2016-2017年福建省闽侯二中、连江华侨中学等五校教学联合体高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)

2016-2017学年福建省闽侯二中、连江华侨中学等五校教学联合体高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，）1．（5分）已知数列，则是它的（）A．第22项 B．第23项 C．第24项 D．第28项2．（5分）下列选项中错误的是（）A．若a＞b＞0，则B．若b＜a＜0，则C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若ac2＞bc2，则a＞b3．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则c边长为（）A．B．C．D．4．（5分）不等式解集为（）A．B．C．D．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S23=184，则a11+a13=（）A．12 B．14 C．16 D．186．（5分）在△ABC中，已知atanB=btanA，则此三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．直角或等腰三角形7．（5分）已知等比数列{a n}中，a1，a25为方程x2﹣5x+4=0的两根，则a3 a13 a23的值为（）A．16 B．8 C．±64 D．±168．（5分）在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔仰角为30o，塔底俯角为45o，那么这座塔的高为（）A．m B．m C．m D．m9．（5分）已知a＞0，不等式组，表示的平面区域的面积为1，则a 的值为（）A．B．C．1 D．210．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=4，则的最小值是（）A．B．4 C．D．11．（5分）函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x0=2，且对任意的自然数均有x n+1=f（x n），则x2016等于（）A．1 B．2 C．4 D．512．（5分）在R上定义运算：=ad﹣bc．若不等式≥﹣1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为（）A．﹣ B．﹣1 C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，最大边和最小边边长是方程x2﹣7x+8=0的两实根，则BC边长等于．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最大值为15．（5分）数列{a n}的通项公式a n=，若前n项的和为11，则n=．16．（5分）下列命题中，正确命题的序号是．①数列{a n}的前n项和S n=3n，则数列{a n}是等差数列．②若等差数列{a n}中，已知a m=n，a n=m，则a m+n=0③函数的最小值为2．④等差数列{a n}的前n项和为S n，若S25＞0，S26＜0，则S n最大时n=13⑤若数列{a n}是等比数列，其前n项和为则常数k的值为1．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）S n是{a n}的前n项和，求S n的最大值．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，若（a+b+c）（sinA+sinB﹣sinC）=3asinB．（1）求C角大小．（2）若且a+b=6，判断△ABC的形状．19．（12分）（1）已知不等式ax+bx+2≤0解集为{x|x≤﹣1或x≥2}，求不等式bx2+3ax+2＜0的解集．（2）若不等式ax2+（a﹣1）x＜1+x2对任意x∈R均成立，求实数a的取值范围．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的三边长分别为a，b，c，若A=，a=3．（Ⅰ）若b=2c求S；△ABC（Ⅱ）求△ABC周长取值范围．21．（12分）2015年推出一种新型家用轿车，购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共1.2万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．（I）设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费）为f（n），求f（n）的表达式；（II）这种汽车使用多少报废最合算（即该车使用多少年，年平均费用最少）？22．（12分）数列{a n}中，满足S n+2=2a n，n∈N*．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）若数列{b n}满足b n=2log2a n﹣1，且T n=求T n大小（3）令，证明成立．2016-2017学年福建省闽侯二中、连江华侨中学等五校教学联合体高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，）1．（5分）已知数列，则是它的（）A．第22项 B．第23项 C．第24项 D．第28项【解答】解：令=，解得n=23．故选：B．2．（5分）下列选项中错误的是（）A．若a＞b＞0，则B．若b＜a＜0，则C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若ac2＞bc2，则a＞b【解答】解：对于A：若a＞b＞0，同除以ab，则得到＞，故正确，对于B：若0＞a＞b，同除以ab，则得到＞，故正确，对于C：若a＞b，c＞d，例如a=1，b=﹣1，c=2，d=﹣3，则ac＞bd不成立，故错误，对于D：若ac2＞bc2，则a＞b，故正确．故选：C．3．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则c边长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴由正弦定理，可得：c===2．故选：A．4．（5分）不等式解集为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，不等式，则有（x﹣1）（2x+1）≥0且2x+1≠0，解可得：x＜﹣或x≥1，则不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪[1，+∞）；故选：A．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S23=184，则a11+a13=（）A．