事件A 共包含A 44=24个基本事件，所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率P （A ）=24256=332．…………………………4分（2）方法1：X 的可能取值为0，1，2，3，4，P （X ＝0）=3444=81256，P （X ＝1）=C 41×3344=2764， P （X ＝2）=C 42×3244=27128，P （X ＝3）=C 43×344=364，P （X ＝4）=C 444=1256．所以X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P812562764271283641256…………………………………………………………8分 所以X 的数学期望为：E （X ）=0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1．………………10分23．（本小题满分10分）已知数列通项公式为，其中为常数，且，．等式，其中为实常数．（1）若，求的值；（2）若，且，求实数的值． 【解析】（1）比较可知； ………………2分{}n a 11n n a At Bn -=++,,A B t 1t >n N *∈()()()()1022020122022111x x b b x b x b x ++=+++++⋅⋅⋅++()0,1,2,,20i b i =⋅⋅⋅0,1A B ==1021n nn a b=∑1,0A B ==()1011212222n n nn ab =-=-∑t ()()()1010222211x x x ++=++=()()()24200121010101010111C C x C x C x ++++⋅⋅⋅++()()()22001220111b b x b x b x =+++++⋅⋅⋅++()210,1,2,,10nn b C n ==⋅⋅⋅而时,所以.………………4分设，也可以写成，相加得即，所以．………………6分（2）当时，，结合（1）中结论可知………………8分=，即因为关于t 的式子递增，所以关于t 的方程最多只有一解，而观察③可知，有一解t=2，综上可知：t=2． ………………10分0,1A B ==111n n a At Bn n -=++=+()10101010210101011111nn nn nn n n n a bn C nC C =====+=+∑∑∑∑T =10012101010101010101210n n nCC C C C ==⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅∑T T =102101010101010210C C C C ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅102102T =⋅1052T =⋅10101010102101011152216143nnn nn n n a bnC C ====+=⋅+-=∑∑∑1,0A B ==1111n n n a At Bn t --=++=+10101012221010101111110(22)222(1)2n n nnn n n nnn n n n n n n ab a b b tC C =====--=-=+-∑∑∑∑∑101010101110111222[((1)1)21][(12)1](1)223122t t t t t +-+--+-=+-+--+=-101022(1)310t t t+--+=。
高考数学仿真试题(一)
高考数学仿真试题〔一〕第一卷〔选择题 共60分〕一、选择题〔本大题共12小题,每题5分,共60分．在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．直线l 1:x+ay+1=0与直线l 2:x －2y+2=0垂直,那么a 的值为A ．2B ．－2C ．－21 D ．21 2．函数y=sin 〔2πx+θ〕cos 〔2πx+θ〕在x=2时有最大值,那么θ的一个值是A ．4πB ．2π C ．32π D ．43π 3．直二面角α—l —β,A ∈α,B ∈β,AB ⊥l,AB=6,那么线段AB 的中点到l 的距离为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．不能确定 4．等差数列{a n }的前20项的和为100,那么a 7·a 14的最大值为A ．25B ．50C ．100D ．不存在5．设函数f 〔x 〕是定义在R 上且以3为周期的奇函数,假设f 〔2〕=1,f 〔1〕=a,那么 A ．a=2 B ．a=－2 C ．a=1 D ．a=－1 6．一个简单多面体的各个面都是三角形,那么顶点数V 与面数F 满足的关系是 A ．2V+F=4 B ．2V －F=4 C ．