圆的专题复习(二)

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2021年中考数学复习专题-【圆】解答题专项测练02

2021中考数学复习【圆】解答题专项测练021．已知：如图，AB＝AC，以AB为弦作⊙O与AC切于点A，交BC于D，连接AD；①求证：DA＝DC；②若BD＝4，CD＝8，求⊙O半径．2．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA上的一点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若CD＝15，BE＝10，tan A＝，求⊙O的直径．3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝°；（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．5．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．6．如图，已知⊙O，A是的中点，过点A作AD∥BC．求证：AD与⊙O相切．7．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．8．如图，已知⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D，E分别是BC，AC上两点，且BD＝CE，连接AD，BE相交于点P，延长线段BE交⊙O于点F，连接CF．（1）求证：AD∥FC；（2）连接PC，当△PEC为直角三角形时，求tan∠ACF的值．9．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为上一动点，求证：PA＝PB+PC．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE∵△ABC是正三角形∴AB＝CB∵∠1和∠2的同弧圆周角∴∠1＝∠2∴△ABE≌△CBP（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA＝PC+PB．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA、PB、PC 三者之间有何数量关系，直接写出结论．10．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）若BD＝6，AB＝10，求DE的长．参考答案1．证明：①连接AO并延长，交⊙O于点E，连接OD，DE，∵⊙O与AC相切于点A，∴AC⊥AE，∴∠DAC+∠OAD＝90°，∴AE为⊙O直径，∴∠ADE＝90°，∴∠OAD+∠E＝90°，∵∠DAC+∠OAD＝90°，∴∠DAC＝∠E＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠DAC＝∠C，∴DA＝DC；②解：设半径为R，作DM⊥AC于M，则AM＝CM，∵∠DAC＝∠C＝∠ABC，∠DCA＝∠ACB，∴△ACD∽△BCA，∴，∴AC2＝CD•CB＝8×12＝96，∴AC＝4，∴AM＝CM＝2，∴Rt△CBM中，BM＝2，∵∠C＝∠B＝∠E，∴sin∠C＝sin∠E，∴，∴，∴R＝．2．解：（1）BD是⊙O的切线．理由如下：连接OB，∵OB＝OA，DE＝DB，∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，∴∠OBA+∠ABD＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线．（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，∵DE＝DB，∴EG＝BE＝5，∵∠ACE＝∠DGE＝90°，∠AEC＝∠GED，∴∠GDE＝∠A，∴△ACE∽△DGE，∴tan∠EDG＝tan A＝，即DG＝12，在Rt△EDG中，∵DG＝＝12，∴DE＝13，∵CD＝15，∴CE＝2，∵△ACE∽△DGE，∴，∴AC＝•DG＝，∴⊙O的直径为2OA＝4AC＝．3．（1）证明：连接OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接DE，如图2所示：∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠DCE＝∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴＝，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，∴＝cos∠DCE＝cos30°＝，∴＝．4．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，故答案为：110；（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；（3）解：过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，∴∠CAG＝∠CAH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∴∠G＝∠AHC＝90°，∵AC＝AC，∴△AGC≌△AHC（AAS），∴AG＝AH，CG＝CH，∵∠CDG＝∠ABC，∴△CDG∽△ABH，∴＝＝，∴＝，设BH＝k，AH＝2k，∴AB＝＝k＝10，∴k＝2，∴BC＝2k＝4．5．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，又C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF．（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝8，∵C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，∵OA＝OB，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AD＝3，∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．6．证明：过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于点E，如图所示：∴＝，∠OFB＝90°，∴E是的中点，∵A是的中点，∴点E与点A重合，∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OFB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A为半径OA的外端点，∴AD与⊙O相切．7．解：（1）连接BF，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，∵CE⊥AD，∴BF∥CE，连接OC，∵点C为劣弧的中点，∴OC⊥BF，∵BF∥CE，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）连接OF，CF，∵OA＝OC，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵点C为劣弧的中点，∴，∴∠FOC＝∠BOC＝60°，∵OF＝OC，∴∠OCF＝∠COB，∴CF∥AB，∴S△ACF ＝S△COF，∴阴影部分的面积＝S，扇形COF∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2，∴S＝，扇形FOC即阴影部分的面积为：．8．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∴∠ABD＝∠∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BDA＝∠CEB，∵∠CEB＝∠F+∠FCE，∵∠F＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠CEB＝∠BCA+∠FCE＝∠BCF，∴∠BDA＝∠BCF，∴AD∥CF；（2）如图，连接PC，当△PEC为直角三角形时，∠PEC＝90°，∵∠PEC＝∠F+∠ACF，∵∠F＝60°，∴∠ACF＝30°，∴tan∠ACF＝．9．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，∴∠CPE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；又∵∠EBC＝∠PAC，∴△BEC≌△APC，∴PA＝BE＝PB+PC．（2分）（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，又∵∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴；又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE．∴．（4分）（3）答：；证明：在AP上截取AQ＝PC，连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ＝BP．又∵∠APB＝30°，∴∴（7分）10．（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝；（2）解：连接AC，如图，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴AC：CE＝CB：AC，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为；（3）解：在Rt△DAB中，AD＝＝8，∵OC⊥AD，∴AF＝DF＝4，∵OF＝＝3，∴CF＝2，∵CF∥BD，∴△ECF∽△EBD，∴＝＝＝，∴＝∴DE＝×4＝3．。

中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习

中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习【基础知识回顾】一、圆的定义：1、⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径】3、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类4、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴.⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】5、垂径定理及推论：（1）垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴ , , .（2）推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴ , , .【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别几何语言：∵在圆O中，_______∴ , .∵在圆O中，________∴ , .∵在圆O中，________∴ , .【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】3、圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】考点一：垂径定理例1、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C. 6D. 8例2、绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB 为_________考点二：圆心角定理例3、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°例4、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为____________对应训练2．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（）．A．55° B．60°C．65° D．70°考点三：圆周角定理例5、如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P 是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= ．例6、如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于_____________对应训练6、△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°7、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C（1）求证：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直径．考点四：圆内接四边形的性质例3 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．3对应训练【聚焦中考】1．如图，AB是的直径，C是上一点，AB=10，AC=6，，垂足为D，则BD的长为（A）2 （B）3 （C）4 （D）62．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（）． A． B． C． D．3．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是(A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°.4．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°5．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60° B．70° C．120° D．140°6．如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=______7．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A. 135°B. 122.5°C. 115.5°D.112.5°8．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是A.BD⊥ACB.AC2=2AB·AEC.△ADE是等腰三角形D. BC＝2AD.9．如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________．10．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．11．AB是圆O的直径,BC是圆O的切线,连接AC交圆O于点D,E为弧AD上一点,连接AE、BE，BE交AC于点F，且AF²=EF.EB（1）求证：CB=CF （2）若点E到弦AD的距离为1，cos角C=3/5，求圆O的半径12．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm．【备考真题过关】一、选择题1．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为__________2．如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（）A．等于4 B．等于4 C．等于6 D．随P点位置的变化而变化3．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3 B．4 C．3 D．44．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．205．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）A．AE＞BE B．C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°7．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空题8．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．9．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，0C=1，则半径OB的长为．10．如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为．111314．如图，已知点A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；15．如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=，则∠D的度数是．三、解答题16．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）17．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．18．在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．19．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．20．如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．21．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．。

鲁教版中考数学一轮复习圆专题2 与圆有关的位置关系(含答案)

第六单元圆专题2 与圆有关的位置关系考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.已知平面内有⊙O和点A,B,若⊙O半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则直线AB与⊙O的位置关系为( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切2.点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9 cm，则⊙O 的半径是___________.3.如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点.若以1cm为半径的⊙O与直线a相切,则OP的长为___________.考点2 切线的性质与判定1.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为( )A.35°B.45°C.55°D.65°2.如图,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( )A.△BPA为等腰三角形B.AB与PD相互垂直平分C.点A，B都在以PO为直径的圆上D.PC为△BPA的边AB上的中线3.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为( )A.1B.2C.√2C.√34.如图,在▱ABCD中,AD=12,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则▱ABCD 的周长为____________.5.如图,⊙O的半径OA=2,B是⊙O上的动点(不与点A重合),过点B作⊙O的切线BC,BC=OA,连接OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____________.6.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C.连接BC,若∠P=36°,则∠B=___________.7.如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线,切点为A,过点A作AB⊥OP,交⊙O于点B. (1)求证:PB是⊙O的切线;,求PO的长.(2)若CC=6,cos∠CCC=358.如图,AB为⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.̂上一点，连接AE并延长至点C，使9.已知:如图,AB是⊙O的直径,E为⊙O上一点，D是AE∠CBE=∠BDE,BD与AE交于点F.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BD平分∠ABE,求证:AD²=DF· DB.考点3 三角形的外接圆与内切圆1.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°2.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD是⊙O的直径,若AD=3,则CC=( )C.2√3C.3√3 C.3D.43.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是( )A.h=R+rB.R=2rC.C=√34C C.C=√33C4.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,点D是BC的中点,连接OD,OB,OC,则∠BOD=_______.5.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为_____________.6.已知△ABC的三边a,b,c满足b+|c-3|+C2−8C=4√C−1−19,则△ABC的内切圆半径=____________.专题检测一、选择题(每小题4分，共40分)1.平面内有两点P,O,⊙O的半径为5,若PO=4,则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.无法判断2.已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于( )A.75°B.70°C.65°D.60°̂上一点，则∠EPF的4.如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF度数是( )A.65°B.60°C.58°D.50°5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO=( )A.30°B.35°C.45°D.55°6.如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=3,圆B 半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是( )A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外7.如图,在等腰△ABC中, AB=AC=2√5,BC=8,按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；别以点E，F为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线②分别以点A，B为圆心，大于12MN,交射线AH于点O;③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆.则⊙O的半径为( )A.2√5B.10C.4D.58.如图,直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,若OB=6 cm,OC=8cm,则BE+CG的长等于( )A.13 cmB.12 cmC.11 cmD. 10 cm9.如图,AB为⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于( )A.35B.23C.34D.4510.如图，点A的坐标为(-3，2),⊙A的半径为1,P为坐标轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为( )A.( 0,2)B.( 0,3)C.( -2,0)D.( -3,0)二、填空题(每小题4分，共24分)11.点A(0,3),点B(4,0),则点O(0,0)在以AB为直径的圆 (填“内”“上”或“外”).12.如图,在△ABC中,D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E,连接DE.若⊙O与BC相切,∠ADE=55°,则∠C的度数为___________.13.点O是△ABC的外心,若∠BOC=110°,则∠BAC为 .14.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 .15.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB= .16.如图，两个圆都是以点O为圆心，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=10，则图中圆环的面积为 .三、解答题(共36分)17.(12分)阅读下列材料:平面上两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)之间的距离表示为|P1P2|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2,称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x，y)是圆心坐标为C(a，b)、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为√(x−a)2+(y−b)2=r,变形可得 (x-a)²+(y-b)²=r², 我们称其为圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程(x-1)²+(y-2)²=25 可得它的圆心为(1,2),半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为 ;(2)若已知⊙O的标准方程为(x-2)²+y²=2²,圆心为C，请判断点A(3,-1)与⊙O的位置关系.18.(12分)已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=42°,点D是⊙O上一点.(1)如图①,若BD为⊙O的直径,连接CD,求∠DBC和∠ACD的大小;(2)如图②,若CD∥BA,连接AD,过点D作⊙O的切线,与OC的延长线交于点E，求∠E的大小.19.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.(1)求证:AB为⊙O的切线;,AD=2,求BO的长.(2)若tanA=34参考答案考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.D ⊙O的半径为2 cm,线段OA=3cm,OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B 到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外,点B在⊙O上,∴直线AB 与⊙O的位置关系为相交或相切.2.6.5cm或2.5cm 分为两种情况:①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB=4cm,最大距离PA=9cm,∴直径AB=4+9=13(cm),∴半径r=6.5 cm;②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB=4 cm,最大距离PA=9 cm,∴直径AB=9-4=5(cm),∴半径r=2.5cm.3.3cm或5cm ∵直线a⊥b,O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时,切点为H,∴OH=1 cm. 当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH-OH=4-1=3(cm);当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH+OH=4+1=5(cm);∴⊙O与直线a相切,OP的长为3cm或5cm.考点2 切线的性质与判定1.C ∵BC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°.2.B 由切线长定理,得PA=PB,∴△BPA 是等腰三角形，故A正确；由圆的对称性可知AB⊥PD，但不一定平分，故B不一定正确；如图，连接OB，OA，由切线的性质，得∠OBP=∠OAP=90°,∴点A,B,P在以OP为直径的圆上，故C正确；∵△BPA是等腰三角形,PD⊥AB,∴PC为△BPA的边AB上的中线,故D正确.3.D 如图,连接OB.∵四边形OABC是菱形.∴OA=AB.∵OA=OB,∴OA=AB=OB,∴∠AOB=60°.∵BD是⊙O的切线,∴∠DBO=90°.∵OB=1,∴BD=√3OB=√3.4.24+6√5如图,连接OE,过点C作CF⊥AD交AD于点F,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠EOD+∠OEC =180°,∵⊙O与BC相切于点E,∴OE⊥BC,∴∠OEC=90°,∴∠EOD=90°,∵CF⊥AD,∴∠CFO=90°,∴四边形OECF为矩形,∴FC=OE,OD=3,∵AD为直径,AD=12,∴FC=OE=OD= 12在Rt△OFC中，由勾股定理得OC²=OF²+FC²=3²+6²=45.∴AB=OC=3√5,∴平行四边形ABCD的周长为12+12+3√5+3√5=24+6√5.5.2√3或2√2连接OB,∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°.∵BC=OA,∴OB=BC=2,∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=45°,∴∠ACO≤45°.当△OAC是直角三角形时，①若∠AOC=90°,∴OC=√2OB=2√2,∴AC=√OA2+OC2=√22+(2√2)2=2√3;②若∠OAC=90°,∵BC是⊙O的切线,∴∠CBO=∠OAC=90°.∵BC=OA=OB,∴△OBC是等腰直角三角形，∴OC= 2√2.6.27°∵ PA切⊙O于点A,∴∠OAP=90°.∵∠P=36°, ∴∠AOP=54°. ∴∠B=12∠AOP=27 ∘.7.(1)证明连接OB,如图,∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A,∴∠PAO=90°, ∵OA=OB,AB⊥OP,∴∠POA=∠POB,在△PAO和△PBO中, {AO=BO,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△PAO≌△PBO(SAS),∴∠PBO=∠PAO=90°,即OB⊥PB,又∵OB为⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线;(2)解设OP与AB交于点D.∵AB⊥OP,AB=6,∴DA=DB=3,∠PDA =∠PDB=90°,∵cos∠PAB=35=DAPA=3PA,∴PA=5,∴PD=√PA2−AD2=√52−32=4,在Rt△APD和Rt△APO中,cos∠APD= PDPA ,cos∠APO=PAPO,8.(1)证明∵∠CAD=∠ABD,∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD;(2)解∵AF是⊙O的切线,∴∠FAB=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠FAD=90°. ∴∠ABD=∠FAD.∵∠ABD=∠CAD,∠CAD=∠EAD,∴∠FAD=∠EAD.∵AD=AD,∴△ADF≌△ADE(ASA).∴AF=AE,DF=DE.∵AB=4,BF=5,∴AF =√BF 2−AB 2=3,∴AE=AF=3. ∵S △ABF =12AB ⋅AF =12BF ⋅AD, ∴AD =AB⋅AF BF=4×35=125,∴DE =√AE 2−AD 2=√32−(125)2=95, ∴BE =BF −2DE =75.∵∠AED=∠BEC,∠ADE=∠BCE=90°.∴△BEC ∽△AED. ∴BEAE =BCAD , ∴BC =BE⋅AD AE=2825, ∴sin ∠BAC =BC AB =725.∵∠BDC=∠BAC,∴sin ∠BDC =725.9.证明 (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠EBA=90°. ∵∠CBE=∠BDE,∠BDE=∠EAB,∴∠EAB=∠CBE,∴∠EBA+∠CBE=∠EBA+∠EAB=90°,即∠ABC=90°,∴CB ⊥AB. ∵AB 是⊙O 的直径,∴BC 是⊙O 的切线. (2)∵BD 平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE. ∵∠DAF=∠DBE,∴∠DAF=∠DBA.∵∠ADB=∠FDA,∴△ADF ∽△BDA, ∴ADBD =DFAD ,∴AD ²=DF ·DB. 考点3 三角形的外接圆与内切圆1.C ∵点O 为△ABC 的外心,∠A=40°, ∴∠A =12∠BOC,∴∠BOC =2∠A =80 ∘. 2.C 过点O 作OE ⊥BC 于点E,如图所示:∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=30°,又 ∵AB̂对应的圆周角为∠ACB 和∠ADB,∴∠ACB=∠ADB=30°, 而BD 为直径,∴∠BAD=90°,在Rt △BAD 中,∠ADB=30°,AD=3, ∴cos30 ∘=ADBD =3BD =√32,∴BD =2√3,∴OB =√3,又∵∠ABD=90°-∠ADB=90°-30°=60°,∠ABC=30°,∴∠OBE=30°. 又∵OE ⊥BC,∴△OBE 为直角三角形. ∴cos ∠OBE =cos30 ∘−BEOB =√3=√32, ∴BE =32.由垂径定理可得BC=2BE= 2×32=3.3.C 如图,∵△ABC是等边三角形.∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O. 设OE=r,AO=R,AD=h,∴h=R+r,故A正确;∵AD⊥BC,∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°.在Rt△AOE中,∴R=2r,故B正确;∵OD=OE=r,AB=AC=BC=a,∴AE=12AC=12a,∴(12a)2+r2=(2r)2,(12a)2+(12R)2=R².∴r=√36a,R=√33a,故C错误，D正确.4.50°∵∠A=50° ,∴∠BOC=100°.∵OB=OC,∴△OBC为等腰三角形,又∵D为BC 中点，∴OD为BC上的中线，根据等腰三角形三线合一性质可得OD为∠BOC的平分线∴∠BOD=12∠BOC=50∘.5.(2,3) 根据A,B,C三点的坐标建立如图所示的坐标系.根据题意，得AB=√62+32=3√5,AC=√42+82=4√5,BC=√102+52=5√5.∵AB²+AC²=BC².∴∠BAC=90°.设BC的函数表达式为y=kx+b，代入B( -3,3),C(7,-2).得{3=−3k+b,−2=7k+b,解得{k=−12,b=32,∴BC的函数表达式为y=−12x+32.当y=0时,x=3,即G(3,0),∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线.设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作ME⊥AB,过点M作MF⊥AC,且ME=MF=r.∵∠BAC=90°,∴四边形MEAF为正方形, S ABC=12AB×AC=12AB×r+12AC×r+12BC×r,解得r=√5,即AE=EM=√5,∴BE=3√5−√5=2√5,∴BM=√BE2+EM2=5,∵B( -3,3),∴M(2,3).∴△ABC内心M的坐标为(2,3).6.1 ∵b+|c−3|+a2−8a=4√b−1−19，∴|c−3|+(a−4)2+(√b−1−2)2= 0,∴c=3,a=4,b=5.∵3²+4²=25=5²,∴c²+a²=b²,∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.设内切圆的半径为r.根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5,∴r=1.(或者r=3+4−52=1)专题检测1.C2.C 如图,∵⊙O的半径为5,点O到直线l 的距离为3,∴CE=2,过点D作AB⊥ OC,垂足为D,交⊙O于A,B两点,且DE=2,∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A，B，C，∴⊙O上到直线l的距离为2的点有3个.3.B4.B5.B 如图,连接OA.∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,∴∠PBO=∠PAO=90°,∵∠P=70°,∴∠BOA=360°—∠PBO—∠PAO-∠P=110°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=12(180∘−∠BOA)=12(180 ∘−110 ∘)=35 ∘.6.C 两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值,设圆A的半径为R,则AB=R-1,∵AB =4,圆B半径为1,∴R=5,即圆A的半径等于5,∵AB=4,BC=AD=3,由勾股定理可知AC=5,∴AC=5=R,AD=3C在圆上，点D在圆内.7.D 如图,连接OC,设OA交BC于点T.∵AB=AC=2√5,AO平分∠BAC,∴AO⊥BC,BT=TC=4,∴AT=√AC2−CT2=√(2√5)2−42=2.在Rt△OCT中.有r²=(r-2)²+4²,解得r=5.8.D9.D 连接OC、OD、CD,CD交PA于点E,如图,∵PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D,∴OC⊥CP,PC=PD,OP平分∠CPD.∴OP⊥CD,∴CB̂=DB̂,∴∠COB=∠DOB,∵∠CAD=12∠COD,∴∠COB=∠CAD,在Rt△OCP中, OP=√OC2+PC2=√32+42=5,∴sin∠COP=PCOP =45,∴sin∠CAD=45.10.D 连接AQ、PA,如图,∵PQ切⊙A于点Q,∴AQ⊥PQ,∴∠AQP=90°,∴PQ=√AP2−AQ2=√AP2−1,当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时,AP的长度最小,∴AP⊥x轴时,PQ的长度最小,∵A(-3,2),∴此时P点坐标为(-3,0).11.上 12.55°13.55°或125°分两种情况:(1)点A 与点O 在BC 边同侧时,如图1:∵∠BOC=110°,∴∠BAC =110 ∘×12=55 ∘. (2)点A 与点O 在BC 边两侧时,如图2:∵∠BOC=110°,即BĈ所对的圆心角为110°,∴BDC ̂所对的圆心角为：360°—110°=250°. ∴∠BAC =12×250 ∘=125 ∘. 14.4415.130° ∵PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 是切点,∴OA ⊥PA,OB ⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠OAP+∠AOB+∠OBP +∠P=360°,∴∠AOB=360°—90°—90°-50°=130°. 16.25π 如图,连接OP 、OA,∵大圆的弦AB 是小圆的切线,∴OP ⊥AB, ∴AP=BP= 12AB =5, 由勾股定理得OA ²-OP ²=AP ²=25, ∴圆环的面积=π×OA ²-π×OP ²=π×(OA ²-OP ²)=25π.17.解 (1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为(x-3)²+( y-4)²=4.故答案为：(x-3)²+(y-4)²=4. (2)由题意得圆心为C(2.0),∵A (3,−1),∴AC =√(3−2)2+12= √2<2,∴点A 在⊙C 内部.18.解 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB= 12(180 ∘−∠BAC)=12×(180 ∘−42 ∘)=69 ∘,∵BD 为直径,∴∠BCD=90°,∵∠D=∠BAC=42°,∴∠DBC=90°-∠D=90°-42°=48°; ∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=69°-48°=21°; (2)如图,连接OD,∵CD ∥AB,∴∠ACD=∠BAC=42°,∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADC=180°-∠B=180°-69°=111°,∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-42°-111°=27°,∴∠COD=2∠CAD=54°, ∵DE 为切线,∴OD ⊥DE,∴∠ODE=90°,∴∠E=90°-∠DOE=90°-54°=36°. 19.(1)证明如图,过点O 作OH ⊥AB 于点H.∵∠ACB=90°,∴OC ⊥BC.∵BO 为△ABC 的角平分线,OH ⊥AB,∴OH=OC,即OH 为⊙O 的半径. ∵OH ⊥AB,∴AB 为⊙O 的切线.(2)解设⊙O 的半径为3x,则OH=OD=OC=3x.在Rt △AOH 中,∵tanA =34, ∴OHAH =34,∴3xAH =34,∴AH=4x, ∴AO =√OH 2+AH 2=√(3x )2+(4x )2=5x,∵AD=2,∴AO=OD+AD=3x+2,∴3x+2=5x,∴x=1,∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3 . ∴AC=OA+OC=5+3=8.在Rt △ABC 中, ∵tanA =BCAC ,∴BC =AC ⋅tanA =8×34=6, ∴OB =√OC 2+BC 2=√32+62=3√5.。

