第1章 线性规划及单纯形法(7h)15
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运筹学第一章线性规划及单纯形法
10
2D0
30 X1
(3)、求最优解 Z=40x1+50x2 x2 =-4/5x1+Z/50
C点： x1+2x2 =30 3x1+2x2 =60
解：x1 = 15, x2 = 7.5
maxZ =975
x2
maxZ=40x1+ 50x2
x1+2x2 30
30
3x1+2x2 60
2x2 24
x1 , x2 0
线性规划的单纯形法一线性规划的基本概念二单纯形法的迭代原理三单纯形法的计算步骤四单纯形法的进一步讨论五单纯形法小结线性规划的相关概念?矩阵的秩矩阵a中不为零的子式的最高阶数称为矩阵a的秩
问题的提出
❖ 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。 已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台 时、调试时间及A、B设备和调试工序每天可 用于这两种家电的能力、各售出一件时的获 利情况如表1-1所示。问该公司应制造A、B 两种家电各多少件，使获取的利润为最大。
图解法的步骤： 1、在平面上建立直角坐标系 2、图示约束条件，找出可行域 3、图示目标函数和寻找最优解
例1、maxZ=40x1+ 50x2
x1+2x2 30 3x1+2x2 60
2x2 24
x1 , x2 0
解：(1)、建立坐标系
(2)、确定可行域
X2
x1+2x2 30
30
x1+2x2 =30
(0,15) (30,0)
20
maxZ=40xX1+1+52X0x2 2 30
3xx11++222xxx3222XX11+,362X22004X2X220
第一章 线性规划及单纯形法
37
线性规划问题的标准形式： 线性规划问题的标准形式：
max f = ∑ c j x
j =1 j n
n ∑ aij x j = bi , i = 1,2,L , m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,L , n
日产量（ 日产量（吨） 9 5 7 21
11
）（模型 例2（运输问题）（模型） （运输问题）（模型）
minf = 2 x11 + 9 x12 + 10 x13 + 7 x14 + x21 + 3 x22 + 4 x23 + 2 x24 + 8 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 5 x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x +x +x +x =5 23 24 21 22 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 s.t. x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 xij ≥ 0(i = 1,2,3; j = 1,2,3,4)
18
3、（线性规划）数学模型的三要素 、（线性规划） 、（线性规划 变量/决策变量 决策变量； ①变量 决策变量； 目标函数（ ②目标函数（max/min）； ）； 约束条件。 ③约束条件。
19
决策变量： ①变量/决策变量：指决策者为实现规划目标采 变量 决策变量 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量； 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；
线性规划问题的标准形式： 线性规划问题的标准形式：
max f = ∑ c j x
j =1 j n
n ∑ aij x j = bi , i = 1,2,L , m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,L , n
日产量（ 日产量（吨） 9 5 7 21
11
）（模型 例2（运输问题）（模型） （运输问题）（模型）
minf = 2 x11 + 9 x12 + 10 x13 + 7 x14 + x21 + 3 x22 + 4 x23 + 2 x24 + 8 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 5 x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x +x +x +x =5 23 24 21 22 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 s.t. x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 xij ≥ 0(i = 1,2,3; j = 1,2,3,4)