2V+F=2 D ．2V －F=2 7．假设函数y=sin 〔x+3π〕+2的图象按向量a 平移后得到函数y=sinx 的图象,那么a等于A ．〔－3π,－2〕 B ．〔3π,2〕C ．〔－3π,2〕 D ．〔3π,－2〕8．6名同学排成两排,每排3人,其中甲排在前排的概率是A ．121B ．21C ．61D ．319．如果直线ax+by=4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点,那么点〔a,b 〕和圆C 的位置关系是A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定10．函数f 〔x 〕=|ax 2+bx+c|〔a ≠0〕的定义域分成四个单调区间的充要条件是A ．a>0且b 2－4ac>0B ．－ab2>0C ．b 2－4ac>0D ．－ab 2<0 11．如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 为棱AB 的中点,那么直线C 1E 与平面ACC 1A 1所成角的正切值为A ．62B ．42C ．1717D ．1712．椭圆22ax +y 2=1〔a>1〕的两个焦点为F 1、F 2,P 为椭圆上一点,且∠F 1PF 2=60°,那么|PF 1|·|PF 2|的值为A ．1B ．31 C ．34 D ．32第二卷〔非选择题 共90分〕二、填空题〔本大题共4小题,每题4分,共16分．把答案填在题中横线上〕13．假设〔3a+b 〕n 的展开式的系数和等于〔x+y 〕8的展开式的系数和,那么n=______．14．过曲线y=x 3－x 上点〔1,0〕的切线方程的一般式是______． 15．函数f 〔x 〕=2sin ωx 〔ω>0〕在［0,3］上单调递增,那么ω的取值范围是______．16．对于任意定义在R 上的函数f 〔x 〕,假设存在x 0∈R 满足f 〔x 0〕=x 0,那么称x 0是函数f 〔x 〕的一个不动点．假设函数f 〔x 〕=x 2+ax+1没有不动点,那么实数a 的取值范围是______．三、解做题〔本大题共6小题,共74分．解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值12分〕甲、乙两名篮球运发动,甲投篮的命中率为0.6,乙投篮的命中率为0.7,两人是否投中相互之间没有影响,求：〔1〕两人各投一次,只有一人命中的概率；〔2〕每人投篮两次,甲投中1球且乙投中2球的概率． 18．〔本小题总分值12分〕函数f 〔x 〕=log 2〔x+m 〕,且f 〔0〕、f 〔2〕、f 〔6〕成等差数列．〔1〕求实数m 的值；〔2〕假设a 、b 、c 是两两不相等的正数,且a 、b 、c 成等比数列,试判断f 〔a 〕+f 〔c 〕与2f 〔b 〕的大小关系,并证实你的结论．19．〔本小题总分值12分〕在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,且272cos 2sin 42=-+A C B , 〔1〕求角A 的度数；〔2〕假设a=3,b+c=3,求b 和c 的值．20．〔本小题总分值12分〕如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,过BC 1的平面BC 1D ∥AB 1,平面BC 1D 交AC 于D ．〔1〕求证BD ⊥平面ACC 1A 1；〔2〕假设二面角C 1—BD —C 等于60°,求平面BC 1D 与平面BCC 1B 1所成二面角的大小．〔结果用反三角函数表示〕21．〔本小题总分值12分〕如图,点F 〔a,0〕〔a>0〕,点P 在y 轴上运动,M 在x 轴上,N 为动点,且=+=⋅PM PN PFPM ,00．〔1〕求点N 的轨迹C 的方程；〔2〕过点F 〔a,0〕的直线l 〔不与x 轴垂直〕与曲线C 交于A 、B 两点,设点K 〔－a,0〕,KA 与KB 的夹角为θ,求证：0<θ<2．22．〔本小题总分值14分〕a ≥21,f 〔x 〕=－a 2x 2+ax+c ． 〔1〕证实对任意x ∈［0,1］,f 〔x 〕≤1的充要条件是c ≤43；〔2〕关于x 的二次方程f 〔x 〕=0有两个实根α、β,证实：|α|≤1且|β|≤1的充要条件是c ≤a 2－a ．参 考 答 案一、1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．B 7．D 8．B 9．A 10．C 11．C 12．C二、13．4 14．2x －y －2=0 15．〔0,23] 16．〔－1,3〕 三、17．〔1〕P 1=0.6〔1－0.7〕+〔1－0.6〕0.7=0.46．6分〔2〕P 2=［12C 0.6〔1－0.6〕］·［22C 〔0.7〕2〔1－0.7〕0］=0.2352． 12分 18．