中考数学辅导之—一次函数的图象和性质

中考数学辅导之—一次函数的图象和性质

一次函数是本章中最重要的一个单元，在课本中，讲叙本部分内容的篇幅尽管不长，但利用它的概念、性质解决的题目却许多，而且有些题目还较难，同时从这部分内容开始，我们将学习利用代数的方法去解决几何问题，这是同学们过去从未涉及到的方法，因此不管从解题思路、解题方法上依旧从所学知识的综合应用上的要求都有较大幅度的提高，可能会使同学们感到有时无从下手，“专门难学”是同学们普遍的反映。在本讲中，我们将要补充一些必要的知识，讲解几个例题，以便使同学们体会解题思路和解题方法，从而达到较好的把握本部分知识的目的。

一、学习要求：

1.明白得一次函数和正比例函数的概念。

2.会画正比例函数及一次函数的图象。

3.明白得并把握正比例函数和一次函数的性质。

4.会利用待定系数法确定正比例及一次函数的解析式。

5.会解关于一次函数的较难的题目。

二、知识要点：

1.正比例函数和一次函数是分别用)0(≠=k kx y 和)0(≠+=k b kx y 来定义的，其中x 是自变量，y 是自变量的函数，k 是自变量的系数，是常数，这两种函数解析式差不多上方程，而且它的图象上的点的坐标差不多上对应方程的解，因此，一次函数与一次方程有密不可分的关系。

2.课本中,用具体的函数利用描点法得出正比例函数)0(≠=k kx y 和一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象差不多上一条直线，既然是一条直线，我们只要描出两点即可确定该直线。因为正比例函数是过原点的直线，因此坐标原点是所描的两点中的一个，另外一个是1=x 时y=k 确实是点),1(k ，因此正比例函数的图像是过（0，0）、（1，k ）两点的直线。而一次函数与两条坐标轴各有一个交点（注意：与x 轴、y 轴交点的坐标是极其重要的），那么“两点确定一条直线”中的两点就能够取这两个交点，由于一次函数与x 轴的交点必在x 轴上,而在x 轴上的点的特点是纵坐标为0，即：在一次函数)0(≠+=k b kx y 中，当y=0时可得kx+b=0，

解此方程得x=-k b ，从而得出一次函数)0(≠+=k b kx y 与x 轴交于（-k

b ，0）点；同理，由一次函数)0(≠+=k b kx y 与y 轴交点的横坐标为0能够得出：它与y 轴的交点为（0，b ）；因此一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是过它与x 轴的交点（-k

b ，0）和它与y 轴的交点（0，b ）两点的直线。（实践证明，专门多同学可不能求直线与轴的交点坐标，这是可不能解一些一次函数题目的直截了当缘故）。

例如描述52-=x y 的图象：令50-==y x 得,令2

5,0==x y 得,因此52-=x y 的图像是过y 轴上的（0，-5）和x 轴上的（2

5，0）两点的直线。

x )0,2

5(=B A(0,5)

3.b kx y +=的图象的性质中x y k 随,0>的增大而增大，

y k

随,

0<

减少，此性质反映在图象上是0>

k

反之，图象自左而右是上升的,则0>k ；0轴交于在y 轴的正半轴上，直线与 y 轴交于正半轴，),0(,0b b <在y 轴的负半轴，b kx y +=与y 轴交于负半轴。

①b kx y b k +=⇔>>0,0的图象在一、二、三象限

②b kx y b k +=⇔<>0,0的图象在一、三、四象限

③⇔><0,0b y 图象在一、二、四象限

④⇔<<0,0b y 图象在二、三、四象限

4.假如在x 轴上有两个点)0,()0,(21x B x A 和，则A 、B 两点的距离是| x 2—x 1|，如(-1，0)和(3，0)两点的距离确实是|3-(-1)|=4，在y 轴上有两点A(0，y 1)和B(0，y 2)，则A 、B 两点的距离是|y 2-y 1|，如(0，2)和(0，-5)的距离是|-5-2|=7。

5.两条直线b x k y b x k y +=+=22111和的交点坐标是方程组 2

22111b x k y b x k y +=+=的解.如y=x-2和y=-3x+1的交点坐标确实是方程组 132+-=-=x y x y 的解 4

543-==y x 即交点坐标是(4

5,43--)。 6.利用待定系数法确定正比例函数和一次函数的解析式，一样步骤是: ①先设出函数的一样形式，如求正比例函数解析式时，先设kx y =，求一次函数的解析式时，先设b kx y +=。

②将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组。

③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式。

(注意：求正比例函数，只要一对y x ,的值就能够，因为它只有一个待定系

数；而求一次函数b kx y +=则需要两组y x ,的值。）

三、例题:

例1:已知x y 与3-成正比例,且72==y x 时

(1)求x y 与间的函数解析式.

(2)求当的值时y x ,3=.

(3)求当x y ,3时-=的值.

解:(1)∵x y 与3-成正比例

∴)0(3≠=-k kx y

把7,2==y x 代入上式得k=2

∴3223+==-x y x y 即

注意: [1]因为x y 与3-成正比例,把3-y 看成一个变量

[2]x y 与3-成正比例,设kx y =-3.

(2)当9332,3=+⨯==y x 时.

(3)当3,332,3-=-=+-x x y 时.

例2:已知一次函数的图象通过(1,1)和(-1,-5)

求(1)此函数解析式.

(2)求此函数与y x ,轴轴的交点坐标及它的图象与两坐标轴围成的三角形面积.

(3)设另一条相干直线与此一次函数图象交于(-1,m)点,且与y 轴交点的纵坐标是4,求这条直线的解析式.

解:(1)设一次函数的解析式是b kx y +=

将1,1==y x 和5,1-=-=y x 代入得 5

1-=+-=+b k b k 解得 2

3-==b k ∴此一次函数解析式为23-=x y

(2)对23-=x y ,令2,0-==y x 则图象与轴交于y A(0,-2)令

320==x y 得,则此函数与x 轴交于B(0,3

2图象与两坐标轴围成的三角形面积是S ΔAOB,其底长|3

2|个单位,高个单位.

∴S ΔAOB=3

232221=⨯⨯ (3)由于(-1,m)即在23-=x y 图象上,又在所求的另一条直线上,因此(-1,m)满足y=3x-2,将x=-1,y=m,代入y=3x-2得m=-5,因此两直线交于(-1,-5),说明第二条直线也通过(-1,-5)且还通过(0,4).

设另一条直线为y 1=k 1x+b,将x=-1,y=-5.x=0,y=4代入得 4

5=-=+-b b k