18
3、（线性规划）数学模型的三要素 、（线性规划） 、（线性规划 变量/决策变量 决策变量； ①变量 决策变量； 目标函数（ ②目标函数（max/min）； ）； 约束条件。 ③约束条件。
19
决策变量： ①变量/决策变量：指决策者为实现规划目标采 变量 决策变量 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量； 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；
第一章 线性规划及单纯形法(7)
max z 1.2 x31 1.6 x23 1.4 x34 x11 x12 30 x21 x23 1.2 x11 x x 1.2 x 1.5 x 21 12 31 34 s.t. x12 15 x 20 23 x34 10 xij 0 i 1, 2,3; j 1, 2,3, 4
（Ⅱ）
思考：如何求解（Ⅰ） 、（Ⅱ）？
第一章 线性规划及单纯形法 4
材料根数最少: max z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 0 x9 0 x10 0 x11 Mx12 Mx13 Mx14 x9 x12 100 2x1 x2 x3 x4 2x2 x3 3x5 2x6 x7 x10 x13 100 s.t. x3 3x4 2x6 3x7 4x8 x11 x14 100 x1 x j 0( j 1, 2, ,14)
第一章 线性规划及单纯形法 3
材料根数最少: min z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 100 2x1 x2 x3 x4 2x2 x3 3x5 2x6 x7 100 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 100 x1 x j 0( j 1, 2, ,8)
第一章 线性规划及单纯形法
11
约束条件:
x11 x12 x13 2000 x21 x22 x23 2500 原料供应限制 x31 x32 x33 1200 x11 0.6 x11 x21 x31 x31 0.2 x11 x21 x31 s.t. x12 0.3 x12 x22 x32 含量要求条件 x 0.5 x x x 12 22 32 32 x33 0.6 x13 x23 x33 xij 0 i 1, 2,3; j 1, 2,3
第1章线性规划与单纯形法
5
15
2
24
1
5
1
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
解：
1.决策变量：设产品I、II的产量
分别为 x1、x2
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2
3.约束条件：
5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5
x1， x2≥0
线性规划问题的数学模型
线性规划问题的数学模型
7. 线性规划问题的解
线性规划问题
n
max Z cj xj (1) j 1
s.t
n j 1
aij x j
bi
(i 1, 2,
, m) (2)
x
j
0,
j
1, 2,
, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
C
m n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可
行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
线性规划问题解的概念
例1.10 求线性规划问题的所有基矩阵。
max Z 4 x1 2 x2 x3
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4 ≤180
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
线性规划问题的数学模型
例1.5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线 的货运量、货运成本如下表所示：
航线号
船队 类型
线性规划及单纯形法详解演示文稿
收集 数据 和 建立 模型
求解 模型 和 优化 方案
检验 模型 和 评价 方案
方案 实施 和 不断 改进
制定决策
第1章 线性规划与单纯形法
运筹学的一个主要的分支是数学规划。
数学规划研究：在一些给定的条件（约束条件）下， 求所考察函数（目标函数）在某种意义下的极值（极 小或极大）问题。 例如：在经济决策中，经常会遇到诸如在有限的资源 （人、原材料、资金等）情况下，如何合理安排生产， 使效益达到最大；或者给定具体的任务，如何统筹安 排现有资源，能够完成给定的任务，使花费最小这类 问题。 在这章，我们重点介绍的是应用最为广泛的线性规划 问题。
