中考数学辅导之—一次函数的图象和性质

中考数学辅导之—一次函数的图象和性质一次函数是本章中最重要的一个单元，在课本中，讲叙本部分内容的篇幅尽管不长，但利用它的概念、性质解决的题目却许多，而且有些题目还较难，同时从这部分内容开始，我们将学习利用代数的方法去解决几何问题，这是同学们过去从未涉及到的方法，因此不管从解题思路、解题方法上依旧从所学知识的综合应用上的要求都有较大幅度的提高，可能会使同学们感到有时无从下手，“专门难学”是同学们普遍的反映。

在本讲中，我们将要补充一些必要的知识，讲解几个例题，以便使同学们体会解题思路和解题方法，从而达到较好的把握本部分知识的目的。

一、学习要求：1.明白得一次函数和正比例函数的概念。

2.会画正比例函数及一次函数的图象。

3.明白得并把握正比例函数和一次函数的性质。

4.会利用待定系数法确定正比例及一次函数的解析式。

5.会解关于一次函数的较难的题目。

二、知识要点：1.正比例函数和一次函数是分别用)0(≠=k kx y 和)0(≠+=k b kx y 来定义的，其中x 是自变量，y 是自变量的函数，k 是自变量的系数，是常数，这两种函数解析式差不多上方程，而且它的图象上的点的坐标差不多上对应方程的解，因此，一次函数与一次方程有密不可分的关系。

2.课本中,用具体的函数利用描点法得出正比例函数)0(≠=k kx y 和一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象差不多上一条直线，既然是一条直线，我们只要描出两点即可确定该直线。

因为正比例函数是过原点的直线，因此坐标原点是所描的两点中的一个，另外一个是1=x 时y=k 确实是点),1(k ，因此正比例函数的图像是过（0，0）、（1，k ）两点的直线。

而一次函数与两条坐标轴各有一个交点（注意：与x 轴、y 轴交点的坐标是极其重要的），那么“两点确定一条直线”中的两点就能够取这两个交点，由于一次函数与x 轴的交点必在x 轴上,而在x 轴上的点的特点是纵坐标为0，即：在一次函数)0(≠+=k b kx y 中，当y=0时可得kx+b=0，解此方程得x=-k b ，从而得出一次函数)0(≠+=k b kx y 与x 轴交于（-kb ，0）点；同理，由一次函数)0(≠+=k b kx y 与y 轴交点的横坐标为0能够得出：它与y 轴的交点为（0，b ）；因此一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是过它与x 轴的交点（-kb ，0）和它与y 轴的交点（0，b ）两点的直线。

（实践证明，专门多同学可不能求直线与轴的交点坐标，这是可不能解一些一次函数题目的直截了当缘故）。

例如描述52-=x y 的图象：令50-==y x 得,令25,0==x y 得,因此52-=x y 的图像是过y 轴上的（0，-5）和x 轴上的（25，0）两点的直线。

x )0,25(=B A(0,5)3.b kx y +=的图象的性质中x y k 随,0>的增大而增大，y k随,0<减少，此性质反映在图象上是0>k反之，图象自左而右是上升的,则0>k ；0<k 。

由于b kx y +=与),0(,0),0(b b b y >轴交于在y 轴的正半轴上，直线与 y 轴交于正半轴，),0(,0b b <在y 轴的负半轴，b kx y +=与y 轴交于负半轴。

①b kx y b k +=⇔>>0,0的图象在一、二、三象限②b kx y b k +=⇔<>0,0的图象在一、三、四象限③⇔><0,0b y 图象在一、二、四象限④⇔<<0,0b y 图象在二、三、四象限4.假如在x 轴上有两个点)0,()0,(21x B x A 和，则A 、B 两点的距离是| x 2—x 1|，如(-1，0)和(3，0)两点的距离确实是|3-(-1)|=4，在y 轴上有两点A(0，y 1)和B(0，y 2)，则A 、B 两点的距离是|y 2-y 1|，如(0，2)和(0，-5)的距离是|-5-2|=7。

5.两条直线b x k y b x k y +=+=22111和的交点坐标是方程组 222111b x k y b x k y +=+=的解.如y=x-2和y=-3x+1的交点坐标确实是方程组 132+-=-=x y x y 的解 4543-==y x 即交点坐标是(45,43--)。