专题2.5对称图形圆(章节复习能力强化卷)学生版

20232024学年苏科版九年级上册册章节知识讲练专题2.5 对称图形—圆（章节复习+能力强化卷）知识点01：圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1) 旋转一周，另一个端点A所形成的，叫做圆.(2)圆是 .细节剖析：①圆心确定，半径确定；确定一个圆应先确定，再确定，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是图形，对称中心是在中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是，经过圆心的任一直线都是它的 .(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径这条弦，并且平分②平分弦(不是直径)的直径于弦，并且平分弦所对的 .③弦的过圆心，且平分弦对的④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧 .细节剖析：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的、平分弦所对的在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质(1)两个圆是一个，对称轴是 .(2)相交两圆的连心线，相切两圆的连心线经过4．与圆有关的角(1)圆心角：叫圆心角. 圆心角的性质： . (2)圆周角：顶点在，叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于② 所对的圆周角相等；在中，相等的圆周角所对的弧相等.③ 所对的弦为直径；所对的圆周角为直角. ④如果，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的 .细节剖析：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在；②角的两边都和圆 (2)圆周角定理成立的前提条件是在中.知识点02：与圆有关的位置关系1．判定一个点P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内.细节剖析：和是相对应的，即知道就可以确定；知道也可以确定 .2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为.(1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切. (3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：① 是圆的切线.②是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过③经过切点作切线的垂线经过(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条，它们的切线长，这两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.知识点03：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是 .细节剖析：(1) 任何一个三角形都一个内切圆，但任意一个圆都有个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1) 叫圆的内接四边形，圆内接四边形，外角等于 .(2) 叫圆外切四边形，圆外切四边形相等.知识点04：圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为 .圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 .细节剖析：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系： .一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•化州市模拟）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC ＝80°，则BD所对的圆心角的度数是（）A．30°B．25°C．10°D．20°2．（2分）（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（）A．65°B．115°C．130°D．140°3．（2分）（2022秋•南山区校级期末）如图，⊙O的半径为2，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB＝60°，则△PAB的周长为（）A．B．C．6 D．34．（2分）（2022秋•桃城区校级期末）如图，△ABC的边AC经过⊙O的圆心O，BC与⊙O相切于B，D是⊙O上的一点，连接AD，BD，若∠C＝50°，则∠ADB的大小为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．（2分）（2023•邯郸模拟）如图，有公共顶点O的两个边长为4的正五边形（不重叠），以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“蘑菇”形图案（阴影部分），则这个“蘑菇”形图案的面积为（）A．B．C．D．6．（2分）（2023春•卫滨区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，以边BC为直径作一个半圆，则半圆（阴影部分）的面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π7．（2分）（2023•兴宁市二模）如图所示，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，CD⊥AB，垂足为点G，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，角度为30°的角的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．（2分）（2022秋•蜀山区校级期末）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为12π，则正六边形的边长为（）A．3 B．9 C．D．189．（2分）（2023春•铜梁区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD，若AD＝BD，⊙O的半径为4，则CD的长度为（）A．2B．4 C．3 D．510．（2分）（2023春•洪山区月考）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，连接IA，IB，IC，CI的延长线交⊙O于点D，若IC＝，IA＝IB，则ID的长为（）A．B．3 C．D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是°．12．（2分）（2023•九龙坡区模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD右侧以CD为边作等边△CDE，再以点E 为圆心，以EC为半径作弧CD，则图中阴影部分的面积等于．13．（2分）（2022秋•宝山区期末）如图，将边长为6的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为．14．（2分）（2023•绥化模拟）如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝．15．（2分）（2022秋•兴城市期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，按以下步骤作图：以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点P，过点P作PM⊥BC，垂足为M，过点C作CN⊥AB，垂足为N，PM和CN相交于点O，连接BO并延长，交AC于点Q，连接PQ，若AC＝6，则PQ＝．16．（2分）（2023春•北仑区校级月考）摩天轮是游乐园里非常受欢迎的项目之一，如示意图，等腰三角形的底边AB与⊙O相切于点E，腰OA，OB分别与⊙O交于点C，D，此时点C，D恰好是OA，OB的中点．若⊙O的半径为48m，则扇形COD的面积为m2（结果保留π）．17．（2分）（2023春•朝阳区校级月考）边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结AB．则以AO为半径的⊙A与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为.18．（2分）（2022秋•蜀山区校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，CD ＝6，则⊙O的半径为．19．（2分）（2023•广西模拟）已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为．20．（2分）（2023•金牛区模拟）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，点E是线段DC上一个动点，分别以DE、EC为边向线段DC的下方作正方形DEFG、正方形CEHI，连接GI，过点B作直线GI的垂线，垂足是J，连接AJ，求点E运动过程中，线段AJ的最大值是．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•庐阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．（1）求⊙O的半径长；（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．22．（6分）（2023春•江岸区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG⊥DF，交DF的延长线于点G．（1）求证：BG是⊙O的切线；（2）若∠DFA＝30°，DF＝4，求阴影部分的面积．23．（8分）（2023•镜湖区校级二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A 作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：∠EAC＝∠ADC（2）若AB＝4，BC＝6，求DC的长．24．（8分）（2023春•蓬安县期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠CEA+∠CAD＝90°．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）如果AB＝10，CD＝6，求BE的长．25．（8分）（2022秋•安徽期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，点E在AB的延长线上，∠ECB＝∠DAC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝5，∠E＝30°，求⊙O的半径．26．（8分）（2022秋•河口区校级期末）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求劣弧BC所在扇形的面积．27．（8分）（2023•襄城区校级二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝60°，BE＝3，求图中阴影部分的面积．28．（8分）（2023•巴中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC 于点E，交BA延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若CE＝，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．。

专题9-2 圆的综合题型归类2023年高考数学一轮复习热点演练(全国通用)(原卷版)

C1C2 r1 r2
（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
圆圆CC12方方程程
消元，一元二次方程
Δ Δ
0 0
相交 _ 内切或外切
Δ 0 外离或内含
【题型一】点与圆的位置关系
【典例分析】
若点 1, 1 在圆 x2 y2 x y m 0 外，则实数 m 的取值范围是（）
(2)公共弦直线：当两圆相交时，两圆方程(x2，y2 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
7.圆与圆位置关系的判定
（1）几何法：若两圆的半径分别为 r1 ， r2 ，两圆连心线的长为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d 与 r1 ， r2 的关系 | C1C2 | r1 r2 _ | C1C2 | r1 r2 |r1 r2 | C1C2 r1 r2 _ C1C2 r1 r2
①以 M 为圆心，切线长为半径求圆 M 的方程；
②用圆 M 的方程减去圆 C 的方程即得；
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 外一点 P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
6.圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置与公切线的条数：①内含：0 条；②内切：1 条；③相交：2 条；④外切：3 条；⑤外离：4 条．
综述
1.圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r 为半径．
2.圆的一般方程：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
－D，－E 该方程表示圆的充要条件是 D2＋E2－4F>0，其中圆心为 2 2 ，半径 r＝

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：相交弦定理的运用(二)

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：相交弦定理的运用（二）一．选择题（共10小题）1．如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人A、B、C、D在距篮筐P都是5米处站好，篮球放在AC和BD的交点O处，已知取篮球时A要走6米，B要走3米，C要走2米，则D要走（）A．2米B．3米C．4米D．5米2．如图，⊙O的直径AB＝8，弧AC＝弧BC，E为OB上一点，∠AEC＝60°，CE的延长线交⊙O于D，则CD的长为（）A．6 B．4C．D．3．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE+3，则CD的长为（）A．4 B．5 C．8 D．104．如图，⊙O的直径AB＝10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE＝2，DE＝2，则弦心距OF为（）A．1 B．C．D．5．如图：若弦BC经过圆O的半径OA的中点P，且PB＝3，PC＝4，则圆O的直径为（）A．7 B．8 C．9 D．106．在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AM＝4，MB＝3，则CM•MD＝（）A．28 B．21 C．12 D．77．如图，已知⊙O的弦AB，CD交于点P，且OP⊥CD，若CD＝4，则AP•BP的值为（）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为E，且AE：EB＝2：3，则AC＝（）A．3cm B．4cm C．cm D．cm 9．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP＝∠MNQ，下面结论：①∠1＝∠2；②∠P+∠Q＝180°；③∠Q＝∠PMN；④PM＝QM；⑤MN2＝PN•QN．其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤C．④⑤D．①②⑤10．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE•EQ 的值是（）A．24 B．9 C．6 D．27二．填空题（共5小题）11．如图，在△ABC与△BCD中，AB＝AC＝4，BD交AC于E点，AE＝3，且∠BAC＝2∠BDC．则BE•ED＝．12．如图，弦AB与CD交于点E，AE＝3，BE＝2，DE＝，则CE＝．13．如图，在⊙O中，弦AB平分弦CD于E，若CD＝8，AE：EB＝1：4，则弦AB＝．14．如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB＝8，BC＝1，则AM＝．15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，已知CP＝3，PD＝4，AP＝2，那么AB＝．三．解答题（共5小题）16．已知：如图所示，BC为圆O的直径，A、F是半圆上异于B、C的一点，D是BC上的一点，BF交AH于点E，A是弧BF的中点，AH⊥BC．（1）求证：AE＝BE；（2）如果BE•EF＝32，AD＝6，求DE、BD的长．17．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．18．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．19．如图是一个铁艺制品，一个圆形铁架里面焊接有△ABC和△DBC，其中BD与AC交于点E，若AE＝DE，BC＝CE．（1）求∠ACB的度数；（2）过圆心O焊接GF，并使GF⊥AC，垂足为F，GF交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，求AB的长．20．已知，如图，PA切⊙O于点A，割线PD交⊙O于点C、D，∠P＝45°，弦AB⊥PD，垂足为E，且BE＝2CE，DE＝6，CF⊥PC，交DA的延长线于点F．求tan∠CFE的值．参考答案一．选择题1．解：根据题意得：A、B、C、D在以P为圆心，半径是5米的圆上．∴OA•OC＝OB•OD，即6×2＝3×OD．解得OD＝4．故选：C．2．解：连接OC、OD，过点O作OF⊥CD于点F．∵AB是⊙O的直径，C为弧AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝90°（等弧所对的圆心角相等）；又∵O是圆心，OF⊥CD，∴CF＝DF＝CD，（垂径定理）；在Rt△OEC中，∵∠AEC＝60°，∴∠OCE＝30°（直角三角形的两个锐角互余）；∴在Rt△OCF中，CF＝OC•cos30°；又AB＝8，∴OC＝4；∴CF＝4×＝2∴CD＝2CF＝4．故选：D．3．解：设CE＝x，则DE＝3+x．根据相交弦定理，得x（x+3）＝2×2，x＝1或x＝﹣4（不合题意，应舍去）．则CD＝3+1+1＝5．故选：B．4．解：∵AB＝10，∴⊙O的半径为5，又∵BE•AE＝CE•ED，即BE•（OA+OE）＝CE•ED，即2×（5+5﹣2）＝2CE，∴CE＝4，∴CD＝CE+ED＝4+2＝6，EF＝CD﹣ED＝3﹣2＝，又∵OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，EF＝，OE＝3，∴OF＝＝＝．故选：C．5．解：延长AO交⊙O于点D，设⊙O的半径是x，根据相交弦定理，得＝12，x＝4，因此⊙O的直径是8．故选：B．6．解：由相交弦定理知，CM•MD＝AM•MB＝3×4＝12，故选C．7．解：由于OP⊥CD，可通过垂径定理得出CP＝DP＝2，再根据相交弦定理，AP•BP＝CP•DP＝2•2＝4．故选：B．8．解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∴CE2＝AE•BE，∵AB＝10cm，且AE：EB＝2：3，∴AE＝4cm，EB＝6cm，∴CE＝2cm，∴AC＝＝＝2cm．故选：D．9．解：延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE，QF ∵∠PNM＝∠QNM，MN⊥AB，∴∠1＝∠2（故①正确），∵∠2与∠ANE是对顶角，∴∠1＝∠ANE，∵AB是直径，∴可得PN＝EN，同理NQ＝NF，∵点N是MW的中点，MN•NW＝MN2＝PN•NF＝EN•NQ＝PN•QN（故⑤正确），∴MN：NQ＝PN：MN，∵∠PNM＝∠QNM，∴△NPM∽△NMQ，∴∠Q＝∠PMN（故③正确）．故选：B．10．解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．∵CD2＝AD•DB，AD＝9，BD＝4，∴CD＝6．在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE•EQ＝DE•EM＝CE•EN，设CE＝x，则DE＝6﹣x，EN＝6﹣x+6则（6﹣x）（x+6）＝x（6﹣x+6），解得x＝3．所以，CE＝3，DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9．所以PE•EQ＝3×9＝27．故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：∵AB＝AC＝4，AE＝3，∴CE＝1，∵∠BAC＝2∠BDC，∴点B、C、D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，∴根据相交弦定理，得BE•ED＝CE•（AE+AB），∴BE•ED＝1×（3+4）＝7．故答案为：7．12．解：由相交弦定理得，AE•BE＝DE•CE，∴3×2＝×CE，解得，CE＝4，故答案为：4．13．解：设AE＝x，则EB＝4x，∵弦AB平分弦CD于E，∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，∵AE•BE＝CE•DE，即x•4x＝4•4，解得x＝2或x＝﹣2（舍去），∴AB＝AE+BE＝5x＝10．故答案为10．14．解：作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，则EM＝MA＝MF，由相交弦定理知，AB•BC＝EB•BF＝（EM+MB）（MF﹣MB）＝AM2﹣MB2＝8，∵AB是圆O的直径，∴∠AMB＝90°，由勾股定理得，AM2+MB2＝AB2＝64，∴AM＝6．15．解：由相交弦定理得：PA•PB＝PC•PD，∴BP＝＝＝6，∴AB＝8，故答案为8．三．解答题（共5小题）16．解：（1）连接AB；∵BC是直径，且BC⊥AH，∴；∵A是的中点，∴＝＝；∴∠BAE＝∠ABE；∴AE＝BE；（2）易知DH＝AD＝6；∴AE＝6﹣DE，EH＝6+DE；由相交弦定理，得：AE•EH＝BE•EF，即：（6﹣DE）（6+DE）＝32，解得DE＝2；Rt△BDE中，BE＝AE＝AD﹣DE＝4，DE＝2；由勾股定理，得：BD＝＝2．17．解：（1）连接AD、BC．∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CD＝CM＝＝＝由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．18．解：（1）弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等．（写对一个给（1分），写对两个给2分）（2）如图，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P．结论：PA•PB＝PC•PD．证明：连接AD，BC，∵∠APD＝∠BPC，∠D＝∠B∴△APD∽△BPC∴PA•PB＝PC•PD；（3）若点C和点E重合，则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称，（8分）设∠BAC＝x，则∠BAD＝x，∠ABC＝90°﹣x，（9分）又D是的中点，所以2∠CAD＝∠CAD+∠ACD＝180°﹣∠ABC，即2•2x＝180°﹣（90°﹣x），（10分）解得x＝∠BAC＝30°．（11分）（若求得AB＝或AF＝3•FB等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B、C是圆的十二等分点，然后说明．）19．（1）证明：∵AE•EC＝DE•BE，AE＝DE，∴EB＝EC，又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠ACB＝60°；（2）解：作BM⊥AC于点M，∵OF⊥AC，∴AF＝CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF＝60°，∴∠EGF＝30°，∵EG＝2，∴EF＝1，又∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4，∴AC＝8，EC＝5，∴BC＝5，∵∠BCM＝60°，∴∠MBC＝30°，∴CM＝，BM＝＝，∴AM＝AC﹣CM＝，∴AB＝＝7．20．解：由相交弦定理，得AE•BE＝DE•CE 又∵BE＝2CE∴AE•2CE＝6CE∴AE＝3∵AB⊥PD∴∠AEP＝90°又∵∠P＝45°∴∠EAP＝∠P＝45°∴PE＝AE＝3在Rt△AEP中，由勾股定理，得：PA ＝＝＝∵PA切⊙O于点A∴PA2＝PC•PD∴PC＝∴CE＝PE﹣PC＝3﹣2＝1∵FC⊥PD∴∠FCE＝90°又∵∠AED＝90°∴∠AED＝∠FCE∴AE∥FC∴＝∴FC＝＝＝∴tan∠CFE＝＝＝．。