自己动手试一试【解】 两种新产品的有关数据如表：
车间
1 2 3
单位利润 （元）
单位产品的生产时间 （小时）
门
窗
1
0
0
2
3
2
每周可获得的生产时间 （小时）
4 12 18
300
500
自己动手试一试【解】 设x1为每周门的产量（扇），x2为每周窗的产量 （扇）。 线性规划模型如下：
maxz 300x1 500x2
仅仅生产II产品，设备的生产能力还有剩余。结论是 两种产品都要进行生产。 （4）两种产品的产量会受到什么限制条件呢？ 各种设备的生产能力，即占用各种设备的工时。 （5）要决策的问题是：I产品生产多少？II产品生产多 少？才能实现利润最大化呢？
一、线性规划模型实例（问题的提出）
按工艺资料规定，
生产例每1件-产1【品解I需】占：用各设备分别为2、1、4、0h；
二、线性规划问题的数据模型
1、线性规划模型的一般表达形式 （1）一般形式
min或（max）z c1x1 c2 x2 ... cn xn a11x1 a12 x2 ... a1n xn (, )b1
第1章 3 线性规划及单纯形法
B2=（p1 ，p2 ，p4） B4=（p1 ，p3 ，p4） B6=（p1 ，p4 ，p5） B8=（p2 ，p3 ，p5） B10=（p3 ，p4 ，p5）
经计算可知：对应A系数矩阵可找出8个
基（除B4 、B8 以外都是基）。
AX b
1 2 1 0 0x1 b1
4
0
0
1
0x2
LP的可行域一定是凸集，但是凸集不
一定成为LP的可行域，而非凸集一定 不会是LP的可行域。
线性规划的基本可行解与可行域的顶
点是一一对应的
在可行域中寻找LP的最优解可以转
化为只在可行域的顶点中找，从而把一 个无限的问题转化为一个有限的问题。
若已知一个LP有两个或两个以上最
优解，那麽就一定有无穷多个最优解。
1、 凸集——设K是n维欧氏空间 的一个点集，若任意两点X（1）∈K， X（2）∈K的连线上的一切点：
αX（1）+（1-α）X（2） ∈ K
（0<α<1），则称K为凸集。
凸集 非凸集
2、 凸组合 设X（1）,X（2）, … ,X（k）是n维欧氏
空间中的K个点,若存在k个数μ1, μ2 , … ,μk ,满足
注意，线性规划的基本解、基本可行解和可行 基只与线性规划问题标准形式的约束条件有关。
32100
A = （P1 ,P2 ,P3 ,P4 ,P5）= 2 1 0 1 0
03001
A矩阵包含以下10个3×3的子矩阵：
B1=（p1 ，p2 ，p3 ） B3=（p1 ，p2 ，p5） B5=（p1 ，p3 ，p5） B7=（p2 ，p3 ，p4） B9=（p2 ，p4 ，p5）
性方程组：
3 x1 + 2 x2 = 65 2 x1 + x2 = 40 3 x2 + x5 = 75 得到x1 =15，x2 = 10，x5 = 45，对应的基本解： x（3）=(x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5)T=(15，10，0，0，
第1章线性规划及单纯形法
s.t.
x6 +x1
≥60
x1 +x2Leabharlann ≥70x2 +x3
≥60
x3 +x4
≥50
x4 +x5
≥20
x5 +x6
≥30
xj ≥0 （j＝1， 2， …， 6）
2020/5/16
二、其他应用例子
（一） 混合配料问题
某糖果厂用原料A，B，C加工成三种 不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌 号糖果中A，B，C含量，原产成本，各种 原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单 位加费及售价如表1-17所示。问该厂每月 生产这三种牌号糖果各多少kg ,使其获利最 大。试建立这个问题的线性规划的数学模 型。
2020/5/16
2020/5/16
（二） 产品计划问题
某厂生产Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三种产品,都分别经A,B 两道工序加工.设A工序可分别在设备A1或A2 上完成,有B1,B2,B3三种设备可用于完成B工序 .已知产品Ⅰ可在A,B任何一种设备上加工;产 品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工,但完成B工 序时,只能在B1设备上加工;产品Ⅲ只能在A2与 B2设备上加工.加工单位产品所需工序时间及 其他各项数据见表1-18,试安排最优生产计划, 使该厂获利最大.
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(1)于2019年初购买A种债券,期限2年,到 期后本息合计为投资额的140%,但限购90万 元.
(2)于2019年初购买B种债券,期限2年,到 期后本息合计为投资额的125%,且限购90万 元.
