中考专题复习圆的综合题(含答案)

中考专题复习圆的综合题

1．如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆的切线；

（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =3

2，tan ∠AEC =3

5，求圆的直径．

2. 如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。 (1)求证：CD 为⊙0的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度.

3．（已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点

A、B重合），连接PA、P

B、P

C、PD．

(1)如图①，当PA的长度等于▲时，∠PAB＝60°；

当PA的长度等于▲时，△PAD是等腰三角形；

(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，

建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、

△PAB、△PBC的面积分别记为S

1、S

2

、S

3

．坐标为（a，b），

试求2 S

1 S

3

－S

2

2的最大值，并求出此时a，b的值．

4、

5．如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB

⌒上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．

（1）求证：PM＝PN；

（2）若BD＝4，PA＝3

2

AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

6．（如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.

7．如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是AE 的中点，OM 交AC 于点D ，60BOE ∠=°，

1

cos 2

C =

，23BC =． （1）求A ∠的度数；

（2）求证：BC 是⊙O 的切线；

（3）求MD 的长度．

8.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2

∠PCB.

（1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：BC=2

1

AB ；

（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN ·MC 的值.

O

B A C

E

M D

9.（本小题满分10分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB 于F，

(1)判断△DCE的形状；

(2)设⊙O的半径为1，且OF=

21

3-，求证△DCE≌△OCB．

10、如图14，直线AB经过O上的点C，并且OA OB

=，CA CB

=，O交直线OB于E D

，，连接EC CD

，．

（1）求证：直线AB是O的切线；

（2）试猜想BC BD BE

，，三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）若

1

tan

2

CED

∠=，O的半径为3，求OA的长．

A

B

D

E

O

F

C

中考专题复习圆的综合题（答案）

1．如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆的切线；

（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =3

2，tan ∠AEC =3

5，求圆的直径．

2. 如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。 (1)求证：CD 为⊙0的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. (1)证明：连接OC,

∵点C 在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ，∵CD ⊥PA ，∴∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO 。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙0的半径，∴CD 为⊙0的切线．

(2)解：过0作0F ⊥AB ，垂足为F ，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形，∴0C=FD ，OF=CD.

∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ，∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ， 在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+=

解得2x =或9x =。由AD

从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF ⊥AB ，由垂径定理知，F 为AB 的中点，∴AB=2AF=6. 3．（已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，以AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点A 、B 重合），连接PA 、PB 、PC 、PD ．

(1)如图①，当PA 的长度等于 ▲ 时，∠PAB ＝60°； 当PA 的长度等于 ▲ 时，△PAD 是等腰三角形；

(2)如图②，以AB 边所在直线为x 轴、AD 边所在直线为y 轴，

建立如图所示的直角坐标系（点A 即为原点O ），把△PAD 、△PAB 、△PBC 的面积分别记为S 1、S 2、S 3．坐标为（a ，b ），

试求2 S 1 S 3－S 22

的最大值，并求出此时a ，b 的值．