2021年中考数学高频考点：《圆的综合》解答题专题练习(二)含答案

2021年中考数学复习高频考点精准练：《圆的综合》解答题专题练习（二）1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan A＝，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图，当MC＝AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．2．如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，点C为半圆弧的中点，连AC交PO于E 点．（1）求证：PB＝PE；（2）若tan∠CPO＝，求sin∠PAC的值．3．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cos C＝（如图）．M是边BC 上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．（1）设CE＝，求证：四边形AMCD是平行四边形；（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．4．已知如图，⊙O的直径BC＝4，＝＝，点P是射线BD上的一个动点．（1）如图1，求BD的长；（2）如图1，若PB＝8，连接PC，求证PC为⊙O的切线；（3）如图2，连接AP，点P在运动过程中，求AP+PB的最小值．5．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB＝PA，射线PO交⊙O于C、D两点．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AC平分∠PAB；（3）若⊙O的直径是6，AB＝2，则点D与△PAB的内切圆上各点之间距离的最大值为．6．国庆假期，小明做数学题时遇到了如下问题：如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，直线l经过点A，∠ABD ＝∠DAE＝30°．试说明直线l与⊙O相切．小明添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．（1）请你根据小明的思考，写出解决这一问题的过程；（2）图2中，若AD＝，AB＝4，求DC的长．7．如图，直线l1⊥l2，O为垂足，以O圆心，的半径作圆，交l1于点M，N，交l2于点P，Q．在⊙O上任取一点A，作△ABC，使∠A＝90°，∠ACB＝30°，顶点A，B，C按顺时针方向分布，点C落在射线ON上，且不在⊙O内．若△ABC的某一边所在直线与⊙O相切，我们称该边为⊙O的“相伴切边”．（1）如图1，CA为⊙O的“相伴切边”，CA平分∠OCB，求OC的长；（2）是否存在△ABC三边中两边都是⊙O的“相伴切边”的情形？若存在，请求出AC的长；若不存在，请说明理由．8．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AC平分∠DAB，AC 与BD相交于点F，延长AC到点E，使CE＝CF．（1）求证：BE是半圆O所在圆的切线；（2）若BC＝AD＝6，求⊙O的半径．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，且CB＝CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半径．10．如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．（1）判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求点O到弦BD的距离．（3）求CD的长．11．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连接OA，此时有OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若，求弦AB的长；12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE ⊥AB于点E，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，连接DG．求证：（1）BG＝CG；（2）DG是⊙O的切线．13．如图，直线AF与⊙O相切于点A，弦BC∥AF，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接CE并延长，交AF于点D．（1）求证：CE∥OA；（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求DE的长．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于E，过点B作∠CBD ＝∠A，过点C作CD⊥BD于D．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝2，BC＝2，求⊙O的直径．15．如图，AB是⊙O的直径．四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC与BD交于点E，在BD的延长线上取一点F，使DF＝DE，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线．（2）若AD＝5，AC＝8，求⊙O的半径．参考答案1．解：在Rt△ABC中，tan A＝，AC＝5，设∠A＝α，则BC＝3，AB＝4＝BM，sin A＝＝sinα，cos A＝＝cosα，（1）如图1，∵MC＝MA＝5，过点M作MN⊥CD于点N，∵MC＝MD，则CN＝CD，在Rt△AMN中，MN＝AM sin A＝（4+4）×＝，则CD＝2CN＝2＝2＝；（2）如图1，设CD＝2m，则CM2＝BC2+MB2＝9+x2，则MN2＝CM2﹣m2＝x2+9﹣m2，在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，即（5+m）2+9+x2﹣m2＝（4+x）2，解得m＝（4x﹣9），则MN＝＝（x+4）；则S＝CD•MN+×AM•BC＝（8x2+39x﹣72）；∵m＝（4x﹣9）＞0，∴x＞；（3）如图2，过点M作MN⊥CD于点N，过点P作PD⊥CM于点P，设圆的半径为r，∵△ECD与△EMC相似，则∠ECD＝∠EMC＝∠ACB＝α，在Rt△DPM中，DP＝DM sin∠EMC＝r sinα＝r，MP＝r cosα＝r，则CP＝r﹣MP＝r﹣r＝r，CD＝＝r＝2CN，∴MN＝＝r，∵tan A＝＝，解得r＝3，则BM＝＝＝6．2．（1）证明：连接OA，OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵点C为半圆弧的中点，∴∠COE＝90°，∴∠OCA+∠OEC＝90°，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO＝90°，∴∠OAC+∠PAE＝90°，∴∠PAE＝∠OEC，∵∠OEC＝∠AEP，∴∠PAE＝∠AEP，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PA＝PE＝PB；（2）解：∵tan∠CPO＝＝，设OC＝3k，OP＝5k，∴OA＝OC＝3k，∴PA＝PE＝4k，过A作AH⊥PO于H，∴OP•AH＝PA•OA，∴AH＝＝k，∴OH＝＝k，∵∠AHE＝∠COE＝90°，∠AEH＝∠CEO，∴△AHE∽△COE，∴，∴OE＝k，∴CE＝＝k，∴sin∠PAC＝sin∠CEO＝＝＝．3．（1）证明：如图1中，连接EM，过点M作MG⊥CD于G，则EG＝CG＝，在Rt△CGM中，CM＝＝＝3，∴AD＝CM，∵AD∥CM，∴四边形AMCD是平行四边形．（2）解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H，过点M作MT⊥EC于T．∵ME＝MC，MT⊥EC，∴CT＝ET，∴cos C＝＝，设EC＝6k，则CT＝ET＝3k，MC＝ME＝5k，在Rt△CEH中，EH＝CE＝k，CH＝EC＝k，∴MH＝CM﹣CH＝k，∴tan∠EMH＝，∵∠FMB＝∠EMC，∴tan∠FMB＝＝＝，∴BM＝，∴CM＝BC﹣BM＝＝5k，∴CE＝6k＝．（3）如图3﹣1中，当公共弦经过点A时，过点D作DP⊥BC于P，则四边形ABPD是矩形．∴AD＝BP＝3，在Rt△CDP中，cos C＝＝，∵CD＝5，∴PC＝3，AB＝PD＝4，∴BC＝3+3＝6，设CM＝AM＝x，在Rt△ABM中，则有x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，∴⊙M的半径为．如图3﹣2中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MN⊥AD于N．设CM＝ME＝MP＝x，则DN＝x﹣3，∵DM2＝MN2+DN2＝MP2﹣DP2，∴42+（x﹣3）2＝x2﹣32，∴x＝，综上所述，满足条件的⊙M的半径为或．4．解：（1）∵BC是直径，＝＝，则、、均为60°的弧，则∠DBC＝30°，连接OA交BD于点H，∵BC＝4，则BO＝CO＝2，在Rt△BOH中，BH＝BO cos∠DBC＝2×＝3，则BD＝2BH＝6；（2）在Rt△BCD中，BC＝4，∠DBC＝30°，则CD＝CB＝2，PD＝PB﹣BD＝8﹣6＝2，在Rt△CDP中，PC2＝CD2+PD2＝4+（2）2＝16，在△BCP中，BC2＝（4）2＝48，BP2＝64，则PB2＝CB2+PC2，故△BPC为直角三角形，故PC⊥CB，故PC为⊙O的切线；（3）过点A作AH⊥BC交BD于点P，在Rt△PBH中，∠DBC＝30°，则PH＝PB，即AP+PB＝AP+PH＝AH为最小，∵、均为60°的弧，则∠ABO＝60°，而AO＝BO，故△ABO为边长为2的等边三角形，则AH＝AB sin60°＝2×＝3，即AP+PB的最小值为3．5．（1）证明：如图1中，连接OA，OB．∵PA是切线，∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°，在△PAO和△PBO中，，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）证明：如图1中，设∠PAC＝α．∵∠PAO＝90°，∴∠OAC＝90°﹣α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝90°﹣α，∵PA＝PB，OA＝OB，∴PO垂直平分线段AB，∴∠CAB＝90°∠ACO＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠PAC＝∠CAB，∴AC平分∠PAB．（3）解：如图2中，设AB交OP于点M．∵PA，PB是⊙O的切线，∴OP平分∠APB，∵AC平分∠PAB，∴点C是△PAB的内心，设△PAB的内切圆⊙C交PC于H，∵⊙O的直径为6，∴OA＝3，∵OP垂直平分线AB，AB＝2，∴AM＝BM＝，∴OM＝＝＝2，∵OC＝3，∴CH＝CM＝3﹣2＝1，∵点D到⊙C上各点的最大距离为DH，∴最大距离DH＝CD+CH＝6+1＝7．故答案为7．6．（1）证明：过A作直径AF，连接DF，如图2所示：∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠FAD＝90°，∵∠ABD＝∠AFD，∠ABD＝∠DAE，∴∠AFD＝∠DAE，∴∠DAE+∠DAF＝90°，即∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，∵点A是半径OA的外端，∴直线l与⊙O相切；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G，∴∠AGB＝∠AGD＝90°，∵∠ABD＝30°，∴∠AFD＝30°，∴直径AF＝2AD＝＝BC，∵∠ABD＝30°，AB＝4，∴AG＝＝2，BG＝AG＝2，∴DG＝＝＝，∴BD＝BG+DG＝，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴．7．解：（1）如图1，连接OA，则OA＝，∵CA为⊙O的“相伴切边”，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°，∵∠ACB＝30°，CA平分∠OCB，∴∠OCA＝∠ACB＝30°，则在Rt△AOC中，OC＝2OA＝2；（2）存在．由题意可分三种情况，①当边AB，BC都是⊙O的“相伴切边”时，即OA⊥AB，∵∠BAC＝90°，即AC⊥AB，∴O，A，C三点共线，又∵点C落在射线ON上，且不在⊙O内，∴点A只能在点M或点N处，如图2，当点A在点N处时，设BC与⊙O相切于点D，连接OD，则OD⊥CD，∵∠ACB＝30°，∴OC＝2OD＝2，∴AC＝OC﹣AO＝，当点A在点M处时，如图3，设BC与⊙O相切于点D，连接OD，则OD⊥CD，∵∠ACB＝30°，∴OC＝2OD＝2，∴AC＝OC+AO＝3，②当边AC，BC都是⊙O的“相伴切边”时，则OA⊥AC，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＝180°，即O，A，B三点共线，如图4，设BC与⊙O相切于点D，连接OD，则OD⊥CD，设AB＝x，则BC＝2x，AC＝＝x，∴OB＝OA+AB＝+x，∵∠BAC＝∠BDO＝90°，∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBO，∴，即，解得，x＝2﹣或x＝0（舍去），经检验，x＝2﹣是所列方程的解．∴AC＝x＝2﹣3．③当边AC，AB都是⊙O的“相伴切边”时，∵AC是⊙O的“相伴切边”，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＝180°，即O，A，B三点共线，∴AB不可能是⊙O的“相伴切边”，则AC，AB不能同时是⊙O的“相伴切边”；综上可得，AC的长是或3或2﹣3．8．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CE＝CF，∴BE＝BF，∴∠E＝∠BFE，∵AC平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵∠DAF+∠AFD＝90°，∴∠BAF+∠E＝90°，∴BE是半圆O所在圆的切线；（2）解：∵∠DAF＝∠BAF，∴＝，∵BC＝AD，∴＝，∴＝＝，∴∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝12，∴⊙O的半径为6．9．（1）证明：如图，连接OE，DE，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠CEB＝90°，∵CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，∴∠A＝∠DEC，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵∠A+∠ADE＝90°，∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AB＝4，BC＝CE，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，∴AC2+BC2＝AB2，∴（2r+2）2+BC2＝（4）2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴r2+BC2＝（r+2）2，∴BC2＝（r+2）2﹣r2，∴（2r+2）2+（r+2）2﹣r2＝（4）2，解得r＝3，或r＝﹣6（舍去）．∴⊙O的半径为3．10．解：（1）△ABD是等腰直角三角形，理由如下：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）过O作OE⊥DB于E，如图所示：则∠OEB＝90°，∵AB＝10cm，∴OB＝AB＝5（cm），由（1）得：△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝（cm），即点O到弦BD的距离为cm；（3）过B作BF⊥CD于F，如图所示：则∠BFC＝∠BFD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝8（cm），∵∠BCD＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形，∴CF＝BF＝BC＝4（cm），由（1）得：△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝5（cm），∴DF＝＝＝3，∴CD＝CF+DF＝4+3＝7（cm）．11．（1）证明：∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO，∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，∴PA＝OA；（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH＝BH，在Rt△OPH中，tan∠OPH＝＝，设OH＝x，则PH＝2x，由（1）可知PA＝OA＝10，∴AH＝PH﹣PA＝2x﹣10，∵AH2+OH2＝OA2，∴（2x﹣10）2+x2＝102解得x1＝0（不合题意，舍去），x2＝8，∴AH＝6，∴AB＝2AH＝12．12．证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠ABC＝90°，∴DE∥BC，∴△AEF∽△ABG，△ADF∽△ACG，∴，＝，∴，∵F为DE中点，∴EF＝DF，∴BG＝CG；（2）连接OD，BD，OG，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BD，∵AO＝BO，BG＝CG，∴OG∥AC，∴OG⊥BD，∴BF＝DF，∴DG＝BG，在△ODG与△OBG中，，∴△ODG≌△OBG（SSS），∴∠ODG＝∠OBG＝90°，∴DG是⊙O的切线．13．（1）证明：∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE＝90°，∵BC∥AF，∴∠CDF＝∠ACE＝90°，∵AF与⊙O相切于点A，∴∠OAF＝90°，∴∠OAF＝∠CDF，∴CE∥OA；（2）解：如图，作OH⊥CE于点H，由垂径定理知：CH＝EH，∵OB＝OE，∴OH是△ECB的中位线，∴OH＝BC＝24＝12，在Rt△OEH中，根据勾股定理，得EH＝＝＝5，∵OH⊥CE，∴∠OHD＝90°，由（1）知：∠CDA＝∠OAD＝90°，∴四边形OADH是矩形，∴DH＝OA＝13，∴DE＝DH﹣EH＝13﹣5＝8．14．解：（1）如图，连接AE，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠BAE＝BAC，∵∠CBD＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CBD，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD是⊙O的切线；（2）由（1）知：△ABC是等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝，∵CD⊥BD，∴∠CDB＝∠AEB＝90°，∵∠CBD＝∠BAE，∴△CBD∽△BAE，∴＝，∴＝，∴AB＝3．∴⊙O的直径为3．15．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥EF，∠BAD+∠ABD＝90°，又∵DF＝DE，∴AF＝AE，∴∠FAD＝∠EAD．∴∠FAD＝∠EAD＝∠ACD＝∠ABD，∴∠FAB＝∠FAD+∠BAD＝∠BAD+∠ABD＝90°，∴AF是⊙O的切线．（2）如图，连接OD交AC于M，∵AD＝CD，∴，∴OD⊥AC，AM＝CM＝AC＝4，∴AD＝CD＝5，在Rt△DMC中，DM＝＝3．设⊙O的半径为x，则OM＝x﹣3，∵OM2+AM2＝OA2，∴（x﹣3）2+42＝x2，∴x＝．⊙O的半径即OA＝．。