〔1〕由f 〔0〕、f 〔2〕、f 〔6〕成等差数列, 可得2log 2〔2+m 〕=log 2m+log 2〔6+m 〕,即〔m+2〕2=m 〔m+6〕且m>0,解得m=2． 6分〔2〕由f 〔x 〕=log 2〔x+2〕,可得2f 〔b 〕=2log 2〔b+2〕=log 2〔b+2〕2, f 〔a 〕+f 〔c 〕=log 2〔a+2〕+log 2〔c+2〕=log 2［〔a+2〕〔c+2〕］, 8分∵a 、b 、c 成等比数列,∴b 2=ac, 9分 又a 、b 、c 是两两不相等的正数,故〔a+2〕〔c+2〕=ac+2〔a+c 〕+4>ac+4ac +4=b 2+4b+4=〔b+2〕2, 10分∴log 2［〔a+2〕〔c+2〕］>log 2〔b+2〕2,即f 〔a 〕+f 〔c 〕>2f 〔b 〕 12分 19．〔1〕由得2［1－cos 〔B+C 〕］－〔2cos 2A －1〕=27, 2分∵cos 〔B+C 〕=－cosA,3分∴4cos 2A －4cosA+1=0,∴〔2cosA －1〕2=0,即cosA=21． 5分 ∴A=60°． 6分〔2〕∵a 2=b 2+c 2－2bccosA=b 2+c 2－bc=〔b+c 〕2－3bc, ∵a=3,b+c=3, 8分∴3=9－3bc,∴bc=2, 10分 由⎩⎨⎧==+,2,3bc c b 解之得⎩⎨⎧==12c b 或⎩⎨⎧==21c b ．12分20．〔1〕连结B 1C 交BC 1于O,那么O 是B 1C 的中点,连结DO,∵AB 1∥平面BC 1D,AB 1⊂平面AB 1C, 平面AB 1C ∩平面BC 1D=DO, ∴AB 1∥DO, 3分 ∴D 是AC 的中点,∵△ABC 是正三角形,∴BD ⊥AC, ∵平面ACC 1A 1⊥平面ABC, ∴BD ⊥平面ACC 1A 1． 6分〔2〕∵CC 1⊥平面ABC,且CD ⊥BD, ∴C 1D ⊥BD,∴∠C 1DC 是二面角C 1—BD —C 的平面角, 8分 ∴∠C 1DC=60°,设正三棱柱底边长为2,那么DC=1,CC 1=3,作DE ⊥BC 于E,∵平面BCC 1B 1⊥平面ABC, ∴DE ⊥平面BCC 1B 1,作EF ⊥BC 1于F,连结DF,那么DF ⊥BC 1,∴∠DFE 是平面BC 1D 与平面BCC 1B 1所成二面角的平面角, 10分在Rt △DFE 中,DE=23, 在Rt △DFE 中,EF=BE ·sinC 1BC=72337323=⨯, ∴tanDFE=37337223=⋅=EF DE , ∴平面BC 1D 与平面BCC 1B 1所成二面角的大小为arctan37． 12分 21．〔1〕〔方法一〕设N 〔x,y 〕,∵PM PN +=0,即P 是MN 的中点,∴M 〔－x,0〕,P 〔0,2y〕, 2分 ∵PF PM ⋅=0,∴PM ⊥PF, 4分∴ayx y -⋅22=－1, ∴y 2=4ax 即为所求． 6分〔方法二〕设N 〔x,y 〕,M 〔x 0,0〕,P 〔0,y 0〕 那么).,(),,(),,(0000y y x PN y a PF y x PM-=-=-=2分由PM ·PF =0,得ax 0+y 02=0, ①由PN +PM =0,得〔x+x 0,y －2y 0〕=0, 4分即⎩⎨⎧=-=+,02,000y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=,2,00y y x x代入①得,y 2=4ax 即为所求． 6分 〔2〕设l 的方程为y=k 〔x －a 〕,由⎩⎨⎧-==),(,42a x k y ax y 消去x,得y 2－k a 4y －4a 2=0,8分设A 〔x 1,y 1〕,B 〔x 2,y 2〕,那么y 1y 2=－4a 2,9分KA =〔x 1+a,y 1〕,KB =〔x 2+a,y 2〕,10分KA ·KB =〔x 1+a 〕〔x 2+a 〕+y 1y 2=x 1x 2+a 〔x 1+x 2〕+a 2+y 1y 2=)44()4(222122221ay a y a a y y +⋅++a 2－4a 2 =41〔y 12+y 22〕－2a 2>41〔2|y 1y 2|〕－2a 2 =21×4a 2－2a 2=0, ∴cos θ||||KB KA KBKA >0,∴0<θ<2π．12分22．〔1〕f 〔x 〕=－a 2〔x －a 21〕2+c+41, ∵a ≥21,∴a 21∈〔0,1],∴x ∈〔0,1]时,［f 〔x 〕］max =c+41, 2分假设c ≤43,那么f 〔x 〕≤［f 〔x 〕］max =c+41≤1, 4分 假设f 〔x 〕≤1,那么［f 〔x 〕］max =c+41≤1,即c ≤43,∴对任意x ∈［0,1］,f 〔x 〕≤1的充要条件是c ≤43． 