(3)于2019年初购买C种债券,期限2年,到 期后本息合计为投资额的130%,但限购50万 元;
2020/5/16
（四） 动态投资问题 宏银公司为某建设项目从2019年起的4
第一章线性规划及单纯形法
第一章线性规划及单纯形法6.6单纯形法小结Drawingontheexampl,thetwoaxisinterceptsareplotted.2、求初始基可行解并进行最优性检验Cj比值CBXBb 检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000令非基变量x1=0，x2=0，找到一个初始基可行解：x1=0，x2=0，x3=8，x4=12，x5=36，σj＞0，此解不是最优（因为z=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5)即X0=(0,0,8,12,36)T，此时利润Z=03、寻找另一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9主元首先确定入基变量再确定出基变量检验数?j81010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/20Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9令x1=0，x4=0，得x2=6，x3=8，x5=12，即得基可行解X1=(0,6,8,0,12)T此时Z＝30σ1=3＞0，此解不是最优迭代4、寻找下一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/208-4检验数?j40012/3-1/360101/204100-2/31/3x3x2x1053-42000-1/2-1令x4=0，x5=0，得x1=4，x2=6，x3=4，即X0=(4,6,4,0,0)T?j＜0最优解:X=(4,6,4,0,0)T最优值:Z=42小结：单纯形表格法的计算步骤①将线性规划问题化成标准型。
②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
第1章 线性规划及单纯形法
①
j 1
j
j
max z c j x j ( c j ) x j
j 1 j 1
②
a
j 1
n
ij
x j bi
xn1 bi aij x j
j 1
n
松弛变量
a
j 1
n
ij
x j xn1 bi ( xn1 0)
第9页
a
j 1
5 x2 15 x1 , x2 0
Q4
Q3 Q2
o
Q1
x1
第18页
图解法的启示
(1) 求解线性规划问题时，解的情况有：惟一最优解、无 穷多最优解、无界解、无可行解；
(2) 若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集； (3) 若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一 (如果有无穷多的话)一定能够在可行域的某个顶点找到； (4) 解题思路：先找出凸集的任一顶点，计算在顶点处的目 标函数值，比较周围相邻顶点的目标函数值是否比这个值更 优，若为否函数值更优的另一顶点重复上述过 程，一直到找出使目标函数值达到最优的顶点为止。
m Cn 基解总数
第13页
例1.3 列出下述线性规划问题的全部基、基解、 基可行解、最优解
min z 5 x1 2 x 2 3 x 3 2 x4 x1 2 x 2 3 x3 4 x4 7 s .t . 2 x1 2 x 2 x3 2 x4 3 x 0, j 1,2,3,4 j
2 z x2 x1 3 3
o
Q1
x1
唯一最优解
第16页
线性规划问题解的情况：
j 1
j
j
max z c j x j ( c j ) x j
j 1 j 1
②
a
j 1
n
ij
x j bi
xn1 bi aij x j
j 1
n
松弛变量
a
j 1
n
ij
x j xn1 bi ( xn1 0)
第9页
a
j 1
5 x2 15 x1 , x2 0
Q4
Q3 Q2
o
Q1
x1
第18页
图解法的启示
(1) 求解线性规划问题时，解的情况有：惟一最优解、无 穷多最优解、无界解、无可行解；
(2) 若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集； (3) 若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一 (如果有无穷多的话)一定能够在可行域的某个顶点找到； (4) 解题思路：先找出凸集的任一顶点，计算在顶点处的目 标函数值，比较周围相邻顶点的目标函数值是否比这个值更 优，若为否函数值更优的另一顶点重复上述过 程，一直到找出使目标函数值达到最优的顶点为止。
m Cn 基解总数
第13页
例1.3 列出下述线性规划问题的全部基、基解、 基可行解、最优解
min z 5 x1 2 x 2 3 x 3 2 x4 x1 2 x 2 3 x3 4 x4 7 s .t . 2 x1 2 x 2 x3 2 x4 3 x 0, j 1,2,3,4 j
2 z x2 x1 3 3
o
Q1
x1
唯一最优解
第16页
线性规划问题解的情况：
第一章 线性规划及单纯形法演示文稿ppt
a1n a2n
amn cn
含量
b1 b2
bm
设xj 表示在单位混合饲料中，第j 种配料的含量（ j
=1,2,…,n）则有如下的数学模型：
MinZ=c1x1 + c2x2 + … + cnxn
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≥ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≥ b2 …… am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≥ bm x1 ≥0, x2 ≥0 ,… , xn≥0
目标函数有极大化和极小化； 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。
为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标 准型可以转化为标准型计算
（一）标准形式
标准形式为：
目标函数最大化 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn
约束条件为等式
a11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm
饲料必须含有 m 种不同的营养成份，而且要求每单位混合饲料中
第 i 种营养成份的含量不能低于 bi ( i= 1,2, …, m）。已知第 i 种营 养成份在每单位的第 j 种配料中的含量为 aij , j = 1,2, …, n，每单位 的第 j 种配料的价格为 cj 。现在要求在保证营养条件的前提下，应 采用何种配方，使混合饲料的成本最小.
a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤(或＝, ≥) b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤ (或＝, ≥) b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤ (或＝, ≥) bm x1,x2,…,xn ≥ (≤)0
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B
N
3．线性规划基本概念
第一章
定义4：基本解——对应于基B，x为Ax=b的一个解，则x为线性 规划问题的基本解，也称基解。 ※ 基本解中最多有m个非零分量。 n! ※ 基本解的数目不超过Cnm = 个。 m!(n-m)!