2021年九年级数学中考复习—— 圆的专题：填空题专项训练(二)(含答案)

2021年九年级数学中考复习—— 圆的专题：填空题专项训练（二）1．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y ＝x ，点O 1的坐标为（1，0），以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交直线l 于点P 1，交x 轴正半轴于点O 2；以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交直线l 于点P 2，交x 轴正半轴于点O 3；以O 3为圆心，O 3O 为半径画圆，交直线l 于点P 3，交x 轴正半轴于点O 4；…按此做法进行下去，其中弧的长．2．如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别与三角形三边相切于点D 、E 、F ，若∠DFE ＝55°，则∠A ＝ °．3．如图，在Rt △ABC 中，点D 是AB 上的一点，将Rt △ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转90°，使得点A 的对应点A ′落在BC 的延长线上，点B 的对应点B ′落在边AC 上，点D 的对应点D '落在边A ′B ′上，经过点B ′，若AC ＝2BC ＝2，则阴影部分的面积是．4．如图，以半圆的一条弦AN为对称轴，将AN弧折叠过来和直径MN交于点B，如果MB：BN ＝2：3，若MN＝10，那么弦AN的长为．5．如图，PA与⊙O切于点A，PO的延长线交⊙O于点B，若⊙O的半径为3，∠APB＝54°，则弧AB的长度为．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，若AC＝m，BC＝n，则CD的长为（用含m、n的代数式表示）．7．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．8．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得∠APB＝60°，则AP的长为．9．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝．10．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为cm（保留根号）．11．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3．图中阴影部分的面积是．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB 的长是．13．过三点A（3，3）、B（7，3）、C（5，6）的圆的圆心坐标为．14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝1，将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，若点O刚好落在弧AB上的点D处，则线段AC的长等于．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分＝．面积S阴影16．如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH中，点P在CD上，则△PGH的面积为．17．如图，已知⊙O的半径为6，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是．18．如图，四边形ABCD内接于以AC为直径的⊙O，AD＝，CD＝2，BC＝BA，AC与BD 相交于点F，将△ABF沿AB翻折，得到△ABG，连接CG交AB于E，则BE长为．19．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为5，C为⊙O内一动点，且△ACB＝90°，则△ABC的周长的最大值为．20．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为．参考答案1．解：连接P1O1，P2O2，P3O3，P4Q4，…，如图所示：∵P1是⊙1上的点，∴P1O1＝OO1，∵直线l解析式为y＝x，∴∠P1OO1＝45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，同理，P n O n垂直于x轴，∴为圆的周长，∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，∴OO n＝2n﹣1，∴＝×2π•OO n＝π×2n﹣1＝2n﹣2π，∴n＝2020时，＝22020﹣2π＝22018π，故答案为：22018π．2．解：连接OD，OE，如图所示：则∠ADO＝∠AEO＝90°；由圆周角定理知，∠DOE＝2∠DFE＝110°；∴∠A ＝360°﹣∠ADO ﹣∠AEO ﹣∠DOE ＝70°．故答案为：70．3．解：如图，连接CD 、CD ′，∵Rt △ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转90°，使得点A 与点A ′落在BC 的延长线上，点B 的对应点B ′落在边AC 上，点D 的对应点D '落在边A ′B ′上，经过点B ′，∴∠DCD ′＝∠ACA ′＝∠BCB ′＝90°，CB ＝CD ＝CB ′＝CD ′＝，AC ＝A ′C ＝2，∴∠BCD +∠DCB ′＝∠B ′CD ′+∠DCB ′＝90°，∴∠DCB ＝∠D ′CB ′，∴△DCB ≌△D ′CB ′（SAS ），由旋转可知：△ABC ≌△A ′CB ′，∴S △DCB ＝S △D ′CB ′，S △ABC ＝S △A ′CB ′，∴S △BCD +S △A ′CD ′＝S △ABC∴S 阴影＝S 扇形ACA ′+S △ABC ﹣S 扇形DCD ′﹣S △BCD ﹣S △A ′CD ′＝S 扇形ACA ′+S △ABC ﹣S 扇形DCD ′﹣（S △BCD +S △A ′CD ′）＝S 扇形ACA ′+S △ABC ﹣S 扇形DCD ′﹣S △A ′CB ′＝S 扇形ACA ′﹣S 扇形DCD ′＝﹣＝．故答案为．4．解：连接MA并延长至M'，使AM'＝AM，连接M'N，交半圆于D，连接AD，如图所示：∵MN是半圆的直径，∴∠MAN＝90°，∴AN⊥AM，∵AM'＝AM，∴M′N＝MN＝10，∵MB：BN＝2：3，∴MB＝4，BN＝6，由折叠的性质得：AD＝AB，BN＝DN，∴DM'＝BM＝4，∵四边形AMND是圆内接四边形，∴∠M'AD＝∠M'NM，∵∠M'＝∠M'，∴△M'AD∽△M'NM，∴＝，∴M′A•M′M＝M′D•M′N，即M′A•2M′A＝4×10＝40．则M′A2＝20，又∵M′A2＝M′N2﹣AN2，∴20＝100﹣AN2，∴AN＝4．故答案为：4．5．解：连接OA，∵PA与⊙O切于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∵∠APB＝54°，∴∠AOB＝∠APB+∠PAO＝54°+90°＝144°，∵⊙O的半径为3，∴弧AB的长度为＝π．故答案为：π．6．解：如图，作DE⊥CA与E，DF⊥BC于F．∵AB是直径，∴∠ECF＝∠CED＝∠CFD＝90°，∴四边形DECF是矩形，∵DC平分∠ACB，DE⊥CA，DF⊥CB，∴DE＝DF，∴四边形DECF是正方形，∵∠DCA＝∠DCB，∴＝，∴AD＝BD，∴Rt△ADE≌Rt△FDB（HL），∴AE＝BF，∴CE+CF＝AC+AE+CB﹣BF＝AC+BC＝m+n，∴CE＝CF＝DE＝DF＝（m+n），∴CD＝（m+n），故答案为：（m+n）．7．解：连接OC、OE、BD，OE与BD交于点F，如图所示：∵AC＝BC＝5，O为AB的中点，∴OA＝OB＝3，OC⊥AB，∴OC＝＝＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴AD⊥BD，∴BD＝＝＝，∴AD＝＝＝，∵E为的中点，∴OE⊥BD，∴OE∥AD，∵OA＝OB，∴OF为△ABD的中位线，∴DF＝BF＝BD＝，OF＝AD＝，∴EF＝OE﹣OF＝3﹣＝，∴DE＝＝＝；故答案为：．8．解：如图，取CD中点P，连接AP，BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠D＝∠C＝90°，∵点P是CD中点，∴CP＝DP＝2，∴AP＝＝＝4，BP＝＝＝4，∴AP＝PB＝AB，∴△APB是等边三角形，∴∠APB＝60°，过点A，点P，点B作圆与AD交于点P′，与BC交于点P″，连接BP′，AP″，此时∠AP′B＝∠APB＝60°，∠AP″B＝60°，∴AP′＝＝4，AP″＝＝8，故答案为：4或4或8．9．解：∵在⊙O中，，∴AC＝AB＝3，故答案为：310．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴五边形ABCDE为圆内接正五边形，∴＝＝＝＝，∴∠BAE＝＝108°，∠HAN＝∠AEH＝∠BAC＝∠DAE＝∠ABE＝∠BAE＝×108°＝36°，∴∠EAH＝∠BAN＝36°+36°＝72°，∴∠AHE＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∠ANB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAH＝∠EHA＝72°，∠ANH＝∠AHN＝72°，∴AE＝HE，∠EAH＝∠EHA＝∠ANH＝∠AHN，∴△AEH∽△AHN，∴＝，∵五角星的边框总长为40cm，∴AH＝AN＝EN＝＝4，HN＝HE﹣NE＝AE﹣4，∴＝，整理得：（AE﹣2）2＝20，∴AE＝2+2（cm），故答案为：2+2．11．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴图中阴影部分的面积＝＝3π，故答案为：3π．12．解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB，∵OC＝5，CD＝2，∴OE＝3，在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故答案为8．13．解：如图，在平面直角坐标系中画出点A、B、C，连接AB、AC、BC，过C作CE⊥AB于E，设所求的圆的圆心为D，半径为r，连接AD∵A（3，3）、B（7，3）∴圆心D在直线x＝5上∴D的横坐标为5∵C（5，6）∴CE＝3∵CD＝r∴DE＝3﹣r在Rt△DAE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2∴22+（3﹣r）2＝r2解得r＝∴点D的纵坐标为6﹣＝∴D（5，）故答案为：（5，）．14．解：连接OD，BC，AB，∵将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，∴OB＝BD＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴∠OBD＝60°，即旋转角等于60°，∵将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝OB＝，故答案为：15．解：连接OC．∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE＝，∴∠COB＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB＝OD，∴△OBC，△OBD都是等边三角形，∴OC＝BC＝BD＝OD，∴四边形OCBD是菱形，∴OC∥BD，∴S△BDC ＝S△BOD，∴S阴＝S扇形OBD，∵OD＝＝2，∴S阴＝＝，故答案为．16．解：作正八边形的外接圆O，则∠HGD＝×360°＝90°，∠FGD＝×360°＝45°，在正八边形ABCDEFGH中，CD∥HG，∴S△HGP ＝S△CDH，过F作FM⊥DG于M，过E作EN⊥DG于N，在Rt△GMF中，∠FGD＝45°，GF＝，∴GM＝GF＝1，同理，DN＝1，∵MN＝EF＝，∴GD＝1++1＝2+，∴S△HGP ＝S△HGD＝HG•GD＝．故答案为：+1．17．解：过D作DE⊥AB交⊙O于E，连接CE交AB于P，连接OE，作OF⊥CE于F，如图所示：此时CP+PD＝CE最小．，∴∠BOE＝∠BOD＝36°，∵∠AOC＝96°，∴∠BOC＝84°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，∵OC＝OE＝6，∴∠OCE＝∠OEC＝30°，∵OF⊥CE，∴CF＝EF，OF＝OC＝3，CF＝OF＝3，∴CE＝2CF＝6．即CP+PD的最小值为6；故答案为：6．18．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵AD＝，CD＝2，∴AC＝＝，∵AB＝BC，∴∠1＝∠2，过F作FM⊥AD于M，FN⊥CD于N，∴FM＝FN，∴＝＝＝＝2，∴AF＝AC＝，∵将△ABF沿AB翻折，得到△ABG，∴∠GAE＝∠CAE，∴＝＝3，∵AG＝AF＝，∵∠BAG＝∠BAC＝45°，∴∠GAC＝90°，∴CG＝＝，∴EG＝CG＝，∴tan∠CGA＝＝3，过A作AH⊥EG于H，∴HG＝AG•cos∠AGH＝×＝，AH＝AG•sin∠AGH＝×＝1，∴EH＝EG﹣HG＝，∴AE＝＝，∵AB＝AC＝，∴BE＝AB﹣AE＝．故答案为：．19．解：如图，连接OA、OB，∵OA＝OB＝5，AB＝5，∵52+52＝（5）2∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，∵△ACB＝90°，即当点C与点O重合时，△ABC的周长最大，因为AB是定值，AO+BO是直径最大，则△ABC的周长的最大值为：10+5．故答案为：10+5．20．解：如图，连接OB，∵∠DOC＝2∠ACD＝90°．∴∠ACD＝45°，∵∠ACB＝75°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∵OC＝OD，∠DOC＝90°，∴∠DCO＝45°，∴∠BCO＝∠DCO﹣∠BCD＝15°，∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠BCO＝15°，∴∠BOC＝150°，∴∠DOB＝∠BOC﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝2．故答案为2．。

北师大版数学六年级上册第一单元圆《圆的认识(二)》教学设计(公开课教案及学习任务单)

北师大版数学六年级上册第一单元圆《圆的认识（二）》教学设计
第一单元圆《圆的认识（二）》学习任务单
〔2〕沿着任意一条（）对折，两侧的图形都能（）。

圆的直径所在的（）都是圆的对称轴。

〔3)圆有（）条对称轴。

〔4〕在同一个圆里，直径总是半径的( ),半径总是直径的( )。

环节三：找组合图形的对称轴。

1.回忆学过的轴对称图形有
2.折一折、做一做、填一填(表格)
3.画一画组合图形的对称轴，填写、组内交流。

环节四：练习归纳
1.判断
（1）圆有无数条对称轴。

（）
（2）圆的直径就是圆的对称轴。

（）
（3）直径的长度是半径的2倍。

( )
2.画一画组合图形的对称轴
作业设计4.P6：1、3题整理在数学书上
5.P5：2题实践活动，回家再次测量后完成。

6.按要求画圆。

（1）在正方形内画一个最大的圆
（2）在正方形外画一个圆，使正方形的四个顶点在圆上。

学后反思1.我在具体情境中解决问题时应注意什么？
2.我在本节课中表现得最好的是：
（☐观察☐操作☐思考☐倾听☐合作☐提问☐答问☐评价）。

九年级数学中考一轮复习微专题二讲义：圆的基本性质

微专题二：圆的基本性质【知识点扫描】1. 圆上各点到圆心的距离都等于.2. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分.4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.6. 半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是.7.圆内接四边形的对角．8.圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 .9.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的圆心角所在的扇形面积为S= ×πr2 = = .10.圆锥的侧面积公式：S=rlπ.（其中为的半径，为的长）；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.【难点突破】重难点1垂径定理及其应用一．选择题：1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF:FD =3:7，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=3，AF=3，给出下列结论：⊙FG=2；⊙5 tanE；⊙495DEFS=；其中正确的是( )A. ⊙⊙B. ⊙⊙C. ⊙⊙D.⊙⊙⊙二、填空题：1.在半径为1的⊙O中，两条弦AB，AC的长分别为3和2，则弧BC的长度为．三、解答题：1.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊙CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：⊙ADG⊙⊙AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求⊙ADG得面积与⊙AFD的面积比．重难点2圆周角定理及其推论一、选择题1. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设⊙BCD=α，则的值为（）A．sin2α B．cos2α C．tan2α D．tan﹣2α2.如图，点C为⊙ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且⊙ACB=⊙ABD=45°，若BC=8，CD=4，则AC的长为（）A．8.5B．5C．4D．二、填空题1.如图，⊙O是⊙AB C的外接圆，AD⊙B C于D，CE⊙AB于E，AD交CE于H点，交⊙O于N，OM⊙B C于M，BF为⊙O的直径，下列结论：⊙四边形AH CF为平行四边形；⊙AH＝2OM，⊙BF＝2F C；⊙DN＝DH；其中正确的有______(第1题) （第2题）2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2）、B（0，2+m）、C（0，2-m）（m＞0），点P 在以D（4，6）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足⊙BPC=90°，则m的最大值是3.如图，AB，BC是⊙O的弦，⊙B=60°，点O在⊙B内，点D为上的动点，点M，N，P 分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是三．解答题1.请完成以下问题：（1）如图1，=，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．2.如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是⊙ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：⊙APE 是等腰直角三角形；（2）若⊙O 的直径为2，求PC 2+PB 2的值．3.如图1，已知四边形ABCD 内接于圆0，AD=BC ，延长AB 到E ，使BE=AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF（1）若圆0的半径为3，⊙DAB=120°，求劣弧BD 的长；（2）如图2，连接BD ，求证：BF=21BD ；（3）如图3，G 是BD 的中点，过B 作AE 的垂线交圆0于点P ，连接PG ，PF ，求证：PG=PF图1 图2 图34.如图1，圆O的两条弦AC、BD交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为⊙α（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：的度数30.2°40.4°50.0°61.6°的度数55.7°60.4°80.2°100.3°⊙α的度数43.0°50.2°65.0°81.0°猜想：、、⊙α的度数之间的等量关系，并说明理由﹒（2）如图2，若⊙α=60°，AB=2，CD=1，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D 重合，同时B落在圆O上的点，连接CG﹒⊙求弦CG的长；⊙求圆O的半径．重难点3 三角形的外接圆及圆内接四边形一、选择题1.如图，点A 的坐标为A （8，0），点B 在y 轴正半轴上，且AB=10，点P 是⊙AOB 外接圆上一点，且⊙BOP=45°，则点P 的坐标为（）A ．（7，7）B ．（7，7）C ．（5，5）D ．（5，5）2.如图所示，四边形ABCD 中，DC⊙AB ，BC=2，AB=AC=AD=3．则BD 的长为( ) A.13 B.5 C.23 D.243.如图，⊙ABC 内接于圆O ，延长AO 交BC 于点P ，交圆O 于点D ，连结OB ，OC ，BD ，DC （）A ．若AB=AC ，则BC 平分ODB ．若OCBD ，则CD ：AB=：3C ．若⊙ABO=30°，则OC BDD ．若BC 平分OD ，则AB=AC二．填空题1.在⊙ABC 中，45AB =5AC =，11BC =，则⊙ABC 的外接圆半径为____________2、如图，⊙ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于D，DM⊙AC于M，下列结论中正确的是．⊙DB=DC；⊙AC+AB=2CM；⊙AC﹣AB=2AM；⊙S⊙ABD=S⊙ABC．重难点4弧长及扇形面积的有关计算一．选择题1．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．2π﹣1C．2π﹣2D．π﹣2二．填空题1、如图，一根长为a的竹竿AB斜靠在墙上，竹竿AB的倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A'时，竹竿的另一端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β．（1）线段AA'的长为．（2）当竹竿AB滑到A'B'位置时，AB的中点P滑到了P'，位置，则点P所经过的路线长为（两小题均用含a，α，β的代数式表示）2、如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为_ __3、如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊙AB交半圆与点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB=4cm，则图中阴影部分面积为cm2．三、简答题1、在⊙O中，己知弦BC所对的圆周角⊙BAC与圆心角⊙BOC互补．（1）求⊙BOC的度数．（2）若⊙O的半径为4，求弦BC和劣弧BC组成的弓形面积．。