6分〔2〕〔方法一〕方程－a 2x 2+ax+c=0的两根为acx a c x 2411,241121+-=++=,8分 不妨设ac a c 2411,2411+-=++=βα,其中1+4c ≥0,假设c ≤a 2－a, 那么1+4c ≤4a 2－4a+1=〔2a －1〕2, ∵2a －1≥0,∴c 41+≤2a －1,即0<a c2411++≤1,即|α|≤1, 9分又1－c 41+≥1－〔2a －1〕=2－2a>－2a,∴ac2411+->－1,又∵a c 2411+-≤ac2411++≤1,∴|β|≤1． 10分假设|α|≤1,且|β|≤1, ∴a c 2411++≤1,且a c2411+-≥－1,∵2a ≥1, ∴c 41+≤2a －1,且c 41+≤2a+1, 12分 ∴c 41+≤2a －1,即c ≤a 2－a, 13分∴|α|≤1且|β|≤1的充要条件是c ≤a 2－a ． 14分 〔方法二〕∵a ≥21,∴a 21∈〔0,1]⊆［－1,1］ 8分又抛物线开口向下,∴⇔⎩⎨⎧≤≤1||1||βαf 〔x 〕=0的两根在［－1,1］内, 10分 ⎩⎨⎧≤+--≤++-⇔⎩⎨⎧≤-≤⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤≤-≥⇔,0,0,0)1(,0)1(,0)1(,0)1(,1211,022c a a c a a f f f f aΔ 12分.,,222a a c a a c a a c -≤⇔⎩⎨⎧+≤-≤⇔14分。
高考数学仿真试题1答案
参考答案一、二、.（，）∪()..③④三、.解：依题意得≥即≥∴≥,即≥结合定义域得：≥或＜≤.解：设飞机上升到高度时所用时间为,则,耗油量(·αβ)·≥·当且仅当α时取最小值所以当选用加速度为时耗油量最省，其值为.（）解：∵二面角——是直二面角，作⊥,垂足为，则垂直平面，∠是直线与平面所()证明：连，∵∠∠°,∴∠°，即⊥于，∴⊥平面，∴⊥,∴⊥平面，∴⊥()解：作∥交的延长线于，连接，∠是异面直线与所成的角，∵四边形是矩形，∴,则,∠°,∴,,∴∠°.即异面直线与成°角.（）解：四边形是直角梯形，∴ ()·∵是四棱锥的高，且∴—.（）证明：()∴()·所以故当＞且≠时＞()解：由()(知当＜＜且≠时＞.()∴·∴又＞＞,()证明：∶即依题意得∵＞,∴＜,即＜∴.（）解：分≥及＜讨论，()∈()（）证明：当≠时，若()(),则若与同号，则有所以与异号不妨设＞＜，则＜所以＞所以当≠时有()≠()（）解：()猜想：()，以下用数学归纳法证明之.说明：（）也可以证明()是单调函数，证单调性时用奇偶性更简单.个人整理，仅供交流学习--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
高考数学仿真考试题及答案
高考数学仿真考试题及答案第一题：已知函数f(x)满足f(1)=-2，f'(x)>0，且f"(x)<0，那么在区间[0,1]上，函数f(x)的图像关于x轴对称的点的个数是多少？答案：首先根据题意可得知函数f(x)在区间[0,1]上严格递增且凹型。
因此，若函数f(x)的图像有关于x轴对称的点，则x轴对称点的个数必然为奇数个。
第二题：已知曲线C的方程为y=2x^3-3x^2-12x+4，点A(a, b)为曲线C上的一个点，且切线斜率为4。
若点A在C上，则a的取值范围是多少？答案：根据题意，曲线C上点A的坐标为(a, b)，其中切线的斜率为4。
由导数的定义可知，曲线C在点A处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值。
因此，我们可以通过求解该导数的值来确定a的取值范围。
首先计算曲线C的导函数f'(x)：f'(x) = 6x^2 - 6x -12然后代入切线斜率为4的条件，得到方程：4 = 6a^2 - 6a - 12化简方程，可得：6a^2 - 6a - 16 = 0求解该方程，得到：a = (-(-6) ± √((-6)^2 - 4×6×(-16))) / (2×6)化简后，可得：a = (3 ± √61)/3因此，a的取值范围是(-∞, (3-√61)/3] ∪ [(3+√61)/3, +∞)。
第三题：已知函数f(x)在区间[0,2]上连续且可导，且满足f(0) = 0，f(2) = 4。
若对任意x∈[0,2]，都有f'(x)≥2，则函数f(x)在区间[0,2]上的最小值是多少？答案：根据题意，函数f(x)在区间[0,2]上连续且可导，且满足f(0) = 0，f(2) = 4。
又已知对任意x∈[0,2]，都有f'(x)≥2。
由题意可知函数f(x)在区间[0,2]上是递增的，且f'(x)≥2，因此可以得出结论：在区间[0,2]上，函数f(x)的最小值必然在x=0处取得。
高考数学仿真测试题答案