12 B．14 C．16 D．18【解答】解：在等差数列{a n}中，由S23=184，得，即a1+a23=16．∴a11+a13=a1+a23=16．故选：C．6．（5分）在△ABC中，已知atanB=btanA，则此三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．直角或等腰三角形【解答】解：在△ABC中，∵atanB=btanA，∴=，可得：asinBcosA=bsinAcosB，∴由正弦定理可得：abcosA=abcosB，即：cosA=cosB，∵A，B∈（0，π），y=cosx在（0，π）单调递减，∴A=B，即三角形为等腰三角形．故选：A．7．（5分）已知等比数列{a n}中，a1，a25为方程x2﹣5x+4=0的两根，则a3 a13 a23的值为（）A．16 B．8 C．±64 D．±16【解答】解：∵a1，a25为方程x2﹣5x+4=0的两根，∴a1•a25=4，a1+a25=5，∴a1＞0∵等比数列{a n}中，∴a1a25=a3 a23=4，a1a25=a132，∴等比数列中，奇数项符号相同，a 13=2，∴a3 a13 a23=4×2=8．故选：B．8．（5分）在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔仰角为30o，塔底俯角为45o，那么这座塔的高为（）A．m B．m C．m D．m【解答】解：依题意作图如下：AB=20m，仰角∠DAE=30°，俯角∠EAC=45°，在等腰直角三角形ACE中，AE=EC=20m，在直角三角形DAE中，∠DAE=30°，∴DE=AEtan30°=20×m，∴塔高CD=（20+20）m=m．故选：D．9．（5分）已知a＞0，不等式组，表示的平面区域的面积为1，则a 的值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∴，解得：a=．故选：B．10．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=4，则的最小值是（）A．B．4 C．D．【解答】解：a＞0，b＞0，a+b=4，则=（a+b）（）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当b=2a时上式取得等号，则的最小值是，故选：D．11．（5分）函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x0=2，且对任意的自然数均有x n+1=f（x n），则x2016等于（）A．1 B．2 C．4 D．5【解答】解：x0=2，且对任意的自然数均有x n+1=f（x n），可得x1=f（x0）=f（2）=1，x2=f（x1）=f（1）=5，x3=f（x2）=f（5）=2，x4=f（x3）=f（2）=1，x5=f（x4）=f（1）=5，…，可得x n+3=x n，即为周期为3的数列．则x2016=x3×672=x0=2．故选：B．12．（5分）在R上定义运算：=ad﹣bc．若不等式≥﹣1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为（）A．﹣ B．﹣1 C．D．2【解答】解：不等式≥﹣1对任意实数x恒成立，可得x（x﹣2）﹣（a﹣2）（a+1）+1≥0，即x2﹣2x+1﹣（a﹣2）（a+1）≥0，可得△=4﹣4+（a﹣2）（a+1）≤0，解得﹣1≤a≤2，则a的最大值为2．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，最大边和最小边边长是方程x2﹣7x+8=0的两实根，则BC边长等于5．【解答】解：由题意，最大边c和最小边b，边长是方程x2﹣7x+8=0的两实根，可得：c+b=7，cb=8，∴b2+c2+2bc=49，则b2+c2=33，余弦定理：cosA==，解得：a=5．故答案为：5．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最大值为3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=x﹣2y，得y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过可行域内点A时直线在y轴上的截距最小，z最大．联立，解得A（3，0）．∴目标函数z=x﹣2y的最大值为3﹣2×0=3．故答案为：3．15．（5分）数列{a n}的通项公式a n=，若前n项的和为11，则n=143．【解答】解：a n==﹣，∴前n项的和=++……+（﹣）=﹣1为11，则n=143．故答案为：143．16．（5分）下列命题中，正确命题的序号是①②④．①数列{a n}的前n项和S n=3n，则数列{a n}是等差数列．②若等差数列{a n}中，已知a m=n，a n=m，则a m+n=0③函数的最小值为2．④等差数列{a n}的前n项和为S n，若S25＞0，S26＜0，则S n最大时n=13⑤若数列{a n}是等比数列，其前n项和为则常数k的值为1．【解答】解：对于①，数列{a n}的前n项和S n=3n，则S n﹣1=3（n﹣1），n≥2；∴a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣3（n﹣1）=3，n≥2；当n=1时，a1=3；∴数列{a n}是公差为0的等差数列，①正确；对于②，等差数列{a n}中，a m=n，a n=m，不妨设n＞m，则a n﹣a m=（n﹣m）d=m﹣n，∴d=﹣1，=a m+（n+m﹣m）d=n+n•（﹣1）=0，∴②正确；∴a m+n对于③，函数==+，设t=，其中t≥，则y=t+在[，+∞）上单调递增，∴y的最小值为+=，③错误；对于④，等差数列{a n}的前n项和为S n，若S25＞0，S26＜0，则，∴a13＞0且a1+a26＜0，∴2a1+25d＜0且2a13=2a1+24d＞0，∴d＜0，2a1+26d=2（a1+13d）=2a14＜0，∴a14＜0，则S n最大时n=13，④正确；对于⑤，数列{a n}是等比数列，其前n项和为，=3n﹣k，n≥2；则S n﹣1∴a n=S n﹣a n﹣1=2•3n，n≥2，n=1时，a1=S1=32﹣k=6，解得k的值为3，∴⑤错误；综上，正确的命题序号是①②④．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）S n是{a n}的前n项和，求S n的最大值．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，d≠0，由a1，a11，a13成等比数列，可得a112=a1a13，即（a1+10d）2=a1（a1+12d），于是d（2a1+25d）=0，又a1=25，所以d=0（舍去），d=﹣2，故a n=﹣2n+27；（2）因为S n=25n+×（﹣2）=﹣n2+26n=﹣（n﹣13）2+169，当n=13时，S n有最大值为169．