2020届中考数学总复习(22)圆-精练精析(2)及答案解析

图形的性质——圆2一．选择题（共9小题）1．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（）A．3 B．4 C． D．52．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°3．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°4．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．5．如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26° B．116°C．128°D．154°6．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°7．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．65°8．如图，⊙O是△AB C的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．80°9．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（）A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB二．填空题（共8小题）10．如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，则∠C的度数为_________ ．11．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=_________ ．12．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于_________ ．13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B=_________ 度．14如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_________ ．15．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B=_________ 度．16．如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=_________ ．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=_________ 度．三．解答题（共8小题）18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．19．已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．（1）求证：△ACB∽△CDB；（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．20．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．21．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．22．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．（1）图中∠OCD=_________ °，理由是_________ ；（2）⊙O的半径为3，AC=4，求CD的长．25．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm．求：直径AB的长．图形的性质——圆2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（）A． 3 B．4 C．D． 5考点：圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：几何图形问题．分析：首先连接AC，由圆周角定理可得，可得∠C=90°，继而求得AC的长，然后可求得AP的长的取值范围，继而求得答案．解答：解：连接AC，∵在⊙O中，AB是直径，∴∠C=90°，∵AB=5，BC=3，∴AC==4，∵点P是上任意一点．∴4≤AP≤5．故选：A．点评：此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°考点：圆周角定理；垂径定理．专题：压轴题．分析：利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．解答：解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．点评：此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．3．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°考点：圆周角定理；平行线的性质．分析：连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B 的度数即可．解答：解：如图，连接OC，∵AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=70°，∵OD=O C，∴∠ODC=∠OCD=70°，∴∠COD=40°，∴∠AOC=110°，∴∠B=∠AOC=55°．故选：D．点评：此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．4．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．解答：解：∵直径所对的圆周角等于直角，∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选：B．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26°B．116°C．128°D．154°考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理直接解答即可．解答：解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选：C．点评：本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周是圆心角的一半是解题的关键．6．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（）A．15°B．20°C．25°D．30°考点：圆周角定理；垂径定理．专题：计算题．分析：由在⊙O中，OD⊥BC，根据垂径定理的即可求得：=，然后利用圆周角定理求解即可求得答案．解答：解：∵在⊙O中，OD⊥BC，∴=，∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°．故选：D．点评：此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．解答：解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选：C．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．解答：解：∵OA=OB，∠OBA=50°，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，∴∠C=∠AOB=40°．故选：B．点评：此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．9．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（）A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：根据圆周角定理即可判断A、B、D，根据三角形外角性质即可判断C．解答：解：A、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACD对的弧也是AD，∴∠ABD=∠ACD，故A选项正确；B、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ADB对的弧也是AB，而已知没有说=，∴∠ABD和∠ACD不相等，故B选项错误；C、∠AED＞∠ABD，故C选项错误；D、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACB对的弧也是AB，而已知没有说=，∴∠ABD和∠ACB不相等，故D选项错误；故选：A．点评：本题考查了圆周角定理和三角形外角性质的应用，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．二．填空题（共8小题）10．如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，则∠C的度数为70°．考点：圆周角定理．分析：由△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠OBA 的度数，∠AOB的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数．解答：解：∵∠OAB=20°，OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=20°，∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=140°，∴∠ACB=∠AOB=70°．故答案为70°．点评：本题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．11．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=30°．考点：圆周角定理．分析：由∠ACB是⊙O的圆周角，∠AOB是圆心角，且∠AOB=60°，根据圆周角定理，即可求得圆周角∠ACB的度数．解答：解：如图，∵∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°．故答案是：30°．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．12．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于36°．考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案．解答：解：∵∠ABC与∠ADC是所对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=54°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣54°=36°．故答案为：36°．点评：此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与直径所对的圆周角是直角定理的应用．13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B=50 度．考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：直接根据圆周角定理求解．解答：解：∠B=∠AOC=×100°=50°．故答案为：50．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为65°．考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．解答：解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠B=25°∴∠ACD=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为：65°．点评：考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．15．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B=40 度．考点：圆周角定理；平行线的性质．分析：先求出∠AOD，利用平行线的性质得出∠A，再由圆周角定理求出∠B的度数即可．解答：解：∵∠BOD=130°，∴∠AOD=50°，又∵AC∥OD，∴∠A=∠AOD=50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠B=90°﹣50°=40°．故答案为：40．点评：本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的内容是解题关键．16．如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=．考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：根据勾股定理求出BC的长，再将tan∠ADC转化为tanB进行计算．解答：解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴BC==12，∴tan∠ADC=tanB===，故答案为．点评：本题考查了圆周角定理和三角函数的定义，要充分利用转化思想．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=40 度．考点：切线的性质；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD 度数，即可确定出∠C的度数．解答：解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=90°﹣50°=40°．故答案为：40点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．三．解答题（共8小题）18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．考点：切线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根据相似三角形的判定推出即可；（2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出=，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2y，分别求出⊙O的面积和四边形ABCD的面积，即可求出答案．解答：（1）证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠DFC=90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DEA=∠DFC=90°，∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDF；（2）解：∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，∵AE=3EB，∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，∵△ADE∽△CDF，∴=，∴=，∵x、y均为正数，∴x=2y，∴B C=6y，CF=2y，在Rt△DFC中，∠DFC=90°，由勾股定理得：DF===2y，∴⊙O的面积为π•（DC）2=π•DC2=π（4y）2=4πy2，四边形ABCD的面积为BC•DF=6y•2y=12y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2：12y2=π：3．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．19．已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．（1）求证：△ACB∽△CDB；（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．考点：切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）由CP是⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB；（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．解答：（1）证明：如图，连接OC，∵直线CP是⊙O的切线，∴∠BCD+∠OCB=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠BCD=∠ACO，又∵∠BAC=∠ACO，∴∠BCD=∠BAC，又∵BD⊥CP∴∠CDB=90°，∴∠ACB=∠CDB=90°∴△ACB∽△CDB；（2）解：如图，连接OC，∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，∴∠COB=2∠BCP=60°，∴△OCB是正三角形，∵⊙O的半径为1，∴S△OCB=，S扇形OCB==π，故阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．点评：本题主要考查了切线的性质及扇形面积，三角形的面积，解题的关键是利用弦切角找角的关系．20．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再根据切线的性质，由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，根据勾股定理可计算出OC=3，则CD=OC﹣OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE，再由AE=AC﹣CE可得AE的值．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．∴AE=AC﹣CE=2﹣=．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．21．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根据三角形内角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；（2）先根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．解答：（1）证明：连结OC，OA，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠P BC，∴2∠ACO+2∠PBC=180°，∴∠ACO+∠PBC=90°，∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC；（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，∴=，∴PC2=PA•PB，∵PA=3，PB=5，∴PC==．点评：本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．22．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出Rt△ABD≌Rt△CDB；（2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC的度数．解答：（1）证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD和Rt△CDB（HL）；（2）解：∵BE是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC的度数为37°．点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大．23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．考点：切线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；（2）由AD⊥PD，AB为⊙O的直径，易证得CE平分∠ACB，继而可得∴∠PFC=∠PCF，即可证得PC=PF，即△PCF是等腰三角形；（3）首先连接AE，易得AE=BE，即可求得AB的长，继而可证得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC=，BE=7，即可求得答案．解答：解：（1）∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD．又∵AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO=∠DAC．又∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB．（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD=90°．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB．又∵∠DAC=∠CAO，∴∠CAO=∠PCB．∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，∴∠PFC=∠PCF，∴PC=PF，∴△PCF是等腰三角形．（3）连接AE．∵CE平分∠ACB，∴=，∴．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，．∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，∴．又∵tan∠ABC=，∴，∴．设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，∵PC2+OC2=OP2，∴（4k）2+72=（3k+7）2，∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．∴PC=4k=4×6=24．点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．（1）图中∠OCD=90 °，理由是圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）⊙O的半径为3，AC=4，求CD的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据切线的性质定理，即可解答；（2）首先证明△ABC∽△CDB，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）∵CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，（圆的切线垂直于经过切点的半径）∴∠OCD=90°；故答案是：90，圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）连接BC．∵BD∥AC，∴∠CBD=∠OCD=90°，∴在直角△ABC中，BC===2，∠A+∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠BCO=∠ABC，∴∠A+∠BCO=90°，又∵∠OCD=90°，即∠BCO+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠A，又∵∠CBD=∠ACB，∴△ABC∽△CDB，∴=，∴=，解得：CD=3．点评：本题考查了切线的性质定理以及相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似是本题的关键．25．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm．求：直径AB的长．考点：切线的性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：先求出∠COD，根据切线的性质知∠OCD=90°，从而求出∠D，根据含30度角的直角三角形性质求出OC，即可求出答案．解答：解：∵∠A=30°，OC=OA，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COD=60°，∵DC切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=30°，∵OD=30cm，∴OC=OD=15cm，∴AB=2OC=30cm．点评：本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较好，难度适中．。

2021年中考数学一轮复习专题突破训练：几何压轴—圆的综合(二)

2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：几何压轴—圆的综合（二）1．如图，点C在以AB为直径的⊙O上．AE与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，过B作BF∥AE交⊙O于点F，连接CF．（1）求证：∠B＝2∠F；（2）已知AE＝8，DE＝2，求CF的长．2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AB 交CA的延长线于点E，垂足为点F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若⊙O的半径R＝3，cos∠E＝，求EF的长．3．已知，⊙O中，＝，D是⊙O上的点，OC⊥BD．（1）如图①，求证＝；（2）如图②，连接AB，BC，CD，DA，若∠A＝70°，求∠BCD，∠ADB的大小．4．已知⊙O是△ABC的外接圆，CE为⊙O的直径，交AB于点F，连接AO并延长交BC于点D，AD⊥BC．（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠BAD；（2）如图2，连接AE、BE，过点A作AG⊥CE，垂足为G．求证：CE＝BE+2EG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG交AB于点H，若GH＝2，AG＝4，求△CDG 的面积．5．已知：如图，⊙O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为⊙O半径，连接AC、BD．（1）求证：∠OAC＝∠BCD；（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF时，求⊙O的半径．6．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝2，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．（1）当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；（2）若tan∠AED＝，求AE的长；（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值．7．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OB的长为半径的圆O与AB，BD分别交于点E，F，连接DE，且∠ADE＝∠BDC．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BC＝6，CD＝8，AE＝4.5，求⊙O的半径．8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，点O 在△ABC 的内部，⊙O 经过B ，C 两点，交AB 于点D ，连接CO 并延长交AB 于点G ，以GD ，GC 为邻边作平行四边形GDEC ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若DE ＝17，CE ＝13，求⊙O 的半径．9．在△ABC 中，以AB 边上的中线CD 为直径作圆，如果与边AB 有交点E （不与点D 重合），那么称为△ABC 的C ﹣中线弧．例如，如图中是△ABC 的C ﹣中线弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 存在C ﹣中线弧，其中点A 与坐标原点O 重合，点B 的坐标为（2t ，0）（t ＞0）．（1）当t ＝2时，①在点C 1（﹣3，2），C 2（0，2），C 3（2，4），C 4（4，2）中，满足条件的点C 是；②若在直线y ＝kx （k ＞0）上存在点P 是△ABC 的C ﹣中线弧所在圆的圆心，其中CD ＝4，求k 的取值范围；（2）若△ABC的C﹣中线弧所在圆的圆心为定点P（2，2），直接写出t的取值范围．10．如图，点A，点C在以BD为直径的⊙O上过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，且∠DAE＝∠ABD．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为5．CD＝6，求AD的长．参考答案1．（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠BOC＝∠DAB，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠F，∴∠DAB＝2∠F，∵AD∥BF，∴∠B＝∠DAB，∴∠B＝2∠F；（2）解：连接AF、AC，延长CO交⊙O于H，过O作OG⊥AE于G，∵OC∥AD，AE∥BF，∴OC∥BF，∴∠BFC＝∠HCF，∵∠B＝2∠F，∴∠B＝2∠HCF，∵∠ACF＝∠B，∴∠ACF＝2∠HCF，∴∠ACH＝∠HCF，∴＝，∴CH垂直平分AF，∴CF＝AC，∵OG⊥AE，∴AG＝EG＝4，∴GD＝GE+ED＝4+2＝6，∵∠OGD＝∠D＝∠OCD＝90°，∴四边形OCDG是矩形，∴OC＝GD＝6，OG＝CD，∵OA＝OC＝6，AG＝4，∴OG＝＝＝2，∴DC＝2，在Rt△ADC中，AC＝＝＝2∴CF＝AC＝2．2．解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接OD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵AB＝AC，∴∠B═∠C，∴∠B＝∠ODC，∴AB∥OD，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE⊥AB，cos∠E＝，∴＝，∴＝，∵AB∥OD，∴△AEF∽△OED，∴＝，∵OA＝OD＝R＝3，∴＝，∴EA＝2，∵＝，∴EF＝×2＝．3．（1）证明：∵OC⊥BD，OC过O，∴＝，∵＝，∴＝；（2）解：∵四边形ABD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠A＝70°，∴∠BCD＝110°，∵＝，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝35°，∵＝，∴∠ADB＝∠CDB＝35°．4．（1）证明：如图1，∵AD⊥BC，AD是过圆心的线段，∴BD＝CD．∴AB＝AC．∴∠BAD＝∠CAO．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵∠BFC＝∠FAC+∠ACF，∴∠BFC＝3∠BAD；（2）如图2，在CE上截取CP＝BE，连接AP．∵＝．∴∠EBA＝∠FCA．∵AB＝AC，∴△EBA≌△PCA（SAS）．∴AE＝AP．∵AG⊥EC，∴EG＝PG．∴CE＝BE+2EG．（3）∵∠AGO＝∠CDO，AO＝CO，∠AOG＝∠COD，∴△AGO≌△CDO（AAS）．∴OG＝OD，AG＝CD．∴∠OGD＝∠ODG＝∠OAC＝∠OCA．∴AC∥DG．∴四边形AGMC是平行四边形．∵BD＝CD，∴DH＝AC．如图3，过点C作CN⊥DG，CM⊥GC交GD延长线于点M，∴四边形AGMC是平行四边形，∴CM＝AG＝CD＝4．设AC＝m，则DH＝m．∴DN＝MN＝m﹣1．∴sin∠CGM＝sin∠MCN．∴＝，即＝．∴m1＝20，m2＝﹣16．过点D作DQ⊥CG于Q．∵GC＝8，DG＝12，∴DQ＝．＝CG•DQ＝×8×＝48．∴S△CDG∴△CDG的面积是48．5．证明：（1）如图1，连接CO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC+∠OCA+∠AOC＝180°，∴2∠OAC+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠ABC，∴∠OAC+∠ABC＝90°，∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠OAC＝∠BCD；（2）∵EN⊥BD，AB⊥CD，∴∠DEN+∠CDN＝90°，∠AEH+∠DEN＝90°，∴∠AEH＝∠CDN，又∵∠CDB＝∠CAB，∴∠CAB＝∠AEH，∴AH＝HE，∵∠CAB+∠ACE＝∠AEH+∠CEH＝90°，∴CH＝HE，∴AH＝CH；（3）如图3，延长HF至Q，使HQ＝HE，连接EQ，在AF上取点T，使QT＝QF，过点L作LR⊥CD于R，∵AH＝CH＝HE＝HQ，∠FHE＝60°，∴△HEQ是等边三角形，∴HQ＝HE＝QE，∠HQE＝∠HEQ＝∠QHE＝60°，∵EL＝HF＝，∴FQ＝HL，设∠AHQ＝2α，则∠CHE＝180°﹣2α﹣60°＝120°﹣2α，∴∠AEH＝∠HAE＝60﹣α，∴∠AEQ＝60°﹣∠AEH＝α，∴∠AFQ＝60°+α，∵TQ＝FQ，∴∠ETQ＝∠AFQ＝60°+α，∴∠TQE＝180°﹣α﹣（60°+α）＝120°﹣α；∴∠TQE＝∠CHL，又∵QE＝CH，QF＝HL，∴△ETQ≌△CLH（SAS），∴CL＝ET＝8，∠HCL＝∠TEQ＝α，∵HC＝HE，∠CHE＝120°﹣2α，∴∠HCE＝∠HEC＝30°+α，∵LR⊥CD，∴LR＝CL＝4，CR＝LR＝4，∴RE＝＝＝2，∴CE＝6，∵∠PCE＝30°，CE⊥AB，∴EC＝PE，CP＝2PE，∴PE＝6，CP＝12，∴PL＝CP﹣CL＝4，∵CH＝HE，HG⊥CE，∴CG＝GE＝3，∵HG∥LR，∴，∴＝，∴HE＝3＝AH＝HC，∵∠CPE＝∠EHF＝60°，∠PEL＝∠HEF，∴△PEL∽△HEF，∴，∴，∴EF＝7，∴PF＝1，∵BE＝2PF，∴BE＝2，∴BC＝＝＝4∵AH＝CH，∴OH⊥AC，∴tan∠CAO＝tan∠BCE＝，∴＝，∴AO＝．6．解：（1）如图，作EH⊥AB，连接OE，∵OB＝2，D是OB的中点，∴OD＝DB＝1，设DH＝a，则OH＝1+a，∵点E是弧BC中点，∴∠COE＝∠EOH＝45°，∴EH＝OH＝1+a，∵OE2＝EH2+OH2，∴4＝2（1+a）2，解得a＝﹣1∴EH＝OH＝，＝×3×＝；∴S△ADE（2）如图2，连接BE，过点D作DN⊥AE，∵tan∠AED＝＝，∴设DN＝3a，NE＝2a，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°＝∠AND，∴BE∥DN，∴，∴∴AN＝6a，∵AN2+DN2＝AD2，∴36a2+9a2＝9，∴a＝，∴AE＝AN+NE＝6a+2a＝；（3）①当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图设DH＝a，∵∠DOF＝∠EDF＝∠EDH＝90°，∴∠FDO+∠OFD＝90°，∠FDO+∠EDH＝90°，∴∠OFD＝∠EDH，且DF＝DE，∠DOF＝∠EHD＝90°，∴△ODF≌△EDH（AAS）∴OD＝EH＝1，在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（1）2＝（3+a）•（1﹣a）解得a＝﹣1+，（负值舍去）∴m＝；当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理可证：△EFG≌△EDH，设DH＝a，则GE＝a，EH＝CG＝1+a，在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（1+a）2＝（3+a）•（1﹣a）解得a＝﹣1+，（负值舍去）∴m＝；当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理可证：△EFM≌△ODF，设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝1，∴EH＝a+1，在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（a+1）2＝（2+a）•（2﹣a）解得a＝（负值舍去）∴m＝．7．解：（1）直线DE与⊙O相切，证明：连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠EBD＝∠BDC，∵OB＝OE，∴∠EBD＝∠BEO，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠BEO＝∠EBD＝∠BDC＝∠ADE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠EOD+∠EDO＝∠EBD+∠BEO+∠EDO＝∠BDC+∠ADE+∠EDO＝∠ADC＝90°，∴∠OED＝180°﹣（∠EOD+∠EDO）＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥ED，∵OE为半径，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，在Rt△DCB中，∠C＝90°，∴BD＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，在Rt△ADE中，∠A＝90°，∴ED＝，设⊙O的半径为R，在Rt△DOE中，DO2＝DE2+OE2，，解得：R＝，即⊙O的半径是．（2）第二种方法：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，在Rt△DCB中，∠C＝90°，∴BD＝，∵AB＝CD＝8，AE＝4.5，∴BE＝8﹣4.5＝3.5，作OG⊥BE于G，则BG＝EG＝BE＝，∵OG∥AD，∴，即，∴OB＝，即⊙O的半径是．8．（1）DE是⊙O的切线；证明：连接OD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°，∴∠COD＝2∠ABC＝90°，又∵四边形GDEC是平行四边形，∴DE∥CG，∴∠EDO+∠COD＝180°，∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵四边形GDEC 为平行四边形，∴DG ＝CE ＝13，CG ＝DE ＝17，∵∠DOG ＝90°∴OD 2+OG 2＝DG 2，即r 2+（17﹣r ）2＝132，解得r 1＝5，r 2＝12，当r ＝5时，OG ＝12，点G 在⊙O 外，∴r ＝5不成立，舍去，∴r ＝12．9．解：（1）当t ＝2时，点B 的坐标为（4，0），∵点D 是AB 的中点，∴D （2，0），①如图1，过点C 作CE ⊥AB 于E ，则∠CED ＝90°，∴CE ⊥AB ，即点C 和点E 的横坐标相同，∵点E 是以CD 为直径与边AB 的交点，∴0≤AE ≤4，∵点E 与点D 重合，∴AE ≠2，∴点E 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，即点E 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，∵点C 1（﹣3，2），C 2（0，2），C 3（2，4），C 4（4，2）， ∴只有点C 2，C 4的横坐标满足条件，故答案为C 2，C 4；②∵△ABC 的中线CD ＝4，∴点C在以点D为圆心4为半径的弧上，由①知，点C的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，∴点C在如图2所示的上（点H（2，4）除外），∵点P是以CD为半径的圆的圆心，∴点P在如图2所示的上（点G（2，2）除外），在Rt△ODC中，AD＝2，DC＝4，根据勾股定理得，OC＝2，∴C（0，2），同理：C'（4，2），∵点P是DC的中点，∴P（1，），同理：点P'（3，），当直线y＝kx过点P（1，）时，得，当直线y＝kx过点P'（3，）时，得，当直线y＝kx过点G（2，2）时，得k＝1，结合图形，可得k的取值范围是且k≠1；（2）同（1）①知，点E的横坐标大于等于0小于等于2t，且不等于t，∵点D是AB的中点，且B（2t，0），∴D（t，0），当点E在线段AD上时，AE＝t﹣2（t﹣2）＝﹣t+4≥0，∴t≤4，当点E在线段BE上时，AE＝2（2﹣t）+t≤2t，∴t≥，∴且t≠2．10．解：（1）证明：如图，连接OA，∴OA＝OB，∴∠ABD＝∠OAB，∵∠DAE＝∠ABD，∴∠OAB＝∠DAE，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠OAB+∠OAD＝90°，∴∠DAE+∠OAD＝90°，∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（2）作OF⊥BC于点F，∵OA⊥AE，AE∥BC，∴点A、O、F在同一条直线上，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠AED＝90°，∴四边形AECF是矩形，∴AF＝EC，AE＝FC，∵⊙O的半径为5，即BD＝10，∵CD＝6，∴BC＝＝8，∴BF＝FC＝4，OF＝CD＝3，∴CE＝AF＝AO+OF＝5+3＝8，∴DE＝CE﹣CD＝8﹣6＝2，∵AE＝FC＝4，∴AD＝＝2．。