6.利用待定系数法确定正比例函数和一次函数的解析式，一样步骤是: ①先设出函数的一样形式，如求正比例函数解析式时，先设kx y =，求一次函数的解析式时，先设b kx y +=。

②将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组。

③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式。

(注意：求正比例函数，只要一对y x ,的值就能够，因为它只有一个待定系数；而求一次函数b kx y +=则需要两组y x ,的值。

）三、例题:例1:已知x y 与3-成正比例,且72==y x 时(1)求x y 与间的函数解析式.(2)求当的值时y x ,3=.(3)求当x y ,3时-=的值.解:(1)∵x y 与3-成正比例∴)0(3≠=-k kx y把7,2==y x 代入上式得k=2∴3223+==-x y x y 即注意: [1]因为x y 与3-成正比例,把3-y 看成一个变量[2]x y 与3-成正比例,设kx y =-3.(2)当9332,3=+⨯==y x 时.(3)当3,332,3-=-=+-x x y 时.例2:已知一次函数的图象通过(1,1)和(-1,-5)求(1)此函数解析式.(2)求此函数与y x ,轴轴的交点坐标及它的图象与两坐标轴围成的三角形面积.(3)设另一条相干直线与此一次函数图象交于(-1,m)点,且与y 轴交点的纵坐标是4,求这条直线的解析式.解:(1)设一次函数的解析式是b kx y +=将1,1==y x 和5,1-=-=y x 代入得 51-=+-=+b k b k 解得 23-==b k ∴此一次函数解析式为23-=x y(2)对23-=x y ,令2,0-==y x 则图象与轴交于y A(0,-2)令320==x y 得,则此函数与x 轴交于B(0,32图象与两坐标轴围成的三角形面积是S ΔAOB,其底长|32|个单位,高个单位.∴S ΔAOB=3232221=⨯⨯ (3)由于(-1,m)即在23-=x y 图象上,又在所求的另一条直线上,因此(-1,m)满足y=3x-2,将x=-1,y=m,代入y=3x-2得m=-5,因此两直线交于(-1,-5),说明第二条直线也通过(-1,-5)且还通过(0,4).设另一条直线为y 1=k 1x+b,将x=-1,y=-5.x=0,y=4代入得 45=-=+-b b k∴ 49==b k ∴第二条直线的解析式是y=9x+4. 例3:一次函数y=2x+3的图象与y 轴交于A ，另一个次函数图象与y 轴交于B ，两条直线交于C,C 点的纵坐标是1,且S ΔABC=16,求另一条直线的解析式.解:∵y=2x-3与y 轴交于A(0,-3)设另一条直线的解析式是y=kx+b,则它与y 轴交于B(0,b)∵两直线交于C,C 的纵坐标是1,设∴C 在y=2x-3上∴将y=1代入y=2x-3中得∴C 的坐标是(2,1)画草图分析则ΔABC 的底高是C 点的横坐标由题意得162|3|21=⋅+⨯b |b+3|=16b+3=16或b=-19则函数解析式是y=kx+13或y=kx-19再将x=2,y=1代入得k=-6或k=10.∴所求函数解析式为y=-6x+13或y=10x -19(注意:画草图分析是专门必要的.否则此题的解题思路可不能清晰).四、练习题:(1)填空题:1.函数b x y +=2的图象通过点(1,-3),则b=____,它的图象通过第____象限,y 随x 的增大而____.2.函数4-=mx y 的图象通过点(-2,6),则它的图象通过第____象限,它的图象 象与x 交于____,与y 轴的交点坐标是____,它的图象与坐标轴围成的三角形面积是____.3.若一次函数)3(2m m mx y -+=图象过原点,则=m ____.若图象与y 轴交于点(0,4),则m =____.4.一次函数b x y +=2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b =____.5.已知一次函数b kx y +=的图象与x 轴交点A(a,0)和B(0,b),且a,b 是方程01892=+-x x .则该函数的解析式是____.6.已知:直线42-=x y 与直线3+=x y ,它们的交点C 的坐标是____,设两直线与x 轴分别交于A,B,则S ΔABC=____,设两直线与y 轴交于P,Q,则S ΔPCQ=____7.