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，若（a+b+c）（sinA+sinB﹣sinC）=3asinB．（1）求C角大小．（2）若且a+b=6，判断△ABC的形状．【解答】解：（1）∵（a+b+c）（sinA+sinB﹣sinC）=3asinB，由正弦定理得（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．得a2+b2﹣c2=ab，∴，∵C∈（0，π），∴C=．（2）∵，∴，∴ab=9 ①又∵a+b=6 ②联立①②解得a=3，b=3，故a=b，∴△ABC是等腰三角形又C=，∴△ABC是等边三角形．19．（12分）（1）已知不等式ax+bx+2≤0解集为{x|x≤﹣1或x≥2}，求不等式bx2+3ax+2＜0的解集．（2）若不等式ax2+（a﹣1）x＜1+x2对任意x∈R均成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知：﹣1，2是方程ax2+bx+2=0的两根，且a＜0；由根与系数的关系，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2解得a=﹣1，b=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3代入不等式bx2+3ax+2＞0可得：x2﹣3x+2＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4解得x＜1或x＞2，∴所求不等式的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6（2）不等式ax2+（a﹣1）x＜1+x2化为（a﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1＜0，显然a=1时不等式化成﹣1＜0，满足题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7当a≠1所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a﹣1＜0，且△＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣8即，解得﹣3＜a＜1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10综上所述，实数a的取值范围是（﹣3，1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1220．（12分）在△ABC中，角A，B，C的三边长分别为a，b，c，若A=，a=3．；（Ⅰ）若b=2c求S△ABC（Ⅱ）求△ABC周长取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）当b=2c时由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）解得c=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以b=2c=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以S=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5△ABC分）（Ⅱ）因为=，所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6﹣分所以△ABC周长L=，因为A=，所以，==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴△ABC周长L∈（6，9]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）2015年推出一种新型家用轿车，购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共1.2万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．（I）设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费）为f（n），求f（n）的表达式；（II）这种汽车使用多少报废最合算（即该车使用多少年，年平均费用最少）？【解答】解：（I）由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为（万元），所以f（n）=16.9+1.2n+（0.1n2﹣0.1n）=0.1n2+1.1n+16.9=0.1n2+1.1n+16.9（万元），（II）该辆轿车使用n年的年平均费用为===3.7（万元），当且仅当时取等号，此时n=13，答：这种汽车使用13年报废最合算．22．（12分）数列{a n}中，满足S n+2=2a n，n∈N*．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）若数列{b n}满足b n=2log2a n﹣1，且T n=求T n大小（3）令，证明成立．【解答】解：（1）由题意知：s n+2=2a n当n≥2且n∈N*时，s n﹣1+2=2a n﹣1两式相减得：a n=2a n﹣2a n﹣1，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当n=1时，s1+2=2a1，∴a1=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以（n∈N*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）得，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）所以=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以T n===﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）证明∵，∴当n=2k（k∈n*）时，c n=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴c1+c2+c3+c4+……+c2n﹣1==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）==，故成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。