决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练——几何专题：《圆的综合》(二)

决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练——几何专题：《圆的综合》（二）1．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．2．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．3．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与BC交于点E，与AC交于点D点，点F在边AC的延长线上，且∠CBF＝∠BAC．（1）试说明FB是⊙O的切线；（2）过点C作CG⊥AF，垂足为C．若CF＝4，BG＝3，求⊙O的半径；（3）连接DE，设△CDE的面积为S1，△ABC的面积为S2，若＝，AB＝10，求BC 的长．4．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．5．如图1，AB是⊙O的直径，直线AM与⊙O相切于点A，直线BN与⊙O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在⊙O上，且CD＝CA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）求证：BE＝EF；（3）如图2，连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H，连接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE．6．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，∠BAD+2∠ACB＝180°．（1）如图1，求证：点A为弧BD的中点；（2）如图2，点E为弦BD上一点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接FE交AD于点P，过点P作PH⊥AF于点H，AF＝2AH+AP，求证：AH：AB＝PE：BE；（3）在（2）的条件下，如图3，连接AE，并延长AE交⊙O于点M，连接CM，并延长CM交AD的延长线于点N，连接FD，∠MND＝∠MED，DF＝12﹒sin∠ACB，MN＝，求AH的长．7．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．8．在图1至图3中，⊙O的直径BC＝30，AC切⊙O于点C，AC＝40，连接AB交⊙O于点D，连接CD，P是线段CD上一点，连接PB．（1）如图1，当点P，O的距离最小时，求PD的长；（2）如图2，若射线AP过圆心O，交⊙O于点E，F，求tan F的值；（3）如图3，作DH⊥PB于点H，连接CH，直接写出CH的最小值．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，连接PM，设运动时间为t（s），0＜t≤5．（1）CM＝，PQ＝，BQ＝；（用含t的式子表示）（2）当四边形PQCM是平行四边形时，求t的值；（3）当点M在线段PC的垂直平分线上时，求t的值；（4）是否存在时刻t，使以PM为直径的圆与△ABC的边相切？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．10．如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，连接AB，CD、AD，∠ADC＝45°．（1）如图1，AB是⊙O的直径；（2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，连接BF交CD于点G，∠FGC＝2∠BAD，求证：BA平分∠FBE；（3）如图3，在（2）的条件下，MN与⊙O相切于点M，交EB的延长线于点N，连接AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°，MN＝AB，EN＝26，求线段CD的长．参考答案1．解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵tan B＝＝，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵AC2+BC2＝AB2，∴16x2+9x2＝100，∴x＝2，∴BC＝6，∵AC＝AD＝8，AB＝10，∴BD＝2，∵OB2＝OD2+BD2，∴（6﹣OC）2＝OC2+4，∴OC＝，故⊙O的半径为；（3）AF＝CE+BD，理由如下：连接OD，DE，由（1）可知：△ACO≌△ADO，∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，∵OC＝OE＝OD，∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．12．解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠F AD，∴∠BEC＝∠F AD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠F AC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠F AC，∵∠FED＝∠F AD，∴∠AED﹣∠FED＝∠F AC﹣∠F AD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，∴AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S△DEF＝DE•FM＝．13．解：如图，（1）证明：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，又∵AB＝AC，∴∠BAE＝BAC，∴∠CBF＝∠BAE，∵∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠CBF+∠ABE＝90°，即AB⊥BF∵AB是直径，∴FB与⊙O相切．所以FB是⊙O的切线；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB⊥BF，CG⊥AC，∴∠ABC+∠GBC＝∠ACB+∠BCG，∴∠GBC＝∠BCG，∴BG＝CG＝3．∵CG＝3，CF＝4，∴FG＝5，∴FB＝8，∵tan∠F＝＝，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3．答：⊙O的半径为3．（3）连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴E为BC中点，∴S△CDE＝S△DEB，∵＝，设S1＝a，S2＝5a，∴S△BCD＝2a，S△ABD＝3a，∴＝，∴＝，∵AB＝AC＝10，∴AD＝6，CD＝4，∵在Rt△ABD中，BD＝＝8，∴在Rt△BCD中，BC＝＝4．答：BC的长为4．14．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵P A，PB为⊙O的切线，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠P AO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵P A，PB为⊙O的切线，∴P A＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半径为r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP＝r，PD＝r，∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，∴的长度＝＝，∴阴影部分的周长＝P A+PD+＝r+r+r＝（+1+）r．15．解：（1）如图1中，连接OD，∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∵OA＝OD∴∠OAD＝∠ODA，∵直线AM与⊙O相切于点A，∴∠CAO＝∠CAD+∠OAD＝90°，∴∠ODC＝∠CDA+∠ODA＝90°，∴CE是⊙O的切线．（2）如图1中，连接BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵CE是⊙O的切线，BF是⊙O的切线，∴∠OBD＝∠ODE＝90°，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB，∵AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠CAD＝∠BFD，∵∠CAD＝∠CDA＝∠EDF，∴∠BFD＝∠EDF，∴EF＝ED，∴BE＝EF．（3）如图2中，过E点作EL⊥AM于L，则四边形ABEL是矩形，设BE＝x，则CL＝4﹣x，CE＝4+x，∴（4+x）2＝（4﹣x）2+62，解得：x＝，∴，∵∠BOE＝2∠BHE，∴，解得：tan∠BHE＝或﹣3（﹣3不合题意舍去），∴tan∠BHE＝．补充方法：如图2中，作HJ⊥EB交EB的延长线于J．∵tan∠BOE＝＝，∴可以假设BE＝3k，OB＝4k，则OE＝5k，∵OB∥HJ，∴＝＝，∴＝＝，∴HJ＝k，EJ＝k，∴BJ＝EJ﹣BE＝k﹣3k＝k∴tan∠BHJ＝＝，∵∠BHE＝∠HBA＝∠BHJ，∴tan∠BHE＝．16．（1）证明：连接OA、OB、OD，∵∠BAD+2∠ACB＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，∴2∠ACB＝∠BCD，即∠ACB＝∠ACD，∵∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2ACB，∴∠AOD＝∠AOB，∴，即点A为弧AB的中点；（2）在HF上截取点Q，使HQ＝AH，连接PQ、AE，∵PH⊥AF，∴PH是AQ的垂直平分线，∴P A＝PQ，∴∠P AQ＝∠PQA，AH＝HQ，∴QF＝AF﹣AQ＝AF﹣2AH，又∵PQ＝AP＝AF﹣2AH，∴PQ＝QF，∴∠F＝∠FPQ＝PQA＝P AQ，∵，∴∠ABD＝∠ADB＝P AQ，∴∠F＝∠ABD，∴EB＝EF，∵AB＝AF，∵FH⊥BF，∴∠EAF＝∠PHF＝90°，∴EA∥PH，∴＝，又∵AF＝AB，EF＝BE，∴＝；（3）连接MD、MB，∵，，∴∠AMB＝∠AMD，∠MBD＝∠MAD，∴∠MED＝∠AMB+∠MBD，∠MDN＝∠AMD+∠MAD，∴∠MED＝∠MDN，∵∠MED＝∠MND，∴∠MDN＝∠MND，∴MD＝MN＝，∵，∴AB＝AD，∵AB＝AF，∴AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，由（1）知∠ABD＝∠BDA，∴∠BDF＝∠ADF+∠ADB＝（∠ADF+∠AFD+∠ABD+∠BDA）＝×180°＝90°，∴DF＝12•sin∠ACB＝12•sin∠ABD＝12×，∴BF＝12，∴AF＝AB＝6，由（2）知∠MAB＝∠MAF＝90°，∴∠MDB＝90°，∴∠MDB+∠BDF＝180°，∴M、D、F共线，∵，∴∠ABD＝∠AMD，∴sin∠ABD＝sin∠AMD，∴＝，即＝，∴DF1＝，DF2＝﹣10（舍去），∴BD＝＝，∵∠BMD+∠BAD＝180°，∠P AH+∠BAD＝180°，∴∠BMD＝∠P AH，∴tan∠BMD＝＝＝＝tan∠P AH，tan∠PFH＝tan∠EBA＝＝，设PH＝24k，则AH＝7k，FH＝32k，∴32k+7k＝6，∴k＝，∴AH＝7k＝．17．（1）证明：连接OE．如图1所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC⊥OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴EC⊥BC，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，∴EH＝EC，∠BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），∴BH＝BC＝9，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径，∴BE＝＝＝3，∵∠EBH＝∠FBE，∴△BEH∽△BFE，∴＝，即＝，解得：BF＝10，∴⊙O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，∵EH⊥AB，∴OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos∠EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos∠EOA＝＝，∴OA＝OE＝，∴AE＝＝＝，∴AC＝AE+EC＝+3＝，，∵AB＝OB+OA＝5+＝，∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，∴CP＝＝＝．18．解：（1）如图1，连接OP，∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥BC．∵BC＝30，AC＝40，∴AB＝50．由S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，即，解得CD＝24，当OP⊥CD时，点P，O的距离最小，此时．（2）如图2，连接CE，∵EF为⊙O的直径，∴∠ECF＝90°．由（1）知，∠ACB＝90°，由AO2＝AC2+OC2，得（AE+15）2＝402+152，解得．∵∠ACB＝∠ECF＝90°，∴∠ACE＝∠BCF＝∠AFC．又∠CAE＝∠F AC，∴△ACE∽△AFC，∴．∴．（3）CH的最小值为．解：如图3，以BD为直径作⊙G，则G为BD的中点，DG＝9，∵DH⊥PB，∴点H总在⊙G上，GH＝9，∴当点C，H，G在一条直线上时，CH最小，此时，，，即CH的最小值为．19．解：（1）∵AB＝AC＝10cm，BD⊥AC，BD＝8cm．∴由勾股定理可得：AD＝6cm，∴DC＝4cm，∴在Rt△BDC中，BC＝＝4cm，由题意得：CM＝AC﹣AM＝（10﹣2t）cm，BP＝tcm；∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴＝＝，∴＝＝，∴PQ＝tcm，BQ＝cm；故答案为：（10﹣2t）cm，tcm，cm；（2）当四边形PQCM是平行四边形时，PQ∥AC且PQ＝CM，∴t＝10﹣2t，解得s．∴四边形PQCM是平行四边形时，s；（3）当点M在线段PC的垂线平分线上时，MP＝MC，过点M作ME⊥AB于点E，如图所示：在Rt△ABD中，∵AB＝10cm，BD＝8cm，∴cm，∴，在Rt△AEM中，∵AM＝2t，，∴，∴，∴，解得：t1＝0（舍去），s，∴当点M在线段PC的垂直平分线上时，s；（4）存在t＝或或或，使以PM为直径的圆与△ABC的边相切．①与AC相切，即PM⊥AC，＝cos A，∴＝，∴t＝；②与AB相切，即MP⊥AB，＝cos A，∴＝，∴；③与BC相切，即PM中点O到BC距离为，如图，设切点为K，连接EK，则EK⊥BC，作PG⊥BC于G，AS⊥BC于S，MH⊥BC于H，PN⊥AC，则EK∥PG∥AS∥MH，∵BC＝4cm，AB＝AC，AS⊥BC，∴BS＝2cm，∴AS＝＝4cm，∴PG：BP＝AS：AB＝4：10＝2：5，∴PG＝cm；同理：MH：CM＝AS：AC＝4：10＝2：5，∴MH＝（10﹣2t）cm．∵E为PM的中点，∴K为GH的中点，∴EK是梯形PGHM的中位线，∴EK＝＝（10﹣t）cm，∵PM＝2EK，∴PM＝（10﹣t）cm．∵＝cos A＝，AP＝（10﹣t）cm，∴AN＝（10﹣t）＝（6﹣t），∴MN＝|AN﹣AM|＝|6﹣t﹣2t|＝|6﹣t|cm；∵BD⊥AC，PN⊥AC，∴PN∥BD，∴△APN∽△ABD，∴＝，∵BD＝8cm，AP＝（10﹣t）cm，AB＝10cm，∴PN＝×8＝（8﹣t）cm，∴在Rt△PMN中，由勾股定理得：+＝，整理得：33t2﹣140t+100＝0，解得：或．综上，存在t＝或或或，使以PM为直径的圆与△ABC的边相切．20．解（1）如图1，连接BD．∵＝，∴∠BDC＝∠ADC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴AB是圆O的直径．（2）如图2，连接OG、OD、BD．则OA＝OD＝OB，∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，∵∠FGC＝2∠BAD，∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，∴B、G、O、D四点共圆，∴∠ODE＝∠OBG，∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，∴∠EBD＝45°＝∠EDB，∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，∴BA平分∠FBE．（3）如图3，连接AC、BC、CO、DO、EO、BD．∵AC＝BC，∴AC＝BC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，连接DM、OM，则∠MOD＝2∠MAD，∵2∠MAD+∠FBA＝135°，∴∠MOD+∠FBA＝135°，∴2∠MOD+2∠FBA＝270°，∴2∠MOD+∠DOK＝270°，∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，∴∠AOM＝∠DOM，∴AM＝DM，连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，AH＝DH，设MH与BC交于点R，连接AR，则AR＝DR，∵∠ADC＝45°，∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，∴∠BRH＝∠ARH＝45°∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACR＝∠CBE，∴△ACR≌△CBE（AAS），∴CR＝BE＝ED，作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°，连接OE，则OE垂直平分BD，∴OE∥AD∥MN，∴四边形OEQM是矩形，∴OM＝EQ，OE＝MQ，延长DB交MN于点P，∵∠PBN＝∠EBD＝45°，∴∠BNP＝45°，∴△EQN是等腰直角三角形，∴EQ＝QN＝EN＝13，∴OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13，AB＝2OA＝26，∴BC＝OC＝26，∵MN＝AB＝20，∴OE＝MQ＝MN﹣QN＝20﹣13＝7，∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°，∴△OER是等腰直角三角形，∴RE＝OE＝14，设BE＝CR＝x，则CE＝14+x，在Rt△CBE中：BC2＝CE2+BE2，∴262＝（x+14）2+x2，解得x＝10，∴CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．。

