北京市2016-2017学年高二数学上册(必修2)4.2.3 直线与圆的方程的应用(课时测试)

必修二第四章
4.2.3 直线与圆的方程的应用
时间:50分钟，总分：70分班级：姓名：
一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1. 一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()
A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m
D．2.0 m
【答案】B
【解析】圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．
．
.2.过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是() A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．3x－y－1＝0
D．3x＋y－5＝0
【答案】A
【解析】x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为(1，－2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，－2)
∴直线方程为3x－y－5＝0，故选A．
3.已知实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是()
A．30－10 5 B．5－5C．5 D．25 【答案】A
【解析】x2＋y2为圆上一点到原点的距离．
圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.
4.圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为22，那么这个圆的方程为()
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
【答案】A
【解析】d ＝
|2＋1－1|
1＋1
＝2，r ＝2＋2＝2，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4. 5. 方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )
【答案】A
【解析】由方程y ＝－4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上和以下的部分．
6. 点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( ) A ．24 B ．16 C ．8
D ．4
【答案】C
【解析】∵四边形P AOB 的面积S ＝2×1
2|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，
∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7. 已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是________. 【答案】(－3,32]
【解析】 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9
在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．
8.设直线l 截圆x 2＋y 2－2y ＝0所得弦AB 的中点为(－12，3
2)，则直线l 的方程为_________；|AB |＝_________.
【答案】x －y ＋2＝0 2
【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋y 21－2y 1＝0，x 22＋y 2
2－2y 2＝0，
两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)－2(y 1－y 2)＝0，k AB ＝
y 1－y 2
x 1－x 2
＝1. 故l 的方程为y －32＝1·(x ＋1
2)，即x －y ＋2＝0.又圆心为(0,1)，半径r ＝1，故|AB |＝2． 9. 某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于________. 【答案】B 景点在小路的投影处
【解析】所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．
由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，
得⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝2或⎩
⎨⎧ a ＝42，b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧
a ＝0，
b ＝ 2.
∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．
10. 若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是_________.
【答案】(x －2)2＋(y ＋32)2＝25
4
【解析】因为圆过原点，所以可设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.
因为圆过点(4,0)，将点(4,0)代入圆的方程得D ＝－4，即圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋Ey ＝0.
又圆与直线y ＝1相切，将其代入圆的方程得x 2＋1－4x ＋E ＝0，又方程只有一个解， 所以Δ＝42－4(1＋E )＝0，解得E ＝3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋3y ＝0，即(x －2)2
＋(y ＋32)2＝25
4.
三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
11．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)
【答案】支柱A 2P 2的长约为126－24．
【解析】如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A ，B ， P 的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．
设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A ，B ，P 在此圆上，故有
⎩⎨⎧
182－18D ＋F ＝0.
182
＋18D ＋F ＝0，62＋6E ＋F ＝0，
解得⎩⎨⎧
D ＝0，
E ＝48，
F ＝－324.
故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0. 将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋126.
答：支柱A 2P 2的长约为126－24．
12. 如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.
问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 【答案】外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h ．
【解析】如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)，圆O 方程x 2＋y 2＝252.
直线AB 方程：x 40＋y
30＝1，即3x ＋4y －120＝0.
设O到AB距离为d，则d＝|－120|
5＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，则t＝2252－242
28＝
1
2(h)
答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h．。