高考数学仿真测试题答案一、选择题1. 函数y=\(\sin x\)在区间[0,π]上的最大值为A. 1B. -1C. 0D. \(\frac{\pi}{2}\)答案：A2. 若等差数列的首项为a，公差为d，且a, d > 0，则该数列的前n 项和S_n的最小值为A. naB. 0C. ndD. -nd答案：B3. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，且r > h，则圆锥的侧面展开图的面积为A. \(\pi r^2\)B. \(\pi h^2\)C. \(2\pi rh\)D. \(\pi (r^2 + h^2)\)答案：C4. 直线y=kx+b过点(1,2)，且与直线y=2x-1垂直，其中k和b的值分别为A. k=-1, b=3B. k=2, b=1C. k=-1/2, b=1D. k=-2, b=3答案：A5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为A. 最大值2，最小值-4B. 最大值4，最小值-1C. 最大值3，最小值-1D. 最大值2，最小值-3答案：A二、填空题1. 若复数z满足\(|z-2| = |z+2|\)，则\(z\)的模长为______。
答案：22. 已知等比数列的前三项分别为a, ar, ar^2，其中a > 0, r > 0，若a+ar+ar^2 = 7，则r的值为______。
答案：\(\frac{1}{2}\)3. 函数y = 2x^3 - 6x^2 + x的极值点的横坐标为______。
答案：\(\frac{3}{2}\)4. 一个圆的周长为20π，那么这个圆的面积为______。
答案：\(\frac{200}{3}\pi\)5. 若a, b, c成等差数列，且abc = 8，则a, b, c的可能取值组合为______。
答案：(1, 2, 4), (-1, -2, 4)三、解答题1. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(x)的单调区间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学仿真试题(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A 或B)用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜=｜PB ｜，若直线PA 的方程为x －y +1=0，则直线P B 的方程为A.2x －y －1=0B.x +y －5=0C.2x +y －7=0D.2y －x －4=02.已知函数y =f (x )，x ∈｛1,2,3｝,y ∈｛－1,0,1｝,满足条件f (3)=f (1)+f (2)的映射的个数是 A.2 B.4 C.6 D.73.若直线a ⊥b ，且a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是 A.b ⊂α B.b ∥αC.b ⊂α或b ∥αD.b 与α相交或b ∥α或b ⊂α都有可能4.函数y =｜tan x ｜²cos x (0≤x ＜23π,且x ≠2π)的图像是5.在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是A.0.8B.0.6C.0.4D.0.26.已知奇函数f (x )、g (x ),f (x )＞0的解集为（a 2,b ）,g (x )＞0的解集为（22a ,2b ），2b＞a 2,则f (x )g (x )＞0的解集是A.（22a ,2b ） B.(－b 2,－a 2)C.(a 2,2b )∪(－2b ,－a 2) D.(22a ,2b )∪(－b 2,－a 2)7.若O 为坐标原点，抛物线y 2=2x 与过其焦点的直线交于A 、B 两点，则OA ²OB 等于A.43 B.－43C.3D.－4 8.已知双曲线252x －92y =1的左支上有一点M 到右焦点F 1的距离为18，N 是MF 1的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜等于A.4B.2C.1D.32 9.函数f 1(x )=x -1,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x +1,f 4(x )=x +1的图象分别是点集C 1，C 2，C 3，C 4，这些图像关于直线x =0的对称曲线分别是点集D 1，D 2，D 3，D 4，现给出下列四个命题，其中，正确命题的序号是①D 1⊆D 2; ②D 1∪D 3=D 2∪D 4； ③D 4⊆D 3; ④D 1∩D 3=D 2∩D 4A.①③B.①②C.③④D.②④10.某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为A.2B.3C.4D.511.如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为A.90°B.60°C.45°D.0°12.