定义5：基本可行解——基B，基本解x0，称基解为基本可行 解，也称基可行解。
1．线性规划介绍
第一章
历史悠久，理论成熟，应用广泛 运筹学的最基本的方法之一，网络规划、整 数规划、目标规划和多目标规划都是以线性规 划为基础的。
解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出
的费用最小或获得的收益最大。
1．线性规划介绍
第一章
美国科学院院士DANTZIG（丹齐克），1948年在 研究美国空军资源的优化配置时提出线性规划及其通用 解法 “单纯形法”。被称为线性规划之父。
7300
解：设变量xij表示捷运公司在第i(i＝1．…，4)个月初签订的租 借期为j〔j＝1，…，4)个月的仓库面积的合同(单位为100m2)。 目标函数 min z 2800( x11 x21 x31 x41 ) 4500( x12 x22 x32 ) 6000( x13 x23 ) 7300 x14 约束条件
第一章
5．线性规划单纯形法原理
1、确定初始基可行解
第一章
A中总存在一个单位矩阵（P1,P2,…,Pm)。
当约束条件为时，加上松驰变量的系数矩阵即为单位 矩阵。
当约束条件为或＝时，可以构造人工基，人为产生一
个单位矩阵。 可得初始基可行解: x=(x1,…,xm,xm+1,…xn)T=(b1,…,bm,0,…,0)T
定理3：若LP问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解。 单纯形法解题思路：先找出一个基可行解，判断其是否为最 优解，如为否，则转换到相邻的基可行解，并使目标函数值 不断怎大，一直找到最优解为止。
5．线性规划单纯形法原理
二、单纯行法迭代原理 1、确定初始基可行解 2、从一个基可行解转换为相邻基可行解 3、最优性检验和解的判别
无穷多最优解；无界解；无可行解。 (2)、若线性规划可行域存在，则可行域是一个凸集。 (3)、若有最优解，定可在可行域的顶点得到。 (4)、解题思路是找出凸集的各顶点的最大目标函数值。
2．线性规划数学模型
第一章
凸集——如果集合D中任意两个点，其连线上的所有点也都是集合D中 的点，则称D为凸集。
松弛变量
x1，x2，x’3 ,x”3 0
剩余变量
课程回顾
线性规划数学模型 线性规划数学模型二维问题的图解法 线性规划数学模型的一般形式 线性规划数学模型的标准形式
第一章
如何将线性规划一般形式化为标准形式
4．线性规划基本概念
第一章
定义1：基(基阵) ——设A为约束方程组的m×n阶系数矩阵设 (n>m)，其秩为m，B是矩阵A中的一个m×m阶的满秩子矩阵， 称B是线性规划问题的一个基。
4. 线性规划单纯形法原理
2、基可行解的转换——相邻基 两个基可行解相邻指的是它们之间变换且仅变换 一个基变量。 m 设x(0)=(x10,x20,…xm0,0,…0)T，有 Pi xi0 =b i=1 系数矩阵的增广矩阵
P 1 P2 ... Pm Pm 1 ... Pj ... a1, j ... a2, j ... ... ... am , j ... Pn ... a1,n ... a2,n ... ... ... am ,n b b1 b2 ... bm
Z 基解 19 √ 22 √ 17.5 √ × 15 √ 10 √ 17 √ 20 √ × 5 √
可行解
基可行解
√ × √ × √ √ × √
√ × √ × √ √ × √
5．线性规划单纯形法原理
一、几个基本定理的证明 定理1：LP问题的可行解域一定是凸集。
第一章
引理：LP问题的可行解为基可行解的重要条件是X的正分量 所对应的系数列向量是线性独立的。 定理2：LP问题的基可行解X对应线性规划问题可行域的顶点。
x(1) x(2) 凸多边形
x(1)
x(2)
凹多边形
凸集——D是n维空间的一个集合，x(1), x(2)∈D,若对任何x(1), x(2)，有x= x(1)+(1-) x(2) ∈D(0 1)，则D为凸集。 凸集D, 点 xD，若找不到两个不同的点x(1) , x(2) D 使得 x= x(1) +(1- ) x(2) (0< <1) 则称x为 D的顶点。
2．线性规划数学模型
线性规划的一般式
第一章
max(min)Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn
a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2 s.t.