2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题2-4 圆的方程(解析版)

专题2.4 圆的方程知识点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中(),C a b 为圆心，r 为半径.知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时0,0a b ==，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：0b =；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为(),a b ，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为(),C a b ，半径为r ，则有(1)若点()00,M x y 在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00,M x y 在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00,M x y 在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<知识点三：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径. 知识点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-.它表示一个点. 222x y r +=(,)22D E--(2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径的圆. 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点五：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标；（2）列出关于,x y 的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．题型一：圆的标准方程1．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）与圆C ：224690x y x y ++-+=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（）A ．()()22214x y -+-= B ．()()22324x y -++= C ．()()22214x y -++=D ．()()22324x y ++-=【答案】C【解析】圆C ：224690x y x y ++-+=的圆心()2,3C -，半径2r =．设点()2,3C -关于直线10x y -+=的对称点为00'(,)C x y ，则000000311*******22y x x y x y -⎧⨯=-⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨=--+⎩⎪-+=⎪⎩，所以圆C 关于直线10x y -+=的对称圆的方程为()()22214x y -++=，故选:C ．2．（2022·江苏·高二）圆C ：()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为（）． A ．()()22431x y -++= B ．()()224349x y -+-= C ．()()22431x y ++-= D ．()()224349x y +++=【答案】A【解析】：()()22341x y ++-=表示以()3,4-为圆心，以1为半径的圆．设()3,4-关于直线y x =对称的点为(),a b ，则有34022413a b b a -+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得：4a =，3b =-，所以C ：()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为()()22431x y -++=．故选：A ．3．（2022·江苏·高二）求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x 轴上，半径为5，且过点()2,3A -；(2)经过点()4,5A --、()6,1B -，且以线段AB 为直径；(3)圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点()2,1-；(4)圆心在直线x -2y -3=0上，且过点()2,3A -，()2,5B --．【答案】(1)()22225x y ++=或()22625x y -+=(2)()()221329x y -++=(3)()()22122x y -+=+(4)()()221210x y +++=【解析】(1)设圆的标准方程为()2225x a y -+=．因为点()2,3A -在圆上，所以()()222325a -+-=，解得a =-2或a =6，所以所求圆的标准方程为()22225x y ++=或()22625x y -+=． (2)设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由题意得4612a -+==，5132b --==-；又因为点()6,1-在圆上，所以()()222611329r =-+-+=．所以所求圆的标准方程为()()221329x y -++=． (3)设圆心为(),2a a -．因为圆与直线y =1-x 相切于点()2,1-解得a =1．所以所求圆的圆心为()1,2-，半径r所以所求圆的方程为()()22122x y -+=+．(4)设点C 为圆心，因为点C 在直线230x y --=上，故可设点C 的坐标为()23,a a +．又该圆经过A 、B 两点，所以CA CB =．a =-2，所以圆心坐标为()1,2C --，半径r =故所求圆的标准方程为()()221210x y +++=．题型二：圆的一般方程1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知圆方程222410+-+-=x y x y 的圆心为（） A ．()2,4- B ．()1,2- C ．()1,2- D ．()2,4-【答案】C 【解析】【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标；【详解】解：因为222410+-+-=x y x y ，即()()22126x y -++=，所以圆心坐标为()1,2-；故选：C2．（2022·福建漳州·高二期末）在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若(2,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，则ABC 的最小覆盖圆的半径为（） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C 【解析】(2,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，ABC ∴△为锐角三角形，ABC ∴△的外接圆就是它的最小覆盖圆，设ABC 外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则420420,1640D F D FEF -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得034D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ABC ∴△的最小覆盖圆方程为22340x y y +--=，即22325()24x y +-=，ABC ∴△的最小覆盖圆的半径为52.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为()((2,0,3,2,1,2,A B C ()4,D a ，若它们都在同一个圆周上，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2 DC设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意得((((2222222020323201220D F DEF D E F ⎧+++=⎪⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎩，解得444D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以224440x y x y +--+=，又因为点()4,D a 在圆上，所以22444440a a +-⨯-+=，即2a =. 故选：C.题型三：点与圆的位置关系1．（2022·全国·高二课时练习）已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（） A ．()()3,22,--+∞ B ．()()3,23,--⋃+∞ C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞【答案】A【解析】由题意，22220x y mx y ++-+=表示圆故22(2)420m +--⨯>，即2m >或2m <- 点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外故22122220m ++-⨯+>，即3m >- 故实数m 的取值范围为2m >或32m -<<- 即()()3,22,m --∞∈+故选：A题型四：圆过定点问题1．（2022·河北沧州·高二期末）已知点A 为直线2100x y +-=上任意一点，O 为坐标原点．则以OA 为直径的圆除过定点()0,0外还过定点（） A ．()10,0 B ．()0,10 C ．()2,4 D ．()4,2【答案】D【解析】设OB 垂直于直线2100x y +-=，垂足为B ，则直线OB 方程为：12y x =，由圆的性质可知：以OA 为直径的圆恒过点B ，由210012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩得：42x y =⎧⎨=⎩，∴以OA 为直径的圆恒过定点()4,2. 故选：D.2（2022·上海·高三专题练习）已知二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C ，则圆C 经过定点的坐标为_______（其坐标与b 无关）【答案】(0,1)和(2,1)-【解析】二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为(,0),(,0),(0,)M m N n B b ，易知0b ≠，,m n 满足2m n +=-，m n ≠，220m m b ++=，220n n b ++=，设圆C 方程为220x y Dx Ey F ++++=，则222000m Dm F n Dn F b Eb F ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩①②③， ①－②得22()0m n D m n -+-=，()2D m n =-+=，∴220n n F ++=，从而F b =，代入③得1E b =--，∴圆C 方程为222(1)0x y x b y b ++-++=，整理得222(1)0x y x y b y ++-+-+=，由222010x y x y y ⎧++-=⎨-+=⎩得0,1x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=⎩．∴圆C 过定点(0,1)和(2,1)-．题型五：轨迹问题1 古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，()3,0A ，圆()()222:20C x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值为（） A ．1B ．5C ．1或5D ．不存在【答案】C 【解析】【分析】直接设点P (),x y ，根据2PA PO =可以求得点P 的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得11CC r r =+或11CC r r =-．【详解】设点P (),x y∵2PA PO =整理得：()2214x y ++=∴点P 的轨迹为以()11,0C -为圆心，半径12r =的圆， ∵圆()222:2C x y r -+=的()2,0C 为圆心，半径r 的圆由题意可得：113CC r r ==+或113CC r r ==- ∴1r =或=5r 故选：C ．2已知()2,0A ､()8,0B ､()4,2C ，且动点P 满足12PA PB =，则2PC PB +取得最小值时，点P 的坐标是___________.【答案】)1【解析】【分析】设(),P x y ，由214PA PB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭得P 点轨迹为2216x y +=；由()22PC PB PC PA +=+可知当,,A P C 三点共线且P 在线段AC 上时取得最小值，联立圆的方程和直线AC 方程即可求得结果. 【详解】设(),P x y ，则()()222222148PA x y PB x y ⎛⎫-+== ⎪ ⎪-+⎝⎭，整理可得：2216x y +=；一、单选题1．若曲线C ：2224100x y ax ay a ++--=表示圆，则实数a 的取值范围为（） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-⋃+∞ C ．[]2,0- D ．(][),20,-∞-+∞【答案】B【解析】由2224100x y ax ay a ++--=，得()()2222510x a y a a a ++-=+，由该曲线表示圆，可知25100a a +>，解得0a >或2a <-，故选：B. 2．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（） A ．221x y += B ．224x y += C ．()()22113+++=x yD ．()()22116x y +++=【来源】贵州省2021-2022学年高二下学期7月高中学业水平考试数学试题【答案】B 圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为224x y +=.故选：B3．方程y = ）．A ．B ．C ．D ．【来源】2.1 圆【答案】A ：对y =()2240x y y +=≤，所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为2的圆在x 轴及下方的部分，A 选项满足.故选：A4．若直线l 经过圆22:40C x y x ++-=的圆心，且倾斜角为56π，则直线l 的方程为（）A 0y -+= B ．10x -=C 0y ++=D ．50x +=【答案】B【解析】整理圆的方程可得：()(2227x y ++=，∴圆心(C -，l 倾斜角为56π，∴其斜率5tan 6k π==，l ∴方程为：)2=+y x ，即10x +-=. 故选：B.5．如图，点A ，B ，D 在圆Γ上，点C 在圆Γ内，11,12,5AB BC CD ===，若0BC CD ⋅=，且AB 与CD 共线，则圆Γ的周长为（）A ．410πB ．653π C ．21π D ．24π【来源】安徽省淮南第二中学2021-2022学年高二下学期博雅杯素养挑战赛数学试题【答案】B【解析】以C 为原点，BC 和CD 坐在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则(12,11),(12,0),(0,5)A B D ---，设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=则144121121101441202550D E F D F E F +--+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1631180D E F ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以656r =所以圆的周长为65652263r πππ=⨯= 故选：B6．已知从点()5,3-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（） A ．2310x y -+= B ．2310x y --= C ．3210x y -+= D ．3210x y --=【答案】A【解析】设点A 的坐标为()5,3-，圆()()22115x y -+-=的圆心坐标为(1,1)B ，设(,0)C x 是x 轴上一点，因为反射光线恰好平分圆()()22115x y -+-=的圆周，所以反射光线经过点(1,1)B ，由反射的性质可知：3010100512AC BC k k x x x --+=⇒+=⇒=----，于是102131()2BC k -==--，所以反射光线所在的直线方程为： 21()231032y x x y =+⇒-+=，故选：A7．若()2,1P -为圆()22:125C x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）．A ．250x y --=B ．230x y +-=C ．10x y +-=D ．30x y --=【来源】黑龙江省大庆市大庆中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题【答案】D【解析】由圆()22:125C x y -+=，得()1,0C ，()01112PC k --∴==--，由垂径定理可知PC AB ⊥，所以直线AB 斜率k 满足1PC k k ⋅=-，即1k =，所以直线AB 的方程为：()()112y x --=⨯-，即30x y --=，故选：D.8．直线40x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2242x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（）A ．[]8,12B ．⎡⎣C ．[]12,20D ．⎡⎣【来源】四川省泸州市泸县第五中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学（理）试题【答案】C【解析】直线40x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴A (-4，0)，B (0，-4) ∴|AB设圆心(4，0)到直线40x y ++=的距离为d ，则d ==设点P 到直线40x y ++=的距离为h ，∴max h d r =+=min h d r =-==∴h 的取值范围为[，即ABP 的高的取值范围是[，又ABP 面积为12|AB |×h ，所以ABP 面积的取值范围为[]12,20. 故选：C.9．已知直线10(0)ax by ab +-=>过圆22(1)(1)2022x y -+-=的圆心，则22a b +的最小值为（）A ．12B ．1CD ．2【来源】安徽省宣城市2021-2022学年高二下学期期末数学试题【答案】A【解析】由题意得圆心为（1,1），因为直线10(0)ax by ab +-=>过圆心，所以1a b +=，即1a b =-，所以22222211(1)221222b b b b b a b ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝+⎭，所以当12b =时，22a b +的最小值为12. 故选：A10．已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（）A ．()()3,22,--+∞B ．()()3,23,--⋃+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞【来源】四川省泸州市泸县第五中学2021-2022学年高二下学期期中考试文科数学试题【答案】A 由22220x y mx y ++-+=表示圆可得22(2)420m +--⨯>，点A （1，2）在圆C 外可得22122220m ++-⨯+>，求解即可【详解】由题意，22220x y mx y ++-+=表示圆故22(2)420m +--⨯>，即2m >或2m <- 点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外故22122220m ++-⨯+>，即3m >- 故实数m 的取值范围为2m >或32m -<<- 即()()3,22,m --∞∈+故选：A11．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点M 和定点A 1(,0)2-，B (1，1)，则2|MA |＋|MB |的最小值为（）A BC D 【来源】湖南省常德市临澧县第一中学2021-2022学年高二下学期入学考试数学试题【答案】C【解析】∴当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为(－1，0)或(1，0)．若点M 的坐标为(－1，0)，则2|MA |＋|MB |＝2×121=+若点M 的坐标为(1，0)，则2|MA |＋|MB |＝2×324=．∴当点M 不在x 轴上时，取点K (－2，0)，如图，连接OM ，MK ，因为|OM |＝1，|OA |＝12，|OK |＝2，所以||||2||||OM OK OA OM ==．因为∴MOK ＝∴AOM ，所以△MOK ∴∴AOM ，则||||2||||MK OM MA OA ==，所以|MK |＝2|MA |，则2|MA |＋|MB |＝|MB |＋|MK |．易知|MB |＋|MK |≥|BK |，所以|MB |＋|MK |的最小值为|BK |．因为B (1，1)，K (－2，0)，所以(2|MA |＋|MB |)min＝|BK |<1，所以2|MA |＋|MB | 故选：C12．已知圆C 的圆心在x 轴上，半径为2，且与直线20x +=相切，则圆C 的方程为A ．22(2)4x y -+=B ．22(2)4x y ++=或22(6)4x y -+=C ．22(1)4x y -+=D ．22(2)4x y -+=或22(6)4x y ++=【来源】山西省名校联考2021-2022学年高二上学期期末数学试题【答案】D【解析】设圆心坐标(),0a ，因为圆与直线20x +=相切，所以由点到直线的距离公式可得|2|22a +=，解得2a =或6a =-.因此圆C 的方程为22(2)4x y -+=或22(6)4x y ++=.13．两条直线2y x a =+，2y x a =+的交点P 在圆()()22114x y -+-=的内部，则实数a 的取值范围是A ．1,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()11,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,-C ．1,15⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．()11,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦,-【答案】A【解析】由22y x a y x a=+⎧⎨=+⎩解得(),3P a a .∴点P 在圆()()22114x y -+-=的内部.∴()()221314a a -+-<，解得115a -<<.14．已知圆22:4O x y +=上的动点M 和定点(1,0),(2,2)A B -，则2MA MB +的最小值为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图，取点()4,0K -，连接,OM MK ， 2,1,4OM OA OK ===，2OM OKOA OM∴==， ,~MOK AOM MOK AOM ∠=∠∴∆∆，2MK OMMA OA∴==， 2MK MA ∴=，2MB MA MB MK ∴+=+，因为MB MK BK +≥,当且仅当三点共线时等号成立,2MB MA MB MK ∴+=+的最小值为BK 的长， ()()2,2,4,0B K -，BK ∴== D.15．AB 为∴C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为∴C 上一动点，则PA PB⋅的取值范围是（） A ．[0，100] B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【来源】安徽省安庆市第一中学2021-2022学年高二上学期1月月考数学试题【答案】D【解析】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+=，PA PB BA -=221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦，又||6BA =，4CQ ==2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∴点P 为∴C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72]. 故选：D. 二、多选题16．直线y ax b =+ 与圆 22()()1x a y b -+-= 的大致图像可能正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】A ：直线不经过第四象限，所以0,0a b >>，所以圆的圆心在第一象限，因此本选项可能正确；B ：直线不经过第一象限，所以0,0a b <<，所以圆的圆心在第三象限，因此本选项不可能正确；C ：直线不经过第一象限，所以0,0a b <<，所以圆的圆心在第三象限，又因为该圆经过原点，所以有2222(0)(0)11a b a b -+-=⇒+=，在圆的方程中，令0x =，得22222(0)()1210a y b a y by b y -+-=⇒+-+=⇒=或2y b =，因为0b <，所以2b b <，因此本选项可能正确；D ：直线不经过第二象限，所以0,0a b ><，所以圆的圆心在第四象限，又因为该圆经过原点，所以有2222(0)(0)11a b a b -+-=⇒+=，在圆的方程中，令0x =，得22222(0)()1210a y b a y by b y -+-=⇒+-+=⇒=或2y b =，因为0b <，所以2b b <，因此本选项不可能正确，故选：AC17．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为()0,1M .下列结论中正确的是（） A ．实数a 的取值范围为3a < B ．实数a 的取值范围为5a < C ．直线l 的方程为10x y +-= D ．直线l 的方程为10x y -+=【答案】AD【解析】圆22:240C x y x y a ++-+=满足222(4)40a +--> ，可得5a < ，又由题意弦AB 的中点为()M 0，1可得点M 在圆内，将点M 坐标代入圆的方程可得：30a -+<，即3a <，故A 正确，B 错误；根据圆的性质可得：MC l ⊥ ，由圆22:240C x y x y a ++-+=，得圆心(12)C -，，而(01)M ，，∴直线l 的斜率k 为11111MC k -=-=-，由点斜式可得直线l 的方程为：1y x =+ ，即10x y -+=，故C 错误，D 正确；故选：AD18．方程()()2222220x y x x y y λμ+-++-=（λ，μ不全为零），下列说法中正确的是（）A ．当0λμ=时为圆B ．当0λμ≠时不可能为直线C ．当方程为圆时，λ，μ满足0λμ+≠D ．当方程为直线时，直线方程y x = 【答案】ACD【解析】对于A ，由题可得00λμ=⎧⎨≠⎩ 或00λμ≠⎧⎨=⎩，代入得2220x y y +-=或2220x y x +-=，都是圆，故A 对；对于B ，当1,1λμ==-时，化简得y x =是直线，故B 错；对于C ，原式可化为22(+)(+)220x y x y λμλμλμ+--=，要表示圆，则必有0λμ+≠，故C 对；对于D ，只有0λμ+=时，方程表示直线y x =，故D 对. 故选：ACD.19．已知平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(1)λ≠的点的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy 中，已知(2,0),(4,0)A B -，若12λ=，则下列关于动点P 的结论正确的是（）A ．点P 的轨迹所包围的图形的面积等于16πB ．当P 、A 、B 不共线时，∴P AB 面积的最大值是6C ．当A 、B 、P 三点不共线时，射线PO 是∴APB 的平分线D ．若点(3,1)Q -，则2PA PQ +的最小值为【来源】湖南省名校联考联合体2021-2022学年高二下学期3月联考数学试题【答案】ACD【解析】设(,)P x y ，因为PA PB=12=，整理得2280x x y ++=，即()22416++=x y ．A ：点P 的轨迹是以(4,0)-为圆心，4为半径的圆，所求图形的面积为16π，正确；B ：圆的半径为4且6AB =，当△P AB 的底边AB 上的高最大时，面积最大，所以△P AB面积的最大值是164122⨯⨯=，错误；C ：当A ，B ，P 不共线时，由12PA PB=，OA =2，4OB =，即12OA OB =，故||||||||PA OA PB OB =．由角平分线定理的逆定理知：射线PO 是∠APB 的平分线，正确；D ：因为12=PA PB，即2|PA =PB |，则2PA PQ PB PQ +=+，又P 在圆()22416++=x y 上，如图所示，所以当P ，Q ，B 三点共线时，2PA PQ +取最小值，此时[]22min (2||||)||4(3)(01)52PA PQ BQ +==--+-=，正确. 故选：ACD ．三、填空题20．已知圆1C ：()()22129x y -+-=，2C ：224210x y x y +-++=.则这两圆的连心线方程为_________（答案写成一般式方程）【来源】广东省广州市南沙区2021-2022学年高二上学期期末数学试题【答案】350x y +-=【解析】解：圆221:(1)(2)9C x y -+-=，222:4210C x y x y +-++=即22(2)(1)4x y -++=， ∴两圆的圆心为： 1(1,2)C 和2(2,1)C -， ∴这两圆的连心线方程为：212121y x ---=--，即350x y +-=．故答案为：350x y +-=．21．若点P 为圆22:(1)(3)4C x y ++-=上的一个动点，则点P 到直线:34100l x y --=距离的最大值为________．【来源】湖南省张家界市2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题【答案】7【解析】圆22:(1)(3)4C x y ++-=的圆心(1,3)C -，半径2r =，点C 到直线:34100l x y --=的距离5d ==，所以圆C 上点P 到直线l 距离的最大值为527d r +=+=. 故答案为：722．已知圆C 经过(2,4)P -，(3,1)Q -两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，且圆C 不过原点，则圆C 的方程为___________．【来源】2.4圆的方程B 卷【答案】22(1)(2)13x y -+-=【解析】依题意，直线PQ 的斜率为4(1)123k --==---，线段PQ 中点为13(,)22，则线段PQ 中垂线方程为1y x =+，显然，点C 在直线1y x =+上，设(,1)+C a a ，圆C 半径r 有：222||2213r PC a a ==-+，点C 到x 轴距离|1|d a =+，因圆C 在x 轴上截得的弦长等于6，则有2223r d =+，因此有222213|1|9a a a -+=++，整理得2430a a -+=，解得1a =或3a =，当1a =时，圆心(1,2)C ，半径r =，圆C ：22(1)(2)13x y -+-=，显然此圆不过原点，当3a =时，圆心(3,4)C ，半径=5r ，圆C ：22(3)(4)25x y -+-=，显然此圆过原点，所以圆C 的方程为：22(1)(2)13x y -+-=. 故答案为：22(1)(2)13x y -+-=23．已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足,2PA AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】湖南省名校联盟2021-2022学年高二上学期期末教学质量检测数学试题【答案】)1π【解析】由2,2PA PB AB ==可知，正方体表面上到点A 距离最远的点为1C ，所以P 点只可能在面11ABB A ，面ABCD ，面11BB C C 上运动，当P 在面ABCD 上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0)A B ,设(,)P x y ，由PA =得：22222[(2)]x y x y +=-+，即22(4)8x y -+=，即P 点在平面ABCD 内的轨迹是以E （4,0）为圆心，以为半径的一段圆弧，因为2EA BE == ,故4BEC π∠=,所以P 点在面ABCD 内的轨迹的长即为4π⨯=同理，P 点在面11ABB A 内情况亦为22242ππ⨯=；P 点在面11BB C C 上时，因为PA ，2PBA π∠=,所以,24PAB PB π∠==，所以此时P 点轨迹为以B 为圆心，2为半径的圆弧，其长为1224ππ⨯⨯= ，综上述，P 点运动轨迹的周长为21)2ππ⨯+= ，故答案为：)1π.。