设n 为满足0C n +1C n +22C n +…+n nn C ＜450的最大自然数，则n 等于A.4B.5C.7D.6第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） x +y ≤4,13.平面内满足不等式组 x +2y ≤6, 的所有点中，使目标函数Z =5x +4y 取得最大值的x ≥0, y ≥0点的坐标是___________.14.某邮局现只有邮票0.6元，0.8元，1.1元的三种面值邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少；且资费恰为7.50元，则至少要购买___________张邮票.15.抛物线的准线为y 轴，焦点运动的轨迹为y 2－4x 2+8y =0(y ≠0),则其顶点运动的轨迹方程为___________________________.16.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察17.（本小题满分12分）已知函数f (x )=2a cos 2x +b sin x cos x ,且f (0)=2,f (3π)=21+23. (1)求f (x )的最大值与最小值；（2）若α－β≠k π,k ∈Z ,且f (α)=f (β),求tan(α+β)的值. 18.（本小题满分12分）已知数列｛a n ｝为等差数列，公差为d ，｛b n ｝为等比数列，公比为q ，且d =q =2,b 3+1=a 10=5,设c n =a n b n .(1)求数列｛c n ｝的通项公式；(2)设数列｛c n ｝的前n 项和为S n ,求nnS nb 的值. 19.（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD =G .（1）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； （2）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （3）求三棱锥B 1－EFD 1的体积V . 2０.（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费200元.（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 21.（本小题满分12分）如图，A 、B 是两个定点，且｜AB ｜=2，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，直线k 垂直于直线AB ，且B 点到直线k 的距离为3.（1）求证：点P 到点B 的距离与点P 到直线k 的距离之比为定值； （2）若P 点到A ，B 两点的距离之积为m ，当m 取最大值时，求P 点的坐标；（3）若｜PA ｜－｜PB ｜=1，求cos APB 的值. 22.（本小题满分14分）定义在（－1，1）上的函数f (x )满足：①对任意x ,y ∈(－1,1),都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1); ②当x ∈(－1,0)时，有f (x )＞0.（1）判定f (x )在（－1，1）上的奇偶性，并说明理由； （2）判定f (x )在（－1，0）上的单调性，并给出证明；（3）求证：f (1312++n n )=f (11+n )－f (21+n )(n ∈N ).2003年高考数学仿真试题(一)答案一、选择题1.B2.D3.D4.C5.B6.C7.B8.A9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题13.（4，0） 14.8 15.y 2－16x 2+8y =0(y ≠0) 16.(140)、（85） 三、解答题 17.解：（1）f (0)=2a =2,∴a =1 f (3π)=2a+43b =21+23,∴b =2∴f (x )=2cos 2x +sin2x =sin2x +cos2x +1 =1+2sin(2x +4π)∴f (x )max =1+2，f (x )min =1－2 （2）由f (α)=f (β)得sin(2α+4π)=sin(2β+4π)∵α－β≠k π,(k ∈Z) ∴2α+4π=(2k +1)π－(2β+4π)即α+β=k π+4π∴tan(α+β)=1.18.