一次函数411-=x k y 与正比例函数x k y 22=的图象都通过(2,-1),则这两个函数的图象与x 轴围成的三角形面积是____.(2)选择题:1.若一次函数b kx y +=的图象通过一、二、三象限,则b k ,应满足的条件是:A.0,0>>b kB.0,0<>b kC.0,0><b kD.0,0<<b k2.已知：)2()2(122+++=-+m x m y m m 是正比例函数,则m 的值是：A.m =1B. m =-2C. m =1或m =-2D. m ≠03.函数42+=x y ,假如22≤≤-y ,则x 的相应的取值范畴:A.22≤≤-xB.13-≤≤-xC.31≤≤xD.31≤≤-x4.如图,两个一次函数a bx y b ax y +=+=21,,它们在同一直角坐标系中大致的图象是:A. B. C. D.5.假如函数3-=ax y 的图象与函数2+=bx y 的图象和交于x 轴上的同一点,则b a :等于:A.23 B.2:3 C.3:(-2) D.(-3):(-2) (3)解答题:1.已知4-=x y 的图象与x 轴交于A,它与b kx y +=的图象交于C,C 点的横坐标是b kx y +=与x 轴交于B,且S ΔABC=25,求函数b kx y +=的解析式. 2.已知直线b x k y +=11的图象通过点(1,6)和(-3,-2)它和x 轴,y 轴交点是B,A,直线222b x k y +=的图象通过点(2,-2)且与y 轴交于(0,-3),它与x 轴,y 轴的交点是D,C.求: (1)两直线的解析式.(2)S 四边形ABCD(3)若直线E y y 交于与21,求S ΔBCE:S 四边形ABCD.3.如图,已知直线PA,)0(>+=n n x y 与x 轴交于A,与y 轴交于Q,另一条直线n n m m x y 与)(2>+-=轴交于B,而直线交于P求: (1)A,B,Q,P 四点的坐标(用m 或n 表示)(2)若AB=2,且S 四边形PQOB=65,求两个函数的解析式.五、练习答案:(1)1. -5, 2． 3. 3,-1或4解题指导:直线b x y +=2与x 轴交于y b 与)1,2(-轴交于)0,(b 由题意,9|2|||21=-⋅⋅b b ,解得69±=b 5.32162+-=+-=x y x y 或 6.S ΔABC=25,S ΔPCQ=249. 解题指导:由题意得C(7,10),A(2,0),B(-3,0),P(0,-4),Q(0,3),则AB=|2-(-3)|=5,高是C 的纵坐标10.因此S ΔABC=2510521=⨯⨯. 7.34 解题指导:将(2,-1)代入21y y 和解得:21,2321-==k k ,因此x y x y 21,42321-=-=.x y 与1轴交于A(0,38),x y 与2轴交于B(0,0).因此AB=38,高是|-1|=1,因此S Δ3436121=⨯⨯ (2)选择题:1.A2.B3.B4.B5.C(3)1.由题意得C(3,-1) A(4,0) 设B(0,x ) 251|4|21=⨯-x 5|4|=-x 19-==x x 或 即B 点坐标是(0,9)或(-1,0)用(9,0)和(3,-1)两点求解析式23611+-=x y 用(-1,0)和(3,-1)两点求解析式3212-=x y 2.(1)321,4221-=+=x y x y (2)由题意得B(-2,0),A(0,4),D(6,0),C(0,-3)S 四边形ABCD=S ΔABC+S ΔADC∵A(0,4) C(0,-3)∴AC=7S ΔABC=72721=⨯⨯ S ΔADC=216721=⨯⨯ ∴S 四边形ABCD=28(3)由题意得E )316,314(-- S ΔAEC=349698314721==⨯⨯ S ΔAEC=S ΔAEC-S ΔABC=349-7=328 ∴S ΔBEC:S 四边形ABCD=3128:38=3.由题意得),0(),0,2(),0,(n Q m B n A - P 点坐标是 m x y n x y +-=+=2的解，即P )32,3(n m n m +- ∵AB=2 2|2|=+n m 0>>n m ∴22=+n m 42=+n m S ΔABP=3232221n m n m +=+⨯⨯ S ΔAOQ=22n ∴652322=-+n n na 652342=-n 5382=-n 332=n 1=n ∴1+=x y 22+-=x y。