《圆》章节知识点复习专题

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①A B 是直径 ②AB C D ⊥ ③C E D E = ④ 弧B C =弧B D ⑤ 弧A C =弧A D 中任意2个条件推出其他3个结论。

圆专题复习(二)

23圆专题复习（二）1．图1中粗线CD 表示某条公路的一段，其中AmB 是一段圆弧，AC 、BD 是线段，且AC 、BD分别与圆弧AmB 相切于点A 、B ，线段AB =180m ，∠ABD =150°．（1）画出圆弧AmB 的圆心O ；（2）求A 到B 这段弧形公路的长．图1解：（1）如图，过A 作AO ⊥AC ，过B 作BO ⊥BD ，AO 与BO 相交于O ，O 即圆心． ································································ 3分说明：若不写作法，必须保留作图痕迹．其它作法略．（2）∵ AO 、BO 都是圆弧AmB 的半径，O 是其圆心， ∴ ∠OBA =∠OAB =150°-90°=60°． ········································ 5分 ∴ △AOB 为等边三角形．∴ AO =BO =AB =180． ·················· 7分∴ π6018060π180AB ⨯⨯== (m)．∴ A 到B 这段弧形公路的长为60πm ． ········································································· 10分2．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 上的点O 为圆心，OB 的长为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ．（1）求证：BC ＝CD ；（2）求证：∠ADE ＝∠ABD ；（3）设AD ＝2，AE ＝1，求⊙O 直径的长．解：（1）∵∠ABC ＝90°，∴OB ⊥BC ． ································································ 1分∵OB 是⊙O 的半径，∴CB 为⊙O 的切线． ················································· 2分又∵CD 切⊙O 于点D ，∴BC ＝CD ； ································································ 3分（2）∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°． ∴∠ADE ＋∠CDB ＝90°． ······································· 4分又∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°． ················································································ 5分∙ABC DEO图1 ∙A BCD EOO由（1）得BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ．∴∠ADE ＝∠ABD ； ························································································· 6分（3）由（2）得，∠ADE ＝∠ABD ，∠A ＝∠A ．∴△ADE ∽△ABD ． ························································································· 7分 ∴AD AB ＝AEAD． ································································································ 8分 ∴21BE+＝12，∴BE ＝3， ·············································································· 9分 ∴所求⊙O 的直径长为3．3．如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD 中，AC 是对角线，P 为边CD 的中点，延长AP 交圆于点E ．（1）∠E = 度；（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦DE 的长．解：（1）45． ················································································ 2分（2）△ACP ∽△DEP ． ·························································· 4分理由：∵∠AED =∠ACD ，∠APC =∠DPE ， ∴ △ACP ∽△DEP ． ····························································· 6分（3）方法一：∵ △ACP ∽△DEP ， ∴ .AP AC DP DE =··························· 7分又 AP =522=+DP AD ，AC =2222=+DC AD ， ·········································· 9分∴ DE =5102． ······································································································· 10分方法二：如图2，过点D 作DF AE ⊥于点F ．在Rt ADP △中， AP = ··················· 7分又1122ADP S AD DP AP DF == △， ·························· 8分 ∴ DF =552． ··········································································································· 9分∴ 51022==DF DE ． ······················································································· 10分4．已知：如图，⊙O 的直径AD =2， BCCD DE ==，∠BAE =90°． (1)求△CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P ，那么点P 落在四边形ABCD 区域的概率是多少？解：（1）∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD =∠BAE =90°．（1分）∵ BC CD DE ==，∴ ∠BAC =∠CAD =∠DAE ．（2分）∴∠BAC =∠CAD =∠DAE =30°．图2∵在Rt △ACD 中，AD=2，CD =2sin30°=1， AC =2cos30°=．（3分）∴S △ACD =12AC ×CD2．（4分）(2) 连BD ，∵∠ABD =90°， ∠BAD = =60°， ∴∠BDA =∠BCA = 30°，∴BA =BC . 作BF ⊥AC ，垂足为F ，（5分） ∴AF =12AC=2，∴BF =AF tan30°=12，（6分）∴S △ABC =12AC ×BF=4， ∴S ABCD=4．（7分）∵S ⊙O =π ，∴P 点落在四边形ABCD 区域的概率=4π=4π．（8分）5.如图16，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A .与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB ． (1)试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC .AD .BC 之间的数量关系，并说明理由；(3)若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）解：（1）BC 所在直线与小圆相切，理由如下：过圆心O 作OE BC ⊥，垂足为E ， AC 是小圆的切线，AB 经过圆心O ，OA AC ∴⊥， 1分又 CO 平分ACB OE BC ∠⊥，．OE OA ∴=．2分BC ∴所在直线是小圆的切线． ···························································································· 3分（2）AC+AD=BC理由如下：连接OD ．AC 切小圆O 于点A ，BC 切小圆O 于点E ，CE CA ∴=． ························································································································· 4分在Rt OAD △与Rt OEB △中，90OA OE OD OB OAD OEB ==∠=∠= ，，，Rt Rt OAD OEB ∴△≌△（HL ）EB AD ∴=． ························································································································ 5分 BC CE EB =+ ，BC AC AD ∴=+．·············································································································· 6分（3）90BAC ∠=，8106AB BC AC ==∴=，，． ················································ 7分 BC AC AD =+ ，4AD BC AC ∴=-=． ···································································· 8分圆环的面积)(2222OA OD OA OD S -=-=πππ又222OD OA AD -= ， 22164cm S ππ== ·································································· 9分.6、如图， Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点D ，过点D 的切线交BC 于E ．（1）求证：12DE BC =；（2）若tan 2C DE ==，求AD 的长．7、如图（8）所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD ．（1）求证：DC =BC ；（2）若AB =5，AC =4，求tan ∠DCE 的值．（1）证明：连接OC 1分 ∵OA ＝OC∴∠OAC ＝∠OCA ∵CE 是⊙O 的切线∴∠OCE ＝90° ······································································ 2分∵AE ⊥CE∴∠AEC ＝∠OCE ＝90°∴OC ∥AE ··········································································· 3分 ∴∠OCA ＝∠CAD∴∠CAD ＝∠BAC ································································ 4分∴ DC BC= ∴DC ＝BC ················································································································································ 5分（2）∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB ＝90° ∴3452222=-=-=AC AB BC················································································ 6分∵∠CAE ＝∠BAC ∠AEC ＝∠ACB ＝90°∴△ACE ∽△ABC ·································································································································· 7分∴AB ACBC EC =∴543=EC 512=EC ················································································································· 8分∵DC ＝BC ＝3 ∴59)512(32222=-=-=CE DC ED·············································································· 9分∴4351259tan ===∠EC ED DCE ································································································· 10分 8、在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ．（1）求证：BD BF =；（2）若64BC AD ==，，求O ⊙的面积．（1）证明：连结OE ． AC 切O ⊙于E ， OE AC ∴⊥，又90ACB ∠=°，即BC AC ⊥， OE BC ∴∥， ···································································· 2分 OED F ∴∠=∠．又OD OE =，ODE OED ∴∠=∠，ODE F ∴∠=∠， ·········································································································································· 3分 BD BF ∴=． ··················································································································································· 4分（2）设O ⊙半径为r ，由OE BC ∥得AOE ABC △∽△． AO OE AB BC ∴=，即4246r rr +=+，2120r r ∴--=，解之得1243r r ==-，（舍）． ················································································ 7分 2π16πO S r ∴==⊙．OEDBAC·图（8）9、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G ,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切；（2）当BC=4,cosC=13时，求⊙O 的半径.。

中考圆专题复习全套(2)

362．如图7-212，⊙O1内切于⊙O于点T，且与⊙O的直径AB相切于点E.连结TA交⊙O1于点C.求证：过点C的⊙O1的切线垂直于直径AB363．如图7-213；AB是同心圆中大圆O的弦，切小圆于点C大圆O的直径AG交小圆于点M、N，CD⊥AG，点D为垂足，CD交大圆O于点E、F，求证：AD•OA=EC•FC．364．如图7-214，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，过点B的直线交⊙O1于点C交⊙O于点D．求证：AC:AD为定值．2365．如图7-215，⊙O和⊙O1为两等圆，它们彼此互相通过圆心，又割线ABCD平行于⊙O1，交两圆于点A、B、C、D，过点O、C的直线再交两圆于点P、Q．求证：PQ=AD．366．已知正方形ABCD的边长为a，以点A为圆心，a为半径，作弧BD，又作扇形ABD的内切圆O，切弧BD于点E．求证：OE=CE．367．如图7-216，以⊙O的半径OA为直径的⊙O1分别交⊙O的两半径OB、OC 于点M、N．求证；MN的长等于点C到OB的距离CH．368．如图7-217，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，连心线O1O2交⊙O2于点D、C，直线CA交⊙O1于点E，直线ED交⊙O2于点F，连结FB，又CA=AE，求证：EC∥BF．369，如图7-218，⊙O1与⊙O2内切于点B，AB是⊙O1的直径，过点A作⊙O2的切线，切点为D，交⊙O1于点C，CB交⊙O2于点E，已知⊙O1的半径为5，两圆的圆心距为3，求(1)AD的长；(2)BC的长；(3)CE的长．370．如图7-219，⊙O和⊙O’相交于A、B两点，AC是⊙O的直径，D、E分别是CA和CB的延长线与⊙O’的交点，已知AC＝12，BE=30，BC＝AD，求(1)∠C 的度数；(2)∠BDE的正弦值．371．如图7-220，⊙A和⊙B的半径都为1厘米，AB=32厘米，⊙A和⊙B都和⊙O外切，三圆且均和直线L相切，切点为C、D、E，求⊙O的半径．372．已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，O 1A=35，02A=5，COS ∠A01B ＝53，求sin ∠BA02的值．373．如图7-221，⊙O 1与⊙O 2外切于P 点，过点P 的直线分别交⊙O 1于点A 、交⊙O 2于点B ，Q 为两圆外任意一点，连结QA 、QB ，分别交⊙O 1于点C ，交⊙O 2于点D ．求证：P 、D 、Q 、C 四点共圆．374．如图7-222，圆心O 2为⊙O 1上任一点，⊙O 1和⊙O 2交于点A 、B ，E 为⊙O 1优弧AB 上一点，02E 交⊙O 2于点C ，交AB 于D ，且CD=1，CE=2，则02E:02D ＝______．375．三个半径为R 的等圆，两两外切，与它们都外切的圆的半径为_____；与它们都内切的圆的半径为______.376．如图7-223，⊙O 1和⊙02外切于点P ，直线AD 交两圆于A 、B 、C 、D 四点，公切线交AD 于E 点，AB=CD ，PE 平分∠APC ，PA ＝62，PC ＝22，(1)求证：PE 2=AE •EC ；(2)求AD 的长．377．如图7-224，⊙O 1和⊙O 2外切于点A ，直线CO 1B 与⊙O 2相切于点B ，过点C作⊙O 1的切线，与0201延长线相交于点D ，已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2、3，求CD 的长．378．AB 是⊙A 的半径，又是⊙O 的直径，⊙P 内切⊙A 于点C ，且与⊙O 外切，∠CAB=60O , 求PC AP.379．如图7-225，已知半径为6的⊙O 1内切⊙O 于点P ，并与OA 、OB 相切，⊙O 2与⊙O 1及OA 、OB 相切，弦AB 的长为18，求(1)⊙O 的半径R;(2)⊙O 2的面积．380．OA 、OB 是两条互相垂直的半径，以OA 为直径作半圆P ，⊙Q 与OB 、⊙O及⊙P 都相切，若⊙O 的半径为R ，求⊙Q 的半径．381．在边长为3的正方形ABCD 中，设⊙O 与AD 、CD 相切，⊙O 1与BC 、AB 相切，且⊙O 与⊙O 1外切，求两圆半径之和．382．如图7-226，半径为R 的直角扇形O 1OD ，被以点O 1为圆心，R 为半径的圆弧分成两部分，求较小部分内切圆⊙O 2的半径．383．如图7-227，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，直线TD与⊙O2相切于T点，和⊙O1相交于M、D两点，M是TD的中点，直线BA与直线TD相交于cCM点，求CT384．如图7-228，⊙O与⊙C的半径分别是R和r，A、C都在⊙O上，AD切⊙C 于点D，交⊙O于点B、A，BC=a，求AC的长．385．如图7-229，⊙O1和⊙O2相交于点B、C，AB是⊙O1的直径，D、E分别是AB和AC延长线与⊙O2的交点，已知AD和DE的长分别是方程x2-2mx+2m2-7m-1=0的两根(其中AD>DE)，且AE=10，(1)求m的值；(2)求AD、DE的值；(3)如果AO1=3，求COS∠AO1E的值．386．如图7-230，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，AC是⊙O2的切线，已知⊙O1和⊙O的半径分别是17米和10米，0102=9米，求(1)AB的长；(2)tan∠ACB；2(3)BC的长．387．如图7-231，⊙O1与⊙O2相交于点A、B，且02在⊙O1上，AC是⊙O1的直径，C02交AB于点D，如果AC＝10，CB＝8，那么CD与D02的比值等于_____．388．如图7-232，⊙O与⊙O1内切于点P，⊙O的弦PQ和⊙01相交于点R，过点R作⊙O1的切线与⊙O相交于点A、B.求证：Q是弧AB的中点。

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