解：（1）∵a 10=5,d =2,∴a n =2n －15又∵b 3=4,q =2,∴b n =2n －1∴c n =(2n －15)²2n －1 (2)S n =c 1+c 2+c 3+…+c n , 2S n =2c 1+2c 2+2c 3+…+2c n错位相减，得－S n =c 1+(c 2－2c 1)+(c 3－2c 2)+…+(c n －2c n －1)－2c n ∵c 1=－13,c n －2c n －1=2n∴－S n =－13+22+23+…+2n －(2n －15)²2n =－13+4(2n －1－1)－(2n －15)²2n =－17+2n +1－(2n －15)²2n ∴S n =17+(2n －17)²2n ∴nnS nb =nn n n 2)172(1721⋅-+⋅- =412)172(2171=⋅-+-n nn . 19.(1)证明：证法一： 连结AC .∵正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是正方形， ∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 证法二：∵BE =BF ,∠EBD =∠FBD =45°, ∴EF ⊥BD . 又EF ⊥D 1D∴EF ⊥平面BDD 1B 1，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. (2)解：在对角面BDD 1B 1中， 作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H .∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1， 且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ， ∴点D 1到平面B 1EF 的距离d =D 1H . 解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H =D 1B 1²sin D 1B 1H . ∵D 1B 1=2A 1B 1=2²22=4, sin D 1B 1H =sin B 1GB =11GB BB =22141+=174,∴d =D 1H =4²174=171716. 解法二：∵△D 1HB 1∽△B 1BG ，∴B B H D 11=GB B D 111， ∴d =D 1H =G B B B 121=222144+=171716.解法三：连结D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1的面积即21²B 1G ²D 1H =21B 1B 2， ∴d =D 1H =GB B B 121=171716.（3）解：V =11EFD B V - =EF B D V 11- =31²d ²EF B S 1∆=31620.解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为5030003600-=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )=(100－503000-x )(x －200), 整理得f (x )=501(8000－x )(x －200)=－501x 2+164x －32000=－501(x －4100)2+304200.所以，当x =4100时，f (x )最大，最大值为f (4100)=304200,即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元. 21.（1）证明：∵PA +PB =AM =4,∴由椭圆定义可知，P 点位于以A 、B 为焦点、长轴长为4的椭圆上，且直线k 为该椭圆的准线∴点P 到点B 的距离与点P 到直线k 的距离之比即为e =a c =21. （2）解：如图，建立平面直角坐标系，则椭圆的方程为3422y x +=1,易知，｜PA ｜=｜PB ｜=2时， ｜PA ｜²｜PB ｜=m =4为最大，此时，点P 的坐标为（0，±3）.（3）解：∵｜PA ｜+｜PB ｜=4,｜PA ｜－｜PB ｜=1, ∴｜PA ｜=25,｜PB ｜=23,又∵｜AB ｜=2=24 ∴△P AB 是以B 为直角的直角三角形 ∴cos APB =53. 22.(1)解：当x =y =0时,则f (0)+f (0)=f (0),∴f (0)=0,f (x )+f (－x )=f (0)=0,即f (－x )=－f (x ),∴f (x )在（－1,1）上是奇函数. （2）解：任取－1＜x 1＜x 2＜0,∵当x ∈(－1,0)时，有f (x )＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=f (21211x x x x --)＞0即f (x 1)＞f (x 2),∴f (x )在（－1，0）上是减函数.（3）证明：f (11+n )－f (21+n ) =f (11+n )+f (－21+n )=f (211112111+⋅+-+-+n n n n )=f (1312++n n ).。