n个变量
价值系 数
… … …
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm xj 0(j=1,…,n)
其中 bi 0 (i=1,2,…,m)
3．线性规划标准形式
例 min Z = -x1+2x2 -3x3 x1+x2 +x3 7
第一章
x1 -x2 +x3 2
x1，x20，x3无限制 max Z’= x1-2x2 +3(x’3-x”3)+0x4+0x5 x1+x2 +(x’3-x”3)+x4= 7 x1 -x2 +(x’3-x”3) -x5=2
图解法步骤（二维） 绘制可行域 绘出一簇目标函数曲线 找出最优点 x2
第一章
3
(2,3) (3,3) (3,2)
4
x1
线性规划问题解的分类 凸集 顶点 唯一解；无穷多解 ；无有限最优解 ； 无可行解
2．线性规划的数学模型
由图解法得到的启示
第一章
(1)、线性规划问题的解的情况有四种：唯一最优解；
第一章
1 0 ... 0 a1,m 1 0 1 ... 0 a 2 ,m 1 ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 am ,m 1
5. 线性规划单纯形法原理
m Pj= aij Pi Pj－ aij Pi＝0 i=1 i=1 m θ (Pj－ aij Pi）=0 两边乘上一个正数θ>0，得 i=1 m m 同 Pixi0 =b 相加整理得： ( xi0 aij ) Pi Pj b i 1 i=1 m
p1p2p3 p1p2p4 p1p2p5 p1p3p4 p1p3p5 P1p4p5 P2p3p4 P2p3p5 P2p4p5 p3p4p5
3 p5 5 43 C 3 10 p3 3 2 1 3 5
第一章
p1 p 2 p3 p1 p 2 p 4 p1 p 2 p5
x4 0 -3 0
项目 I II 每天可用能力
设备A（h） 设备B（h） 调试工序（h）
利润（元）
0 6 1
2
5 2 1
1
15 24 5
2．线性规划数学模型
例1
项目 设备A（h） 设备B（h） 调试工序（h） 利润（元） I 0 6 1 2 II 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
第一章
解：用变量x1和x2分别表示美佳公司制造家电I和II的数量。 目标函数
x11 x12 x13 x14 15 x12 x13 x14 x21 x22 x23 10 s.t. x13 x14 x22 x23 x31 x32 20 x x x x 12 23 32 41 14 xij 0(i 1...4; j 1...4)
定义6：可行基——对应于基可行解的基称为可行基。
3．线性规划基本概念
例题 max Z 2 x1 3x 2 x3 x1 x3 5 x 2 x x 10 2 4 s.t. 1 x 2 x5 4 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0
线性规划之父的Dantzig (丹齐克)。据说，一次上课，Dantzig迟到 了，仰头看去，黑板上留了几个几个题目，他就抄了一下，回家后埋头 苦做。几个星期之后，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业 好像太难了，我所以现在才交，言下很是 惭愧。几天之后，他的老师 就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很不解 , 后来 才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领 域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。这个方法是上 个世纪前十位的算法。
max z 2x 1 x 2
5x 2 15 6x 1 2x 2 24 s. t. x1 x 2 5 x 1 ,x 2 0
约束条件
2．线性规划数学模型
max z 2 x1 x2
5 x2 15 6 x 2 x 24 2 s.t. 1 x1 x2 5 x1 , x2 0
技术系数或 工艺系数
第i 种资 源的拥有 量
11
3．线性规划标准形式
标准型的一般式
第一章
maxZ=c1x1+ c2x2+…+cnxn
a11x1+ a12x2+…+ a1nxn =b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn =b2
s.t.
… … … … am1x1+ am2x2+…+ amnxn =bm xj 0(j=1,2,…,n)